1. ‫##اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت واﻹﺗﺼﺎل - اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ##‬
‫ﻟﺘﺤﺪ ﻳﺪ ) ‪ lim f (x‬ﺣﯿﺚ 0 ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ‪ ‬أو ‪ x 0  ‬ﻧﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺪوﻟﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ:‬ ‫1 ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت:‬
‫0 ‪x X‬‬
‫0‬ ‫‪‬‬ ‫0‬
‫ﺷﻜﻞ‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬
‫‪l‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 l ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬
‫اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬
‫0‪l ‬‬ ‫0‬ ‫‪l‬‬
‫أﺷﻜﺎل ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪدة ﻻ‬
‫ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫0‪l 0 l 0 l 0 l ‬‬
‫ﺣﺴﺎب اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ‬
‫ﻧﺘﯿﺠﺘﮫﺎ‬ ‫ﻣﺒﺎﺷﺮة.‬
‫) ‪lim f (x‬‬ ‫ﻳﺠﺐ اﻟﺘﻔﻜﯿﺮ ﻓﻲ:‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫‪l‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫0 ‪x X‬‬
‫- ﻧﮫﺎﻳﺎت اﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫-اﻟﺘﻌﻤﯿﻞ ﺛﻢ اﻻﺧﺘﺰال.‬
‫-اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮاﻓﻖ.‬
‫-ﺗﻘﻨﯿﺎت أﺧﺮى‬
‫ﻛﺎﻟﺘﺎطﯿﺮ ﻣﺜﻼ.‬
‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت:‬
‫‪lim f (x )      ‬‬ ‫0‬ ‫0‪0 l 0 l 0 l 0 l ‬‬ ‫0‪0 l 0 l 0 l 0 l ‬‬ ‫‪l‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫‪lim g (x ) g0 g0 g0 g0        ‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‪0 l ' ‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫0‪g0 g0 g0 g‬‬
‫) ‪lim (f  g )(x‬‬ ‫0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫' ‪l l l‬‬
‫0 ‪x x‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪?       ‬‬
‫) ‪lim (f  g )(x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫' ‪0 l l‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫?‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫‪?  ‬‬ ‫?‬ ‫‪?    ‬‬
‫) ‪f (x‬‬ ‫‪l‬‬
‫‪lim‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫?‬ ‫‪   ‬‬
‫0 ‪x x‬‬ ‫) ‪g (x‬‬ ‫'‪l‬‬
‫ﻧﺘﺎﺋﺞ:‬
‫‪  , a n‬‬ ‫‪ 0 : n . pair‬‬
‫‪  , a‬‬ ‫‪ 0 : n . pair‬‬
‫1‪n ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪lim (a n x‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪ a n 1 x‬‬ ‫‪ ....a1 x  a 0 )  lim (a n x )  ‬‬
‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪  , a n‬‬ ‫‪ 0 : n .im pair‬‬
‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬
‫‪  , a n‬‬
‫‪‬‬ ‫‪ 0 : n .im pair‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0, n  m‬‬
‫‪ a x n  a n 1x n 1  ....a 0 ‬‬ ‫‪ an x‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪lim  n m‬‬ ‫1‪m ‬‬ ‫‪  x  ‬‬
‫‪lim‬‬ ‫‪    , n  m‬‬
‫‪x  b x‬‬
‫‪ m‬‬ ‫‪ b m 1 x‬‬ ‫‪ ....b 0 ‬‬ ‫‪ bm x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪ n ,n  m‬‬
‫‪bm‬‬
‫‪‬‬
‫1( ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن دا ﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ﺑﺪون أن ﺗﻘﺒﻞ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ﻣﺜﻼ: )1 ‪ f (x )  x 2 (x ‬ﻣﻌﺮﻓﺔ‬
‫ﻓﻲ0 وﻟﯿﺴﺖ ﻟﮫﺎ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ.‬
‫1‪x ‬‬
‫2‬
‫‪ f (x ) ‬ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ1‬ ‫2( ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن دا ﻟﺔ ‪ f‬ﻏﯿﺮﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ﻣﺜﻼ:‬
‫1‪x ‬‬
‫ﻟﻜﻦ 2 ‪lim f (x ) ‬‬
‫1‪x ‬‬
‫3( ﻟﻜﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ‪ f‬ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ﻳﺠﺐ أن ﺗﻜﻮن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺠﻮار 0 ‪. x‬‬
‫4( ﻳﻤﻨﻊ ﻣﻨﻌﺎ ﻛﻠﯿﺎ ﺗﻔﻜﯿﻚ ﻧﮫﺎﻳﺘﯿﻦ اﻻ ﺑﺸﺮوط. ﻣﺜﻼ:‬
‫1‬
‫) ‪. g (x )   sin(x‬‬ ‫و‬ ‫إذا إﻋﺘﺒﺮﻧﺎ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﯿﻦ ب: ) ‪f (x )  sin(x‬‬
‫‪x‬‬

2. ‫‪ f‬و ‪ g‬ﻟﯿﺴﺖ ﻟﮫﻤﺎ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺑﺠﻮار ‪ ‬ﻟﻜﻦ: 0 ‪lim (f (x )  g (x )) ‬‬
‫‪x ‬‬
‫ﻧﮫﺎﻳﺎت اﻋﺘﯿﺎدﻳﺔﻟﺪوال ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ:‬
‫‪1  cos  ax ‬‬ ‫1‬ ‫‪tan  ax ‬‬ ‫‪sin  ax ‬‬
‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫1‪‬‬
‫‪ax ‬‬
‫0‪x ‬‬ ‫2‬ ‫0‪x ‬‬ ‫0‪x ‬‬
‫2‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪ax‬‬
‫‪lim tan (x )  ‬‬ ‫‪lim tan (x )  ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫2‬ ‫2‬
‫2 اﻹﺗﺼﺎل:‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ1:‬
‫ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ﻳﺠﺐ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:‬
‫‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ 0 ‪. x‬‬ ‫ﺷﺮط1:‬
‫ﺷﺮط2: ‪. lim f (x )  ‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫ﺷﺮط3: ) 0 ‪. lim f (x )  f (x‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ2:‬
‫**( ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ‪x 0 lim f (x )  f (x 0 ) ‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫**( ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ ‪x 0 lim f (x )  f (x 0 ) ‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫ﺧﺎﺻﯿﺔ:‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪ x‬اذا وﻓﻘﻂ اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎرﻓﻲ 0 ‪x‬‬
‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ:‬
‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل:‬
‫**ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ a , b ‬اذا وﻓﻘﻂ اذا ﻛﺎﻧﺖ:‬
‫--ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻔﺘﻮح ‪. a , b ‬‬
‫--ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ ‪. a‬‬
‫-- ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪. b‬‬
‫** اذا ﻛﺎﻧﺖ : ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪ x‬و ‪ g‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪ x‬ﻓﺎن‬
‫‪ f  g‬و ‪ f  g‬و ‪   f‬و ‪ f‬دوال ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪. x‬‬
‫‪f‬‬
‫داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪ x‬ﻣﻊ) 0 ‪. g (x 0 ) ‬‬ ‫و‬
‫‪g‬‬
‫**اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ:‬
‫*ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪. ‬‬
‫*ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﯿﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ.‬
‫*اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ‪ cos‬و‪ sin‬ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ‪. ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫*اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ‪Tangente‬ﻣﺘﺼﻠﺔﻋﻠﻰ ‪    k  ; k   ‬‬
‫2‪‬‬ ‫‪‬‬
‫اﻟﺘﻤﺪﻳﺪﺑﺎﻻ ﺗﺼﺎ ل:‬
‫* ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺗﻤﺪﻳﺪا ﺑﺎﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬اذا ﻛﺎن:‬
‫‪ x 0  D f‬و ‪lim f (x )  l  ‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫* اﻟﺘﻤﺪﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺼﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 ‪ x‬ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬
‫‪f (x ); x  D f‬‬
‫‪g (x )  ‬‬ ‫ﺑﻤﺎﻳﻠﻲ:‬
‫0 ‪l ; x  x‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح و ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺮ 0 ‪. x‬‬ ‫3 اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت واﻟﺘﺮﺗﯿﺐ:‬

3. ‫) ‪ f (x )  l  u (x‬‬
‫‪1) ‬‬
‫0 ‪ lim u (x ) ‬‬ ‫‪ lim f (x )  l‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪u (x )  f (x )  v (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2) ‬‬ ‫‪ lim f (x )  l‬‬
‫‪lim u (x )  lim v (x )  l‬‬ ‫0 ‪x x‬‬
‫0 ‪ x x‬‬
‫‪‬‬ ‫0 ‪x x‬‬
‫) ‪u (x )  f (x‬‬
‫‪3) ‬‬
‫‪ lim u ( x )    xlim f ( x )  ‬‬
‫0 ‪x‬‬
‫0 ‪ x x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f ( x )  v ( x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4) ‬‬ ‫‪ lim f (x )  ‬‬
‫0 ‪lim v (x )   x x‬‬
‫0 ‪ x x‬‬
‫‪‬‬
‫4 ﻧﮫﺎﻳﺔ واﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺒﺔ داﻟﺘﯿﻦ:‬
‫‪f (I )  J‬‬
‫* ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و‪ g‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺑﺤﯿﺚ:‬
‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن: اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ‪ gof‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬
‫‪f (I )  J‬‬
‫* ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬ﻣﻨﻘﻂ ﻣﺮﻛﺰه ‪ a‬و‪ g‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺑﺤﯿﺚ:‬
‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ lim f (x )  l‬و ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ‪ l‬ﻓﺎن: اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ‪ gof‬ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ) ‪ g (l‬ﻓﻲ ‪x0=a‬‬
‫0 ‪x x‬‬
‫5 ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ:‬
‫1 ( ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﻣﻐﻠﻖ ‪:  a, b ‬‬
‫‪ f‬ھﻮ ﻣﺠﺎل ‪ m, M ‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪  a, b ‬ﻓﺎن ﺻﻮرة ‪  a, b ‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﺑﺤﯿﺚ: ‪ m  inf  f ( x)  ; x   a, b ‬و ‪M  sup  f ( x)  ; x   a, b ‬‬
‫‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪f ( a, b )   m, M    a, b‬‬
‫2( ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ:‬
‫-- اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪  a, b ‬ﻓﺎن ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ‪ ‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ) ‪ f (a‬و )‪ f (b‬ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ‬
‫ﻋﺪد ‪ ‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ‪  a, b ‬ﺑﺤﯿﺚ ﻳﻜﻮن ‪. f ( )  ‬‬
‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ:‬
‫-- اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪  a, b‬وﻛﺎن 0 ‪f (a ).f (b ) ‬‬
‫ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  a, b ‬‬ ‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 ‪f ( x) ‬‬
‫.‬ ‫رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ وﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﻄﯿﺎت اﻟﺨﺎﺻﯿﺔ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ‪ a, b‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪f‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ :‬
‫3( ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ:‬
‫‪ (a‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪: I‬‬
‫‪f (a , b )   f (a ), lim f ( x‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪f a, b    f (a ), f (b ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪x b‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (a,b )   lim f (x ), lim f (x )‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( a , b )   lim f ( x ), f (b ) ‬‬
‫‪ x a‬‬ ‫‪x b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ x a‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (  , a )   lim f ( x ), lim f ( x‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪f (a , )   f (a ), lim f ( x ) ‬‬ ‫‪f (, )   lim f (x ), lim f (x )‬‬
‫‪ x  ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬

4. ‫‪ ( b‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪: I‬‬
‫‪f (a , b )   lim f ( x ), f (a ) ‬‬ ‫‪f a , b    f (b ), f (a ) ‬‬
‫‪ x b‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (a,b)   lim f (x ), lim f (x ) f ( a , b )   f (b ), lim f ( x ) ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x b ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪( , a )   lim f ( x ), lim f ( x )  f (a , )   lim f ( x ), f (a )  f (, )   lim f (x ), lim f (x )‬‬
‫‪f‬‬ ‫‪ x a‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬
‫6 اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ:‬
‫ﻣﺒﺮھﻨﺔ: ا ذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل )‪. J = f(I‬‬
‫1-‬ ‫1-‬
‫‪ f‬ﺑﺪورھﺎ‬ ‫‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ‪ J‬ﻧﺤﻮ ‪. I‬‬ ‫-- ﻛﻞ داﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ‬
‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ) ‪.f(I‬‬
‫-- ‪ f‬و1- ‪ f‬ﻟﮫﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻰ اﻟﺘﻐﯿﺮات.‬
‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬وﻣﻨﺤﻨﯩﺎﻟﺪاﻟﺔ1- ‪ f‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻤﻨﺼﻒ اﻻول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬
‫‪(x  I ) : f 1of ( x)  x‬‬
‫‪(y  f ( I )) : fof 1 ( y )  y‬‬
‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت:‬
‫1 ( داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪. n    1 : n‬‬
‫*‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب ‪ f : x  x n‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ‪  ‬ﻧﺤﻮ ‪  ‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:‬ ‫1-‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ‬
‫‪f‬‬ ‫1‪‬‬
‫‪:   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x n x‬‬
‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪. n‬‬ ‫‪n‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ 1- ‪ f‬أو‬
‫2(ﺧﺎﺻﯿﺎت و ﻧﺘﺎﺋﺞ:‬
‫‪‬‬
‫‪y x‬‬
‫‪‬‬ ‫‪x  y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬ ‫1(‬
‫‪ x, y      x, y    ‬‬
‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪n x  n y  x  y‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x, y )   ‬‬ ‫2(‬
‫‪ x n y x y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫3 ( ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻣﻦ ‪ ،  ‬ﻟﺪ ﻳﻨﺎ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ:‬
‫‪x‬‬ ‫‪(n x)p  n xp‬‬ ‫‪( n x )n  x‬‬
‫‪np‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xp‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫‪‬‬ ‫0‪;y ‬‬ ‫‪x . n y  n x. y‬‬ ‫‪n p‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪np‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬
‫‪n‬‬ ‫4 ( اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬
‫ﻛﺬاﻟﻚ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬
‫‪ lim f ( x)  l‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫0‪  x x‬ﻓﺎن ‪f ( x)  n l‬‬ ‫5 ( اذا ﻛﺎن‬
‫0‪x  x‬‬
‫0 ‪l ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫6 ( اذا ﻛﺎن ‪ lim f ( x)  ‬ﻓﺎن ‪f ( x)  ‬‬
‫0‪x  x‬‬ ‫0‪x  x‬‬