1. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
INTRODUCCIÓN
NÚMERO COMPLEJO, EXPRESIÓN DE LA FORMA A + BI, EN DONDE A Y B SON NÚMEROS
REALES E I ES 1 .
Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una
estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.
En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir
circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. 1
El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger
que es fundamental en la teoría cuántica del átomo.
El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos
del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el
diseño de alas de avión.
NÚMEROS COMPLEJOS
Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las
que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un
cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los
números naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los
números reales.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar
como puntos de una recta (la recta de los números reales).
Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el
plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes
perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos
un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.
Esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un
plano) se debe a Gauss y a Hamilton.
También se suele utilizar un vector para localizar el punto.
En un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto,
identifica el punto de una manera inequívoca.
Al extremo del vector se le llama Afijo del complejo.
Ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio
en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector
con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y).
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Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b.
Si definimos unos vectores unitarios sobre el Eje X o Real, ya que en el
representamos la Parte Real del número complejo y sobre el eje Y o Eje Imaginario,
representamos la parte Imaginaria. Entonces podemos representar el número de
esta forma xr + yi.
Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo
esta condición: i2 = -1.
Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe,
quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un
número complejo se llama Forma Binaria. 2
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se
obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente
simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo
encima del mismo una línea horizontal.
Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).
Si al número complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejo
conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del número.
PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma
es igual a la suma de sus conjugados.
Demostración:
Tomando :z = a + bi y z' = c + di
Se obtiene: a + bi y ' = c - di
Con lo que:
(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i
· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de
los conjugados de dichos números:
Demostración:
Si z = a + bi y z = c + di
Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i
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Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que:
(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
· Cuarta propiedad
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.
Esto equivale a que: a + bi = a - bi 3
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
· Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números
reales.
Demostración (a + bi ) + (a - bi ) = 2a
(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2
COMPLEJO OPUESTO
Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa
por n'.
Si z = a +bi
El opuesto de z seria -z = -a – b
El Conjugado de z seria z = a + bi
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
Ejemplo:
(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
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· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i
(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i
· Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que 4
(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):
(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo
en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar
de vectores.
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:
(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i
El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y
teniendo en cuenta que i 2 = -1.
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i
(ad + bc)
Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se
multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente
al complejo producto.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE COMPLEJOS
· Conmutativa
Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:
(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )
· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:
[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]
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· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier
complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el
uno.
· Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:
(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )
Ejemplo:
(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i 5
(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i )
= - 6 - 8i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades
anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).
· Elemento simétrico respecto del producto
Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo
que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i .
Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .
Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i
(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I
Por tanto ha de ser:
ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a
bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0
El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y
el producto definidos.
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el
conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.
Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores,
para poder comprobar los resultados
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar,
dando su módulo y su argumento. Esta forma también se llama forma
trigonométrica.
MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.
|z| = r
ARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
arg(z) = a
Por lo cual z = r (cos β + isen β )
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NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Forma binómica z = a + bi
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
MULTIPLICACIÓN
Se multiplican los módulos
Se suman los argumentos
z1  z2  cos(  21 ) 6
DIVISIÓN
Se dividen los módulos
Se restan los argumentos
z1 r
 cos( a  b )
z2 r2
POTENCIA
La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma
que la de multiplicar.
z n  r cos  
n
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n
FÓRMULA DE MOIVRE
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la
siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na, que es útil en trigonometría, pues permite
hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático
francés Abraham de Moivre (1667-1754).
RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo z n. existen varios complejos z, que al
elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo z n.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre,
teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo
módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:
Ra = (R' a')n = ((R' )n )n a'
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se
le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado
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7. Matemáticas III
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en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2,
3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.
No olvidar que un número copmlejo es una expresión de la forma a + bi en la que a y
b son números reales, e i= . La suma, resta, multiplicación y división de
números complejos se ha expuesto con anterioridad.
REPRESENT ACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 7
Empleando un sistema de coordenadas rectangular, el número complejo x + yi se
representa por, o se corresponde con, el punto cuyas coordenadas son (x, y). Por
ejemplo:
Para representar el número complejo 3 +
3+4i
4i, se llevan 3 unidades sobre el eje X' X
-2+3i
hacia la derecha de 0 y, acto seguido, 4
2i
unidades hacia arriba.
-2 4
Para representar el número -2 + 3i, se
llevan 2 unidades sobre el eje X' X hacia
la izquierda de 0 y, luego, 3 unidades -2i
hacia arriba.
-1-4i 2-4i
Para representar el número -1 -4i, se lleva 1 unidad sobre el eje X' X hacia la
izquierda de 0 y, a continuación, 4 unidades hacia abajo.
Para representar el número 2 -4i, se llevan 2 unidades sobre el eje X' X hacia la
derecha de 0 y, luego, 4 unidades hacia abajo.
.Los números imaginarios puro.; (como son 2i, -2i)
vienen representados por los puntos del eje YY’. Los
números reales (como son 4, -3) son los puntos del eje
ϴ X'X. ,
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8. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
En .la figura,' x = r cos ϴ e y = r sen ϴ . Por tanto, x + yi = r(cos ϴ + i sen ϴ )
La expresión r(cos ϴ + i sen ϴ) es la forma polar, x + yi es la forma binómica del
mismo número complejo.
La longitud r = es siempre positiva y se llama módulo o valor absoluto, del
número complejo. El ángulo ϴ se denomina amplitud o argumento. 8
MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN FORMA POLAR
El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos y
el argumento es la suma de sus argumentos.
r1 (cos ϴ1 + i sen ϴ1)*r2(COs ϴ2 + i en ϴ2) = r1*r2[cos (ϴ1 + ϴ2) + i sen (ϴ1 + ϴ2)]
Por ejemplo;
4(cos 45° + i sen 45°)'7(cos 30° + i sen 30°) = 28(cos 75° + i sen 75°).
DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN FORMA POLAR
El módulo del cociente de los números complejos es igual al cociente de los módulos
y el argumento es igual a la diferencia de los argumentos del dividendo y divisor.
Por ejemplo:
FORMULA DE MOIVRE. La potencia enésima r(cos ϴ + i sen ϴ) es
[ r(cos ϴ + i sen ϴ )]n = rn(cos n* ϴ + i sen n* ϴ )
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9. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
Esta relación es la fórmula de Moivre y se verifica para todo valor real del exponente.
Por ejemplo, si el exponente es una fracción ,
[ r(cos ϴ + i sen ϴ )] = (cos + i sen ).
RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR. Si k es un entero
cualquiera, cos = cos ( + k 3600) y sen = sen ( +k 360°)
9
Luego =
Un número cualquiera (real o complejo), excepto el cero, tiene n raíces enésimas
distintas. Las n raíces enésimas de un número complejo x + yi, o bien r (cos +i
sen ), se obtienen dando a k los valores sucesivos 0. 1, 2, 3. n - 1., en la fórmula
anterior.
PROBLEMAS RESUELTOS
SUMA y RESTA GRÀFICAS DE NÙMEROS COMPLEJOS
I. Efectuar algebraica y gráficamente las operaciones indicadas: a) (2 + 6i)+ (5 +
3i), b) (-4 + 2i) -(3 - 5i).
.a) Algebraicamente, (2 + 6i) + (5 + 3i) = 7 + 9i.
Gráficamente. Representemos los dos
números complejos por los puntos p1 y
p2, respectivamente, como indica la
Figura (a). Uniendo P1 y P2 con el
origen 0 y completando el
paralelogramo de lados adyacentes 0P1
y 0P2, el vértice P (punto 7 + 9 i)
representa la suma de los número
complejos dados.
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10. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
(a)
b) Algebraicamente. ( -4 + 2i) -(3 + 5i) = -7 -3i.
(b)
Gráficamente. (- 4 + 2i) -(3 + 5i) = (- 4 +
2i) + ( -3 + 5i). Sumemos ahora ( -4 + 2i) 10
con ( -3 -5i).
Representemos los dos números
complejos (-4 + 2i) y (-'-3- Si) por los
puntos P1 y P2, respectivamente, como
indica la Figura (b). Uniendo P1 y P2 con
el origen 0 y completando el
paralelogramo de lados adyacentes OP1 y OP2 el vértice p (punto -7- 3i) representa
la diferencia (-4 + 2i) -(3 + Si).
FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Hallar la forma polar de los números complejos siguientes
2. 2 + 2i
2
Amplitud o argumento, θ = tg-1  2  ;
 
θ = tg-1 (1); θ = 45°,
Módulo o valor absoluto, r = 2 2²  2² ;
r= 2
8 ; r = 22 2 22 2
Luego 2 +2i = r(cos θ + i sen θ)
2 + 2i = 22 2 (cos 45° + i sen 45°)
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11. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
2
3. 1 + 3i
1 Amplitud o argumento,
1+ 2 3i
1
θ = cos-1   = 60°,
2 2
2
3 11
Módulo o valor absoluto, r = 2
 3 ²  1² j = 2.
2
1
Luego 1 + 2
3 i = r(cos θ + i sen θ )
= 2(cos 60° + i sen 60°)
4. -3 + 3i
θ = 180°- 45° = 135°,
r= 2
9  9 , r = 3 2 2 ; luego -3 + 3 i = 3 2 2 (cos 135° + i sen 135°)
2
5. -1- 3i
θ = 180° + 60° = 240°, r = 3  1 ; r = 2; luego -I - 3 i = 2(cos 240° + i sen 240°)
6. 3 -i
θ = 360°- 30° = 330°; r = 3  1 ; r = 2; luego 3 - i= 2(cog 330° + i sen 330°)
-3+3i θ=
-1
3 2
3
- 3
-3 1- 3i
Problema 4 Problema 5
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12. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
3
12
330 1
3 i
Problema 6
7. Hallar la forma polar de los números complejos siguientes
a) 5.
ϴ = 0°, r = 5; luego 5 = 5(cos 0° + i sen 0°).
b) 2i,
ϴ = 90°, r = 5; luego 2i = 5(cos 90° + i sen 90°).
c) -4
ϴ = 180°, r = 4; luego 4 = 4(cos 180° + i sen 180°).
d) -4i.
ϴ = 270°, r = 4; luego 4 i = 4(cos 270° + i sen 270°).
a) b) c) d)
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13. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
Escriba los siguientes numerous complejos en la forma rectangular (a + b i)
a) 2(cos 30° + i sen 30°)
b) 6 (cos 60° + i sen 60°)
c) 10 (cos 45° + i sen 45°)
d) 3 (cos 90° + i sen 90°)
e) 2 (cos 150° + i sen 150°
f) 8 (cos 240° i sen 240°) 13
g) 6(cos 315° + I sen 315°)
h) 4 (cos 120° + I sen 1230°)
(d)
-x
.
FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
ZI (k = O) = 2(cos lo° + i sen 10°)
=2 (k = 1) = 2(cos 82° + i sen 82°)
=3 (k = 2) = 2(cos 154° + i sen 154°)
=4 (k = 3) = 2(cos 226° + i sen 226°)
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14. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
Zs (k = 4) = 2(cos 298° + i sen 298°)
14
50° + k 360" + i sen -)
5
00 + k 360° -3-'
- ZI (k = O) = 2(cos 0° + i sen 0°) = 2(1 + Oi) = 2
Z2 (k = I) = 2(cos 120° + i sen 120°) = 2( -t + tJ3i) = -I + J3i Z3 (k = 2) = 2(cos 240°
+ i sen 240°} = 2( -t -tJ3i) = -I -J3i
)
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15. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
15
(c)
(d)
180° + k l(()O
--+isen
3
180° + k 360° --
1
=1 (k = O) = cos 60° + i sen 60° = t + t.j3i =2 (k = 1) = cos 180° + i sen 180° = -1
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16. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
=3 (k = 2)= cos 300° + i sen 300° = t -t.j3i
13. Hallar las raíces siguientes : a) Raíces cuartas de I.
b) Raíces cúbicas de I -i c) Raíces cúbicas de -8i
d) Raíces cuartas de 2 + 2,,!i¡ .
16
.x
a) II/4 = [1(cos 00 + i sen 00)]1/4 = cos
~+k360° 4
Zl (k = O) = cos 0° + i sen 0° = 1 + Oi = 1 Z2 (k = 1) = cos 90° + i sen 90° = 0 + i = i
+ i sen
00 + k 360° 4
179
ZJ (k = 2) = cos 180° + i sen 180° = -I Z4 (k = 3) = cos 270° + i sen 270° = -i
b) (I -;)1/3 = [J2(COS 315° +
seo 315°)]1/3 = ~(cos
315° + k 360° 3
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17. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
ZI (k = O) = ~(cos 105° + i sen 105°) Z2 (k = I) = ~(cos 225° + i sen 225°) Z3 (k = 2)
= ~(cos 345° + i sen 345°)
315° + k 360° +isen 3 )
c)
17
-8;)1/3 = [8(cos 270° + i sen 270°)]1/3 = 2(cos
270° + k 360° 3
+ i sen
ZI (k = O) =2(cos 90° + i sen 90°) = 2(0 + i) = 2i
Z2 (k = I) = 2(cos 210° + i sen 210°) = 2( -t.j3 -ti) = -.j3 -i Z3 (k = 2) = 2(cos 330° + i
sen 330°) = 2(t.j3 -ti) = .j3 -i
270° + k 360° 3 ¡
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18. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
18
(a)
(c)
(b)
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19. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
19
-x
(d)
14. Efectuar analítica y gráficamente las operaciones indicadas :
a) (3 + 4i) + (4 + 3i) b) (2 -i) + (-4 + Si)
c) (4-3i)-(-2+i)
d) ( -2 + 2i) -( -2 -i)
15. Escribir los siguientes números complejos en forma polar :
a) 3 -3;
b) -./3 + i
c) 4 -4Jjr d) -5
e} 6fi+6; I} ~4 ~ 4;
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20. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
g) 2
11) iJ3
16. Escribir los números complejos siguientes en la forma rectangular (a + bi) ¡
20
;)-2;
.n ,-1+;
a) 4(cos 45°+ i sen 45°) b) 12(cos 30° + i sen 30°) c) 6(cos 120° + i sen 120°) d)
8(cos 180° + i sen 180°) e) 3(cos 270° + i sen 270°)
f) ,10J2(cos 225° + i sen 225°) g) 2(cos 300° + i sen 3000) h) .5(cos 360° + i sen
360°) i) 8(cos 90° + i sen 90°)
.i) 16(cos 210° + i sen 210°)
17. Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en forma
rectangular:
~
a) [3(cos 15° + i sen 15°)][2(cos 75° + i sen 75°)] b) [4(cos 40° + i sen 40°)][5(cos 20°
+ i sen 20°)]
C) [2(cos 100° + i sen 1000)][ 4(cos 50° + t sen 50°)] d) [6(cos 25° +' i sen 25°)][3(cos
290° + i sen 290°)]
e) 20(cos 83° ~í sen 83°) 6~(cos 40" + i sen 40°) 5(cos 23° + i sen 23°) f) , 3(cos 190°
+ i sen 1900)
g) [2(cos 12° + i sen 12°)][3(cos 84° + i sen 84°)][5(cos 24° + i sen 24°)] 12(cos 16° +
i sen 16°)
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21. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
h)
[3(44° .
44°)][2(62" .62°
)]cos + I sen COS +J sen
- 21
18. Hallar analítica y gráficamente el producto y cociente indicados:
a) (-I + J3;)(2J3 -2;)
b)
4- 4; -yij-;
19. Hallar las potencias indicadas de los números complejos siguientes, expresando
los resultados en forma rectangular .
b)[5(cos 30° + i sen 30°)]3 d) [4(cos 20° + i sen 20°)]3 r;;-
) (IV 3 111° b) [5(cos 30° + i sen 30°)]3 e) (-I + i)6 9 2 -21
h) (tj:2 + tJii)3O
e) [J2(cos 36° + i sen 366)]5
i) (I + .J3if
20. Hallar todas las ra'íces indicadas y representarlas gráficamente :
a} 00)
., c
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22. Matemáticas III
“El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”
b) ,481.{cos 180"+.,i sen 1800)
e)~ I) Y=32
i)
c) 38(cos 60" + (sen 60") 22
d) 5 32(cos 200" + i sen200°)
g) .;fi j¡)~
;¡
,
.:.Y," r;.::.¡ ..fr;),- ...
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