1. 802 Борисов И. С.
ON NECESSARY AND S U F F I C I E N T CONDITIONS
FOR T H E CONVERGENCE OF SOLUTIONS OF ONE-DIMENSIONAL
D I F F U S I O N STOCHASTIC EQUATIONS W I T H A NON-REGULAR
DEPENDENCE OF COEFFICIENTS ON A P A R A M E T E R
KULINIC G. L. (KIEV)
{Summary)
W e consider a n one-dimensional s t o c h a s t i c differential e q u a t i o n of diffusion type-
(') = «« ( 5 W) * + a e a (J)) dw a (t), t>0,
w h e r e a > 0 i s a p a r a m e t e r , a (x), a (x) > 0 are real functions w h i c h m a y degenerate-
a a
a t some p o i n t s x as k 0 and w (t) i s a f a m i l y of W i e n e r processes. T h e necessary and
a
sufficient c o n d i t i o n s for t h e weak convergence of l (t) t o t h e generalized diffusion p r o ­ a
cess « - » 0 are o b t a i n e d .
ОБ ОДНОМ К Р И Т Е Р И И МАРКОВОСТИ
ГАУССОВСКИХ С Л У Ч А Й Н Ы Х ПРОЦЕССОВ
БОРИСОВ И. с.
П у с т ь i (t) (t е Г С Л ) — п р о и з в о л ь н ы й вещественнозначный гауссовский м а р к о в ­
с к и й процесс. В качестве параметрического множества Т мы будем рассматривать,
либо конечный отрезок [а, Ъ], либо п о л у о с и вида (— оо, а], [Ъ, о о ) , либо всю ч и с л о в у ю
ось R. Х о р о ш о известно [1],что гауссовский случайный процесс £ (t) будет м а р к о в с к и м
тогда и только тогда, к о г д а его к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я Л {и, v) удовлетворяет
соотношению
R (t , x t ) R {t ,
2 2 ta) = R (t , 2 t) R (ilt t)
2 s (1>
д л я любых t < 7 < О зx 2 области определения £ (t).
и з
В н а с т о я щ е й заметке дано полное описание к л а с с а к о р р е л я ц и о н н ы х функций,,
у д о в л е т в о р я ю щ и х (1), и тем самым п р е д л о ж е н новый к р и т е р и й марковости гауссовских
с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в / к о т о р ы й можно эффективно п р и м е н я т ь п р и построении такого*
рода с л у ч а й н ы х процессов с теми и л и иными свойствами т р а е к т о р и й .
Лемма. Пусть R (и, v) — некоторая функция, заданная на Т X Т, и пусть
R (и, v) ф 0 всюду на множестве Г X Г.
Тогда для того чтобы R (и, v) была корреляционной функцией гауссовского марков­
ского процесса необходимо и достаточно, чтобы имело место представление
R (и, v) = G (min (и, v)) Н (max (и, v)), (2)
где функции G и П определяются единственным образом с точностью до постоянного
множителя, и отношение G/H есть положительная неубывающая функция на Т.
Примеры:
R (и, v) = G (min (и, v)), и, v <= Т,
где G — п о л о ж и т е л ь н а я н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я н а Т (невырожденные гауссовские-
процессы с независимыми п р и р а щ е н и я м и ) ,
д ( M j y j _ ft -uu-v_
e £ amin(u,») -amax(u,«)
e e
(стационарные гауссовские м а р к о в с к и е процессы).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. П у с т ь R {и, v)_— к о р р е л я ц и о н н а я
ф у н к ц и я гауссовского марковского процесса, и п у с т ь t — п р о и з в о л ь н а я в н у т р е н н я я 0
точка множества Т. Рассмотрим ф у н к ц и и
R (t, t ), 0 если t <^t , 0
Git)-. ,
1
R(t, t)R (t , t )/R (t , t), если 0 t>t ,
0 0 0
_ j R (t, t)/R(t, t ), если t ^ t , 0 0
H(t)
R (t , t)/R (t , t ),
0 0 0 если t>2 - 0
У б е д и м с я в том, что G и Н удовлетворяют (2). В самом деле, п у с т ь t± <J t <J t . Т о г д а 2 0

2. Критерий марковости гауссовских процессов 803
•с помощью (1) получаем:
Я
R
fc' *о) л
(*»• h) R (*«. tp) Л (h, У
Ci) W = д t,( 2 4о) - = я [ h , t)
0
= U h )
-
П у с т ь теперь t ^ t < t . x 0 2 Снова и с п о л ь з у я ( 1 ) , получаем:
Аналогично п р о в е р я е т с я и с л у ч а й г -< £ < t . 0 х 2
Т а к и м образом, равенство (2) д о к а з а н о . Свойства ж е ф у н к ц и й G и Н следуют из
у с л о в и я леммы и общих свойств к о р р е л я ц и о н н ы х ф у н к ц и й . Действительно, так к а к
R (t, t) > 0, то из (2) следует, что G/H — п о л о ж и т е л ь н а я ф у н к ц и я . Д а л е е , д л я любой
к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и справедливо неравенство
3
Л (и, v) < Л (и, и) Л (У, У ) . (3)
Пусть и < у. Тогда с помощью представления (2) неравенство (3) преобразуется к
виду
G(u)H (v)^G(v)H (и),
что влечет монотонность отношения GIH.
Единственность ф у н к ц и й G и Н (с точностью до постоянного множителя) в пред­
ставлении (2) очевидна.
Достаточность. Е с л и бы Л (и, v) была к о р р е л я ц и о н н о й функцией, то д о к а з а т е л ь ­
ство достаточности свелось бы к проверке тождества (1) д л я ф у н к ц и и Л (и, v) вида (2).
В этом случае (1), очевидно, выполнено. Следовательно, нам необходимо д о к а з а т ь , что
ф у н к ц и я Л (и, v) вида(2) п р и выполнении условий леммы я в л я е т с я корреляционной
ф у н к ц и е й . В свою очередь, д л я этого достаточно п о к а з а т ь , что п р и любых * ! • < . . . • <
< ifc е Т к в а д р а т и ч н а я форма
к
i, 3—1
н е о т р и ц а т е л ь н а . В самом деле, в силу условий леммы
к к-1 к
Q = g
<! )t
Н
(У 4 + 2 G ((.) Я
z
j = G (* ) Я ( g 4 +
ft
f _ 1 J r _ 1
' G («.) ^ 2 G (i ) * 2
i=l j=i i=l ;=i+i
г=1 |i=l 3 = i + l
Отметим, что H (t) ф 0 п р и любом t <= Т (так к а к Л (и, v) ф 0 п р и всех и, у е Г ) , так
ч т о деление на Н (t() в приведенной в ы к л а д к е з а к о н н о .
Ле м м а д о к а з а н а .
З а м е ч а н и е 1. Утверждение леммы сохранится, если Л (и, и) ф 0 в н у т р и
множества Т X Т (в с л у ч а е , когда Г ограничено, по к р а й н е й мере, с одной стороны),
а Л (t , v) = 0 п р и всех у е Г и некотором J , л е ж а щ е м н а г р а н и ц е множества Т.
0 0
В этом случае полагаем G (t ) = 0, если £ = inf {и: и е Т) и Я (£ ) = 0, если Z =
0 0 0 0
= sup {и: и е Г } . В качестве п р и м е р а можно привести к о р р е л я ц и о н н у ю функцию
броуновского моста
Л (и, У) = m i n (и, у)[1 — m a x (и, и)], и, v е [0, 1].
С другой стороны, если Л (t , у) = 0 п р и всех у е Г {t }, где i„ — граничная 0 0
точка, а Л (t ,t ) ф 0 , то представление (2), очевидно, не имеет места. И н ы м и словами,
0 0
если значение гауссовского марковского процесса | (•) в г р а н и ч н о й точке t не з а ­ 0
висит от совокупности {£ (у); у <= Т {£„}}, то д л я выполнения|Р)]необходимо, чтобы
i (Ч) =
const с вероятностью 1.
Условие необращения ф у н к ц и и Л (и, у) в н у л ь в н у т р и множества Т X Т сущест­
венно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве п р и м е р а гауссовский м а р к о в -
7*

3. 804 Борисов И. С.
с к и й процесс W° (t) = W (t) — t W (1) п р и * > 0, где W (t) — стандартный в и н е р о в -
с к и й п р о ц е с с . Е с л и v, и е [0, 1 ] , то
R (и, v) = m i n (и, v) [1 — m a x (и, v)].
Е с л и ж е и, v е ( 1 , оо), то j
R (и, v) = [ m i n (и, v) — 1] m a x (u, v).
Наконец, если^ и е [0, 1 ] , v е [ 1 , со), то R (и, v) = 0. Л е г к о видеть, что эти т р и
соотношения и с к л ю ч а ю т возможность п р е д с т а в л е н и я к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и п р о ­
цесса W° (t) в виде (2) на всей п о л у о с и [0, со).
З а м е ч а н и е 2. В статье [2, с. 53] д о к а з а н о , что п р и выполнении у с л о в и я
R (t, t) =j= 0, t i= Т = [0, т ] , к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я стохастически н е п р е р ы в н о г о
гауссовского м а р к о в с к о г о процесса (в этом с л у ч а е ф у н к ц и я R (и, v) непрерывна) п р е д -
ставима в виде
R (и, v) = YR (и, и) R (v, и) ехр {— | F (и) — F (v) | } , (4)
где F — н е к о т о р а я монотонно н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я . Л е г к о видеть, что д л я э т о г о
п р е д с т а в л е н и я т а к ж е с п р а в е д л и в а ф о р м у л а (2). Отметим, что если R (и, v) непрерывна,,
о из тождества (1) и у с л о в и я R (t, t) ф 0, t е Т, следует, что R (и, v) > 0 п р и в с е х ,
в . и е Г . О д н а к о в более общем случае (функция R(u,v) разрывна) в о з м о ж н а с и т у а ц и я ,
когда R [и, v) < 0 п р и некоторых и, v <= Т. Т а к что представление (4) у ж е не будет
иметь места. Н а п р и м е р , пусть
G(t) = H(t) = (-l)W, «>0,
где [•] — ц е л а я ч а с т ь ч и с л а . Очевидно, G и И удовлетворяют условиям леммы и
R (и, v) = — 1 п р и и е [0, 1), v е [ 1 , 2).
Т е п е р ь мы о т к а ж е м с я от у с л о в и я необращения R (и, v) в н у л ь на множестве Т X Т.
П р е ж д е всего отметим некоторые свойства к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и гауссовского м а р ­
к о в с к о г о процесса, вытекающие из тождества (1). П у с т ь R (и, v) ф 0 п р и некоторых
и, v е Т (и < v). Тогда R (t, t) ф 0 д л я любого t е [и, v], п о с к о л ь к у если R (t , t ) = 0 0
= 0 п р и некотором t е [и, и] (т. е. (t ) = const с вероятностью 1), то в с и л у м а р ­
g 0
ковского свойства з н а ч е н и я процесса | (t) п р и t < t не з а в и с я т от значений £ (t) п р и
0
t > t и , стало быть, R (и, v) = 0, что противоречит п е р в о н а ч а л ь н о м у у с л о в и ю . Отсюда
a
и из (1) следует, что R (t, s) ф 0 п р и любых t, s е [и, v], так к а к в с и л у (1) выполнены
соотношения R (и, t) ф 0 и Л (и, s) ф 0, а значит, и
Д ( Ц , 8 ) Д (t, t) ,
д г
( ^) = л м *=°-
И з приведенных р а с с у ж д е н и й следует, что если Д (и, v) = 0, то з н а ч е н и я г а у с с о в ­
ского м а р к о в с к о г о процесса £ (t) до момента времени и не з а в и с я т от }£ (t); t ^ v}.
И т о г с к а з а н н о м у подводит с л е д у ю щ а я теорема.
Теорема. Для т о г о чтобы функция R (и, v), и, v е Т, была корреляционной функ­
цией гауссовского марковского процесса необходимо и достаточно, чтобы существовало
конечное или счетное разбиение {hf, j ^ 1} множества Т на непересекающиеся интерва­
лы, для которого
{ G. (min (и, v)) Н. (max (и, v)), если в,се А,
R{u,v) = {
10, если и е Д., с е Д , при 1=Ф]',
где функции Gj, Hi определены в лемме (полагаем Gj = 0, если R (и, v) = 0 герм и, v е Aj);
величины R (и, t{) и R (и, t i + 1 ) при И Е А ; Е On, £ ) г+1 равны либо 0, либо (2), с компо­
нентами Gj,
В качестве п р и м е р а можно рассмотреть с л у ч а й н ы й процесс, описанный в з а м е ч а ­
н и и 1 к лемме. Сужение у к а з а н н о г о процесса на отрезок [ 0 , 1 ] есть так называемый
б р о у н о в с к и й мост. После момента времени 1 р е а л и з у е т с я совершенно иной г а у с с о в с к и й
м а р к о в с к и й процесс, не з а в и с я щ и й от упомянутого броуновского моста.
ЛИТЕРАТУРА
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее п р и л о ж е н и я . Т. 2. М.: Мир, 1967,
752 с.
2. Розанов Ю. Л, Гауссовские бесконечномерные распределения.— Т р . Матем. ин-та
им. В . А. Стеклова А Н СССР, 1968, т. C V I I I , 136 с.
Поступила в р е д а к ц и ю
29.IX.1980

4. Оценка возмущений в схеме авторегрессии 80S
ON A CRITERION FOR GAUSSIAN RANDOM PROCESS
TO B E A MARKOV ONE
BOBISOV I. S . (NOVOSIBIRSK)
(Summary)
W e describe t h e class of covariance functions of real-valued Gaussian Markov proces
ses.
О Ц Е Н К А Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В О З М У Щ Е Н И Й В СХЕМЕ АВТОРЕГРЕССИИ
волжин м. в.
1. Рассмотрим с к а л я р н о е уравнение авторегрессии
UJ = P i U j ^ + • • • + Р ^ _ + 8;,
9 ч / = - • - , — 1 , 0, 1
в котором р , . . ., Вд — неизвестные неслучайные п а р а м е т р ы , 8 -— независимые одина­ ;
к о в о распределенные случайные в о з м у щ е н и я со средним н у л ь , конечной дисперсией
и неизвестной функцией распределения G (х).
Б у д е м п р е д п о л а г а т ь , что к о р н и характеристического у р а в н е н и я , соответствую­
щ е г о у р а в н е н и ю авторегрессии, по модулю меньше единицы, так что {uj} — строго
с т а ц и о н а р н ы й линейный процесс со средним н у л ь .
Ц е л ь р а б о т ы — построить по наблюдениям и , . . ., u оценку неизвестной
+ 1 n
ф у н к ц и и распределения G (х) и изучить ее свойства п р и б о л ь ш и х п.
2. П у с т ь [}„ = ф щ , . . ., Р д и ) оценка неизвестного вектора в = (р, . . ., В ) ,
-
д
д л я которой последовательность Vn ф — В), п = 1, 2, . . . , ограничена по в е р о я т ­
п
ности. В частности, можно использовать оценку наименьших квадратов, к о т о р а я
"J^ra-асимптотически н о р м а л ь н а .
u
Пусть = щ — $ ii~i ln — . . . — B g n ^ - g (fc= 1, . . ., re) — оценки неизвестных
1
6j, . . . , 8„, G (х) =
n (число 8 < ; a , k=
f t { , . , . , п) — оценка неизвестной функции
распределения G (х).
Статистика G (х) есть аналог эмпирической ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я ^ ^ ) , п о с т р о е н ­
ной непосредственно по S j , . . . , е . Основной р е з у л ь т а т работы составляет с л е д у ю щ а я
п
теорема.
Теорема. Если sup | G" (х) | < со, то
X
— ~r р
s u p Уге| G (х) — G (х) | —» 0, ге^>оо.
х п п
Теорема д о к а з а н а в разделе 3.]
И с п о л ь з у е м G (х) д л я п р о в е р к и гипотез относительно G (х).
n
П у с т ь W (t) (0 <^ 1) — б р о у н о в с к и й мост, т. е. гауссовский процесс со сред­
ним н у л ь и к о в а р и а ц и е й m i n (t, s) — ts. Обозначим D метрическое пространство дейст­
вительных ф у н к ц и й без р а з р ы в о в второго рода, определенных на [0, 1] (см. [ 1 , с. 153]),
a G (t) — обратную к G (х) ф у н к ц и ю . П о с к о л ь к у процесс V
_ 1
ln (0) *] Р n G — П И
ге — со слабо сходится в D к W (t) [ 1, с. 196], в силу сформулированной теоремы и про­
>
цесс V n
Wri (0) — *1 слабо сходится в D т а к ж е к W(t). Следовательно, асимптоти­
ческие р а с п р е д е л е н и я статистик типа К о л м о г о р о в а и со , основанных на G (х), такие 2
n
же, к а к у соответствующих обычных статистик, основанных на G (х). n
В частности, статистики
ОТ:
Зщуп6 (х)-С(х)
п и п J [G (x)-G(x)fdG(x)
n
1
сходятся по распределению п р и ге —; со к Еегпчт.Евм t u p | W ( i ) | и T'F (t) dt 2
соответ-
о
ственно, а ф у н к ц и и распределения последних — обычные ф у н к ц и и распределения-