introducción a las funciones reales de varias variables reales

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGOGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”
MARACAY-EDO. ARAGUA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Cálculo de Varias Variables.
Unidad II: Funciones de Varias
Variables
Prof. Yerikson Suárez Huz
P.A: 2012-1
Maracay, Mayo de 2012

2. Definición función real de varias
variables reales (campo escalar)
Una función f:D⊆Rn →R es una función real de varias variables reales
(campo escalar) si asigna a cada n-úpla (x1,x2,….,xn) de Rn un único
número real w denotado por f (x1,x2,….,xn)
Ejemplos. Consideremos los siguientes campos escalares:
1) f:D⊆R2 →R tal que f(x,y) = 2x + y2 = z
2) g:D⊆R3→R tal que g(x,y,z) = Cos (xyz) + 5xy3z2 = w
3) h:D⊆R4→R tal que h(x1,x2,x3,x4) = Ln(x12 + x22 + x32 + x42) = t
Nombre de la Variables Variable
Función Independientes Dependiente
1 f x, y z
2 g x, y, z w
3 h x1, x2 ,x3 , x4 t

3. Para calcular la imagen de una n-úpla real a través de un campo escalar,
procedemos de manera similar al caso de funciones reales de variable real.
Ejemplos:
1) Sea f:R4→R tal que f(x,y,z,w) = (x2 + y2 + z2 + w2)1/2 . Entonces
f (0,3,0,4)= 5
f (0,-1,-1,0)=√2
2) Sea g:R3→R tal que g(x,y,z) = xyLn(z) . Entonces
g (1,-2,3)= -2Ln(3)
g(1,3,-5)= No existe
3) Sea h:R2→R tal que h(x,y) =2xy2 + 3x2y. Entonces
h(2,1)= 16
h(-1,3)=-9
Observación: Al conjunto formado por todas las imágenes del Campo
Escalar f se le denomina Rango o Conjunto Imagen de f y se denota por
Rng f. (Obviamente el rango de un campo escalar es un Intervalo real o
unión de ellos)

4. Definiremos Dominio de un campo escalar f:D⊆Rn →R al
conjunto D formado por todas las n-úplas reales de Rn para las
cuales f está bien definida, esto es, f (x1,x2,….,xn) existe, es un
número real.
Veamos algunos ejemplos: Hallar el dominio (y representar
gráficamente) de los siguientes campos escalares
Para que f(x,y) exista, es decir, sea un
f ( x, y ) = x + y − 9 número real, es necesario que9 ≥ 0
x2 + y2 −
2 2
Entonces {
D = ( x, y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≥ 9 }
Pero el conjunto D está formado por todos los puntos del
plano que se encuentran fuera y sobre la circunferencia con
centro en el origen y radio 3

5. { }
D = ( x, y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≥ 9

6. 1
g ( x, y ) = Para que g(x,y) exista, es decir, sea un
xy número real, es necesario que x. y ≠ 0
Entonces
{
D = ( x, y ) ∈ R / x. y ≠ 0
2
}
O lo que es
equivalente a {
D = ( x, y ) ∈ R / x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
2
}
Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos
los puntos del plano real excepto los que se encuentran
sobre los ejes coordenados (el eje X de la abscisas y el
Eje Y de las Ordenadas)

7. { }
D = ( x, y ) ∈ R 2 / x ≠ 0 ∧ y ≠ 0

8. y − x2 Para que h(x,y) exista, es decir, sea un
h ( x, y ) = 2
x + ( y − 1) 2 número real, es necesario que se cumplan
las siguientes condiciones
 
D =  y − x2 ≥ 0 ∧ x + ( y − 1) ≠ 0
2 2
 
 
Esto es D =  y ≥ x2 ∧ x + ( y − 1) ≠ 0
2 2
 
Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos los
puntos del plano sobre (y dentro de) la parábola que abre
hacia arriba con vértice en el origen de coordenadas con
excepción del punto (0,1)

9.  
D =  y ≥ x2 ∧ x + ( y − 1) ≠ 0
2 2
 

10. En el caso donde el dominio de un campo escalar es un
subconjunto de Rn (n≥3), la representación gráfica del dominio
se hace más compleja (n=3) o imposible (n>3). Sin embargo es
posible describir tanto el dominio como el rango de manera
analítica
Función Dominio Rango
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)}
1 (0,+∞)
g ( x, y , z ) =
x2 + y2 + z 2
h( x, y, z ) = xy ln( z ) {( x, y, z) ∈ R ∋ z  0}
3 (-∞,+∞)
w( x, y ) = Sen( xy ) R2 [-1,1]
y ≥ x2 [0,+∞)
m ( x, y ) = y−x 2

11. Función Dominio Rango
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)}
1 (0,+∞)
g ( x, y , z ) =
x2 + y2 + z 2
h( x, y, z ) = xy ln( z ) {( x, y, z) ∈ R ∋ z  0}
3 (-∞,+∞)
w( x, y ) = Sen( xy ) R2 [-1,1]
y ≥ x2 [0,+∞)
m ( x, y ) = y−x 2

12. Función Dominio Rango
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)}
1 (0,+∞)
g ( x, y , z ) =
x2 + y2 + z 2
h( x, y, z ) = xy ln( z ) {( x, y, z) ∈ R ∋ z  0}
3 (-∞,+∞)
w( x, y ) = Sen( xy ) R2 [-1,1]
y ≥ x2 [0,+∞)
m ( x, y ) = y−x 2

13. Álgebra de los Campo Escalares
Considere los campos escalares f:D1⊆Rn →R y g:D2⊆Rn →R.
Entonces para todo w en el dominio de D1∩D2
Entonces:
( f ± g )( w) = f ( w) ± g ( w)
( f .g )( w) = f ( w).g ( w)
 f  f ( w)
 ( w) =
g , g ( w) ≠ 0
  g ( w)
( kf )( w) = kf ( w), k ∈ R

14. Por ejemplo. Si f ( x, x 2 y ∧ g ( x, y ) = x 2 + y 2
Entonces:
( f ± g )( w) = x y ± 2
x +y2 2
( f .g )( w) = ( x y ). x + y
2 2 2
 f  x y 2
 ( w) =
g , ( x, y ) ≠ (0,0)
  x +y
2 2
(kf )( w) = k ( x y ), k ∈ R
2
(cg )( w) = c x + y , c ∈ R
2 2

15. Representaciones gráficas
de campos escalares.
(SUPERFICIES Y CURVAS
DE NIVEL)

16. z=x +y
2 2
PARABOLOIDE

17. CURVAS DE NIVEL
Por la complejidad a la hora de dibujar una superficie en el
espacio, una buena aproximación a la “forma” de las mismas
viene dada por las curvas de nivel; las cuales representan las
curvas que se obtienen al cortar la superficie por planos paralelos
al eje Z.
Así las curvas de nivel vienen dadas por la ecuación f(x,y)=k (k:
constante real)

18. Curvas de nivel Asociadas a la superficie z=x +y 2 2
k = x + y ,k ∈R
2 2
Nótese que las curvas de
nivel se corresponden con
circunferencias
concentricas (con centro
en el origen) y radio √k

19. Veamos otro Ejemplo: consideremos el campo escalar f ( x, y ) = 40 − 4 x 2 − y 2
Superficie dada por z = 40 − 4 x − y2 2
Veamos a continuación algunas curvas de nivel
A qué tipo de
curvas se
corresponden las
curvas de nivel de
tal superficie.
Describir
analíticamente
Z = 33
Z = k; k real

21. Consideremos el campo escalar
Cuya gráfica viene dada por la
superficie
Veamos la intersección de
la superficie con el plano z=3

22. CURVAS DE NIVEL DE LA SUPERFICIE

23. LÍMITES DE FUNCIONES
DE VARIAS
VARIABLES REALES

24. El límite del campo escalar f(x,y) es
igual al número real L, si y sólo si a
medida que (x,y) se acerca el punto
(x0,y0) entonces f(x,y) tiende a L.
Lo cual se escribe ( x , y )Lim , y ) f ( x, y ) = L
→( x 0 0
Veamos algunos ejemplos: Determinar el límite de los siguientes
campos escalares
x y 2
cos −1 ( xy )
(a ) Lim 2 (b) Lim
( x , y ) →(1,1) x + y 2 ( x , y ) →(1 / 2 ,1) 1 + xy
y −x
4 4
x 2 + 2 xy + y 2 + y + x
(c) Lim (d ) Lim
( x , y ) →( 0 , 0 ) y2 + x2 ( x , y ) →( 0 , 0 ) x+ y

25. A continuación veremos como es posible
comprobar que el límite de un cierto
campo escalar f en un cierto punto (x0,y0)
no existe
Para esto utilizaremos el principio de
las múltiples trayectorias.
Para poder aproximarnos a
un número real x tenemos
sólo dos alternativas: Por la
izquierda o por la derecha.
Sin embargo para
aproximarnos al punto (a,b)
tenemos infinidad de
alternativas para
proximarnos al mismo

26. IMPORTANTE: Si el límite de un campo
escalar existe y es igual a L; entonces
este límite es siempre el mismo
independientemente de las trayectorias
seleccionadas para su estudio.
En consecuencia, si a través de trayectorias
distintas se obtienen límites distintos, el límite
de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0) no existe
Veamos a continuación el siguiente ejemplo:
x− y
Demuestre que Lim no existe. Para esto utilice las
siguientes ( x , y ) →( 0 , 0 ) x + y
trayectorias: (a) y=0 (b) x=0 (c) y=x (d) y =mx

27. y=0 x=0
y=x

28. Otra alternativa es la de los límites iterados:
Lim  Lim f ( x, y )  ∧ Lim Lim f ( x, y ) 
x → x0  y → y 0
 y → y  x→ x 
 0 0 
Si tales límites existen pero son diferentes
entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a
(x0,y0) no existe
x2 − y2
Por ejemplo, Veamos a través de los límites iterados que Lim
( x , y ) →( 0 , 0 ) x 2 + y 2
no existe

29. Observación importante: el hecho de
que los límites iterados existan y sean
iguales no significa que el límite del
campo escalar exista. Basta con ver el
siguiente ejemplo
xy
Veamos que Lim 2 2 no existe.
( x , y ) →( 0 , 0 ) x + y
Para esto calculemos los límites iterados y
utilicemos la trayectoria y=mx

30. Es importante resaltar que las propiedades del álgebra de límites en
funciones reales de una variable real también son válidas en el
contexto de los campos escalares.
Ejercicios
Demuestre que los siguientes límites no existen
x2 y x − y − xy
(a) Lim 2 2 (b) Lim
( x , y ) →(1,1) x + y
( x , y ) →( 0 , 0 ) x+ y
2x2 y Sugerencia. Utilice las
(c) Lim 4 2 trayectorias de la forma y=kx2
( x , y ) →(1,1) x + y