Konsep Sinyal dan Sistem

of 27
SISTEM LINIER, Representasi Sinyal Dan Sistem
Sinyal dan sistem merupakan dua buah konsep yang paling mendasar dalam pengolahan sinyal,
sebagaimana juga dalam banyak disiplin ilmu yang lain. Sinyal merupakan pola perubahan
kuantitas/besaran fisik seperti halnya temperatur, tekanan, tegangan, intensitas cahaya dan lainnya.
Sistem mengoperasikan sinyal untuk menghasilkan sinyal baru.
Sebagai contoh, mikrofon mengubah tekanan udara menjadi arus listrik dan speaker mengubah arus
listrik menjadi tekanan udara kembali.
SINYAL Besaran yang dapat dideteksi yang mengandung informasi
SISTEM Mengoperasikan sinyal menghasilkan sinyal yang baru

of 27
Salah satu cara untuk mengklasifikasi sinyal adalah berdasarkan sifat dari variabel bebasnya. Jika
variabel bebas tersebut kontinyu, maka sinyal tersebut Sinyal Waktu Kontinyu.
Suatu sinyal waktu kontinyu x(t) disebut diskontinyu (amplitudonya) saat t = t1, jika :
x(t1
-
)  x (t1
+
), dimana t1 - t1
-
dan t1
+
- t1 adalah bilangan positip sangat kecil.
Jika sinyal x(t) kontinyu untuk semua t, maka sinyal x(t) disebut sinyal kontinyu, sedangkan jika x(t)
kontinyu untuk semua t kecuali pada beberapa titik, maka sinyal x(t) disebut “kontinyu persegmen”
(piecewise continuous).
Sebagai contoh, fungsi pulsa persegi rect (t/ ) yang didefinisikan sebagai berikut :








2/|t|,0
2/|t|,1
)/t(rect
Jika variabel bebas hanya memiliki nilai diskrit t = kTs, dimana Ts adalah bilangan riil positip tetap,
dan k himpunan bilangan bulat (k = 0,  1,  2, ...), maka sinyal yang bersesuaian x(kTs) disebut
Sinyal Waktu Diskrit.
KLASIFIKASI SINYAL Sinyal Waktu Kontinyu – Sinyal Waktu Diskrit
1
2/
1
2/
rect( 2/ )

of 27
Sinyal waktu kontinyu yang memenuhi kondisi
x(t) = x(t + kT), k = 1, 2, …
dimana T adalah konstanta (perioda dasar), diklasifikasikan sebagai sinyal periodik.
Suatu sinyal x(t) yang tidak periodik disebut sinyal aperiodik/nonperiodik.
Penjumlahan dua sinyal periodik :
z(t) = ax(t) + by(t),
dengan : x(t) = x(t + kT1)
y(t) = y(t + lT2)
dimana k dan l adalah bilangan bulat.
Maka : z(t) = z(t + T)
= ax(t + T) + by(t + T)
= ax(t + kT1) + by(t + lT2)
Jadi T = kT1 = lT2, atau T1/T2 = l/k.
Karena sinyal periodik merupakan sinyal dengan durasi tak berhingga (mulai t = - sampai t =  ),
maka semua sinyal dalam praktek dikategorikan sinyal nonperiodik.
KLASIFIKASI SINYAL Sinyal Periodik – Sinyal Tidak Periodik

of 27
Misalkan x(t) menyatakan tegangan pada tahanan R, maka arus yang dihasilkan adalah i(t) = x(t)/R.
Daya sesaat dari sinyal , R i2
(t) = x2
(t)/R dan energi yang dikeluarkan dalam interval dt adalah
x2
(t)/R dt. Secara umum, kita tidak perlu mengetahui apakah x(t) berupa tegangan atau arus, dan
untuk normalisasi daya, diasumsikan R = 1 . Maka daya sesaat dari sinyal x(t) adalah x2
(t).
Energi total dari sinyal dalam interval t  ( -, ) didefinisikan sebagai


L
LL
dttxLimE 2
|)(|
Daya rata-ratanya didefinisikan sebagai :






 
L
LL
dttx
L
LimP 2
|)(|
2
1
Apabila 0< E <  , maka sinyal x(t) disebut sinyal energi. Sinyal energi memiliki daya nol.
Apabila 0 < P <  , maka sinyal x(t) disebut sinyal daya. Sinyal daya memiliki energi tak berhingga.
Untuk sinyal diskrit x[n], energi total dan daya rata-ratanya didefinisikan sebagai :
 






N
Nn
N
nxnxLimE
n
22
|][||][|


 

N
Nn
N
nx
N
LimP 2
|][|
12
1
KLASIFIKASI SINYAL Sinyal Daya dan Sinyal Energi

of 27
Sinyal x(t-t0) menyatakan sinyal x(t) digeser (sumbu waktunya) sebesar t0.
Jika t0 > 0, maka sinyal tersebut dilambatkan / didelay sebesar t0 detik.
Secara fisik, t0 tidak boleh berharga negatif, tetapi secara analitik x(t-t0), untuk t0 < 0 menyatakan
tiruan dari x(t) yang dimajukan waktunya sebesar t0.
Operasi Pergeseran
- t1 0 t1 t
TRANSFORMASI SINYAL Operasi Pergeseran
x(t)
0 t0- t1 t0 t0+t1
x(t-t0)

of 27
Sinyal x(-t) menyatakan sinyal x(t) yang direfleksikan terhadap t = 0.
Untuk sinyal diskrit, x[-n] menyatakan sinyal x[n] yang direfleksikan terhadap n = 0.
Operasi Refleksi
Perlu diperhatikan bahwa operasi pergeseran dan refleksi ini tidak komutatif.
0 1
0
-1
-1
-2
-2-3-4
x(-t)
x(-t-3)
t
t
0 1
0 1
2
2 3 4
-1
x(t)
x(3-t)
t
t
TRANSFORMASI SINYAL Operasi Refleksi
-5

of 27
Sinyal x(t) disebut sebagai sinyal genap jika berlaku
x ( -t ) = x ( t )
Dan disebut sinyal ganjil jika berlaku
x ( -t ) = -x ( t )
Sinyal sebarang x(t) selalu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sinyal genap dan ganjil :
x ( t ) = xe ( t ) + xo ( t )
Dimana xl (t) adalah bagian genap dari x(t),
yang diberikan oleh :
xe ( t ) = ½ [ x ( t ) + x ( -t )]
Sedangkan x0(t) adalah bagian ganjil dari x(t),
x0(t) dapat diperoleh dari
xo ( t ) = ½ [ x ( t ) – x ( - t )]
Dengan cara yang sama, definisi diatas juga berlaku untuk sinyal diskrit .
KLASIFIKASI SINYAL Sinyal Ganjil dan Genap

of 27
Sinyal






0t,0
0t,)exp(
)(
tA
tx

Bagian ganjil dari sinyal x(t) adalah :
Sedangkan bagian genap sinyal x(t) adalah :
|)|exp(
2
1
0t,)exp(
2
1
0t,)exp(
2
1
)(
tA
tA
tA
txl












KLASIFIKASI SINYAL Contoh Sinyal Ganjil dan Genap








0t,)texp(A
2
1
-
0t,)texp(A
2
1
)t(x0
0 t
0 t
xe(t)
xo(t)
A/2
-A/2
A/2

of 27
Variabel bebas dari sinyal waktu kontinyu x(t) dapat diskala dengan parameter .
 Jika | | > 1 , maka x ( t ) menyatakan x(t) yang disusutkan interval waktuya.
 Jika |  | <1 , maka x ( t ) menyatakan x(t) yang dikembangkan interval waktunya.
Contoh :
Operasi Penyekalaan Waktu
TRANSFORMASI SINYAL Penyekalaan Waktu
-1 0 1 t
x(t)
2
x(2t)
2
-1 0 1 t -2 -1 0 1 2 t
x(t/2
)
2

of 27
No Sinyal Dasar Fungsi Grafik
1 Unit Step






0t,0
0t,1
)(tu
2 Unit Ramp






0t,t
0t,
)(
t
tr
3 Unit Impulse  
2
1
21 0t)0()()(
t
t
txdtttx 
4 Sampling
t
tSin
tSa )( 


t
SINYAL DASAR Sinyal Waktu Kontinyu Elementer
u(t)
1
t
r(t)
1
1
t

t
t
Sa(t)1

2
33
2


of 27
Sifat-sifat fungsi impuls satuan :
(i) )0(
(ii) 0t,0)( t
(iii) 


 1)( dtt
(iv) (t) merupakan fungsi genap, yaitu (t)=(-t)
Sifat-sifat operasi fungsi impuls
(i) Sifat Pergeseran
 

 

2
1 lainyang,0
t,)(
)()(
2010
0
t
t
tttx
dttttx 
atau secara umum



  dtxtx )()()(
yang menyatakan x(t) sebagai penjumlahan kontinyu impuls berbobot
SINYAL DASAR Fungsi Impuls Satuan

of 27
(ii) Sifat Sampling
Jika x(t) kontinyu di t0, maka
x ( t )  ( t- t0) = x ( t0 )  ( t-t0 )
(iii) Sifat scalling
)(
||
1
)(
b
a
t
a
bat  
Relasi antara sinyal unit impulse, unit step dan unit ramp diberikan oleh persamaan berikut :



t
d)()t(u



t
d)(u)t(r
SINYAL DASAR Fungsi Impuls Satuan

of 27
No Sinyal Dasar Fungsi Grafik
1 Unit Impulse






0n,0
0n,1
][n
2 Unit Step
3 Sekuen Eksponensial x[n] = C n
SINYAL DASAR Sinyal Waktu Diskrit Elementer
u n
n
n
[ ]
,
,






1 0
0 0
 [n]
n
u[n]
0 1 2 3 4 n
1
1
x[n]
0 1 2 3 4 n
C

of 27
Representasi Orthogonal dari suatu sinyal dapat mempermudah perhitungan dan juga berfungsi untuk
memberikan perhitungan visualisasi sinyal sebagai suatu vektor dalam sistem koordinat tegak lurus
(orthogonal) dimana gelombang orthogonal sebagai koordinat satuan
Suatu himpunan sinyal i , i = 1,2,3,... disebut orthogonal dalam interval (a,b) jika
 





b
a
k
kl
E
dttt
kl,0
kl,
)()( 
)( klEk  
dimana superscript * menunjukkan kompleks sekawan dan [l-k] disebut fungsi delta Kronecker
yang didefinisikan sebagai :






kl,0
kl,1
)( kl
Jika Ek = 1 maka i (t) disebut sinyal “Orthogonal”. Normalisasi setiap himpunan i(t) dapat
dilakukan dengan membagi setiap sinyal dengan iE .
SINYAL Representasi Orthogonal

of 27
Misalkan i (t) adalah himpunan orthogonal dalam interval a < t < b, dan x(t) adalah sinyal yang
diketahui dengan energi berhingga dalam interval yang sama, maka x(t) dapat dinyatakan dalam i(t)
dengan menggunakan deret konvergen




i
ii tCtx )()( 
dimana
 
b
a
ii dtttxC 2,...1,0,i,)()( 
Jika x(t) himpunan orthogonal , maka Ci berbentuk
1,...0,k,)()(
1
 

dtttx
E
C
b
a
k
k
k 
Representasi deret ini disebut generalisasi deret Fourier dan konstanta Ck disebut koefisien Fourier.
Tinjauan lebih jauh tentang deret Fourier akan diberikan pada pokok bahasan lebih lanjut.
SINYAL Representasi Orthogonal

of 27
Sebagaimana sinyal, sistem juga dapat diklasifikasikan menjadi sistem waktu kontinyu dan sistem
waktu diskrit.
Disamping sistem waktu kontinyu dan waktu diskrit, terdapat sistem gabungan (Hybrid), yang
mentransformasi sinyal input waktu kontinyu menjadi sinyal output waktu diskrit atau sebaliknya.
(a) Sistem waktu kontinyu (b) Sistem waktu diskrit
Sistem
waktu kontinyu
Sistem
waktu diskrit
(a)
(b)
input : x(t)
input : x[n]
output : y(t)
output : y[n]
SISTEM Sistem Waktu Kontinyu dan Sistem Waktu Diskrit

of 27
Hubungan seri / cascade
Hubungan Paralel
Hubungan Seri Paralel
Hubungan Umpan Balik (Feedback)
SISTEM Hubungan Antar Sistem
input outputsistem 1 sistem 2
input
sistem 1
sistem 2
output
sistem 1 sistem 2
sistem 3
sistem 4input output
sistem 1
sistem 2
input output
-
+

of 27
Suatu sistem adalah linier, jika memenuhi :
a. x1(t) + x2(t)  y1(t) + y2(t) ( sifat aditif )
b. x1(t)  y1(t) ( sifat homogen )
Dua sifat di atas dapat di kombinasi menjadi satu pernyataan berikut (contoh waktu diskrit) :
 x1[n] +  x2 [n]   y1[n] +  y2 [n]
suatu sistem disebut non linier jika tidak memenuhi di atas.
Contoh 1 : ; R1 = R2 = 1 ohm
jika x(t) = ax1(t) + b x2(t), maka ;
y(t) = ½ x(t)
= ½ {ax1(t) + bx2(t)} = ½ a x1(t) + bx2(t)
= ay1(t) + by2(t)
dimana, y1(t) = ½ x1(t) dan y2(t) = ½ x2 (t)
Jadi sistem di atas menunjukkan contoh sistem linier.
R1
R2
+
_
y(t)
x(t)
KLASIFIKASI SISTEM Sistem Linier / Non Linier
)t(x
2
1
)t(x
RR
R
y(t)
21
2




of 27
Contoh 2 :
Untuk sistem di samping, diperoleh :
 












t
t
dxt
RCRC
tt
RCRC
ty
ty
0
00 tt,,)()(
1
exp
1
)(
1
exp
)0(
)( 
Jika input x(t) = x1(t) + x2(t) , maka ;
)()()(
1
exp
RC
)()()(
1
exp)(
1
exp
)(
)(
t
t
2
10
0
0
0


























dxt
RC
dxt
CRRC
tt
RCRC
ty
ty
t
t
Untuk contoh di atas, jika input x1(t) dan x2(t) menghasilkan output y1(t) dan y2(t), maka ;


















 
t
t
dxt
RCRC
tt
RCRC
ty
tyty
0
)()(
1
exp
1
)(
1
exp
)(
)()( 10
0
21 


















 
t
t
dxt
RCRC
tt
RCRC
ty
0
)()(
1
exp
1
)(
1
exp
)(
20
0

  






t
t
dxxt
RCRC 0
)()()(
1
exp
1
21 
Sistem seperti ini dapat digolongkan sebagai “incrementally linier system".
R
C
+
_
y(t)
x(t)
i(t)
KLASIFIKASI SISTEM Sistem Linier / Non Linier

of 27
Suatu sistem disebut time-invariant jika pergeseran waktu pada input menyebabkan pergeseran
waktu yang sama pada output, sehingga :
jika x(t)  y(t),
maka x(t - t0)  y(t - t0).
Contoh 1 :
Sistem waktu kontinyu :
y(t) = cos x(t)
Untuk sistem ini y(t-t0) = cos x(t-t0),
sedangkan jika diberi input x1(t) = x(t-t0), maka ;
y1(t) = cos x1 ( t )
= cos x ( t - t0 )
= y ( t - t0 )
Jadi sistem tersebut termasuk sistem time-invariant (tidak berubah waktu ),
KLASIFIKASI SISTEM Sistem Time Invariant / Time-Varying

of 27
Suatu sistem disebut “memoryless” (tanpa memory) jika outputnya untuk tiap-tiap nilai variabel
bebas hanya bergantung pada input pada saat yang sama.
Contoh :
Apakah sistem berikut termasuk tanpa memory / dengan memory ?
a. y [ n ] = x [ n ]
b. y ( t ) = x ( t -1 )
c. 


n
k
x[k]y[n]
d.  

t
d)(x
C
1
)t(y
e. y(t) = R x (t)
KLASIFIKASI SISTEM Sistem dengan Memory / Tanpa Memory

of 27
Suatu sistem disebut causal (disebut juga dapat direalisasikan secara fisik), jika output pada setiap
waktu, bergantung hanya pada input saat itu dan input sebelumnya. Sistem yang tidak causal disebut
noncausal (anticipatory)
Contoh :
sistem causal : y (t) = x ( t- 2 ) ; y [ n ] = x [ n ]
sistem noncausal : y (t) = x ( t+2 ) ; y [ n ] = x [ n ] -x [ n+1 ]
KLASIFIKASI SISTEM Sistem Causal

of 27
Suatu sistem disebut invertible jika dengan mengamati output, kita dapat mengamati inputnya. Yaitu
kita dapat menyusun suatu sistem inversi yang jika diseri dengan sistem aslinya, maka menghasilkan
output yang sama dengan input sistem aslinya. Gambar berikut menunjukkan konsep sistem inversi
Contoh :
Tentukan apakah sistem berikut invertible ! Jika ya dapatkan sistem inversnya!
a. y ( t ) = 2 x ( t )
b. y ( t ) = cos x ( t )
c.  

t
0)y(-,d)(x)t(y
d. y ( t ) = x ( t + 1 )
x[n] z[n]=x[n]sistem
sistem
inversi
y[n]
KLASIFIKASI SISTEM Sistem invertible / Noninvertible

of 27
Ada banyak cara untuk menentukan stabilitas suatu sistem. Salah satu caranya adalah stabilitas BIBO
(Bounded Input Bounded Output ). Suatu sistem disebut stabil jika untuk setiap input yang bounded,
maka outputnya juga bounded. Yaitu :
|x ( t )|< 1<   |y (t) | < 2 < 
Contoh :
Tentukan apakah sistem berikut stabil BIBO ?
a. y (t) = exp [x (t)]
b. 


 d)(x)t(y
c. 



k
]n[x]n[y
KLASIFIKASI SISTEM Sistem Stabil / Tidak Stabil

of 27
Diskripsi Matematik yang dapat menggambarkan perilaku suatu sistem disebut model matematik.
Model matematik dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, bergantung pada kondisi
sistem dan keperluan. Untuk sistem dinamis, model matematik yang banyak digunakan adalah :
 Integral ( Penjumlahan ) Konvolusi
 Persamaan Differensial / Persamaan Beda
 Persamaan Ruang - Keadaan (State-Space)
 Fungsi Alih
Tinjauan lebih jauh tentang hal ini dibahas dalam Bab 2 untuk sistem waktu kontinyu, dan Bab 6
untuk sistem waktu diskrit.
REPRESENTASI SISTEM Model Matematik

of 27
Diagram Blok adalah representasi hubungan sebab akibat antara input dan output suatu sistem
dengan menggunakan gambar.
Kotak pada diagram blok berisi nama elemen atau sistem atau simbol operasi matematik yang
dilakukan terhadap input untuk menghasilkan output.
Contoh : tinjau sistem rangakaian RC yang telah dibahas sebelumnya
+
outputx[n]
blok
x(t) y(t)1/R C dt
i(t)
_
REPRESENTASI SISTEM Diagram Blok
R
C
+
_
y(t)x(t) i(t)
+
_

of 27
Grafik Aliran Sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan persamaan simultan suatu sistem.
Grafik aliran sinyal terdiri dari :
 simpul (node) yang menyatakan variable sistem, dan
 garis berarah (cabang) yang menyatakan fungsi transmisi atau penguatan sinyal.
Contoh : grafik aliran sinyal untuk sistem rangkaian RC sebelumnya dapat digambarkan sebagai
berikut :
REPRESENTASI SISTEM Grafik Aliran Sinyal
1/R
-1/R
x(t) i(t) y(t)
C dt

Konsep Sinyal dan Sistem

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Konsep Sinyal dan Sistem

Similaire à Konsep Sinyal dan Sistem (20)

Plus de yusufbf

Plus de yusufbf (20)

Dernier

Dernier (20)

Konsep Sinyal dan Sistem