1. Antología didáctica de
Álgebra Lineal para cursos
universitarios.
1ra Edición.
Por: Wilfrido González García.

2. Prefacio
Generales:
La obra que a continuación se presenta es un compendio de la totalidad de los
temas enunciados en la mayoría de los programas para la materia de Álgebra
Lineal, que corresponde a los títulos genéricos Matemáticas III o Matemáticas
IV del tronco común de todas las ingenierías y de un gran número de licenciaturas.
Es imprescindible mencionar que el primer capitulo de la presente obra titulado
Unidad 1: Números complejos, contiene material para un adecuado desarrollo
del curso universitario denominado Variable Compleja.
El desarrollo de la presente obra incluye diversas notas y aclaraciones originales,
hechas para orientar al profesor hacia un adecuado desarrollo de los temas.
Pretendiendo que la secuencia de estos sirva simultáneamente al estudiante para
avanzar gradualmente en la adquisición del conocimiento y el desarrollo de
habilidades para la aplicación de los conceptos de la materia mencionada.
Uno de los elementos que la presente obra contempla es el enfoque “moderno” en
la explicación de los conceptos. Esta técnica se refiere principalmente a que tanto el
alumno como el profesor relacionen 4 formas de interpretar los conceptos, los
problemas y sus soluciones.
Estas formas de análisis son:
1) Numérico.
2) Algebraico.
3) Geométrico.
4) Verbal.
Y a través del uso de estas interpretaciones dar solución a diversos problemas
teóricos y de la realidad, relacionados con diversos campos de estudio.
También se prestó particular atención al uso de “software” como una herramienta
confiable de comprobación en la solución de problemas, que por su forma resultan
difíciles de manejar numérica y algebraicamente; y para ayudar a los estudiantes
que no están familiarizados o tienen problemas con los dibujos en 3 dimensiones.
La presente obra incorpora talleres originales sobre la interpretación geométrica
de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales (2 x 2 y 3 x 3), entre otros.
Principalmente la presente obra hace mención a 1 programa de computadora:
1) Maple.
Acerca del software:
1) Maple:
Maple es una poderosa herramienta de análisis numérico por computadora y
graficación en 2 y 3 dimensiones, además de que incorpora útiles herramientas
para graficar curvas de nivel y sus mapas de contorno, así como campos de vector
gradiente entre otras. La presente obra pretende que el estudiante al final del curso
tenga una noción general de los comandos más útiles de Maple para la solución de
problemas de álgebra lineal.

3. Acerca del contenido: La secuencia didáctica.
En lo sucesivo denominaremos secuencia didáctica, a la sucesión de los temas de
la presente obra. La secuencia didáctica (orden de los temas, con el fin de lograr
el aprendizaje del alumno) se realizó de acuerdo al estudio comparativo de planes
de estudio de diferentes instituciones de educación superior de todo el mundo.
En la secuencia didáctica la sucesión de los temas y el avance en el conocimiento
y perfeccionamiento de estos es natural, al mismo tiempo que satisface los
objetivos curriculares específicos de la mayoría de los programas. La secuencia
didáctica tiene el propósito de lograr homogeneidad conceptual en los grupos,
optimizar la exposición instructiva de los contenidos, y facilitar al estudiante la
comprensión de los temas, así como la adaptación, relación y aplicación de los
conocimientos del álgebra lineal para resolver diversos problemas de la realidad.
Acerca del contenido: Ejercicios y demostraciones.
Además se incluyen diversas demostraciones realizadas paso a paso y un número
considerable de problemas resueltos (Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, Quinta
edición; Álgebra lineal, David Poole; Álgebra lineal, Howard Anton) que se espera
sirvan al estudiante interesado a resolver problemas de mayor complejidad técnica,
al disponer de una gran variedad de desarrollos sintácticos originales.
Acerca del contenido: Las gráficas.
En el desarrollo de la clase de Álgebra Lineal, uno de los objetivos es que el
estudiante entienda el comportamiento de las ecuaciones lineales. Por eso se prestó
particular atención a la información gráfica y complementos visuales de la presente
obra.
En particular se incluye un taller original sobre la interpretación geométrica de las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 3 x 3. Así como, diversas
demostraciones geométricas de conceptos importantes en el álgebra lineal.
Se han incluido casi 100 gráficas de alta resolución para el desarrollo y
complemento de los temas de la presente obra. Como ya se menciono un número
considerable de estas fueron realizadas con la herramienta Maple.
Además se incluyen alrededor de 50 gráficas originales, es decir, con un formato
que ninguna obra presenta y diversas ediciones a gráficos contenidos en textos de
renombre internacional.
Autor y Compilador: Wilfrido González García.
willbksb_gen@hotmail.com

4. TEMARIO
Unidad 1: Números complejos.
1.1 Definición y origen de los números complejos. 1
1.2 Operaciones fundamentales con números
complejos.
7
1.3 Potencias de i, módulo o valor absoluto de un
número complejo.
18
1.4 Forma polar y exponencial de un número
complejo.
21
1.5 Teorema de De Moivre: Potencias y extracción
de raíces de un número complejo.
33
1.6 Ecuaciones polinómicas. 41
Unidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 62
2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales y tipos de solución.
66
2.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 70
2.4 Métodos de solución de un sistema de
ecuaciones lineales (Gauss – Jordan y
eliminación gaussiana).
89
2.5 Aplicaciones. 114
Unidad 3: Matrices y determinantes.
3.1 Definición de matriz, notación y orden. 128
3.2 Operaciones con matrices (suma, resta,
producto, producto de un escalar por una
matriz).
136
3.3 Clasificación de la matrices (triangular superior,
triangular inferior, diagonal escalar, identidad,
potencia, nilpotente, idempotente, transpuesta,
simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada,
hermitiana y ortogonal).
151
3.4 Cálculo de la inversa de una matriz. 165
3.5 Definición de determinante de una matriz. 175
3.6 Propiedades de los determinantes. 181
3.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la
adjunta.
189
3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a
través de la inversa.
197
3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales
por la regla de Cramer
202
3.10 Aplicación de matrices y determinantes. 206

5. Unidad 4: Espacios vectoriales.
4.1 Definición de espacio vectorial y sus
propiedades.
219
4.2 Definición de subespacio de un espacio vectorial
y sus propiedades.
234
4.3 Propiedades de vectores, combinación lineal,
dependencia e independencia lineal.
241
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial. 265
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus
propiedades.
274
4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización de Gram – Schmidt.
276
Unidad 5: Transformaciones lineales.
5.1 Definición de transformación lineal y sus
propiedades.
302
5.2 Ejemplos de transformaciones lineales
(reflexión, dilatación, contracción, rotación).
312
5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una
transformación lineal.
325
5.4 La matriz de una transformación lineal y
representación matricial de una transformación
lineal.
331
5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones
lineales.
341
5.6 Álgebra de las transformaciones lineales. 344
5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales. 347
Unidad 6: Valores y vectores característicos.
6.1 Definición de valores y vectores característicos
de una matriz cuadrada.
349
6.2 Polinomio y ecuación característica. 351
6.3 Determinación de los valores y vectores
característicos de una matriz cuadrada.
361
6.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces
de matrices.
377
6.5 Diagonalización de matrices simétricas,
diagonalización ortogonal.
396
6.6 Formas cuadráticas. 409
6.7 Teorema de Cayley – Hamilton. 442
6.8 Aplicaciones. 449

6. UNIDAD 1: Números complejos.
Introducción:
Antes de iniciar el tema de números complejos es útil repasar algunos conceptos
importantes, con la intención de que el lector entienda claramente la problemática que
llevó al descubrimiento de este conjunto de números.
Álgebra: (Del árabe al – chabr, la reducción) Parte de las matemáticas que trata del
análisis de cantidades por medio de letras, números y otros símbolos.
- Un poco de historia:
Se cree que al álgebra surge en la india hacia el s. II D. C., de donde pasó a Egipto y
Grecia. Diofanto de Alejandria (s. IV) escribió el primer compendio de álgebra de la
antigüedad.
El 1er tratado árabe de álgebra fue el del cordobés Mohamed ben Muza (s. IX).
El álgebra como hoy la conocemos (con constantes, variables y signos de
correspondencia), surge hacia 1545 con el Ars Magna de Cardano, que incluía el
método general de Tartalea para resolver ecuaciones. En ese mismo siglo (s. XVI) Stifel
idea los signos + y -, Recorde el signo = y Francisco Vieta introduce las letras para
expresar cantidades, iniciándose así el álgebra moderna.
- El problema de la raíz cuadrada de (– n):
Bháskara (1114 – 1185?), matemático y astrónomo hindú. Fue el primero en dar una
exposición del sistema numérico decimal (base 10) y el primero en plantearse un
problema algebraico cuya solución estaba más allá de los números reales.
“… la multiplicación por sí misma de una afirmativa o de una negativa es siempre
una afirmativa…”
Es decir,
3(3) = 3 + 3 + 3 = 9
-3(-3) = - [(-3) + (-3) + (-3)] = - (- 3 - 3 – 3) = 9
Vislumbrando en su enunciado los razonamientos sobre el alcance de los números
conocidos en su tiempo.
Leonard Euler (1707 – 1783). Matemáticas suizo que en 1748 escribió el tratado de
análisis matemático y geometría analítica de 3 dimensiones titulado Introductio in
analysis infinitorum, en donde se dan las fórmulas que relacionan las funciones
trigonométricas con la función exponencial (e). Y también menciona por primera vez a
1

7. la unidad imaginaria i (i = 1 ) y al número Pi ( =
3.1415926535897932384626433832795).
“… puesto que los números concebibles son > 0, < 0, = 0; es claro que, n no se
incluyen en los números posibles. En consecuencia debemos decir que son
imposibles y de ordinario “imaginarios” pues sólo existen en la imaginación…”
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Matemático alemán el más notable del siglo 19.
Fue un niño prodigio y a los 10 años descubrió el concepto de sumatoria.
En 1798, a los 20 años escribió en su disertación doctoral una demostración del
teorema fundamental del álgebra.
“… todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades, exactamente n
raíces…”
Aplicando por primera vez el teorema de valor absoluto para la solución de
ecuaciones cuadráticas (de 2° grado), demostrando el hecho:
xx 2
Y formalizando su aplicación (nota del autor):
3
092


x
x
En efecto el polinomio de grado 2, tiene exactamente 2 raíces (una positiva
y una negativa, ambas reales), x = 3 cuando x > 0 y x = - 3 cuando x < 0.
092
x
Llegamos así de forma natural a la problemática que originó a los números complejos:
1
1
01
2
2



x
x
x
Cuya solución se expreso como:
ix  , usando la notación de Euler,
En sus estudios sobre el teorema fundamental del álgebra”, al hallar las diferentes
raíces de un polinomio de grado n, Gauss desarrolla el concepto de número complejo.
2

8. Entre 1811 y 1837 desarrolla la base de lo que sería la teoría de la variable compleja
de Cauchy.
1.1 Definición y origen de los números complejos.
- Conjunto de los números reales (R):
Conjunto de números que contiene a los números racionales, los que se pueden
expresar en la forma
q
p , donde p y q son números enteros, también son llamados
números fraccionarios o fracciones; a los números irracionales, los que no se pueden
expresar como un cociente de 2 números enteros ( .,3,5,2 5
etc ); y a los números
trascendentes, que son números que tampoco se pueden expresar como cociente
(fracción), muchos de ellos son “constantes de proporcionalidad” y surgen de relaciones
matemáticas o geométricas especiales (e, , constante de Plank, etc.).
El conjunto de los números reales se representa:
 ,...3,2,1,0,1,2,3..., R
Es claro que el intervalo para una variable real es   , .
Las operaciones válidas para el conjunto de números reales son la suma (resta) y
multiplicación (división), excepto la división sobre CERO (n/0), que no está definida.
- Conjunto de los números imaginarios (I):
Conjunto que contiene una variedad de números fuera del campo real (conjunto de los
números reales). Su unidad se denomina unidad imaginaria y es:
1i
Todo el conjunto esta formado por los múltiplos de i de la forma:
1 cci
Donde c  R, . c
- Conjunto de los números complejos (C):
También llamado campo complejo es el conjunto que se compone de los números
reales e imaginarios.
3

9. - Definición (números complejos):
Son los números que tienen una parte real y otra imaginaria.
Su forma general es:
biaz 
Donde:
z es un número que pertenece al conjunto C.
a y b  R.
1i (Unidad imaginaria)
a se llama parte real.
b se llama parte imaginaria.
Consideraciones (importante):
1) Cuando a  0 y b = 0, el número es un número real.
2) Cuando a = 0 y b  0, el número es un imaginario puro.
3) Cuando a  0 y b  0, el número es un número complejo.
Así, los números reales y los imaginarios (puros) son casos especiales de números
complejos.
Nota: Algunos autores llaman número imaginario a cualquier número que incluya i.
- Igualdad de 2 números complejos:
Dos números complejos a + bi, c + di son iguales si y sólo si a = c y b = d.
Por ejemplo, si:
x – 2 + 4yi = 3 + 12i
Tenemos:
x – 2 = 3 4y = 12
Ambas expresiones son iguales, sólo si:
x = 5 y = 3
Observación (Introducción al álgebra lineal, Howard Anton, 2da edición):
4

10. A diferencia de los números reales, en los números complejos NO EXISTE
ordenamiento según tamaño. Así los símbolos de orden >, <,  , NO se usan con
números complejos.

- Interpretación geométrica de un número complejo en forma rectangular
(Diagrama de Argand):
Los números reales pueden interpretarse como puntos sobre la recta real.
En el caso de los números complejos necesitamos representar la parte real y la parte
imaginaria, para ello usamos un sistema coordenado rectangular de 2 dimensiones,
en este caso el eje horizontal representa al conjunto de los reales y el eje vertical
representa al conjunto de los imaginarios.
El plano resultante se llama plano complejo o diagrama de Argand.
El número biaz  se representa en el plano complejo (diagrama de Argand)
como:
1) Un punto denotado como el par ordenado (a, b).
2) Un vector z cuya combinación lineal es a + bi, es decir, sus componentes son a
y b.
5

11. Un número complejo z se puede representar por un punto o un vector en el plano
complejo.
A la forma biaz  , también se le llama forma rectangular o “punto – vector”.
Importante:
Sea z = 4 + 3i
Re (4 + 3i) = 4 [Parte real de z]
Im (4 + 3i) = 3 [Parte imaginaria de z]
6

12. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
A continuación describiremos los procedimientos para suma, resta, multiplicación y
división de números complejos de la forma biaz  .
- Suma (resta) de números complejos:
Así como la suma (resta) de vectores en R se realiza sumando las componentes
correspondientes de los vectores, la adición de números complejos se realiza
sumando las correspondientes partes reales y las correspondientes partes
imaginarias.
2
       idbcadicbia  [Suma de 2 números complejos]
Del mismo modo la sustracción de 2 números complejos es:
       idbcadicbia  [Resta de 2 números complejos]
Importante:
Note que el álgebra para los números complejos es la misma que para cualquier
“binomio”.
- Ejemplos demostrativos (Suma y resta de números complejos):
1)         iiii 7443264236 
2)         iiii 8235533553 
3)           01213853285  iiii
- Multiplicación de un número complejo por un escalar:
También la multiplicación de un número complejo por un real, se asemeja a la
operación vectorial correspondiente para R2
:
kbikabiak  )( k R.
7

13. - Interpretación geométrica de las operaciones fundamentales:
ebido a que las operaciones de suma, resta y multiplicación por un escalar conD
números complejos son semejantes a las correspondientes para vectores en R
2
, las
interpretaciones geométricas que conocemos son válidas para números complejos.
Recuerde: El vector resultante apunta hacia el minuendo.
8

14. Importante (Teoría de vectores):
Debe ser claro al lector lo siguiente:
1) La expresión 0 se escribe 0)1(  zz  zz . Donde – z se lee negativo de
z o menos z.
2) Sea z = c + di, el negativo de z es:
dicz
dicz

 )(
3) Sean 1z = a + bi y 2z = c + di, la resta 21 zz  es:
idbcazz
dicbiazz
zzzz
)()(
)()(
)(
21
21
2121



Aplicando el hecho anterior a la interpretación geométrica, tenemos:
9

15. La regla del triángulo (o paralelogramo) es útil, ya que, el vector resultante se
presenta como vector de posición, es decir, con punto inicial en el origen.
21 zz 
- Ejemplos demostrativos (Suma y resta de números complejos con interpretación
geométrica):
Efectúe las operaciones gráficamente y compruebe.
1)    ii 2523  
[Regla del paralelogramo para suma de vectores]
Comprobación:         222532523  iii
10

16. 2)    ii 3154  
[Regla del triángulo para resta de vectores]
Comprobación:         iiii 2335143154 
Note en la gráfica, que en efecto el vector resultante es i23  pero este método gráfico
NO entrega un vector de posición, sólo un vector general.
3)    ii 2152  
[Regla del triángulo para suma de vectores]
Comprobación:         iiii 7125122152 
Note que este método gráfico nos entrega el vector resultante como vector de
posición.
11

17. - Multiplicación de números complejos:
Hasta ahora hemos encontrado un paralelismo entre los números complejos y los
vectores en R .
2
Sin embrago a continuación se definirá la multiplicación de números complejos, una
operación que no tiene análogo vectorial en R .
2
Pero el lector encontrará el procedimiento familiar, ya que, es semejante al de la
multiplicación de binomios.
Sean = a + bi y = c + di, es:1z 2z 21zz
21zz ibcadbdacbdicbiadiacdicbia )()())(( 2

Cuidado:   11
22
i
El procedimiento siempre es el mismo:
1) Multiplique cada término de a + bi por cada término de c + di.
2) Considere   11
22
i .
3) Simplifique.
Las siguientes reglas de aritmética son válidas para números complejos.
Sean = a + bi y = c + di, 2 números complejos, tenemos:1z 2z
1221 zzzz 
1221 zzzz 
    321321 zzzzzz 
    321321321 zzzzzzzzz 
  3121321 zzzzzzz 
zz 0
0)(  zz
zz )1(
- Ejemplos demostrativos (Multiplicación y potencias de números complejos):
Resuelva usando álgebra.
1)      iiiiiii 2676208158206152543 2

12

18. Recuerde:
esuelva usando fórmula:
)
12
i .
R
2         iiiii 815405122816214347 
Recurso:
zz 21   ibcadbdacdicbia )()( 
esuelva usando álgebra.
)
ecurso:
esuelva usando fórmula (importante):
R
3   iii 2479241634
2

R
 2
 ba
1
2
2
22


i
baba
R
              
      iiiiii
iiiiiiii
213434682342340
225915152355323553


4)
Conjugado de un número complejo:
on números de la forma a + bi, a – bi, que tienen la misma parte real y la parte
+ bi) (a – bi) [Producto de 2 números complejos conjugados]
Notación:
ea = a + bi, su conjugado es el número complejo:
-
S
imaginaria con signo diferente.
(a
-
zS
z se pronuncia “z barra”.
13

19. - Interpretación geométrica:
Propiedades de los conjugados complejos:
1)
-
wzwz 2)
3) wzzw 
4) Si , entones0z z
w
z
w )( .
5) z es real si y sólo si zz  .
6) z es imaginario puro si y sólo si zz  .
a establece una relación básica entre z y zEl siguiente teorem .
2
zzz 
- Demostración:
ea z = a + bi, entoncesS
       22222
zbaiababbabiabiazz 
14

20. - División de números complejos:
plejos, debemos multiplicar el numerador
el denominador por el “conjugado” del denominador, es decir, introduciremos el
Ejemplo demostrativo:
ese en la forma a+ bi.
Para calcular el cociente de 2 números com
y
“conjugado” como elemento neutro multiplicativo (identidad multiplicativa).
-
Resuelva el cociente y expr
i21
i43 

Solución:
os el numerador y el denominador por ii 4343  .Multiplicam
Recurso:
    bababa
ibcadbdacdicbia
z
z
z
z
z
z
biaz
















22
2
2
2
1
2
1
)()())((
i
ii
i
i
i
i
i
i
5
2
5
1
25
105
43
105
43
43
43
21
43
21
22














ota: Al igual que en los números reales NO esta definida la división sobre cero (n/0).
Demostración (procedimiento de división de números complejos):
UNIDAD 2 Y
NIDAD 3, y volver a esta demostración.
números complejos. El objetivo es definir la
ivisión como la inversa de la multiplicación.
N
-
Advertencia (Sólo estudiantes): Se recomienda al lector aprender la
U
A continuación se abordará la división de
d
sí si 0z , entonces la definición deA 2
2
1z
z 
z
, debe ser tal que
zz z21 
15

21. zzz 21 El procedimiento será demostrar que tiene una solución única para z si
, y luego02 z
2z
zzz 21 
1z
se definirá con este valor de z.
Si , entonces tiene una solución única, que es02 z
212
22
211 1
zz
zz

22 zzzz
z
z 
- Demostración:
y iyxz 222 yixz  , iyxz 111 Sean .
se puede escribir com
=
zzz 21  o:
=  iyx 22   yix iyx 11 
O bien
   ixyyxyyxx 2222 iyx 11
Igualando las partes reales y las imaginarias, tenemos
122 yyxxy
xyyxx

122 
Escribiendo el sistema en forma matricial, tenemos
La matriz aumentada es:













 1
1
22 y
x
yxy

  22 xyx





 
122
122
yxy
xyx
Como , hacemos0222  iyxz 02 x 2 y 0y (que es el caso más general),
de modo que el determinante
16

22. 0
2
2
222


y
yx
2
22
 yx
x
Por el teorema de resumen sabemos que el sistema tiene solución única, puesto que su
determinante es diferente de CERO.
Resolviendo el sistema por la regla de Cramer, nos queda:
2
2
2112
2
2
2
2
2112
22
22
12
12
2
2
2121
2
2
2
2
2121
22
22
21
21
z
yxyx
yx
yxyx
xy
yx
yy
xx
y
z
yy
yx 
xxyyxxxy 
yx
xy
yx
x













Por lo tanto,
   iyxyxyyxx
z
yixz 211221212
2
1
 
Usando ibcadbdacdicbia )()())((  para simplificar
  iyxi 221 yx
z
yixz 12
2
1

212
2
1
zz
z
yixz 
Así, para se define02 z
212
22
2
2
1
2
1 1
zz
zz
z
z
z
z
z
z  












Que es la fórmula para división de números complejos.
17

23. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
- Potencias de i:
realizar TODAS lasEste tema a pesar de su brevedad y sencillez, es fundamental para
operaciones con números complejos.
Como ya sabemos
1i [Unidad imaginaria]
videntementeE
12
i
Toda la serie de potencias de i, se desarrolla en un ciclo de longitud 4 y después los
sobre sí mismos.
, y así sucesivamente (ciclo de longitud 4).
[TODO número elevado a la potencia CERO es 1]
valores vuelven
10
i , ii 1
, 12
i , ii 3
- Demostración:
10
i
1 ii1
[Unidad imaginaria]
1112
 iii
iiii  )1(23
i y se vuelve sobre los mismos valores.
Y así sucesivamente (1, i, -1, -i,…).
1)1)(1(224
 iii
iiiii  )1(45
156
 iiiii
iiiii  )1(67
18

24. - Módulo o valor absoluto de un número complejo:
i un número complejo z se considera como un vector en 2
RS , la longitud del vector
agnitud o norma) se denomina módulo de z o valor absoluto de z.
Definición:
l módulo de un número complejo z = a + bi, denotado por
(m
-
zE , se define como:
22
baz 
Si b = 0, entonces z = a es un número real, y
aaz  2
Así, el módulo de z, también se llama valor absoluto de z.
- La unidad compleja:
Número complejo z = a + bi, tal que 1z .
sí, EXISTE un número infinito de combinaciones para 1zA , pero las variables a y b
s en un intervalo definido (finito).sólo pueden tomar valore
- Demostración:
22
baz 
Para que la unidad compleja EXISTA:
122
 ba
a = Parte real.
b = Parte imaginaria.
no complejo, y como a y b son variables, la ecuación
cia con centro en el origen C(0, 0) y radio r = 1.
122
 ba
122
 baUsando el pla
genera una circunferen
19

25. Cualquier punto (a, b) de la circunferencia unitaria , donde a y b son la
parte real e imaginaria del número complejo z = a + bi, genera una unidad compleja.
122
 ba
Es evidente que 11  a y 11  b .
- Propiedades del valor absoluto para números complejos:
1) 0z si sólo si 0z .
2) zz 
wzzw 3)
zz
11
4) 0 , entoncesSi z .
5) wzwz 
20

26. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
Forma polar de un número complejo:
abemos que un número complejo de la forma z = a + bi, se puede representar en el
como el punto (a, b) o el vector de
omponentes a y b.
-
S
plano complejo (diagrama de Argand)
c
Este punto (a, b) puede ser expresado en coordenadas polares como (r,  ), donde
0r y    (en radianes).
c nHa ie do cosra  y sinrb  , tenemos:
   rcisirirrbiaz  )sin(cossincos
[Forma polar de z]
bservación: La forma polar de un número complejo puede expresarse conO  en
radianes o grados, pero, sea cuidadoso para que las expresiones conserven su
significado original z = a + bi. Recuerde: 2 RAD = 360°.
ro rma polar:- Interpretación geométrica de un núme complejo en fo
idente que y 






a
b
arctan22
bazr  .Resulta ev
 mide el ángulo entre el eje real positivo y el vector z.
21

27. - Argumento de un número complejo:
El ángulo  se denomina argumento de z y se denota por





b
z arctanarg
 a
El argumento de z NO está determinado de manera única, porque se puede sumar o
restar a  cualquier múltiplo de 2 para obtener otro valor equivalente del argumento.
Sin embargo, sólo existe un valor del argumento de z en radianes (RAD) que satisface:
 
Esta expresión se llama argumento principal de z y se puede escribir como:
 Arg z
El lector con dificultad para ubicar un vector (z = a + bi) en el plano complejo,
encontrará útil lo siguiente.
Sea z = a + bi. Entonces:





a
b
z arctanarg

si y I cuadrante.0a 0b







a
b
z arctanarg si y0a 0b IV cuadrante.
2
arg

z si 0a y (90°).0b
2
arg

z si 0a 0by (- 90°).
a
b
arctanzarg   si 0a y II cuadrante.0b
a
b
z arctanarg   si 0a y 0b III cuadrante.
y0arg z si 0a 0b (0°).
22

28. zarg si 0a y 0b (180°).
i NO está definido.
- Ejemplos demostra s (F a po de un o c
rese e form pol
0z , 0argS
tivo orm lar númer omplejo):
Exp n a ar z  rcis .
1) iz 1
  211 r 22
4
45
1
1
  arctan








[II cuadrante]
 135
4
3
4
 
arg z
  135sin135cos21352 icisz



















4
3
sin
4
3
cos2
4
3
2

icisz
2) iz 31
    2431
22
r
3
60
1
3
arctan

  









[III cuadrante]


 120
3
2
3
 
arg z











 





 

3
2
sin
3
2
cos2

iz
ota: , también es una respuesta válida. 2402ciszN
23

29. - Inte geométrica de la multiplicaciórpretación n y la división de números
omplejos en forma polar:
a forma polar de los números complejos puede ser utilizada para proporcionar
terpretaciones geométricas de la multiplicación y la división de números complejos.
todo alternativo para realizar estas operaciones en forma
olar.
Multiplicación de 2 números complejos en forma polar:
c
L
in
Además de brindarnos un mé
p
-
Sean
)sin(cos 1111  irz  y 22 )sin(cos 22  irz 
Multiplicando, tenemos:

Recurso:
bcadbdacdicbia ()())((  i)
rrzz co(cos i)cossinsin(cos)sinsins 212121212121   
Aplicando las identidades trigonométricas:
 
  212
212121
sincoscossinsin
sinsincoscoscos
 121



Obtenemos:
    21212121 sincos   irrzz
[Producto de 2 números complejos en forma polar]
Escrito en forma abreviada:
 212121   cisrrzz
Que es una forma polar del número complejo con módulo y argumento21rr 21   ,
mbién se ha demostrado que:ta
2121 zzzz 
24

30.   2121 argargarg zzzz 
n resumen:
“El producto de 2 números complejos en forma polar, se obtiene al multiplicar sus
módulos y sumar sus argumentos”.
fectúe las operaciones y convierta el resultado a su forma (forma
ctangular).
)
E
- Ejemplos demostrativos (Producto de números complejos en forma polar):
biaz E
re
            8sin8cos222sin22cos3 ii1
Recurso:
 212121   cisrrzzz
       30sin30cos630 i 6cisz
 iiiz 





 33333
2
1
2
3
6
2)             47in47cos273sin73cos5 ii s
ecurso:R
 212121   cisrrzzz
       120sin120cos10120 i10cisz
 iiiz 315355
2
3
2
1
10 








3)          62113132 cisciscis
ecurso:R
 212121   cisrrzzz
   iii 





 36636
2
1
2
3
1230cisz 12
25

31. - Interpretación geométrica:
- División de 2 números complejos en forma polar:
l cociente de 2 números complejos si 02 zE es:
    2121
22 rz
11
sincos   i
Abreviando:
rz
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
Demostrando que:
2
1
2
1
z
z
z
z
 Si 02 z .
21
2
1
argar  garg zz
z
z






26

32. En resumen:
“El cociente de 2 números complejos se obtiene al divid módulos y restar sus
argumentos”.
eraciones y convierta el resultado a su forma z = a + bi (forma
ctangular).
ir sus
- Ejemplos demostrativos (cociente de números complejos en forma polar):
fectúe las opE
re
1)
    
    
 


303
21cos2
51sin51cos6
cis
i
 21sini
ecurso:R
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
 iiiz 





 3
2
3
2
3
2
33
2
1
2
3
3
    
    
   


60260
2
2
18sin18cos2
78sin78cos2
ciscis
i
i
2)
Recurso:
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
iiz
2
6
2
2
2
3
2
1
2 







3)
    
     

305197
184sin184cos105
ciscis
i
Recurso:
 212121   cisrrzzz
27

33.  21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
 
 
   


 1353491843
4935
184105
ciscis
cis
cis
z 
  135sin135cos3 iz
iiz
2
3
2
3
2
1
2
1
3 










 iiz 



 1
2
23
2
23
2
23
Casos especiales de la multiplicación y división de 2 números complejos:-
1) El número complejo i tiene módulo 1 y argumento  90
2

, por tanto, el
producto iz tiene el mismo módulo que z, pero su argumento es  90
2

mayor
En resumen:
que el de z.
ar z por i (iz), z gira en sentido positivo trigonométrico (sentido
un ángulo de 90°”.
“Al multiplic
ntihorario)a
28

34. 2) Como un caso especial de la división de números complejos, obtenemos una
ea
fórmula para el reciproco de un número complejo en forma polar.
S
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
i hacemos 11 z ) y zz 2S (y por tanto 01  (  2
0)(cos 
), y si
sin irz , tenemos:
  sincos
11
i
rz

ecuerde:R
 
 



sinsin
os ccos
Forma exponencial de un número complejo:
Fórmula de Euler:
ara cualquier número real x.
[Fórmula de Euler]
Si aplicamos la fórmula de Euler, vemos a polar de un número complejo
-
-
P
xixeix
sincos 
que la form
puede ser escrita de manera más compacta como:

 i
reirz  )sin(cos
29

35. Este último resultado se conoce como forma exponencial de un número
complejo.
i
rez 
- Ejemplo demostrativo 1:
Exprese el número complejo de la forma z = a + bi (forma rectangular), en su forma
exponencial.
Sea z = 1 + i.
Recurso:
22
bazr 







a
b
arctan
Primero hallamos r, que como sabemos es el módulo de z.
211 22
 zr
A continuación hallamos el argumento de z.
4
1arctan
1
1
arctan  






Por lo tanto la forma exponencial de z es:
4
2
4
sin
4
cos2
 i
eii 





1
- Ejemplo demostrativo 2:
Exprese en la forma rectangular (z = a + bi) los siguientes números complejos.
a) b)
i
e 4
2 i
e

Solución:
a) Aplicando la Fórmula de Euler, tenemos:

sincos iei

Realizando las operaciones:
30

36. 1)0(1sincos  iiei

El número complejo en forma rectangular a + bi es:
1z
b) Empleando leyes de exponentes y fórmula de Euler, tenemos:








4
2424
2 
ciseeee
ii
Realizando las operaciones:
Recurso:
2
2
2
2
2
1
2
1















 i
e
i
ee
iecise 











1
2
2
222
1
2
1
4
222
22 
 i
e
z  1
2
2 2
- Conjugado de un número complejo en forma exponencial:
Si , entonces)sin(cos 
irrez i

)sin(cos  irz 
Las identidades trigonométricas:
   coscos y    sinsin
Nos permiten expresar z como:
      
 
 i
reirz sincos
31

37. Entonces si , su conjugado es:
i
rez 
i
rez 

Sólo MAESTROS.
- Demostración de la fórmula de Euler:
Se demostrará que:

sincos iei

Usando las series de potencias se tiene el siguiente desarrollo para .
z
e
...
!3!2
1
32

zz
zez
Que converge para todo número real z. Además este desarrollo funciona cuando z es un
número complejo.
Las funciones seno y coseno también tienen desarrollos en series de potencias:
...
!6!4!2
1cos
...
!7!5!3
sin
642
753


xxx
x
xxx
xx
Si hacemos iz  , donde  toma valores reales, tenemos:
          ...
!5!4!3!2
1
5432


 iiii
iee iz
Con el hecho de que , , , , y así sucesivamente,
repetimos un ciclo de longitud 4 y observamos que
12
i ii 3
14
i ii 5
...
!7!6!5!4!3!2
1
765432


 iii
iei
32

38. 











 ...
!7!5!3
...
!6!4!2
1
753642



iei

sincos iei

Este resultado excepcional es conocido como fórmula de Euler.
1.5 Teorema de De Moivre: Potencias y extracción de raíces de un número
complejo.
- Potencias de un número complejo:
Si n es un entero positivo y )sin(cos  irz  , entonces el uso repetido de la
fórmula
    21212121 sincos   irrzz
[Producto de 2 números complejos en forma polar]
cuando el único actor es , produce las fórmulas para determinar las potencias
de z:
zz 1
 
 



4
3sin3cos
2sin2cos
44
33
22
cisrz
irz
irz




La demostración anterior, se conoce como teorema de De Moivre.
- Teorema de De Moivre:
Si )sin(cos  irz  y n es un entero positivo, entonces
)sin(cos  ninrz nn

También tenemos que:
nn
zz 
33

39.   znzn
argarg 
En resumen:
“El teorema de De Moivre dice que para obtener la n-ésima potencia de un
número complejo, elevamos su valor absoluto a la n-ésima potencia y
multiplicamos su argumento por n”.
- Ejemplo demostrativo:
Calcule : 6
1 i
Solución:
Sea , tenemosiz  1 2r y
4
45
1
1
arctan  





 [Primer cuadrante].
Su forma polar es:







4
sin
4
cos21

iiz
Usando el teorema de De Moivre:
Recurso:
   





















2
3
sin
2
3
cos8
2
3
sin
2
3
cos2
4
6sin
4
6cos21
6
36
666



iz
iz
iiz
Haciendo las operaciones, tenemos:
   iiz 81086

34

40. La figura nos muestra  , , …,i1  2
1 i  6
1 i .
- Extracción de las raíces n-ésimas de un número complejo:
También podemos utilizar el teorema de De Moivre para extraer las raíces n-ésimas
de números complejos.
Una raíz n-ésima del número complejo z es cualquier número complejo w, tal que:
zwn

En forma polar, tenemos que:
 
 

sincos
sincos
irz
isw


De acuerdo con el teorema de De Moivre, tenemos:
    sincossincos irninsn

Igualando los valores absolutos y los argumentos, notamos que
35

41. rsn

O bien
nn
n
rs
1

nn
rrs 
1
Y también


sinsin
coscos


n
n
Nota:
“2 números complejos en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos y sus
argumentos son iguales”.
Puesto que las funciones seno y coseno tienen cada una un periodo de 2 , estas
ecuaciones implican que n y  difieren en un múltiplo entero de 2 , es decir,
 kn 2
n
k

2

Donde es un entero. Por consiguiente:k
  sincos isw 











 





 

n
k
i
n
k
rw n
 2
sin
2
cos
1
w describe las n posibles raíces n-ésimas cuando k tomas diferentes valores enteros.
Aunque hay mucho valores posibles de k. = 0, 1, 2, 3,…, n – 1 producen valores
distintos de que satisfacen
k
w
zwn

Y todas las demás elecciones de k producen replicas de estos valores.
36

42. En resumen:
Sea   sincos irz  y sea n un entero positivo. Entonces z tiene exactamente n
distintas raíces n-ésimas dadas por











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
11
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
- Interpretación geométrica de las n raíces n-ésimas de un número complejo:
En general, la fórmula











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
1
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Implica que las n raíces n-ésimas de   sincos irz  estarán ubicadas sobre
una circunferencia de radio n
r
1
con centro en el origen de un sistema coordenado
complejo.
Además estarán espaciadas por
n
2 radianes (360°/n), entre sí.
De modo que, si podemos encontrar una raíz n-ésima de z, las n – 1 raíces n-ésimas
restantes de z pueden ser encontradas haciendo rotar la primera raíz a través de
incrementos sucesivos de
n
2 radianes.
n


2

Importante:
Si la separación angular de las n raíces n-ésimas de un número complejo es constante
(
n
2 ).
Entonces al unir los puntos (extremos de los vectores) del plano complejo que
representan a las n raíces n-ésimas¸ generamos un polígono regular de n lados.
37

43. - Ejemplo demostrativo 1:
Halle las 3 raíces cúbicas de -27.
Solución:
En forma polar:
  sincos2727 i
Plano complejo (Diagrama de Argand):
Las 3 raíces cúbicas de -27 están dadas por:











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
1
  










 





 

3
2
sin
3
2
cos2727 3
1
3
1  k
i
k
@ k = 0:
  iii
2
33
2
3
2
3
2
1
3
3
sin
3
cos327 3
1


























@ k = 1:
         3013sincos327 3
1
 ii 
@ k = 2:
  iii
2
33
2
3
2
3
2
1
3
3
5
sin
3
5
cos327 3
1


























Cuidado:  60300
3
5
[IV cuadrante].
38

44. Las 3 raíces cúbicas de -27 son:
izz
zz
izz
2
33
2
3
3
2
33
2
3
3
1
3
3
1
2
3
1
1



[Una raíz real y dos raíces complejo conjugadas]
En efecto, las 3 raíces cúbicas de -27 se encuentran igualmente espaciadas por
3
2
radianes (120°) entre sí, en torno de una circunferencia de radio 3 con centro en el
origen del plano complejo.
[Raíces cúbicas de -27]
- Ejemplo demostrativo 2:
Halle las raíces cuartas de 1.
Solución:
En vez de aplicar el teorema de De Moivre. Se observa que w = 1 es evidentemente
una raíz cuarta de 1, de modo que las 3 raíces restantes se generan haciendo girar
en incrementos sucesivos de0sin0cos1 iw 
24
2 
 radianes (90°).
39

45. Es claro que las raíces cuartas de 1 son:
ii  ,1,,1
- Ejemplo demostrativo 3:
Halle las raíces quintas de .iz 1
Solución:
2r






 45
41
1
arctan  [I cuadrante]
Recurso:





 

n
k
cisrz nn
 211
@ k = 0.
 92 10
1
1 cisz
Esta vez ocuparemos  , para hallar las 4 raíces restantes.
 72
5
22 

n
Por lo tanto:
 812 10
1
2 cisz
40

46.  1532 10
1
3 cisz
 2252 10
1
4 cisz
 2972 10
1
5 cisz
1.6 Ecuaciones polinómicas (polinomios).
Un polinomio es una función p de una sola variable x que puede escribirse en la forma:
  n
n xaxaxaaxp  ...2
210
[Polinomio general de 1 variable y grado n]
Donde , , …, son constantes0a 1a na  0na , denominadas los coeficientes de p,
y n es un entero positivo llamado grado del polinomio.
El entero n llamado grado del polinomio, se denota grad p = n. Un polinomio de
grado cero se llama polinomio constante.
Bajo la convención de que , podemos usar notación de sumatoria para expresar
p como:
10
x
  k
n
k
k xaxp 

0
Cada uno de los términos de la sumatoria se llama monomio.
Recuerde:
41

47. Monomio: (gr. Mónos, único y onóma, nombre)
Expresión algebraica formada por el producto de un coeficiente
numérico y una o varias letras (literales).
- Ejemplo demostrativo (Importante):
¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?
a) 2
2
2
12 xx 
Como cumple con la forma general   n
n xaxaxaaxp  ...2
210 .
SI es un polinomio.
b) 2
3
1
2
x

Un polinomio de 1 variable de la forma general (   n
n xaxaxaaxp  ...2
210 )
NO puede llegar a ser infinito a medida que x tiende a un valor finito,
Lim
cx 
 )(xp
Mientras que 2
3
1
2  cuando .0x
x
 tiende a
Por lo tanto NO es un polinomio.
c) 2
2x
Tenemos que
xx 22 2

Que es igual a x2 , cuando y,0x x2 , cuando 0x .
Por lo que la expresión x2 es el empalme de 2 polinomios.
Así, 2
2x NO es un polinomio.
42

48. d) 







x
x
e
e
3
5 3
2
ln
Según las leyes de exponentes y leyes de logaritmos, tenemos que
  xxee
e
e xx
xx
x
x
352lnln2ln2ln
2
ln 335
3
5
3353
3








 

3
532ln xx 
Coincide con la forma general (   n
n xaxaxaaxp  ...2
210 ).
Por lo tanto, SI es un polinomio.
3
532ln xx 
e)
2
652


x
xx
El dominio de esta función es  2R , para estos valores de x, la función se simplifica
a
   3
2
23
2
652






x
x
xx
x
xx
Podemos decir que
2
652


x
xx
es un polinomio sobre su dominio.
f) x
Esta función NO puede ser un polinomio (incluso sobre su dominio ), debido a
que la diferenciación repetida de un polinomio general de 1 variable
( ) finalmente resulta CERO. Y
0x
  n
n xaxaxaaxp  ...2
210
x NO tiene esta
propiedad.
Por lo tanto, x NO es un polinomio.
43

49. g)  xarccos2cos
Sabemos que el dominio de esta función es 11  x .
Sea xarccos , tal que, xcos .
Recurso:
  xarccoscosarccos 
Utilizando una identidad trigonométrica, tenemos:
    1cos22cosarccos2cos 2
 x
Retorno a la variable x:
    121cos22cosarccos2cos 22
 xx 
Es un polinomio sobre su dominio.
h)
x
e
NO es un polinomio, puesto que la derivación sucesiva, NUNCA es CERO.
- Operaciones con polinomios (REPASO).
- Igualdad de polinomios:
Dos polinomios son iguales si los coeficientes de las correspondientes potencias de x
son TODOS iguales.
Por ejemplo:
3232
3 bxaxxx 
Hay una solución única, para los valores de los parámetros:
1a y 3b
- Suma de polinomios:
La adición de 2 polinomios se obtiene al sumar entre sí los coeficientes de las
correspondientes potencias de x.
De forma general tenemos:
44

50.    5
3
2
21
5
3
2
21 xbxbxbxaxaxa 
      5
33
2
2211 xbaxbaxba 
- Ejemplo demostrativo:
          32322
311241232142 xxxxxxxx 
3
323 xx 
- Resta de polinomios:
La diferencia de 2 polinomios se obtiene al restar entre sí los coeficientes de las
correspondientes potencias de x.
   5
3
2
21
5
3
2
21 xbxbxbxaxaxa 
      5
33
2
2211 xbaxbaxba 
- Ejemplo demostrativo:
         32213113223 23323
 xxxxxxxx 
533 2
 xx
- Multiplicación de polinomios:
El producto de 2 polinomios, ya es familiar al lector. Sólo se multiplica cada término
del 1er polinomio por cada término del 2° polinomio.
De forma general tenemos:
   7
22
5
12
5
21
3
11
4
2
2
1
3
21 xbaxbaxbaxbaxbxbxaxa 
  7
22
5
2112
3
11 xbaxbabaxba 
- Ejemplo demostrativo:
Sean  2
42 xxp  y  32
321 xxxq  . Halle pq .
  322
32142 xxxxx 
45

51.      3223232
32132143212 xxxxxxxxxxx 
543243232
32124846242 xxxxxxxxxxx 
2912133 2345
 xxxx
Observe que
     qgradpgradpqgrad 
- División de polinomios:
Si p y q son polinomios y    pgradqgrad  , podemos obtener el cociente de
q
p .
- Ejemplo demostrativo:
Calcule el cociente
q
p .
q
p
xx
xxx



2
32
42
321
,    pgradqgrad  .
El método que usaremos se llama división larga.
xxx 6123 23

1411 2
 xx
224411 2
 xx
113
12324 232


x
xxxxx
2140x 
El proceso se detiene, ya que, el grado del residuo es menor que el del divisor.
El resultado se escribe:
24
2140
113
42
321
22
32





xx
x
x
xx
xxx
El resultado anterior se generaliza en el algoritmo de la división.
46

52. - Algoritmo de la división:
Si f y g son polinomios con    fgradggrad  , entonces existen polinomios q y r,
tales que:
       xrxqxgxf 
Donde:
 xf es el dividendo.
 xg es el divisor.
 xq es el cociente.
 xr es el residuo.
Donde ya sea que 0r , o bien,    ggradrgrad  .
- Teorema fundamental del álgebra (Importante):
Todo polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos, tiene exactamente
(contando multiplicidades) n raíces (también llamadas CEROS) en C (conjunto de los
números complejos).
Un CERO de un polinomio f es un número a, tal que,
  0ap
El número a también es llamado una raíz de la ecuación polinomial (o polinómica):
  0xf
Es decir, para el polinomio de grado n:
  n
n xaxaxaaxp  ...2
210
Tenemos exactamente n raíces, cada una de las cuales satisface la igualdad (o ecuación
polinómica).
  0xp
0...2
210  n
n xaxaxaa
47

53. La definición del teorema fundamental del álgebra es muy importante, y nos dice que
TODO polinomio (NO constante), tiene al menos una raíz (o CERO), en el conjunto
de los números complejos (C).
Importante:
NO hay un método garantizado para hallar los CEROS de un polinomio dado.
En la actualidad la problemática para hallar las raíces de una ecuación polinómica, es
pequeña (o nula) gracias a los sistemas de álgebra por computadora, como
Mathematica, Maple o Matlab.
A continuación expondremos algunos métodos algebraicos para hallar las raíces de
una ecuación polinomial.
- Teorema de las raíces racionales:
El caso de un polinomio con coeficientes enteros es particularmente interesante, a
continuación se proporcionan los criterios para hallar las raíces de una ecuación
polinomial (o CEROS del polinomio), si estas se pueden expresar como un número
racional.
Sea
  n
n xaxaxaaxp  ...2
210
Un polinomio con coeficientes enteros y sea
b
a un número racional escrito en términos
mínimos (reducido a su mínima expresión). Si
b
a es un CERO de , entonces es
un múltiplo de a y es un múltiplo de b.
p 0a
na
- Ejemplo demostrativo 1:
Encuentre TODAS las raíces racionales de la ecuación polinómica.
04136 23
 xx
Solución:
Si
b
a es una raíz de la ecuación, entonces 6 es un múltiplo de b y – 4 es un múltiplo de
a.
 4,2,1 a  y  6,3,2,1 b
48

54. Si formamos TODOS los números racionales
b
a posibles con los valores encontrados,
observamos que las posibles raíces racionales son:
6
1
,
3
4
,
3
2
,
3
1
,
2
1
,4,2,1 
Sustituyendo en (uno a la vez) encontramos que04136 23
 xx
2
1
,
3
2
,2


satisfacen la igualdad.
Por lo tanto la ecuación de grado 3 tiene 3 raíces racionales que son
2
1
,
3
2
,2

 , pero,
como sólo tiene 3 raíces,
2
1
,
3
2
,2

 son TODAS las raíces de la ecuación polinómica
(o TODOS los CEROS del polinomio).
Partiendo del algoritmo de la división, cuando el residuo es cero, tenemos:
     xqxgxf 
- Teorema del factor:
Sea un polinomio y una constante. Entonces a es un CERO de si y sólo si
es un factor de .
f
a
a
xf
f
x   
     xqaxxf  [Teorema del factor]
Antes de continuar repasaremos algunas fórmulas y conceptos del álgebra
elemental.
- Ecuaciones cuadráticas:
Generalmente a las ecuaciones (ecuaciones polinómicas) de 2° (grado 2) de las forma
general
02
 cbxax
Se les denomina ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas (de 2° grado) tienen como sabemos por el teorema
fundamental del álgebra, 2 raíces.
Sus 2 raíces están dadas por la fórmula:
49

55. a
acbb
x
2
42
2,1


Que se conoce como solución general de ecuaciones cuadráticas de una variable.
acb 42
 se llama discriminante de la ecuación cuadrática.
1) Si 0 , EXISTEN 2 raíces reales.42
 acb
2) Si 0 , EXISTE 1 raíz real.42
 acb
3) Si 0 , EXISTEN 2 raíces complejo conjugadas.42
 acb
- Demostración de la solución de ecuaciones de 2° grado:
Sea la forma general de la ecuación de 2° grado y una variable,
02
 cbxax
Factorizando y completando el trinomio cuadrado perfecto, tenemos:a
cx
a
b
xa 





2
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 





 2
2
2
2
2
44
[Identidad aditiva]
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 











 2
2
2
2
2
44
[Ley asociativa]
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 






44
2
2
2
2
[Ley distributiva]
c
a
b
a
b
xa 






42
22
[Productos notables]
a
c
a
b
a
b
x 





 2
22
42
[Álgebra elemental]
2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x







 [Fracciones algebraicas]
50

56. 2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

 [Teorema de valor absoluto]
1ra raíz: Cuando 0
2

a
b
x :
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x


a
acb
a
b
x
2
4
2
2




a
acbb
x
2
42

 [1ra raíz]
1ra raíz: Cuando 0
2

a
b
x :
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x








2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x


a
acb
a
b
x
2
4
2
2




a
acbb
x
2
42

 [2da raíz]
Este resultado se escribe:
a
acbb
x
2
42
2,1


Que es la solución general de ecuaciones de 2° grado y una variable.
51

57. - Ejemplo demostrativo 2 (Importante):
Podemos mejorar el método de ensayo-error, realizado en el ejemplo demostrativo 1
(cuando usamos el teorema de las raíces racionales) ocupando el teorema del factor
y álgebra (solución general de ecuaciones de 2° grado y 1 variable).
Encuentre TODAS las raíces de:
04136 23
 xx
Supongamos que por el teorema de las raíces racionales, hallamos que -2 es una raíz.
Ahora aplicando el teorema del factor, tenemos:
     xqaxxf  [Teorema del factor]
Por lo tanto
   xqxxx 24136 23

 xq será obtenido con el algoritmo de la división (usando el método de división
larga):
26
41362
2
23


xx
xxx
23
126 xx 
42
x
xx 22

42x 
42 x
0
Entonces:
   02624136 223
 xxxxx
Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones de 2° grado y una variable:
02
 cbxax
a
acbb
x
2
42
2,1


    
 62
26411
2
2,1

x
52

58. 12
71
12
491
2,1



x
En efecto las raíces que faltaban son:
2
1
1 x
3
2
2

x
Las 3 raíces de la ecuación polinómica son:
2
1
1 x
3
2
2

x 23 x
- Ecuación bicuadrada:
Ecuación (ecuación polinómica) de 4° grado de la forma general:
024
 cbxax
Cuyas 4 raíces están dadas por:
a
acbb
x
2
42
4,3,2,1


- Ecuaciones cúbicas:
Ecuación (ecuación polinómica) de tercer grado de la forma general:
023
 dcxbxax
Cuyas 3 raíces se determinan como sigue:
La ecuación , se transforma en:023
 dcxbxax
03
 qpzz
Mediante el cambio de variable
3
b
axz  .
Las 3 raíces de la ecuación son:
vuz 1
53

59. v
i
u
i
z
2
31
2
31
2




v
i
u
i
z
2
31
2
31
3




Siendo u y v, tales que:
23
3
232













qpq
u
23
3
232













qpq
v
3
p
uv 
Estas son las fórmulas de Cardan.
Todos los métodos algebraicos funcionan, pero si no contamos con el tiempo necesario,
la tecnología es de gran ayuda.
Por último aprenderemos a resolver ecuaciones (ecuaciones polinómicas) de la
forma:
zxn
 Cz  biaz 
Ocupando el teorema de De Moivre para la extracción de raíces de números
complejos.
Nota: Debe ser claro al lector que cada una de las n raíces x de , es compleja, es
decir, NO está exenta de ser un real o un imaginario puro.
n
x
Repasemos el teorema de De Moivre:
Sea   sincos irz  [Forma polar de z], y sea n un entero positivo. Entonces, z
tiene exactamente n distintas raíces n-ésimas dadas por:











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
11
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
54

60. Escrito en forma abreviada:





 

n
k
cisrz nn
 211
Donde:
22
bazr 







a
b
z arctanarg
En efecto el teorema de De Moivre, satisface el teorema fundamental del álgebra.
- Ejemplo demostrativo 1:
Encuentre las 4 raíces cuartas de la ecuación polinómica:
0164
x
Escribiendo la ecuación polinómica en su forma .zxn

164
x
Escribiendo la ecuación compleja en su forma polar:
       0160sin0cos164
cisix
   4
1
016  cisx
Usando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
  




 

4
3600
16 4
1 k
cisx
Las 4 raíces están dadas por:
@ k = 0
         20120sin0cos2021  iicisx
55

61. @ k = 1
        iiiciscisx 20290sin90cos2902
4
3600
22 




 
 
@ k = 2
        2012180sin180cos21802
4
7200
23 




 
 iiciscisx 
@ k = 3
        iiiciscisx 202270sin270cos22702
4
10800
24 




 
 
Las raíces son:
21 x , ix 22  , 23 x , ix 24 
[2 raíces reales y 2 raíces imaginarias puras]
- Ejemplo demostrativo 2:
Halle las 3 raíces de la ecuación:
0643
x
Escribiendo en la forma .biaz 
643
x
En forma polar:
  180643
cisx
   3
1
18064  cisx
Aplicando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
56

62.   




 

3
360180
64 3
1 k
cisx
Las 3 raíces están dadas por:
@ k = 0
       iiiciscisx 322
2
3
2
1
460sin60cos4604
3
180
41 










 

@ k = 1
      4014180sin180cos4
3
540
4
3
360180
42 




 





 
 iiciscisx 
@ k = 2
    




 





 
 300sin300cos4
3
900
4
3
720180
43 iciscisx
Cuidado:
300° = – 60° =
3
 [IV cuadrante]
3
arg z
ii 322
2
3
2
1
4 






Las raíces de la ecuación polinómica son:0643
x
ix 3221  , 42 x , ix 3223 
[1 raíz real y 2 raíces complejo conjugadas]
- Ejemplo demostrativo 3:
Encuentre TODAS las raíces de la ecuación polinómica:
0273
 ix
57

63. Escribiendo en la forma .biazxn

ix 273

En forma polar:







2
273 
cisx
3
1
2
27 













cisx
Aplicando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
  






 

3
2
227 3
1  k
cisx
Las 3 raíces están dadas por:
@ k = 0











 





 





 

6
sin
6
cos3
6
31

icisx
Cuidado:  30
6
 [4° cuadrante]
iix
2
3
2
33
2
1
2
3
31 






@ k = 1
  iiiciscisx 303
2
sin
2
cos3
2
3
3
2
232 































 


58

64. @ k = 2














 

6
7
3
3
4
233

ciscisx
Cuidado:  30210
6
7 [3er cuadrante]
 6
5arg z
iix
2
3
2
33
2
1
2
3
33 










Las raíces de la ecuación polinómica son:0273
 ix
ix
2
3
2
33
1  , ix 32  , ix
2
3
2
33
3 


[1 raíz real y 2 raíces complejas]
Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN:
- Ejemplo demostrativo 4:
Encuentre las raíces de la siguiente ecuación polinómica.
0344
 ix
Escribiendo en la forma .biaz 
ix 344

En forma polar:
  534
22
r





 
 87.36
4
3
arctan [IV Cuadrante]
  87.3654
cisx
   4
1
87.365  cisx
59

65. Aplicando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
  




 

4
36087.36
5 4
1 k
cisx
Sugerencia: Ocupe
nn


3602
 , después de hallar la primera raíz.
Las 4 raíces están dadas por:
@ k = 0
         
    ii
iciscisx
2393.476.1160.987.495.1
160.987.52175.95
4
87.36
5 4
1
4
1
4
1
1






 

@ k = 1
       
    ii
icisx
476.12393.987.160.495.1
987.160.57825.805 4
1
4
1
2



@ k = 2
       
    ii
icisx
2393.476.1160.987.495.1
160.987.57825.1705 4
1
4
1
3



@ k = 3
       
    ii
icisx
476.12393.987.160.495.1
987.160.57825.2605 4
1
4
1
4



En efecto los siguientes incrementos sucesivos 

 90
4
360
 .
60

66. Las raíces de la ecuación polinómica son:
 ix 2393.476.11 
 ix 476.12393.2 
 ix 2393.476.13 
 ix 476.12393.4 
Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA/TAREA (labor de investigación).
Objetivo: A pesar de los problemas del estudiante para hallar las n raíces n-ésimas de
una ecuación polinómica de grado n. Si consigue realizar está actividad será capaz de
encontrar las n raíces n-ésimas de cualquier polinomio de grado n, usando tecnología.
Maple:
solve(x^4=(4-3*I),{x});
evalf(%);
61

67. UNIDAD 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
Introducción:
Muchos de los temas del álgebra lineal elemental, son una generalización de las
propiedades de la recta.
Lineal: (lat. linealis): Perteneciente a la línea.
Línea: Mat. Extensión con una sola dimensión.
Por lo tanto, antes de comenzar recordaremos los conceptos de recta y pendiente, así
como sus ecuaciones y formas generales.
Antecedentes:
Es importante que el lector conozca los orígenes del concepto de recta.
Concepto de recta: Concepto primitivo que describe el comportamiento de un rayo de
luz o un filamento cualquiera sometido a tensión.
Existen muchas y diferentes definiciones geométricas y matemáticas de la recta,
veamos algunas:
Recta general (Geometría): Línea generada por un punto que se mueve
constantemente en la misma dirección.
Recta en el plano (Geometría): Sucesión infinita de puntos, que varían con una
misma razón de cambio, llamada pendiente.
- Interpretación geométrica de la recta en el plano ( ):2
R
62

68. - Conceptos importantes (Recta en
2
R ):
Partiendo de la gráfica anterior, recuerde:
1) La pendiente m de una recta representa a la tangente del ángulo de
inclinación de la recta, es decir,
tanm
Recuerde: El ángulo de inclinación  cuando la recta es una función de la forma
, es la abertura entre la recta y el eje positivo de las x (eje de
la variable independiente).
 xfy 
Por lo tanto:
x
y
xx
yy
AC
OC
m






12
12
..
..
tan (Si 21 xx  ).
2) Si 012  xx y 12 yy  , la recta es vertical. Se dice que la pendiente
( tan ) es indefinida.
El ángulo de inclinación es .
2
90  
Comportamiento de la tangente:
En este caso la recta vertical es cx  , donde c es el valor en el que la recta
corta (intersecta) al eje x.
Donde , se define para una función0m   cmyygx  .
63

69. Nota: Para   cmyygx  , tanm . Donde  es el ángulo que abre en
sentido horario, desde el eje positivo de las y a la recta.
En general diremos que las rectas paralelas al eje y, tienen pendiente
indefinida  2
,   indefinidam .
Y las rectas paralelas al eje x, tienen pendiente CERO  0,0  m .
3) Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede escribir en la
forma punto – pendiente:
bmxy 
Donde es la pendiente de la recta y b es el valor de y en el que la recta corta
(intersecta) al eje y.
m
La forma punto - pendiente se puede generar de 2 formas:
a) Conociendo 1 punto y la pendiente.
b) Conociendo 2 puntos.
Y respetando la condición de que
12
12
tan
xx
yy
m


  , si la recta es una función
de x ( ). xfy 
4) 2 rectas (con ecuación diferente) son paralelas si y sólo si tienen la misma
pendiente. Algunos autores las llaman paralelas NO coincidentes.
5) Si 1m es la pendiente de la recta 1L , 2m la pendiente de la recta 2L , 01 m
y 1L y 2L , son perpendiculares, entonces:
121 mm
64

70. 1
2
1
m
m


“2 rectas son perpendiculares si, el producto de sus pendientes es -1”.
6) Las rectas cuya ecuación es una función de la forma   bmxxfy  , son
paralelas al eje x, si 0m , es decir, by  .
2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
Introducción:
Ecuación lineal: Ecuación polinómica de 1er grado con 1 o varias variables,
que representa rectas, planos o espacios complicados, cuyo
comportamiento asemeja al de la recta en
2
R .
Nota: Entienda por espacios complicados, regiones generales en .n
R
Sean:
,...,, cba = Constantes (pueden ser reales o complejas).
,...,, zyx = Variables.
La forma general de la ecuación lineal de 2 y 3 variables, respectivamente es:
cbyax  [Rectas]
dczbyax  [Planos]
Forma general de la ecuación lineal con número infinito de variables:
kczbyax  ... [Región de n dimensiones]
Las ecuaciones de varias variables, tienen generalmente un número infinito
de soluciones, por tanto son importantes cuando forman sistemas de ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones (Generales): Conjunto de ecuaciones, para cuyas
incógnitas (2 o más) se pretende hallar una
solución única o conjunto de soluciones,
en común.
Los sistemas de ecuaciones más usados son los sistemas de ecuaciones lineales.
65

71. Definición:
Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones polinómicas
(varios términos sumados) de primer grado y 2 o más variables (incógnitas).
Que pueden tener una solución común, es decir, EXISTE un conjunto de
valores para las variables de un sistema de ecuaciones, que satisface
SIMULTÁNEAMENTE a TODAS las igualdades (ecuaciones) del sistema.
- Ejemplo demostrativo:
145
632


yx
yx
[Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas]
- Ejemplo demostrativo:
262
23754
9342



zyx
zyx
zyx
[Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas]
Estos sistemas son muy usados y se basan en que 2 rectas cualesquiera en 2
R
tienen necesariamente, 1 punto de intersección o son paralelas.
Importante:
Todas las ecuaciones polinómicas de 1er grado y 2 o más variables, tienen un
comportamiento análogo al de la recta en 2
R .
Así puede EXISTIR una región geométrica común a varias ecuaciones, que
interpretamos como la solución del sistema de ecuaciones lineales.
2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según su solución en sistemas
con:
1) Solución única: EXISTE sólo un conjunto de valores, para las variables del
sistema de ecuaciones, que satisface SIMULTÁNEAMENTE a todas las
ecuaciones.
2) Número infinito de soluciones: EXISTE un número infinito de conjuntos de
valores, para las variables del sistema de ecuaciones, que satisface
SIMULTÁNEAMENTE a todas las ecuaciones.
66

72. 3) Ninguna solución: Ningún conjunto de valores satisface
SIMULTÁNEAMENTE a todas las ecuaciones del sistema.
Importante:
a) Un sistema de ecuaciones lineales es consistente, si tiene al menos 1 solución
(o número infinito de soluciones).
b) Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente, si NO tiene solución.
c) Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible, si las variables de sus
ecuaciones son diferentes.
2
4


wz
yx
Es imposible hallar un conjunto de valores que haga verdaderas
SIMULTÁNEAMENTE ambas ecuaciones.
NO EXISTE una región geométrica común.
El sistema de ecuaciones es incompatible y por tanto NO tiene solución.
d) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible, si se puede resolver (tiene
solución única o número infinito de soluciones), por medio de las ecuaciones
que lo forman.
e) Los sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y de
incógnitas, se llaman sistemas cuadrados.
12354
262
232754
9342




wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
[Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas]
Introducción a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
- Solución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
Considere el sistema general de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ( x y y ):
22221
11211
byaxa
byaxa


67

73. Donde:
1) son constantes (reales o complejas).ija
2) x , y son variables (también llamadas incógnitas).
3) Cada una las ecuaciones del sistema representa una recta en
2
R .
A continuación resolveremos un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2
incógnitas, ocupando álgebra y geometría.
- Ejemplo demostrativo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
43
4
17
4
1


yx
yx
Sabemos que ambas ecuaciones representan una recta en
2
R .
Importante:
Entonces, si EXISTE un punto de intersección (que evidentemente es un punto común
a ambas rectas), los valores de las coordenadas de este punto de intersección, forman
el conjunto de valores que satisface a ambas ecuaciones SIMULTÁNEAMENTE, es
decir, el punto de intersección es la solución única del sistema de 2 ecuaciones
lineales.
Escribamos las 2 ecuaciones en su forma y = mx + b, y hallemos, si EXISTE, el punto
común a ambas rectas.
43
4
17
4
1


xy
xy
Igualando términos nos queda:
43
4
17
4
1  xx
Resolviendo la ecuación con álgebra:
4
33
4
11  x
3x
Sustituyendo en , tenemos3x 43  xy 5y .
Por lo tanto el punto de intersección es: P(3, 5).
68

74. La solución del sistema se escribe:
Solución única: 3x , .5y
O bien (3, 5). Algunos autores escriben U =  5,3 .
Maple:
plot([(1/4)*x+(17/4),3*x-
4],x=0..7,y=0..7,scaling=constrained);
69

75. 2.3 Interpretación geométrica de las soluciones.
Geometría de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (1):
abemos que cada ecuación representa una recta en
-
2
RS , entonces tenemos 3 casos de
1) Solución única: Si las rectas (en
solución, cuya interpretación geométrica es muy simple.
2
R ) NO son paralelas, EXISTE un
punto común a ambas. Este punto de intersección (x, y) es un par
ordenado que satisface a ambas ecuaciones.
2) Número infinito de soluciones: Si las rectas son múltiplos escalares
Algunos autores dicen que las rectas en
sus ecuaciones son equivalentes, es decir, ambas ecuaciones representan
a la misma recta. Entonces tenemos un número infinito de puntos (x,
y) que se suceden en una misma dirección.
2
R que componen un sistema (de 2
ecuacio
ntonces EXISTE un número infinito de puntos de intersección, es decir un
númer
ota (Múltiplos escalares):
ecuaciones y son múltiplos escalares, si existe un escalar c, tal que:
nes lineales con 2 incógnitas) con número infinito de soluciones, son paralelas
coincidentes.
E
o infinito de soluciones.
N
2 1y 2y
21 ycy 
70

76. [Las 2 ecuaciones representan la misma recta]
3) Ninguna solución: Si las ctas son paralelas (y NO coincidentes).
es.
re
Entonces NUNCA se intersectan, es decir, no existe un punto común a
ambas rectas y, por tanto, el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.
No existe un par ordenado (x, y) que satisfaga a ambas ecuacion
Solución algebraica de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
mas de
cuaciones.
-
2 hechos del álgebra elemental, son fundamentales para resolver siste
e
71

77. Hecho
aciones cualesquiera, se obtiene una
ra ecuación correcta (verdadera).
número real (escalar), entonces ka = kb.
a ecuación
ualquiera por una constante, se obtiene una 2da ecuación correcta (verdadera).
1: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.
El Hecho 1 establece que si se suman 2 ecu
3
Hecho 2: Si a = b y k es cualquier
El Hecho 2 establece que si se multiplican ambos lados de un
c
Nota: El hecho 2 se cumple también si k es compleja (k  C).
- Ejemplo demostrativo 1: Un sistema con solución única.
Considere el sistema:
5
7
2
1


yxL
yxL
Por el Hecho 1 al sumar y , tenemos:1L 2L
12221  LL x
6x
Sustituyendo en o , tenemos1L 2L 1y .
ución ú ca del sistema.Así, el par ordenado (6, -1) es la sol ni
6x , 1ySolución única: .
72

78. O bien Solución ú (6nica: , -1).
0,y=-5..5,scaling=constrained);
Maple:
lot([x-7,-x+5],x=0..1p
- Ejemplo demostrativo 2: Un sistema con número infinito de soluciones.
Considere el sistema:
7
14222
1

 yxL
yxL
Es claro que las ecuaciones son y son .
Por lo tanto ambas ecuaciones representan la misma recta.
múltiplos escalares1L 2L  212 LL 
7 yx
Es claro que EXISTE un número infinito de pares ordenados (x, y), que
satisfacen la ecuación.
Estos pares ordenados (x, y) generan la recta 7 yx .
Cada combinación (x, y) que satisface la ecuación es un punto sobre la recta
.
Por lo tan
ara cualquier valor real
1L
7 xy
to el sistema tiene un número infinito de soluciones.
El conjunto de soluciones se puede expresar, mediante el par ordenado (x, x – 7),
combinación que representa a TODA solución para el sistema, p
de x.
Maple:
implicitplot([x-y=7,2*x-2*y=14],x=0..10,y=-5..5,scaling=constrained);
infinito de soluciones: (x, x – 7).Número
73

79. Nota: Más adelante aprenderemos otra forma de expresar un número infinito de
luciones.
emostrativo 3: Un sistema sin solución.
onsidere el sistema:
so
- Ejemplo d
C
1322
7
2
1


yxL
yxL
Por el Hecho 2, tenemos:
2
13
2
1 2  yxL
El nuevo sistema de ecuaciones es:
2
13
2
1
7
2
1


yxL
x
Ahora tenemos 2 rectas paralelas (NO coincid ntes), con pendiente
L y
e 1m ,
4
45   , que NO poseen ningún punto en común.
Esto es claro, corta al eje y en (0, -7); y la
ecta representada por corta al eje y en (0, - 6.5).
puesto que, la recta representada por 1L
r 2L
Por lo tanto, el sistema NO tiene solución.
Ninguna solución.
aple:
-y=7,x-y=6.5],x=0..12,y=-
..4,color=[green,blue],scaling=constrained);
M
implicitplot([x
4
74

80. - Teorema de resumen:
Sea el sistema general de 2 ecuaciones lineales y 2 incógnitas:
22221 byaxa
byaxa

11211 
Este sistema tiene necesariamente alguna de las siguientes características:
1) Solución única.
3) Ninguna solución
1) Tiene solución única, si y sólo si:
2) Número infinito de soluciones.
Esto es:
012212211  aaaa
2) Tiene número infinito de soluciones o ninguna solución, si y sólo si:
012212211  aaaa
- Ejercicios resueltos (1.2 Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, Quinta edición):
13) Encuentre las condiciones sobre y , tales que, el sistema tenga una solucióna b
única.
cbyax
x

cbya 
Solución:
Ambas ecuaciones representan rectas en 2
R , entonces EXISTE una solución única, si
O son paralelas o múltiplos escalares.
[Teorema de resumen, solución única]
teorema de resumen , necesitamos:
las rectas N
Recurso:
01221  aaa2211a
Aplicando el al sistema, para tener solución única
02  ababab
Las condiciones de y , para solución única son:a b
75

81. 0
0
b
a
14) Encuentre las condiciones sobre , y a tenga un número
infinito de soluciones.
a b c , tales que, el sistem
caybxL
cbyaxL


2
1
Solución:
[Teorema de resumen, número infinito de soluciones]
Recurso:
2211 aa 01221 aa
    bababa  22
Aplicando el teorema de resumen, para tener número infinito de soluciones,
ecesitamos:
sando productos notables:
n
022
 ba
U
   0 baba
Caso 1: Caso 2:
ba 
ba  0 ba
ba 
 0
o el Caso 2, satisfacen la ecuación, pNote que tanto el Caso 1 com ero NO pueden
ocurrir simultáneamente.
diciones para y son:Ahora sabemos que las con a b
ba  o a b
A continuación determinaremos las condiciones para .
ero infinito de soluciones, las
ectas que representan sus ecuaciones deben ser paralelas y coincidentes, es decir,
últip
ciones para y , tenemos:
c
Sabemos que para que el sistema tenga un núm
r
m los escalares.
Partiendo de las condi a b
Caso 1  ba  :
76

82. cayaxL
cayaxL


2
1
representa a la recta1L a
cxy  [Recta con 1m ,  45 , corta al eje y
en a
c,0 ]
representa a la recta a
cxy 2L [Recta con 1m ,  45 , corta al eje y
en a
,0 ]c
El Caso 1 sólo da infinitas soluciones en 0c .
ncidentes (ninguna solución).
o 2
Ambas ecuaciones representan a la
ecta:
Si 0c las rectas son paralelas NO coi
Cas  ba  :
cayax
cayx


2
aL 1
L
r
a
cxy  
[Recta con 1m ,  45  , corta al
je y en  a
c,0 ]e
77

83. El caso 2 po or si sól da un número infinito de soluciones.
e soluciones][Interpretación geométrica del conjunto d
Importante:
ara debe hacer válido al Caso 1 y al Caso 2.La condición p c
Si el Caso 1 sólo da infinitas soluciones en 0c .
Las condiciones de a , b y c , para número o dinfinit e soluciones son:
oba ba  y 0c
15) Encuentre las condiciones sobre , y , tales que, el sistema NO tenga,a b c d
solución.
daybxL
cbyaxL


2
1
Solución:
[Teorema de resumen, ninguna solución]
teorema de res
El único caso para que 2 números al cuadrado suma s sean CERO es:
Recurso:
012212211 aaa a
umen, para tener ninguna solución, necesitamos:Aplicando el
022
 ba
do
78

84. 22
ba 
0
0


b
a
Geométricamente, para que el sistema tenga ninguna solución las rectas que
representan y deben ser paralelas NO coincidentes.1L 2L
Pero en este caso basta con hacer 0c y 0d para que las expresiones del sistema,
NO tengan sentido.
Las condiciones de a , , y , para ninguna solución son:b c d
0a 0b 0c 0d
16 – 21: Encuentre el punto de intersección (si lo hay) de las 2 rectas.
21) 543  yx 876  yx
Solución:
Si las rectas se intersectan, con sus ecuaciones podemos generar un sistema con
solución única.
876
543
2
1


yxL
yxL
Multiplicando por -2 [Hecho 2]:1L
876
10862
2
1


yxL
yxL
Sumando [Hecho 1]:212 LL 
2152 21  yLL
13333.0
15
2 y
Sustituyendo en [la ecuación más simple] tenemos:1L
79

85.  
48888.1
45
67
15
673
15
8
15
753
5
15
83
5
15
243





x
x
x
x
x
Comprobamos en :2L
   
88
8
45
360
8
45
42
45
402
8
15
14
45
402
8
15
27
45
676





Maple:
implicitplot([3*x+4*y=5,6*x-
7*y=8],x=1.42..1.5,y=.12...16,color=[green,blue],scaling=constrained);
80

86. - Geometría de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (2):
[Taller Maple]
Sabemos que cada una de la ecuaciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales
con 2 incógnitas, representa una recta en 2
R .
Y que se tiene solución única en el punto de intersección; número infinito de
soluciones cuando las rectas son paralelas coincidentes (múltiplos escalares); y
ninguna solución cuando las rectas son paralelas NO coincidentes.
Estas situaciones se pueden generalizar a ecuaciones lineales (ecuaciones de primer
grado) y 3 o más variables (incógnitas).
La gráfica de la ecuación dczbyax  en un espacio de 3 dimensiones (
3
R ) es
un plano.
Considere el sistema general de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:
dczbyax  [Plano 1]
hgzfyex  [Plano 2]
mlzkyjx  [Plano 3]
En donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l y m con constante reales, NO todas CERO.
Cada ecuación lineal de 3 incógnitas, representa un plano.
Cada solución es una región de 3 dimensiones, ya sea, un punto (x, y ,z) en (
3
R ) para
solución única; una recta o un plano en (
3
R ) cuando hay número infinito de
soluciones; o ninguna región en común si el sistema NO tiene solución.
81

87. EXISTEN 6 posibilidades:
1) Los 3 planos se intersectan en un solo punto.
Entonces EXISTE, solución única para el sistema.
Maple:
plot3d([(-2/7)*x-(5/7)*y+(113/7),(5/4)*x-
(3/4)*y+(41/4),(1/6)*x-
(5/6)*y+(91/6)],x=3.5..4.5,y=6..7,axes=boxed,color=x*x*y,sc
aling=constrained,transparency=0.2,grid=[2,2]);
82

88. 2) Los 3 planos se intersectan en la misma recta.
Entonces cada punto sobre la recta es una solución y el sistema tiene número
infinito de soluciones.
Maple:
plot3d([x-2*y+12,(-1/14)*x-(3/14)*y+(103/14),(1/7)*x-
(4/7)*y+(58/7)],x=0..70,y=-
10..60,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tra
nsparency=0,grid=[2,2]);
83

89. 3) Los 3 planos coinciden [son paralelos coincidentes]. Entonces cada punto sobre
el plano resultante es una solución y el sistema tiene número infinito de
soluciones.
Es claro que las 3 ecuaciones son múltiplos escalares, es decir, representan al
mismo plano.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(-6/14)*x-
(4/14)*y+(94/14),(-9/21)*x-(6/21)*y+(141/21)],x=-10..10,y=-
10..10,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tra
nsparency=0.7,grid=[2,2]);
84

90. 4) 2 de los planos coinciden e intersectan a un 3er plano en una recta.
Entonces cada punto sobre la recta de intersección es una solución y el sistema
tiene número infinito de soluciones.
Note que 2 de los planos son múltiplos escalares.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(2/3)*x+(15/6)*y-(23/6),(-
6/14)*x-(4/14)*y+(94/14)],x=-10..40,y=-
25..25,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparenc
y=0,grid=[2,2]);
85

91. 5) Al menos 2 de los planos son paralelos y distintos [NO coincidentes].
Entonces ningún punto puede ser común a los 3 planos.
Por tanto el sistema, NO tiene solución.
plot3d([(1/3)*x+(1/9)*y+2,(1/3)*x+(1/9)*y+4],x=0..8,y=-
4..4,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparency=.3,grid=[2,
2]);
plot3d([(1/3)*x+(1/9)*y+2,(1/3)*x+(1/9)*y+4,(1/3)*x+(1/9)*y+6],x=0..6,
y=-
3..3,axes=boxed,color=2*x*y,scaling=constrained,transparency=.3,grid=[
2,2]);
86

92. 6) 2 de los planos coinciden en una recta L. El 3er plano es paralelo a L [y NO
contiene a L], de manera que ningún punto del 3er plano se encuentra en los 2
primeros.
Entonces el sistema, NO tiene solución. Es un sistema inconsistente.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(2/3)*x+(15/6)*y-(23/6),(-
3/7)*x-(2/7)*y+(94/7)],x=-7.5..7.5,y=-
5..10,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tran
sparency=0,grid=[2,2]);
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(4/3)*x+(1/3)*y+(4/3),(-
3/7)*x-(2/7)*y+(94/7)],x=-6..20,y=-
13..13,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparenc
y=0,grid=[2,2]);
87

93. Caso especial: Ninguna solución.
Los planos se intersectan en pares, pero no coinciden en un punto común, el sistema de
ecuaciones lineales es inconsistente (sin solución).
Note que las rectas de intersección son paralelas NO coincidentes. De NO serlo el
sistema tendría solución única.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-
(2/7)*y+(47/7),(4/3)*x+(1/3)*y+(4/3),(181/293)*x+(24/293)*y+(45/293)],x=-
8..16,y=-
12..12,axes=none,color=x*y,scaling=constrained,transparency=0,grid=[2,2]);
Importante:
1) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, SIEMPRE tiene
solución única, número infinito de soluciones o ninguna solución.
2) De forma general podemos decir:
“Las ecuaciones lineales de 1er grado y 2 o más variables (incógnitas),
describen rectas, planos o espacios complicados en n
R , cuyo comportamiento
asemeja al de la recta en 2
R ”.
Es decir, las ideas en el plano xy se pueden extender a espacios más
complicados.
Recuerde: .  RyxyxR  ,|,2
88

94. 2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales (Gauss – Jordan y
eliminación gaussiana).
(Métodos de solución de sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Eliminación de Gauss – Jordan y eliminación gaussiana).
Introducción:
En secciones anteriores mencionamos que los sistemas de ecuaciones lineales,
que tienen el mismo número de incógnitas y de ecuaciones se llaman sistemas
cuadrados.
Hasta ahora sólo hemos resuelto sistemas 2 x 2, es decir, 2 ecuaciones con 2
incógnitas.
Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, como se puede
suponer pueden ser de cualquier tamaño, ser cuadrados o rectangulares, y tener
solución única, número infinito de soluciones o ninguna solución.
En lo sucesivo de usaran como variables , , , etc., en lugar de x, y, z,….
Esta notación se llama notación con subíndices.
1x 2x 3x
- Sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111

- Eliminación de Gauss – Jordan:
Para entender este método de solución de sistemas de ecuaciones lineales,
resolveremos un sistema 3 x 3 con solución única.
Pretendemos que el estudiante “comprenda” como resolver sistemas de
ecuaciones lineales más generales, en vez de memorizar una serie de pasos.
89

95. - Ejemplo demostrativo (importante):
Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: Solución única.
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx
(1)
El método de eliminación de Gauss – Jordan se basa en simplificar las ecuaciones
(aplicando el Hecho 1 y Hecho 2), de manera que al final la solución del sistema se
pueda identificar de inmediato.
Buscamos 3 números , y , que satisfacen las 3 ecuaciones (igualdades).1x 2x 3x
NOTA: Se ha colocado (1) para REPRESENTAR al sistema 1 o sistema inicial, todos
los sistemas y ecuaciones sucesivos serán obtenidos aplicando los Hechos 1 y 2 del
álgebra fundamental. Entonces TODOS los sistemas que presentaremos son
EQUIVALENTES [TODOS REPRESENTAN LAS CONDICIONES DE (1)].
Solución:
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (1) por
2
1 .
423
24654
932
321
321
321



xxx
xxx
xxx
(2)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (2) por –4
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la segunda ecuación.
361284 321  xxx
24654 321  xxx
1263 32
Tenemos ahora un nuevo sistema equivalente. Cada vez buscaremos ecuaciones
equivalentes más simples, hasta que la solución del sistema sea EVIDENTE.
932 321  xxx
(3)
 xx
1263 32  xx
423 321  xxx
90

96. Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (3) por –3
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la tercera ecuación.
27963 321  xxx
423 321  xxx
23115 32
Generamos un nuevo sistema equivalente.
932 321  xxx
(4)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (4) por
3
1 .
932 321  xxx
(5)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (5) por 5 y
aplicando el Hecho 1 la sumamos a la tercera ecuación.
20105 32  xx
Generamos un nuevo sistema equivalente.
932 321  xxx
(6)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (6) por -2
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la primera ecuación.
Generamos un nuevo sistema equivalente. NOTE que hemos eliminado la variable
de la primera ecuación.
2x
842 32  xx
1x 13  x
932 321  xxx
 xx
1263 32

 xx
23115 32

 xx
42 32  xx
23115 32  xx
23115 32  xx
33  x
42 32  xx
33  x
91

97. (7)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación de (7) por 2 y
aplicando el Hecho 1 la sumamos a la segunda ecuación.
42 32  xx
Generamos un nuevo sistema equivalente. NOTE que hemos eliminado la variable
de la segunda ecuación.
3x
(8)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación de (8) por – 1
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la primera ecuación.
Generamos un nuevo sistema equivalente. EL RESULTADO ES EVIDENTE.
La solución única es: (4, -2, 3).
41 x 22 x 33 x
1x 13  x
1x 13  x
1x 13 x
1x 4
42 32  xx
33  x
62 3  x
2x 2 
2x 2
x 33  
33 x
1x 4

2x 2
33 x
92

98. [Interpretación geométrica de la solución única]
Maple:
ellow],scaling=cons
Introducción al concepto de matriz (notación matricial para el método de
A continuación resolveremos el Ejemplo demostrativo anterior por el método
de elim
na matriz es un arreglo rectangular de números.
partir del sistema:
plot3d([(-1/3)*x-(2/3)*y+3,(-2/3)*x-
(5/6)*y+4,(3/2)*x+(1/2)*y-2],x=0..4,y=-
2..2,axes=boxed,color=[red,blue,yellow,y
trained,transparency=0,grid=[2,2]);
-
eliminación de Gauss – Jordan):
inación de Gauss – Jordan, pero usando una notación que simplifica su
escritura. La notación matricial.
U
A
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx
93

99. Generamos una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema. Los
coeficientes de las variables , y serán los componentes de la matriz.1x 2x 3x












213
654
642
A Fila o renglón
Columna
- Matriz m x n (Importante):
Una matriz m x n, es la que tiene m renglones (filas) y n columnas.
Al usar notación matricial nuestro sistema original se escribe como una matriz
aumentada.










 4213
24654
18642
Hasta ahora hemos resuelto sistemas de ecuaciones basándonos en 2 hechos del
álgebra.
Cuando ocupemos notación matricial usaremos operaciones elementales con
renglones (operaciones válidas entre renglones).
- Operaciones elementales con renglones (operaciones válidas entre renglones):
1) Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de CERO.
2) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3) Intercambiar la posición de 2 renglones.
- Notación para operaciones entre renglones:
1) : Remplaza el i-ésimo renglón por el i-ésimo renglón multiplicado por c .
[Debe multiplicar cada número del i-ésimo renglón por ]
cRiRi 
c
2) : Sustituye el j-ésimo renglón por la suma del j-ésimo renglón
más el i-ésimo renglón multiplicado por .
cRiRjRj 
c
94

100. 3) : Intercambiar los renglones i y j.RjRi 
4) : Las matrices son equivalentes.BA 
[Si son matrices aumentadas tienen la misma solución]
NOTA: Una matriz que NO es aumentada, NO se puede modificar, ya que, cambiaría
su SIGNIFICADO.
Importante:
El procedimiento para resolver una matriz aumentada por el método de
eliminación de Gauss – Jordan se llama, reducción de la matriz aumentada a la
forma escalonada “reducida” por renglones.
- Forma escalonada “reducida” por renglones (Importante):
Una matriz se encuentra en la forma escalonada “reducida” por renglones si
se cumplen las siguientes condiciones:
1) TODOS los renglones (si los hay) cuyos elementos (componentes) son TODOS
CERO aparecen en la parte inferior de la matriz.
2) El primer número diferente de CERO (comenzando por la izquierda) en
cualquier renglón cuyos elementos NO son TODOS CERO es 1.
3) Si 2 renglones sucesivos tienen elementos distintos de CERO, entonces el
primer 1 en el renglón de abajo está más a la derecha que el primer 1 en el
renglón de arriba.
4) Cualquier columna que contiene el primer 1 de un renglón tiene CEROS en el
resto de sus elementos (componentes).
- Ejemplos de matrices en la forma escalonada “reducida” por renglones:










100
010
001










1000
0010
0001






2100
5001






10
01










0000
6310
5201
95

101. - Solución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss – Jordan
con notación matricial:
El sistema de ecuaciones lineales original es:
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx
La matriz aumentada es:










 4213
24654
18642
11 2
1 RR 










 4213
24654
9321
133
122
3
4
RRR
RRR














231150
12630
9321
22 3
1 RR 










 231150
4210
9321
233
211
5
2
RRR
RRR














3100
4210
1101
33 RR 









 
3100
4210
1101
322
311
2RRR
RRR


96

102. 










3100
2010
4001
[La solución es EVIDENTE]
La solución única es: (4, -2, 3).
- Eliminación de Gauss – Jordan con pivoteo:
Es importante que contemos con diversas herramientas para la solución de un
problema.
A continuación se explicará paso a paso el procedimiento de reducción por
renglones por pivoteo.
Más adelante cuando nos ocupe el estudio de matrices este procedimiento será
de gran utilidad.
Partiremos de la matriz aumentada del ejemplo anterior:










 4213
24654
18642
Pivote
Seleccionamos el componente con mayor valor absoluto, este será nuestro primer
pivote y movemos el renglón pivote hasta arriba.










 4213
18642
24654










 4213
18642
6
2
3
4
51
Dividimos el renglón pivote entre 4,
para hacer el pivote igual a 1.
Multiplicamos el renglón pivote por
-2 y -3 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
2R 3R












 14
4
13
4
110
63
2
30
6
2
3
4
51
Volvemos a elegir pivote y lo
dividimos entre
4
11 para hacerlo 1.
97

103. 











63
2
30
11
56
11
2610
6
2
3
4
51














11
18
11
600
11
56
11
2610
11
4
11
1601
Multiplicamos el renglón pivote por
4
5
y
2
3 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
1R 3R
Volvemos a elegir pivote y lo
dividimos entre
11
6 para hacerlo 1.











 
3100
11
56
11
2610
11
4
11
1601 Multiplicamos el renglón pivote por
11
16
y
11
26 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
1R 2R











3100
2010
4001
[El resultado es EVIDENTE]
La solución única es: (4, -2, 3).
33 x41 x 22 x
NOTA: Revise el procedimiento de pivoteo, hasta entenderlo le será muy útil.
- Conceptos clave (pivoteo):
1) El pivote en cualquier renglón está a la derecha del pivote del renglón anterior.
2) El pivote hace CERO a los demás elementos (componentes) de la columna a la
que pertenece.
- Eliminación gaussiana:
El método de eliminación gaussiana resulta algunas veces más conveniente
que el de eliminación de Gauss – Jordan, ya que, las operaciones entre renglones
son menos.
Comprenderlo NO será complicado si ya domina el método de eliminación de
Gauss – Jordan, ya que, la forma de proceder es similar.
98

104. Importante:
El procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método
de eliminación gaussiana con notación matricial se llama, reducción de la matriz
aumentada a la forma escalonada por renglones.
- Forma escalonada por renglones (Importante):
Es fácil entender este concepto a través de sus ejemplos.










100
510
321












1000
8210
4611






2100
5201






10
21










0000
6310
5231
- Solución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana con
notación matricial y pivoteo:
A continuación resolveremos un sistema 3 x 3 con solución única.
Sea el sistema:
1032
44
1132
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Generamos la matriz aumentada:













10312
4114
11321 Elegimos el pivote, lo dividimos entre 4
para hacerlo 1 y lo movemos hasta
arriba.













10312
11321
1
4
1
4
11 Multiplicamos el renglón pivote por y1
2 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
2R 3R
99