Ejemplo de resolución de un problema de Programación Lineal (PL) por el método Simplex.

1. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL YESID ARIZA OSORIO ASESORAMIENTO EMPRESARIAL & GESTION CAPACITACION Y ENTRENAMIENTO

2. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL Es una herramienta matemática que resuelve problemas de planeación y programación de operaciones; es decir, resuelve la pregunta sobre cuánto producir de acuerdo a la capacidad operativa y estudios de mercado Utiliza el modelo de la Programación Lineal, a través de la solución de una matriz, usando el método de eliminación de Gauss Jordan.

4. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL IDENTIFICACION DE LA FUNCION OBJETO Y LAS RESTRICCIONES Ejemplo Maximizar Z= 3X + 2Y, sujeto a: X+2Y<=6 2X+Y<=8 -X+Y<=1 Y<=2 Considere todas las variables positivas

6. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL MODELO DE PL USANDO LA FORMA ESTANDAR Restricciones Función Objeto - 3X-2Y+Z = 0 X+2Y+S1 = 6 2X+Y+S2 = 8 -X+Y+S3 = 1 Y+S4 = 2 Los números después del signo igual, se consideran posibles soluciones, ellos deben colocarse en la casilla correspondiente de la matriz para solucionar el modelo de Simplex Los números delante de las variables son sus coeficientes

7. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL DISEÑO DE LA MATRIZ Esquema de la matriz Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z S1 S2 S3 S4

8. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL DISEÑO DE LA MATRIZ Se toman los coeficientes de las ecuaciones del modelo de PL de forma estándar y se colocan en su lugar correspondiente de acuerdo con la identificación de las filas y columnas de la matriz Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 0 6 S2 0 2 1 0 1 0 0 8 S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 S4 0 0 1 0 0 0 1 2

9. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (Condiciones de optimidad y de factibilidad) CONDICIÓN MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN Optimidad La variable entrante es la que tiene el coeficiente mas negativo en la ecuación objeto. La variable entrante es la que tiene el coeficiente mas positivo en la ecuación objeto. El empate (dos números iguales, se rompe de manera arbitraria El nivel óptimo se alcanza cuando los coeficientes No Básicos de la ecuación Z son No Negativos. El nivel óptimo se alcanza cuando los coeficientes No Básicos de la ecuación Z son No Positivos. Factibilidad La variable saliente es la variable básica con menor razón positiva entre la solución y el coeficiente en la dirección de la variable entrante.

10. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (Identificación de Columna de Entrada, Ecuación Pivote y Elemento Pivote) Coeficientes de las variables No Básicas en la función Objeto Columna de Entrada Ecuación Pivote; tiene la menor razón positiva Pivote Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1=6 S2 0 2 1 0 1 0 0 8 8/2=4 S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1 S4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=∞

11. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (ITERACIONES) Se utiliza el método de eliminación Gauss Jordan para calcular los nuevos coeficientes, según las siguientes operaciones del cálculo: Nueva Ecuación Pivote = Ecuación Pivote / Elemento Pivote Nueva Ecuación = Ecuación anterior – Coeficientes Columna entrada Nueva Ecuación Pivote x

12. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (ITERACIONES) Utilizamos el cálculo de la nueva Ecuación Pivote, dividimos cada coeficiente entre el elemento pivote, el resultado es: Note que la variable X pasó a ser básica Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z S1 X 0 1 ½ 0 ½ 0 0 4 S3 S4

13. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL Calculamos cualquiera de las ecuaciones de la nueva Iteración, el ejemplo es el cálculo de la primera fila (Ecuación objeto) SOLUCION DE LA MATRIZ (ITERACIONES) Ecuación anterior 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Coeficiente Columna Entrada (CCE) -3 Nueva Ecuación Pivote 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 CCE x Nueva Eq. Pivote 0 3 3/2 0 3/2 0 0 12 Nueva Ecuación 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12

14. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL Se escriben los valores en la fila correspondiente de la Matriz (primera fila) SOLUCION DE LA MATRIZ (ITERACIONES) Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 X 0 1 ½ 0 ½ 0 0 4 S3 S4

15. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (SOLUCIÓN) Se realizan las Iteraciones que sean necesarias, identificando una y otra vez la Columna de Entrada, la Ecuación Pivote y el elemento pivote, hasta que se cumpla el valor óptimo descrito en la condición de Optimidad . La matriz resultante es la siguiente: Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12+2/3 Y 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 X 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 S3 0 0 0 -1 1 1 0 3 S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

16. EL METODO SIMPLEX SIMPLEX PRIMAL SOLUCION DE LA MATRIZ (SOLUCIÓN) La solución es, los valores de X y Y que hacen máxima a Z, son 10/3 y 4/3 respectivamente y el valor máximo de Z es 12 +2/3 Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12+2/3 Y 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 X 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 S3 0 0 0 -1 1 1 0 3 S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3