Salahsatu materi tentang matakuliah Logika Informatika

2. Materi.
1). Logika Proposisi.
a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor)
c). Tabel Kebenaran dp Formula.
d). Penghubung Logis yang lain.
e). Memanipulasi Formula Proposisinal.
f). Negasi dp Formula Proposisional.
g). Argumen.

3. Buku Teks.
Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” ,
Prentice Hall .
Buku Referensi .
1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of
India.
2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer
Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc.
3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar
Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”,
Penerbit Gava Media Yogyakarta.
4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit
Informatika Bandung.

4. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka
menyajikan pernyataan seperti misalnya :
1. Saya mempunyai uang
2. Benda ini tenggelam dalam air
3. Kotak ini berisi cabe
4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam
5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI
6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf.
7. Saya lapar
8. Benda ini padat
9. India merupakan suatu negara
10. 1 + 101 = 110
Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap
yaitu T(rue) atau F(alse)

5. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Logika adalah suatu system berbasis proposisi.
Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat
ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya.
Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah
satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan
dengan F).
Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1

6. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan mengguna
kan penghubung logis yang disebut operator atau functor.
Sebagai contoh :
1) Saya mempunyai uang dan saya lapar
2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba
lok) akan tenggelam diair.
3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI
4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot.
5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu
tus.

7. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :
1) Tutuplah pintu itu
2) Dilarang merokok
3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu
Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraan
kita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah se
dang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam lo
gika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentu
kan.

8. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini suatu pernyataan?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
true

9. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“520 < 111”
Apakah ini suatu pernyataan ?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
false

10. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“y > 5”
Apakah ini suatu statement?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
no
Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada
y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified).
Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi
proposisional atau kalimat terbuka.

11. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.”
Apakah suatu statement?
yes
Apakah ini suatu proposition?
yes
What is the truth value
of the proposition?
false

12. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Please do not fall asleep.”
Apakah ini suatu pernyataan?
no
Ia adalah suatu permintaan.
Apakah ini merupakan proposisi?
Only statements can be propositions.
no

13. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Jika gajah berwarna merah,
Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.”
Apakah ini suatu pernyataan?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
Probably
false

14. Permainan.
The Statement/Proposition Game
“x < y if and only if y > x.”
Apakah ini suatu pernyataan?
Apakah ini suatu proposisi?
yes
yes
…karena nilai kebenarannya tidak tergantung
pada nilai yang diberikan untuk x dan y
Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb?
true

15. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Definisi .
Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang
memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah
saja, akan tetapi tidak keduanya.
Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi
disebut atom.

16. Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru
maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang
dilambangkan dng simbol :
1).
2).
3).
4).
5).
6).
: “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ )
: “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &)
: “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or”
: “xor”, atau “exclusive or”
: “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional”
: “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”

17. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
1) Negasi (not)
Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p”
akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan
p
( “ ” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng
tabel kebenaran sebagai berikut :
p
p
T
F
F
T

18. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
2) Konjungsi/conjunction (and)
Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika
p dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaran
T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T,
dan ditulis dengan
p
q
dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb
dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :

19. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
T
T
F
F
p
T
F
T
F
q
T
F
F
F
Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua di
mensi sebagai berikut :
p
q
T
F
p
T
F
T
F
F
F
q

20. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi
dua variabel
Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah” dan
“Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and”
maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang
artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini
berwarna putih”, jelaskan !!
Sifatnya : 1) Komutatif ( p q = q p)
2) Asosiatif ( (p q) r = p (q r) )
Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.

21. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
3) Disjungsi (or)
Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang ber
sesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) .
Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q
(atau keduanya) bernilai T, dan ditulis :
p
q
dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.

22. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
p
T
T
F
F
T
F
T
F
q
T
T
T
F
Sifat :
1) Komutatif ( p
2) Asosiatif ( (p
q
q)
=q
r=p
p
(q
)
r) )

23. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
• Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or”
dan “exclusive or”.
Sebagai contoh :
• “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut
dapat keduanya
• “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik
angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya.
• Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan
• Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol
kan dengan
( atau XOR atau )

24. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
4) Implikasi (Implication)
Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p”
atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p sarat
cukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q ber
nilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai T
dan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis :
p
q
dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggu
nakan simbol )

25. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
p
q
T
F
T
T
Pernyataan berikut adalah sama :
1). “If p then q”
2). “p implies q”
3). “q if p”
4). “p hanya jika q”
5). “q sarat perlu untuk p” 6). “p sarat cukup untuk q”

26. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat :
“Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport”
Penjelasannya adalah sebagai berikut :
1) Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka
legal (T)
2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F),
maka illegal (F)
3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T),
maka legal (T)
4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport
(F), maka legal (T)

27. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
kondisional konversi
p q
q p
T
F
T
T
T
T
F
T
inversi kontrapositif
p
q
q
p
T
T
F
T
T
F
T
T

28. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Perhatikan bahwa : pernyataan p q selalu mempunyai tabel
kebenaran dng ( p) q dan juga dengan (p q), (buat tabel
kebe narannya)
Contoh penggunaannya :
Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal
maka x bilangan gasal.
Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan
real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap.
Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.

29. Resume
, , ,→
p
p
s
p r
q
.
T
F
.
p
T
T
F
F
T
F
T
F
q
T
T
T
F
p
Negasi
.
q
F
T
p
q
p
q
Disjungsi
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
p
T
F
T
T
q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Konjungsi
Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atau
q if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)

30. Resume
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
p
q
Kondi
sional
p q
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
Kon
versi
q p
T
T
F
T
Inver
si
p
q
T
T
F
T
Kontra
Posisi
q
p
T
F
T
T

31. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
5) Ekuivalensi
Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenar
an T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yg
sama ditulis dengan simbol :
p
q
dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yang
menggunakan simbol )

32. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
p
q
T
F
F
T
Sifat :
1) Komutatif ; ( p
q = q
p)
2) Asosiatif ; ( (p
q)
r=p
(q
r) )
3) Pernyataan (p
q) mempunyai tabel kebenaran yang sama
dengan pernyataan p q (Tunjukan)

33. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p jika
dan hanya jika q”
Pernyataan p
q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan q,
sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng
p
q =T (p
Ditulis dengan p
q)
q =T (p
(q
q)
p) atau (p
(p
q)
q)
(p
q)

34. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat :
n
pi ;
i=1
n
pi
i=1
n
v pi ;
i=1

35. Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Prioritas Operator
Terkuat monadika ( )
Untuk diadika terkuat ( ), kemudian ( ) dan berikutnya ( ) dan
yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya ( )
Contoh :
“Saya lapar
saya sedih
saya bahagia
saya telah kenyang ”
berarti
“(Saya lapar
saya sedih)
(saya bahagia
saya telah kenyang)”

36. Soal-Soal
Mana yang pernyataan dan mana yang bukan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Tasikmalaya adalah ibukota propinsi Jawa Barat.
Dilarang merokok
119 adalah bilangan bulat
Buka pintu
Logika informatika adalah mudah
Yogya kota pelajar
Makanlah yang banyak
Sesama cabup tak boleh saling mendahului
Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah

37. Soal-soal
1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika
a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian
b. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilang
an prima
c. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya
mendapat hadiah TTS
Jawab
a. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian
Kalimatnya menjadi : P  Q
b. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima
Kalimatnya menjadi : P  Q
c. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan
R = saya mendapat hadiah TTS
Kalimatnya menjadi : (Q R)  P

38. Soal-soal
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :
a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima
b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0
c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3
Jawab :
a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI)
b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen
nya (2 = 0 ) salah
c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar

39. Soal-soal
3. Tentukan nilai kebenaran daripada :
a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah
Kebumen berada di Jawa Timur.
b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangan
genap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2
4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini :
a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi
b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan ma
lam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil
c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergi
ke Bandung.
d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan prima
adalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2

41. Logika Informasi
Materi.
1). Logika Proposisi.
a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor)
c). Tabel Kebenaran dp Formula.
d). Penghubung Logis yang lain.
e). Memanipulasi Formula Proposisinal.
f). Negasi dp Formula Proposisional.
g). Argumen.

42. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Operator
Notasi lainnya
Burke
Kuliah
Daliyo
Konjungsi
p &q
p.q
p
q
p
q
Disjungsi
p
q
p+q
p
q
p
q
Negasi
~p
p
p’
Implikasi
p
q
p
q
p
q
p
q
Cpq
Bi-implikasi
p
q
p
q
p
q
p
q
Epq
p
p
Polan
dia
Kpq
Apq
Np

43. Logika Proposisional
(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Notasi Polandia juga disebut Lukasiewics atau sebagai notasi bebas- kurung atau notasi
prefix (+ab) , pada prinsipnya operator diadika me ngawali operand mereka. Selain itu ada
notasi postfix (ab+) , yg juga disebut notasi kebalikan polandia, dimana operator muncul
sesudah operand. Notasi yang kita gunakan sehari-hari disebut dengan notasi infix ( a+b)
Dalam aritmatika didapat contoh sbb :
Notasi Infix
Notasi Prefix
Notasi Postfix
p+q
+pq
pq+
p+qxr
+pxqr
pqrx+
(p + q) x r
x+pqr
pq+rx
(p x r) + (q + r)
+xprxqr
prxqrx+
p x ( r + q) x q
xpx+rqq
prq+xqx
((p + q) + r) + s
+++pqrs
pq+r+s+
p + (q + (r + s))
+p+q+rs
pqrs+++

44. Logika Proposisional
(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Catatan. (Untuk Notasi Polandia)
1).Perhatikan bahwa pada masing-masing notasi kemunculan setiap variabel mempunyai
urutan yang sama.
2). Terlihat bahwa kurung sama sekali tidak digunakan.
3). Tidak perlu adanya prioritas untuk masing-masing operator.
4). Variabel hanya menggunakan satu huruf tunggal.
5). Operator monadika pada notasi infix selalu mendahului operand.
6). Perhatikan formula –pq akan mempunyai dua interpretasi dalam notasi infix yaitu : -(p-q)
dan ((-p)-q) sehingga diperlukan simbol khusus yang berbeda untuk monadika negasi,
misalnya e.

45. Logika Proposisional
(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Lukasiewicz (Notasi Polandia) menggunakan operator dengan huruf besar seperti terlihat
dibawah ini untuk membedakan dengan variabel.
Infix
Polandia
p
p
q
q
Np
Apq
Kpq
p
p
p
p
p
p
q
q
q
q
q
q
Cpq
Bpq
Epq
Rpq
Jpq
Spq
p
N – Negasi
A – Alternasi
(Alternation)
K – Konjungsi
C – Conditional
B – Non-implikasi??
E – Ekuivalen
R – Non-Ekuivalen,
Exclusif Or??
J – Joint deniel, Nor
S – Nand,
Incompatibility ??

46. Logika Proposisional
(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh.
Infix
Polandia
p
r)
KpAqr
(p
q)
r
AKpqr
(( p)
( q)
NANpNq
q
p
(q
r
p
q
q)
r)
s
KKKpqrs
s))
KpKqKrs
((p
p
(q
(r
r
ANpANqAKrNpAqNr
Sekali tak diperlukan kurung dan konektif utama dapat dilihat segera pada awal
dp ekpresi

47. Logika Proposisional
(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh.
1). p
q
2). p
r
(p
3). AEqNqq
q
s dapat diekpresikan menjadi KKKpqrs atau
KpKqKrs
(q
r
s)) diekpresikan KpCApqCCqrs
: disajikan dng notasi infix (p
( q))
4). NCCpqNCqp : disajikan dng notasi infix
((p
q)
( (q
5). NCRAqp
(r
(q
q
: disajikan dng notasi infix
6). CKpKCpqCNrNqEpNRrq : disajikan dng notasi infix :
(p (p q)
r
q) (p
(r
p)))
p))
q))

48. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Contoh :
1. Notasi Polandia
: Epq
Disajikan dalam notasi yang lain.
a. p
q b. p q
c. p q
2. Notasi Polandia
: CKpqr
Disajikan dalam notasi yang lain.
C(p q)r = (p q) r
3. Notasi Polandia
: CpCpr
Disajikan dalam notasi yang lain.
Cp (p r) = p (p r)
4. Notasi Polandia
: ECKpqrCpCpr
Disajikan dalam notasi yang lain

49. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Contoh :
Notasi Polandia
: E CKpqr CpCpr
Disajikan dalam notasi yang lain.
Cari tanda dominan
: E yang sama dengan
Ruas kiri (dr )
: C Kpq r
Tanda dominan
: C yang sm dng
Tanda berikutnya
: K yg sm dng ( ada dengan &)
didapat
: p q
C (p q) r
didapat
: (p q) r
Ruas kanan (dr )
: C p Cpr
didapat
: C p (p r)
di dapat
: p (p r)
Akhirnya didapat
: ((p q) r)
(p (p r))

50. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Contoh
((p q) r)
(Kpq)
r)
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r
((p
r)
q
((p
r)
q
((p
r)
q
(((p (Nr))
q)
(Kp(Nr)
q)
(Kp(Nr)
(Nq))
(C(Kp(Nr)(Nq))
E(C(Kpq)r(C(Kp(Nr)(Nq)))
E C Kpq r C Kp N r N q

51. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Prioritas dp Operator.
Seperti pd ungkapan dlm ilmu hitung, maka didalam operator logika pun terdapat prioritas
sebagai berikut :
1). Operator
mempunyai prioritastertinggi
2). Operator
berprioritas berikutnya
3). Operator
berprioritas berikutnya
4). Operator berprioritas berikunya
5). Dan seterusnya operator yang lain termasuk
dan seterusnya.
Contoh
1). p q r s dapat diinterpretasikan sebagai
(p q) (r s)
2). p q akan diinterpretasikan dengan ( p) q
3). “Saya lapar” dan “saya malas” atau “Saya bahagia” dan
“Saya telah makan enak” diartikan sebagai ????

52. Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Operator yang mempunyai prioritas sama dilakukan dengan urutan dari kiri ke kakan seperti
terlihat dalam contoh dibawah ini >
Contoh
1).
Diartikan sebagai :
q
r
(((((p
q)
r)
p
2).
p
q
Diartikan sebagai :
??????????.
r
s
t
s)
s
u
v
t)
p
u)
r
v
t

53. Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)
Bagaimana membangun tabel kebenaran :
Satu tabel kebenaran dapat ditentukan dengan mengambil setiap
kombinasi yang mungkin daripada nilai kebenaran daripada semua
variabel yang terlibat dan kemudian mengevaluasi efek daripada se
tiap operator
Sebagai contoh :
(( p)
q)
p
q
p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
(( p)
T
F
T
T
q)

54. Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)
Untuk bentuk yang lebih komplek adalah :
( (p
q)
(( p)
( q)))
Urutan evaluasinya menjadi :
(
(p
3 1
F
F
T
T
T
T
F
F
2
q)
1
((
4
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
T
2
p)
1
(
3
2
q)))
1
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F

55. Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)
Untuk formula dengan 3 variabel maka akan didapat 2^3 = 8 baris
, untuk 4 variabel didapat 2^4 = 16 baris.
Sebagai contoh :
(
3
F
(( p
(p
1
T
F
T
T
T
T
T
T
q)
q)
2
1
T
T
T
T
F
F
F
F
(( p)
T
T
F
F
F
F
F
F
( r)))
((
4
T
T
F
F
T
T
F
F
p)
2
1
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
(
3
F
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
2
F
T
F
T
F
T
F
T
r)))
1
T
F
T
F
T
F
T
F

56. Logika Proposisional
[Tabel Kebenaran (TK) Identis]
Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempu
nyai nilai kebenaran yang sama (identik).
Contoh :
1) (p q)
2) (p q)
3) p q
4) p
q
5) p ( p
=T
=T
=T
=T
q) =T
( p) ( q)
( p) ( q)
p q
(p q) (p
p q
; buatlah TK nya.
; buatlah TK nya.
; buatlah TK nya.
q) ; buatlah TK nya
; buatlah TK nya

57. Logika Proposisional
[Interpretasi dan Model]
Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan
huruf murda/capital untuk menyajikan suatu formula sedang huruf
kecil untuk variabel proposisi). Suatu interpretasi daripada P adalah
suatu penugasan (assignment) daripada nilai kebenaran pada semua
variabel proposisi ( pemberian nilai kebenaran) yg muncul pada P.
Perhatikan bahwa setiap baris pada tabel kebenaran adalah suatu
interpretasi. Untuk setiap interpretasi maka P mempunyai nilai kebe
naran (lihat bahwa setiap baris P mempunyai nilai T atau F)

58. Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ]
Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu inter
pretasi disebut model daripada S jika setiap anggauta daripada S ber
nilai kebenaran T untuk interpretasi tersebut.
Contoh : Andaikan S adalah himpunan dp formula proposisi :
{p
q,q
r,r
s}
dan interpretasi :
I1 : {p=T,q=F,r=T,s=T} ; I2 : { p=T, q=T,s =T , r=T} ;
I3 : {p=T,q=T,r=F,s=F} ; I4 : { p=T, q=T,r =T, s=F} ;
Interpretasi yang mana yang merupakan model dp S ? Gambarkan ta
bel kebenarannya.

59. Logika Proposisional
[interpretasi dan Model]
p q
I1
I2
I3
I4
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
r
T
T
F
F
s
p
F
T
T
T
q
q
T
T
T
r
r
s
T
T
F
Dari tabel diatas maka interpretasi yang merupakan model daripada S
adalah I2 dan I3. Perhatikan karena I1 sudah memberikan nilai kebe
naran F untuk p q maka dua yang lain tak perlu dievaluasi, karena je
las bahwa I1 bukan model.

60. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tautologi
Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran T, tak tergantung
pada nilai kebenaran daripada variabel-variabel proposisinya, dise
but tautologi, dan dikatakan sebagai tautologis atau valid.
Suatu tautologi adalah suatu formula proposisional yang mengam
bil nilai T untuk setiap interpretasi yang mungkin. Semua entri da
lam kolom pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai for
mula tersebut bernilai kebenaran T.

61. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Contoh :
karena untuk
p
p adalah Tautologi
I1 : p = T, maka p p = T
I2 : p = F, maka p p = T
dan tak ada lagi interpretasi lain.
Untuk menyatakan bahwa suatu formula adalah suatu tautologi/valid
maka dituliskan dengan menggunakan metasimbol ╞ , maka contoh
diatas menjadi :
╞ ( p p)

62. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tabel dari kebenaran p
p adalah :
p
T
p
F
F
T
Tabel dari kebenaran p
p
( p
(
(q
p p
T
T
p)) adalah :
p
(q
p))
1
5
2
1
4
1
3
2
1
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F

63. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng ╞ yang dapat dili
hat pada contoh dibawah ini :
Menggunakan ╞
╞p
╞ (p q)
╞ (p q)
╞ ( (p ))
( p)
(q p)
( p) ( q)
(( p) ( q))
menggunakan =T
p
p
=T (
q
=T q
(p q) =T (
( (p q)) =T ((
p)
p
p) ( q)
p) ( q))
Baris pertama kiri dibaca : p
( p) adl suatu tautologi, kanan :
Formula p mempunyai tabel kebenaran sm-dng formula ( p)

64. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tautologi
Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivalen Logis jika
ekuivalen logisnya ‘ P Q’ adl suatu tautologi ( yang dapat dika
takan juga dengan bahwa mereka mempunyai tabel kebenaran yang
sama)
Dikatakan bhw suatu formula P implai logis suatu formula Q jika
implikasi logis mereka ‘ P Q’ adalah tautologi.

65. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi
Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran F, tak tergantung
pada nilai kebenaran dp variabel-variabel proposisinya, disebut
Absurditi atau Kontradiksi atau Unsatisfiable dan dikatakan sbg
Absurditi atau Invalid.
Suatu Absurditi adalah suatu formula proposisional yang ber nilai
F untuk setiap interpretasi yg mungkin. Semua entri dalam kolom
Pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebut
bernilai kebenaran F.

66. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi
Contoh :
( p
p) dan (p
p)
adalah absurditi/kontradiksi karena untuk :
I1 : p = T, maka ( p
I2 : p = F, maka ( p
p) = F
p) = F
dan tak ada lagi interpretasi lain.
Perhatikan bahwa suatu formula proposisional P yg adalah suatu absur
diti, maka formula P adalah suatu Tautologi, begitu pula sebaliknya.
Jika sebarang formula P adalah suatu absurditi, maka ditulis :
╞ P

67. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Formula Campur
Sebarang formula yang, tergantung pada nilai kebenaran dp vari
abel-variabelnya, dapat bernilai baik nilai T maupun nilai F dise
but suatu formula campur, atau ada yang menyebut contingent.
Contoh :
Tentukan yang mana yang tautologi, absurditi atau formula cam
pur :
a) p
( q p) ;
b) p
( p (q
p) ;
c) p
( p (q
p)).

68. Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Formula Campur
p
1
T
T
F
F
(
4 2
T F
T T
F F
T T
q
1 3
T T
F T
T T
F F
2
F
F
T
T
p
1
T
T
F
F
p)
1
T
T
F
F
5
T
T
T
T
(
2
F
F
T
T
p
1
T
T
F
F
p
1
T
T
F
F
5
F
F
F
F
4
F
F
T
T
(
2
F
F
T
T
(q
1
T
F
T
F
p
1
T
T
F
F
3
F
T
T
T
4
F
F
T
T
2
F
F
T
T
(q
1
T
F
T
F
p
1
T
T
F
F
3
F
F
T
F
2
F
F
T
T
p
1
T
T
F
F

69. Logika Proposisional
Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent
( Zohar Manna and Richard Waldinger)
Valid , Tautology, Satisfiable, dan Contradictory
Suatu formula P dikatakan valid/benar jika ia true/benar untuk setiap
interpretasi (I) daripada P. Formula- formula valid daripada logika
proposional disebut Tautologi.
Suatu formula P dikatakan satisfiable/dapat-puas jika ia true dibawah
suatu interpretasi (I) daripada P.
Suatu formula P dikatakan kontradiksi/ contradictory ( unsatis fiable/
tak terpenuhi) jika ia false dibawah setiap/ semua inter pretasi (I)
daripada P.
Catatan : pada bukunya Zohar Manna and Richard Waldinger formula
ditulis dengan sentence/closed formula.

70. Logika Proposisional
Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent
( Zohar Manna and Richard Waldinger)
Implies, Equivalent, dan Consistent
Suatu kalimat P implies suatu kalimat Q jika, untuk sebarang Interpretasi
(I) daripada P dan Q, jika P true untuk I maka Q true untuk I.
Dua kalimat P dan G ekuivalen/ equivalent jika setiap interpre tasi (I)
untuk P dan G , P mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai
kebenarannya G.
Seperangkat kalimat P1,P2,P3,…. Dikatakan konsisten jika terdapat suatu
interpretasi untuk P1,P2,P3,…. Dibawah mana setiap Pi bernilai true.
Catatan : Kalimat/sentence adl formula tertutup/closed formula (buku Logic for
Computer Science, Arindama Singh, hal 59)

71. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Fungsi Kebenaran/Truth Functions
Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu operator logis)
adalah suatu fungsi yang mengambil nilai-kebenaran se
bagai argumen dan selalu menghasilkan salah satu dari
nilai T atau nilai F. Suatu fungsi kebenaran dapat mempu
nyai sejumlah operand (kadang-kadang disebut argumen
atau tempat).
Suatu fungsi dengan satu operand disebut suatu fungsi
kebenaran monadika ( ).Jika mempunyai dua operand
disebut dengan fungsi kebenaran diadika ( , , , ),
jika tiga triadika ( If… then … else … ) .

72. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Monadika
Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk
operator-monadika (terdapat dua entri dalam tabel-kebe
naran masing-masing T dan F) yg dapat dilihat dibawah
ini :
p f0 f1 f2 f3
f0(p) : f0(T) = F
f0(F) = F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
T
f2(p) : f2(T) = T
f2(F) = F
Empat kolom tersebut adalah :
1) f0 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu F (falsum)
2) f1 : Operator negasi (lihat dibagian terdahulu)
3) f2 : Suatu fungsi yang bernilai seperti p (assertium)
4) f3 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu T (Verum)
f1(p) : f1(T) = F
f1(F) = T
f3(p) : f3(T) = T
f3(F) = T

73. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika
p
q
g0 g 1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
T
h5 : verum ( suatu tautologi diadika ) ; (h5(p,q) = T)
g0 : falsum (fungsi diadika yang selalu bernilai F)
h2 : bernilai sama dengan p ; (h2(p,q) = p)
; (h0(p,q) = q)
h0 : bernilai sama dengan q
g3 : negasi daripada p, selalu bernilai sm-dng p)
g5 : negasi daripada q, selalu bernilai sm-dng q)
10 (sepuluh) sisanya dibicarakan berikut ini
T
T
T
F
T
T
T
T

74. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika
p
q
g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
g6 : Operator “non-equivalent”, “Exclusive Or” (disajikan dengan
,
, atau , atau XOR); p
q =T (p q)
(p q)
=T (p
q) (q
p)
g1 : NOR, Joint denial, Pierce’s arrow ( ), negasi dp disjoint
p q =T (p q) = p
q
g7 : Operator “NAND”, “Incompatibility”, “Stroke”,
“fungsi stroke Sheffer”, (simbol / atau ), negasi dp konjungsi
p/q =T (p q) = p
q ; (p/q) = (p q)
g4,g2 : fungsi “non implikasi” ( disajikan dengan )
p
q =T (p
q)
p
q =T p
( q)

75. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256 (=
28), pada saat ini hanya beberapa yang dapat langsung
dimanfaatkan. Operator triadika ini sulit untuk disimbolkan,
seperti misalnya operator “If…then…else…” disini variabel
nya berupa titik-titik.
Beberapa operator triadik adalah :
1) Kondisi terkondisi (conditioned disjunction).
If…then…else… disimbolkan [p,q,r]
2) Inkompatibel terkondisi dengan simbol [[p,q,r]]
3) L2 (mayoritas) ; L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p); bernilai T
jika paling sedikit dua atu lebih argumen bernilai T
4) L1 (Paling sedikit satu); dst

76. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
1) Disjungsi terkondisi;
Ditulis [p,q,r] , diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah
nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika
ditulis dengan “If-then-else” maka menjadi “If q then p
else r”.
Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :
[p,q,r] =T (q
4
T
T
T
F
F
F
T
F
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
p)
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
( q
r)
(q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
2
T
T
F
F
F
F
F
F
p)
1
T
T
T
T
F
F
F
F
4
T
T
T
F
F
F
T
F
(
2
F
F
T
T
F
F
T
T
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
F
F
T
F
F
F
T
F
r)
1
T
F
T
F
T
F
T
F

77. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
2) Inkompatibelitas terkondisi;
Ditulis [[p,q,r]] , ada kaitannya dengan disjungsi terkon
disi diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p
dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q.
Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :
[[p,q,r]] =T (q
4
F
F
F
T
T
T
F
T
p q
1
1
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
r
1
F
T
F
T
F
T
F
T
p)
( q
(q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
r)
3
F
F
F
F
T
T
F
F
(
2
F
F
F
F
T
T
T
T
p))
1
T
T
T
T
F
F
F
F
4
F
F
F
T
T
T
F
T
((
2
F
F
T
T
F
F
T
T
q)
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
F
F
F
T
F
F
F
T
(
2
F
T
F
T
F
T
F
T
r))
1
T
F
T
F
T
F
T
F

78. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
4
T
T
T
F
F
F
T
F
Ternyata bahwa :
Tkond
4
F
F
F
T
T
T
F
T
p q
1
1
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
[p,q,r] =T
r
1
F
T
F
T
F
T
F
T
(q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
2
T
T
F
F
F
F
F
F
p)
1
T
T
T
T
F
F
F
F
4
T
T
T
F
F
F
T
F
(
2
F
F
T
T
F
F
T
T
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
F
F
T
F
F
F
T
F
r)
1
T
F
T
F
T
F
T
F
[[p,q,r]] , Disj-tkond = negasi Inkomptbl(q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
F
F
F
F
T
T
F
F
(
2
F
F
F
F
T
T
T
T
p))
1
T
T
T
T
F
F
F
F
4
F
F
F
T
T
T
F
T
((
2
F
F
T
T
F
F
T
T
q)
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
F
F
F
T
F
F
F
T
(
2
F
T
F
T
F
T
F
T
r))
1
T
F
T
F
T
F
T
F

79. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
3) L2 Mayoritas;
Ditulis L2(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa
da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika
2 (dua) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L2 di
artikan dengan “Paling sedikit dua”. Tabel kebenaran
nya adalah :
L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p)
4
T
T
T
F
T
F
F
F
3T
2T
2T
1T
2T
1T
1T
0T
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
(p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
2
T
T
F
F
F
F
F
F
q)
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
T
T
F
F
T
F
F
F
(q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
2
T
F
F
F
T
F
F
F
r)
1
T
F
T
F
T
F
T
F
4
T
T
T
F
T
F
F
F
(r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
2
T
F
T
F
F
F
F
F
p)
1
T
T
T
T
F
F
F
F

80. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
4) L1 Paling sedikit satu ;
Ditulis L1(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa
da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika
1 (satu) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L1 di
artikan dengan “Paling sedikit satu”. Tabel kebenaran
nya adalah :
L1(p,q,r) =T (p q r)
4
T
T
T
T
T
T
T
F
3T
2T
2T
1T
2T
1T
1T
0T
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
2
T
T
T
T
T
T
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
T
T
T
T
T
T
T
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F

81. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika
4) L3 Paling sedikit tiga ;
Ditulis L3(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa
da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika
3 (tiga) argumennya bernilai T. L3 diartikan dengan
“Paling sedikit tiga”. Tabel kebenarannya adalah :
L3(p,q,r) =T (p
4
T
F
F
F
F
F
F
F
3T
2T
2T
1T
2T
1T
1T
0T
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F
q
r)
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F
2
T
T
F
F
F
F
F
F
q
1
T
T
F
F
T
T
F
F
3
T
F
F
F
F
F
F
F
r
1
T
F
T
F
T
F
T
F

82. Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Fungsi Kebenaran
Teorema :
Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , . . . pn) dari n variabel pro
posisional p1 , p2 . . . pn selalu dapat diekspresikan dalam ben
tuk fungsi kebenaran diadika dan monadika.
Pembuktiannya dengan menggunakan induksi.
Contoh dalam disjungsi terkondisi adalah :
f(p1,p2,...,pn)
=T [f1(p2 ,...,pn) ,p1 , f2(p2,...,pn)]