ICC-05 Álgebra Booleana

Álgebra Binária
Booleana
Capítulo 3

O Conceito de Função

Função de 1 variável independente:
– Regra através da qual se determina o valor
de uma segunda variável (dependente) a
partir do valor da variável dependente
y = f(x)
Domínio: conjunto de valores que pode
ser assumido pela variável
independente x
Introdução à Ciência
Eduardo Nicola F. Zagari 2
da Computação

Exemplo 1

y = 5x2 + 3
x y = f(x)

0 3

1 8

2 23

3 48

da Computação

Exemplo 2

Não existem apenas funções
matemáticas. As variáveis nem sempre
precisam ser numéricas
x y = f(x)
Verde Prossiga
Amarelo Devagar
Vermelho Pare

da Computação

Tipos de Função

Contínuas
Discretas

da Computação

Funções Booleanas
Variáveis que podem Valores binários
Associadas
assumir 2 valores 1e0

Denominadas variáveis binárias ou lógicas

Variáveis binárias ou lógicas:
– Só pode assumir 1 de 2 valores possíveis
– Valores expressos por afirmações declarativas
– Os 2 valores possíveis devem ser mutuamente
exclusivos
Álgebra Booleana: é a álgebra das variáveis
binárias
da Computação

Funções Booleanas

Com variáveis lógicas podemos representar
qualquer coisa: temperatura, pressão, distância,
velocidade, tempo, etc.
– ao se considerar a relação funcional entre variáveis do
ponto de vista matemático, não nos interessa o que é
representado por elas.
– assim, devemos dar aos dois valores possíveis de uma
variável lógica, nomes que permitam considerar a
variável independentemente do que ela possa
representar
da Computação

Exemplo
Seja a versão simplificada da tabela do exemplo do
semáforo:

x y = f(x) x y = f(x)

Verde Prossiga a qual é equivalente a: 1 1

Vermelho Pare 0 0

“X” é a variável lógica independente e “Y” é a variável lógica
dependente. Os valores 1 e 0 na tabela da direita são atribuídos
arbitrariamente no caso de “X” para as cores “verde” e “vermelho”; e
no caso da variável “Y” para os comandos “prossiga” e “pare”.
Normalmente associamos ao valor 1 as idéias de verdadeiro, positivo,
ativo, etc; e ao valor 0 as idéias de falso, inativo, etc.
da Computação

Funções Booleanas Básicas

Funções com apenas 1 variável:
Função negação Função coincidência

X Y = não(X) X Y = (X)

1 0 1 1

0 1 0 0

da Computação

Funções Booleanas Básicas

Funções com 2 variáveis booleanas:
Função e Função ou
X Z Y = (X e Z) X Z Y = (X ou Z)

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

da Computação

Expressões Booleanas

Problemas podem ser expressos
através de funções booleanas:
– “João irá ao cinema mas apenas se conseguir
um carro emprestado e Maria também
puder ir.”

Cada variável
Associada
afirmação booleana
da Computação


Variável X = empréstimo do carro.
– Como X só pode assumir dois valores, vamos estipular
que:
• X = 1 significa que João conseguiu o empréstimo do carro.
• X = 0 significa que ninguem emprestou o carro para João.
Variável Z = companhia da Maria.
– De forma análoga ao caso anterior podemos estipular
que:
• Z = 1 significa que Maria irá ao cinema.
• Z = 0 significa que Maria não poderá ir.
da Computação


Variável Y = ida de João ao cinema
• Y = 1 significa que João irá ao cinema.
• Y = 0 significa que João não poderá ir.
Sabemos que Y depende de X e Z
– logo Y = f(X,Z).
Montando uma tabela com todas as
possibilidades descobrimos que a relação
entre X,Z,Y é: Y = (X e Z)
da Computação

X Z Y = SIGNIFICADO
f(X,Z)
0 0 0 João não irá ao cinema porque está sem
carro e Maria não pode ir.
0 1 0 João não irá ao cinema porque está sem
carro.
1 0 0 João não irá ao cinema porque Maria
não pode ir.
1 1 1 João irá ao cinema com Maria usando
um carro emprestado.
da Computação


Outro exemplo:
– “Vou ao cinema se eu tiver dinheiro para o
ingresso ou se alguém pagar para mim.”

– X = Ter dinheiro (0 = não ter $ , 1= ter $)
– Z = Alguém vai pagar para mim (0 = ninguém
pg p/ mim , 1= alguém pg)
– Y = (X OU Z) - Decisão (0= não ir ao cinema ,
1= ir ao cinema)

da Computação

X Z Y= SIGNIFICADO
f(X,Z)
0 0 0 Não fui ao cinema porque não tenho
dinheiro e ninguém pagou.
0 1 1 Vou ao cinema porque alguém vai pagar.

1 0 1 Vou ao cinema porque tenho dinheiro.

1 1 1 Vou ao cinema porque tenho dinheiro e
alguém vai pagar.
da Computação


As linguagens de programação possuem formas de
escrever expressões, tais como as dos exemplos
anteriores (ou bem mais complexas), as quais
podem ser avaliadas pelo computador.
Desta forma, usando álgebra booleana em um
computador é possível criar programas que
resolvam problemas que possuam uma solução
lógica.

da Computação

Funções Booleanas

A notação 0 e 1
–A=0 A=F
–A=1 A=V
– Ou tensões elétricas, normalmente 0 V e
+5 V
– 0 e 1 são valores lógicos de uma variável
(não são números).

da Computação

A Função AND
Z = (A AND B ) ou Z = A ∧ B ou Z = AB (A e
B)

A B

E L

Convenções:
• chave aberta = 0
• chave fechada = 1
• lâmpada apagada = 0
• lâmpada acesa = 1
da Computação

A Função AND
Chave A Chave B Lampada
Aberta Aberta Apagada
Aberta Fechada Apagada
Fechada Aberta Apagada
Fechada Fechada Acesa
A B Z=f(A,B)
0 0 0
Tabela
Verdade: 0 1 0
1 0 0
da Computação 1 1
Eduardo Nicola F. Zagari
1 20

A porta AND
Executa a função AND

A
Z
B

Pode-se descrever a função AND para
qualquer número de entradas. A saída Z
permanecerá no estado 1 se, e somente se,
as N entradas forem iguais a 1 e
permanecerá no estado 0 nos demais casos.
da Computação

A Função OR
Z = A + B ou Z = A ∨ B (A ou B)
A

E B L

A B Z= A + B
Tabela 0 0 0
Verdade: 0 1 1
1 0 1
Introdução à Ciência 1 1
Eduardo Nicola F. Zagari 1 22
da Computação

Porta Lógica OR

A
Z
B

da Computação

A Função NOT (Complemento)
Z = ¬A (não A)
A função NOT, ou função complemento,
inverte o estado da variável
A Z = ¬A

0 1

1 0

da Computação

A Porta NOT (inversor)

A Z

da Computação

A Função NAND
A função NAND é a função AND
combinada com a função NOT.
Z = ¬ (A ∧ B)
A B Z = ¬ (A ∧ B)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
da Computação

Porta Lógica NAND

A
Z
B

da Computação

A Função NOR
A função NOR é a função OR
combinada com a função NOT.
Z = ¬(A ∨ B)
A B Z = ¬ (A ∨ B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
da Computação

Porta Lógica NOR

A
Z
B

da Computação

A Função XOR (Exclusive Or)
Z=A⊕B
Z = 1 quando A ou B, na exclusão da
outra variável, tiver valor lógico 1.
A B Z=A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
da Computação

Porta Lógica XOR

A
Z
B

da Computação

A Função X-NOR (Exclusive
NOR)
A função Exclusive-Nor é a função Exclusive-
Or combinada com a função NOT.
Z = ¬(A ⊕ B)
A B Z = ¬(A ⊕ B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
da Computação

Porta Lógica X-NOR

A
Z
B

da Computação

A Função Implicação
Z=A→B (A implica B)
A B Z=A→B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Se a situação com respeito a A e B for consistente
com a idéia de que A implica B, então Z será
verdadeira. A única possibilidade que não é
consistente com a idéia de A implicar B é que A seja
verdadeiro e B seja falso. Neste caso, Z será falso. 34

Teoremas da Álgebra de
Boole
Para definir uma função:
1) Expressão lógica: Z = A ∨ (B ∧ C)
2) Tabela Verdade
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1 35

Propriedades das funções lógicas:

1) Comutatividade:
Z=A∧B=B∧A AND
Z=A∨B=B∨A OR
Z=A⊕B=B⊕A XOR

da Computação


2) Associatividade:
Z = (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) AND
Z = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) OR
Z = (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) XOR

da Computação


3) Princípio da Dualidade
Se trocarmos os sinais (OR) e
(AND) entre si e trocarmos os 0s e 1s
entre si, teremos substituído a equação
original por outra igualmente válida.

Ex.: 0∧0=0 1∨1=1
da Computação

Teoremas
1. ¬ ¬A = A
2. A∨0=A
3. A∨1=1
4. A∨A=A
5. A ∨ ¬A = 1
6. A∧1=A
7. A∧0=0
8. A∧A=A
9. A ∧ ¬A = 0
da Computação

Teoremas

10. A ∨ (A ∧ B) = A
11. A ∧ (A ∨ B) = A
12. (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A
13. (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) = A
14. A ∨ (¬A ∧ B) = A ∨ B
15. A ∧ (¬A ∨ B) = A ∧ B

da Computação

Teoremas

16. A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
17. A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
18. (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) = (A ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)
19. (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) = (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B)
20. (A∧B) ∨ (¬A∧C) ∨ (B∧C) = (A∧B) ∨ (¬A∧C)
21. (A∨B) ∧ (¬A∨C) ∧ (B∨C) = (A∨B) ∧ (¬A∨C)

da Computação

Teoremas

A equação (17) indica que a álgebra de
variáveis lógicas é distributiva:
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

ou pode ser fatorado um fator comum:
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C) = A ∧ (B ∨ C)

Fator comum
da Computação

Exercício

Mostrar o Teorema 21 através da
tabela-verdade.

da Computação

(A∨B) ∧ (¬A∨C) ∧ (B∨C) = (A∨B) ∧ (¬A∨C)
A B C ¬A (A∨B) (¬A∨C) ∨
(A∨B) ∧ (¬A∨C) (B∨C)
¬ ∨ ∨
(A∨B) ∧ (¬A∨C) ∧ (B∨C)
¬ ∨ ∨
0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 1 1

da Computação

Funções de Duas Variáveis
16 funções possíveis:
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 Função

f0 0 0 0 0 f=0
f1 0 0 0 1 f = A ∧ B (and)
f2 0 0 1 0 f = ¬(A → B) = A ∧ ¬B
f3 0 0 1 1 f=A
f4 0 1 0 0 f = ¬(B → A) = ¬A ∧ B
da Computação


A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 Função

f5 0 1 0 1 f=B
f6 0 1 1 0 f = A⊕B = (A∧¬B)∨(¬A∧B)
f7 0 1 1 1 f = A ∨ B (or)
f8 1 0 0 0 f = ¬(A ∨ B) (nor)
f9 1 0 0 1 f=¬(A⊕B)=(¬A∧¬B)∨(A∧B)
da Computação

A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 Função

f10 1 0 1 0 f = ¬B
f11 1 0 1 1 f = B → A = A ∨ ¬B
f12 1 1 0 0 f = ¬A
f13 1 1 0 1 f = A → B = ¬A ∨ B
f14 1 1 1 0 f = ¬(A ∧ B) (nand)
f15 1 1 1 1 f=1
da Computação

Exemplo f6
A⊕B = (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
A B ¬A ¬B ¬A ∧ B A ∧ ¬B (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)

0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0 0

da Computação

Teoremas de De Morgan

Teorema 1
O complemento de um produto lógico (AND)
de variáveis é igual a soma lógica (OR)
dos complementos de cada variável.
¬(A ∧ B ∧ C ...) = ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ...

da Computação

Teoremas de De Morgan

Teorema 2
O complemento de uma soma lógica (OR) de
variáveis é igual ao produto lógico (AND) dos
complementos de cada variável.
¬(A ∨ B ∨ C ...) = ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ...

Teorema 1 é dual a Teorema 2
Princípio da Dualidade

da Computação

Exercício

Mostrar que f2 (A ∧ ¬B) é o
complemento de f13 (¬A ∨ B) através de
De Morgan.

da Computação

Diagramas de Venn

O diagrama de Venn divide o espaço
em regiões mutuamente exclusivas
– 2n áreas identificáveis diferentes, onde n é
o número de variáveis.
– útil para visualizar geometricamente os
teoremas da álgebra boolena.

da Computação

Diagramas de Venn

a) A ∨ ¬A = 1 o1 b) (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
representa o ∨ (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧
universo de ¬B) = 1
interesse (21 áreas) 22 áreas

A.B
A.B
A A B

A A.B

A.B
da Computação

Diagramas de Venn

c) A ∨ B = (A ∧ ¬B) ∨ d) 3 variáveis (8
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B) áreas)

A.B.C
22 áreas
A.B.C A B A.B.C

A B
A.B.C A.B.C
C
A+B A.B.C
A + B
A.B.C
A.B.C
da Computação

Exercícios

1) Usar um diagrama 2) Mostrar o Teorema
de Venn para 18 através de
verificar o teorema diagramas de Venn.
da equação (19), (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) =
isto é, (A ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)
(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) =
(A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B)

da Computação

Exemplos de aplicação
(teoremas da Álgebra de Boole)
Ex. 1: Simplificar w = xy + ¬(yx)z

w = xy + ¬(xy)z pois AB = BA (comutatividade)
Se v = xy => w = v + ¬vz pois a função
de variáveis lógicas é uma variável lógica.
w=v+z pois A + ¬ AB = A + B (Teo. 14)
w = xy + z

da Computação


Ex. 2: Simplificar w = x (¬x + y)

w = x (¬x + y) = xy pois A (¬A + B) = AB (Teo. 15)
ou
w = x (¬x + y)
= x ¬x + xy A (B + C) = AB + AC
= 0 + xy A . ¬A = 0
= xy A+0=A

da Computação


Ex. 3: Simplificar w = ¬x(x + y) + ¬z+zy

w = ¬x(x+y)+ ¬z+zy = ¬x(x+y)+ ¬z+y A+¬AB = A+B (A=z)
w = ¬xx+ ¬xy+¬z+y = ¬xy+¬z+y A(B+C) = AB+AC e
¬AA=0
w = y+¬xy+¬z = y+y¬x+¬z A+B = B+A; AB = BA
w = y + ¬z A + AB = A

da Computação

Exemplos da aplicação
(teoremas de De Morgan)
Ex. 4: Simplificar v = ¬(w + w¬x + yz)
v = ¬(w+w¬x+yz) = ¬w.¬(w¬x).¬(yz) Teo. de De Morgan
v = ¬w (¬w + ¬¬x)(¬y + ¬z) Teo. de De Morgan
v = ¬w (¬w + x)(¬y + ¬z) ¬¬A = A
v = ¬w (¬y + ¬z) A(A+B) = A, A = ¬w
ou:
v = ¬(w + w ¬x + yz) = ¬(w + yz) A + AB = A
v = ¬(w + yz) = ¬w . ¬(yz) Teo. de De Morgan
v = ¬w (¬y + ¬z) Teo. de De Morgan

da Computação


Ex. 5: Simplificar v = ¬{w[(x+y(z+ ¬w))]}
v =¬{w[(x+y(z+ ¬w))]} =¬w+¬[x+y(z+¬w)] De Morgan
v = ¬w + ¬x . ¬[y(z + ¬w)] De Morgan
v = ¬w + ¬x [¬y + ¬(z + ¬w)] De Morgan
v = ¬w + ¬x (¬y + ¬zw) De Morgan e ¬¬A = A
v = ¬w + ¬x. ¬y + ¬x. ¬z.w A (B + C) = AB + BC
v = ¬w + w.¬x. ¬z + ¬x. ¬y A+B = B+A e AB = BA
v = ¬w + ¬x. ¬z + ¬x. ¬y A+¬AB = A+B (A = ¬w)
v = ¬w + ¬x(¬y + ¬z) AB + AC = A (B + C) e
A+B = B+A

da Computação

(teoremas 20 e 21)
Ex. 6: Simplificar v = wx+x¬y+yz+x¬z

v = wx + x¬y + yz + x¬z + xy Teo. (20)
v = wx + x(¬y + y) + yz + x¬z AB + AC = A(B + C)
v = wx + x + yz + x¬z ¬A+A = 1 e A . 1 = A
v = x + yz + x ¬z A + AB = A
v = x + yz A + AB = A

da Computação


Ex. 7: Simplificar v = (w + x + y)(w + ¬x
+ y)(¬y + z)(w + z)

v = (w + y)(¬y + z)(w + z)
(A+B)(A+¬B) = A
A = w + y, B = x
v = (w + y)(¬y + z) Teo. (21)
da Computação

Uma estudante consulta o catálogo da universidade e fica sabendo que pode se
matricular em determinada disciplina somente se ela satisfizer uma das
seguintes condições:
– Já completou sessenta créditos e é uma estudante de Análise de Sistemas
regularmente matriculada;
– Completou sessenta créditos e é uma estudante de Análise e tem o
consentimento do CEATEC;
– Completou menos de sessenta créditos e é uma estudante de Análise com
matrícula especial;
– É uma estudante regularmente matriculada e tem o consentimento do
CEATEC;
– É uma estudante de Análise e não tem o consentimento do CEATEC.
Encontre uma expressão mais simples que indique a possibilidade de a
estudante matricular-se na disciplina.

da Computação

Solução
Introduzimos as variáveis w, x, y, z e v para representar as seguintes situações:
w = a estudante completou sessenta créditos;
x = a estudante é aluna de Análise de Sistemas;
y = a estudante tem matrícula regular;
z = a estudante tem o consentimento do CEATEC;
v = a estudante pode se matricular na disciplina.
Ou seja,
se y = V ou y = 1 => a estudante tem matrícula regular, ou
se y = F ou y = 0 => a estudante tem matrícula especial.
Quando as variáveis w, x, y e z assumem valores tais que v = verdadeiro, a
estudante pode se matricular. A especificação de quando isto ocorre pode ser
feita pela equação algébrica lógica:

v = wxy + wxz + ¬wx¬y + yz + x¬z

da Computação

Solução
A simplificação, usando os teoremas de álgebra booleana:
v = wxy + wxz + ¬wx¬y + yz + x¬z
v = wxy + ¬wx¬y + yz + x(¬z + zw)
v = wxy + ¬wx¬y + yz + x(¬z + w)
v = wxy + ¬wx¬y + yz + x¬z + xw
v = wx(y + 1) + ¬wx¬y + yz + x¬z
v = wx + ¬wx¬y + yz + x¬z
v = x(w + ¬w. ¬y) + yz + x¬z
v = x(w + ¬y) + yz + x¬z
v = xw + x¬y + yz + x¬z
da Computação

Solução
v = xw + x¬y + yz + x¬z

A expressão é idêntica à do exemplo 6 do sub-ítem
anterior, portanto:

v = x + yz Ex6

Assim, a estudante poderá se matricular na disciplina
(v = 1) se for uma aluna de Análise (x = 1) ou se
simultaneamente tiver matrícula regular (y = 1) e
consentimento do Instituto (z = 1).
da Computação

Há cinco livros v, w, x, y e z, numa prateleira. Você
deve selecionar alguns entre eles de modo a
satisfazer todas as condições a seguir:

1. Selecionar v ou w ou ambos;
2. Selecionar x ou z ou não ambos;
3. Selecionar v e z juntos ou nenhum dos dois;
4. Se selecionar y também deve selecionar z;
5. Se selecionar w também deve selecionar v e y.

da Computação

Solução

A expressão que satisfaz todas as
condições é dada por u:

u = (v + w)(x ⊕ z)¬(v ⊕ z)(y → z)(w → vy)

da Computação

Solução
Transformando nas expressões equivalentes usando somente
as funções AND, OR e NOT:
u = (v + w)(x ⊕ z)¬(v ⊕ z)(y → z)(w → vy) ⊕ →
u = (v + w)(x¬z + ¬xz)(vz + ¬v.¬z)(¬y + z)(¬w + vy)
Pela comutatividade:
u = (v + w)(vz + ¬v.¬z)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)(¬w + vy)
Pela distributividade:
u = (vvz + wvz + v¬v.¬z + w¬v.¬z)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)(¬w + vy)
Como A ∧ A = A e A ∧ ¬A = 0:
u = (vz + wvz + ¬vw¬z)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)(¬w + vy)
Como A ∨ (A ∧ B) = A, fazendo A = vz e B = w:
u = (vz + ¬vw¬z)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)(¬w + vy)
da Computação

Solução
Pela comutatividade:
u = (vz + ¬vw¬z)(¬w + vy)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)
Pela distributividade:
u =(vz¬w + vzvy + ¬vw¬z¬w + ¬vw¬zvy)(x¬z¬y + ¬xz¬y + x¬zz + ¬xzz)
Como A ∧ A = A e A ∧ ¬A = 0:
u =(vz¬w + vzy)(x¬z¬y + ¬xz¬y + ¬xz)
Um pouco mais direto:
u = vz¬w.¬x¬y + vz¬w.¬x + vzy.¬x

da Computação

Solução
u = vz¬w.¬x¬y + vz¬w.¬x + vzy.¬x
Colocando o fator comum v¬xz em evidência:
u = v ¬xz (¬w. ¬y + ¬w + y)
Como A ∨ (A ∧ B) = A, fazendo A = ¬w e B = ¬y:
u = v ¬xz (¬w + y)

Devemos selecionar v e z e rejeitar x e, ao mesmo tempo, se
rejeitarmos w, não importa se selecionamos ou rejeitamos y.

da Computação

Diagramas de Circuitos Lógicos
Expressão lógica Diagrama de
portas lógicas
v
v.x.z
x

z

u = v¬xz(¬w + y) u

w

y
w+y
da Computação

Diagramas de Circuitos Lógicos

Como ficaria a implementação em circuitos lógicos
da expressão original, sem a simplificação ?

u = (v + w)(x¬z + ¬xz)(vz + ¬v.¬z)(¬y + z)(¬w + vy)

A simplificação de expressões lógicas, como acabou-
se de ver, leva a uma implementação física, através
de circuitos lógicos, bem mais econômica (no
exemplo acima foram economizadas oito portas
lógicas, sem contar os inversores).
da Computação

Simplificação de Circuitos
Lógicos: Mapeamento
Consideremos a expressão booleana
Z = A.¬B + ¬A.B + A.B
A
A A.B
B
B

A
A.B Z
B

A
A.B
B

da Computação

Tabela Verdade
A B Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

da Computação

Circuito lógico Tabela Verdade
simplificado
A B Z

0 0 0
A
Z 0 1 1
B
1 0 1

1 1 1
da Computação

Expressões booleanas de
soma-de-produtos

A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1 A.¬B.¬C
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 A.B.C

da Computação

soma-de-produtos
Expressão booleana de termos mínimos:
Z = A.¬B.¬C + A.B.C
Circuito lógico AND-OR
A
A.B.C
B
C
Z

A.B.C

da Computação

produto-de-somas
A B Z
0 0 0
0 1 1 ¬A.B
1 0 1 A.¬B
1 1 1 A.B

Expressão boolena de termos mínimos:
Z = ¬A.B + A.¬B + A.B
da Computação

produto-de-somas
A B Z
0 0 0 Inverte as variáveis A + B
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Expressão boolena de termos máximos:
Z=A+B
da Computação

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