la antiderivada

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad “Fermín Toro”
LA ANTIDERIVADA
Ing. Telecomunicaciones S.A.I.A
Asig. Matemática I.

2. La Antiderivada
La operación inversa de la derivación se llama integración. Mediante la
integración encontramos la función cuya derivada es dada. La función
que se encuentra se llama Antiderivada o integral indefinida de la función
dada.
Definición:
Una función F es una Antiderivada o una primitiva de la función f en un
intervalo I si F’(x)=f(x), x ϵ I.
Teorema: Forma General de la Antiderivada
Si F es una Antiderivada de f en el intervalo I, entonces G es una
Antiderivada de f en el intervalo I ↔ Existe una constante C tal que
G(x)=F(x) + C, x ϵ I.
Significado de la Constante C
La integral indefinida representa a toda la familia de las Antiderivada del
integrando. Cada valor que se agregue a la constante de integración, nos
proporciona un miembro de la familia. Geométricamente esta familia está
representada por un conjunto de curvas paralelas obtenidas por traslación
vertical del gráfico de una Antiderivada.
Notación para la Antiderivada
El Teorema de la forma general de la Antiderivada nos dice lo siguiente:
A
A

3. 1. Si una función f tiene una Antiderivada, entonces tiene una familia
muy numerosa de ellas.
2. Si F es una Antiderivada conocida de f, entonces cualquier otro
miembro de la familia de Antiderivada de f se obtiene a partir de F
agregándole una constante adecuada, F(x)+C.
A la familia de F(x)+C de Antiderivada de f la llamaremos la
Antiderivada general de f o integral indefinida de la función f, y se
denota con.
∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
Esto es, si F es una Antiderivada de f en un intervalo I, entonces.
∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭( 𝒙) + 𝑪, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.(1)
El símbolo es llamado símbolo de la integral. Este símbolo se obtuvo
alargando la letra S. esto es debido a que, como veremos más adelante, la
integral está emparentada con la suma.
En ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙, la función f es el integrando. El símbolo dx se usa para
indicar que x es la variable de integración. Esta variable puede cambiarse
por cualquier otra.
Algunas Formulas Fundamentales
∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝑐
∫ 𝑎𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑢

4. ∫( 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣) =∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣
∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐(𝑛 ≠ −1)
∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢
+ 𝑐
∫ 𝑎 𝑢
𝑑𝑢 =
𝑎 𝑢
𝑙𝑛𝑎
+ 𝑐
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝑐
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐
∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 + 𝑐
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑔𝑢 + 𝑐
∫
𝑑𝑢
√1 − 𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢 + 𝑐
∫
−𝑑𝑢
√1 − 𝑢2
= −𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑢 + 𝑐
∫
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑢 + 𝑐

5. ∫
𝑑𝑢
𝑢√ 𝑢2 − 1
= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢 + 𝑐
∫
−𝑑𝑢
𝑢√ 𝑢2 − 1
= 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑐
Existen algunas técnicas de integración que permiten resolver de manera
más sencilla las integrales.
Integración por Sustitución o Cambio de Variable: a veces es
necesario un cambio de variable, para transformar la integral dada en
otra, cuando esto sucede la técnica o método se llama sustitución.
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2) 𝑑𝑥
Sea la sustitución w=1 − 𝑥2
, donde dw=-2xdx
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = −
1
2
∫−2𝑥𝑠𝑒𝑛 (1 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = −
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑑𝑤
= −
1
2
(−𝑐𝑜𝑠𝑤) 𝑑𝑤 + 𝑐 =
1
2
𝑐𝑜𝑠(1 − 𝑥2) + 𝑐
Integración Trigonométrica: Una integral se denomina trigonométrica
cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones
trigonométricas y constantes.
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥𝑑𝑥

6. ∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥𝑑𝑥 =∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑𝑥 = ∫cos(1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑑𝑥 −
∫ 𝑐𝑜𝑠. 𝑠𝑒𝑛2
𝑥𝑑𝑥 Entonces sea u=senx, du=cosxdx
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑢2
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑢3
3
+ 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
3
+ 𝑐
Integración por Partes: Se basa en la derivada de un producto y se
utiliza para resolver algunas integrales de productos. Existen una
variedad de integrales que se pueden resolver usando la relación de
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢, como el problema recae en elegir u y dv, es útil la
siguiente identificación:
I: función trigonométrica inversa
L: Logarítmica.
A: Algebraica.
T: Trigonométrica
E: Exponencial
R: Radical.
∫ 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒙
Se utiliza de la siguiente manera: I L A T E R
U=x, du=dx dv=cosxdx, v=senx
X cosx

7. ∫ 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒙 = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄
Integración de funciones Cuadráticas: una función cuadrática es de la
forma 𝑎2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 y si esta parece en el denominador, la integral que la
contiene se hace fácil de encontrar, para la cual conviene diferenciar dos
tipos esenciales en lo que se refiere al numerador.
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 5
Completando cuadrados se tiene (𝑥2
+ 2𝑥 + 1)+5-1 = (𝑥 + 1)2
+ 22
luego se tiene
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 5
= ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2 + 22
Sea w=x+1, dw= dx; a=2
∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2 + 22
= ∫
𝑑𝑤
𝑤2 + 22
=
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑤
2
+ 𝑐
=
1
2
𝑎𝑐𝑟𝑡𝑔
𝑥 + 1
2
+ 𝑐
Integración por sustitución Trigonométrica: Existen integrales que
poseen forma 𝑎2
− 𝑥2
, 𝑎2
+ 𝑥2
, 𝑥2
− 𝑎2
. Si la sustitución tiene forma
𝑎2
− 𝑥2
, la sustitución adecuada es 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑜 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 , si la
expresión es 𝑎2
+ 𝑥2
, la sustitución adecuada es 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃.
∫
𝑑𝑥
√(4 − 𝑥2)3

8. Dada la forma que presenta 𝑎2
− 𝑥2
la sustitución adecuada es 𝑥 =
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 o sea 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃, además 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
𝑎
∫
𝑑𝑥
√(4−𝑥2)3
=∫
𝑑𝑥
√(22−𝑥2)3
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√(22−22 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)3
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
[22(1−𝑠𝑒𝑛2)]3
=
∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
(22 𝑐𝑜𝑠2)3
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
(2𝑐𝑜𝑠𝜃)3
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
(23 𝑐𝑜𝑠3 𝜃)
=
1
4
∫
𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠3
=
1
4
∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝜃𝑑𝜃 =
1
4
𝑡𝑔𝜃 + 𝑐 =
1
4
𝑥
√4−𝑥2
+ 𝑐