1. TRIGONOMETRIA

2.  Trigonometría se refiere a la medida de
los lados y los ángulos de un triángulo.
– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
 Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de
dos enfoques, éstos son:
– El círculo
– El triángulo rectángulo

3. Trigonometría
Enfocada por medio del
TRIANGULO RECTANGULO

4. Triángulo Rectángulo
Triángulo
rectángulo α
hipotenusa
β
γ
catetos
Característica principal de un triángulo
rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

5. Observaciones importantes sobre los triángulos
rectángulos.
 Un triángulo consta de tres lados y de
tres ángulos.
 La suma de los tres ángulos es 1800
 La suma de la longitud de cualquiera
de dos de los lados del triángulo es
mayor que la longitud del tercer lado.
 Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,
entonces c2
= a2
+ b2
γ

6.  Los ángulos se nombran con letras para
identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son del alfabeto griego como por
ejemplo;
γ “gamma”; α“alpha” ; β “betha”

7.  Podemos relacionar los lados de un triángulo
rectángulo con sus ángulos por medio de las
relaciones trigonométricas.
 Por medio de éstas relaciones
trigonométricas podemos hallar información
sobre ya sea un lado o un ángulo que
desconocemos del triángulo.
 Las relaciones trigonométricas son seis, tres
de ellas son fundamentales ya que dan
origen a las otras.

8. RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA
UN TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicas Relaciones recíprocas
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestolado
seno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
opuestolado
hipotenusa
sen
ecante ==
γ
γ
1
cos
adyacentelado
hipotenusa
eno
ante ==
γ
γ
cos
1
sec
opuestolado
adyacentelado
angente ==
γ
γ
tan
1
cot

9. Relaciones trigonométricas de un
triángulo rectángulo
 Las tres funciones
trigonométricas básicas
para el ángulo γ
γ
Lado
adyacente
a
“gamma”
Lado
opuesto a
“gamma
”
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestolado
seno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno

10. EJEMPLO 1
3
4
tangente
5
3
coseno
5
4
==
==
==
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestolado
seno
γ
γ
γ
5
2591634 22
22
=
=+=+=
+=
c
c
bac
HIPOTENUSALADEMEDIDA
γ
4
3
4
51
cos ==
γ
γ
sen
ecante
3
5
cos
1
sec ==
γ
γ
eno
ante
4
3
tan
1
cot ==
γ
γangente

11. Continuación EJEMPLO 1
33.1
3
4
tangente6.0
5
3
coseno8.0
5
4
====== γγγseno
γ
4
3
25.1
4
5
cos ==γecante 67.1
3
5
sec ==γante 75.
4
3
cot ==γangente
Podemos utilizar cualquiera de
los valores anteriores para
determinar la medida del
ángulo γ
Veamos el siguiente
ejemplo

12. γ
4
3Hallar la medida del ángulo indicado.
La razón seno γ es .8 , si necesito hallar la medida de
γ y conozco el valor de seno γ , la función inversa de
seno me permite encontrar el valor de γ de la siguiente
forma:
)8(.,8. 1−
== senoentoncessenoSi γγ
Calcula una de las relaciones
trigonométricas según la información
que te provea el ejercicio. 8.0
5
4
==γseno

13. )8(.
,8.
1−
=
=
seno
entonces
senoSi
γ
γ
CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1
=
Presenta la respuesta en :
Grados___ Radianes___

14. ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1
=
Pantalla
Radianes
.927
Grado
53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad
de medida para el ángulo, (grados o radianes)
antes de hacer los cómputos.

15. 4
3
β
Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes
preguntas.
PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación tangente.

16. Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
75.
4
3
tangente
8.
5
4
coseno
6.
5
3
==
==
==
β
β
βseno
67.1
3
5
cos ==βecante
25.1
4
5
sec ==βante
33.1
3
4
cot ==βangente
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la
relación coseno.
87.366435.
)8(.
1
cos8.
5
4
coseno
gradosradianes
eno =
−
==β
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación
tangente.
0
87.366435.
)75(.
1
tan;75.
4
3
tangente
gradosradianes
γβ =
−
==

17. Compara las relaciones trigonométricas
seno y coseno de γ y β
8.
5
4
coseno
6.
5
3
==
==
β
βseno
β = 36.870γ=53.130
6.0
5
3
coseno
8.0
5
4
==
==
γ
γseno
La suma de γ y β es 900
Por tanto γ y β son ángulos
complementarios.

18. Sean γ y β dos ángulos
complementarios, entonces,
encontramos las siguientes
relaciones:
βγ
βγ
βγ
cottan
seccsc
cos
=
=
= sen
γβ
γβ
γβ
cottan
seccsc
cos
=
=
= sen

19. Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes
preguntas.
PRACTICA 2
1`. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes.
2
2
3 γ
β

20. Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
11.498571.
)1547.1(
1
tan1547.1
3
2
tangente
gradosradianes
gente =
−
==β
2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes.
En la forma corta tenemos que γ + β= 90,
Por lo tanto γ= 90 - β
γ= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
89.407137.
)866(.
1
tan866.
2
3
tangente
gradosradianes
gente =
−
==β

21. Observación
Si conozco dos de los lados de un
triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.

22. Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente
triángulo.
40
12
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
12 es la medida del lado adyacente de 50
grados
668.18
6428.
12
12
6428.
12
40
==
=
=
xx
xparadespejamos
x
x
seno
668.18
6428.
12
12
6428.
12
50cos
==
=
=
xx
xparadespejamos
x
x
eno
ó
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

23. PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del
siguiente triángulo
30
25
b
a

24. Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente
triángulo
30
25
b
a
5.12)25)(5(.
25
25.
25
30
==
=
=
b
bparadespejamos
b
b
seno
65.21)25)(87(.
25
87.
25
30cos
==
=
=
b
bparadespejamos
a
a
eno

25. Estamos cargando una escalera de largo L
por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un
area de 4 pies de ancho, según el siguiente
dibujo.
Halla la medida del largo de la
escalera como función del
ángulo θ tal como se ilustra.
3 pies
4 piesθescalera
APLICACION

26. 3 pies
4 piesθescalera