1. Triangulaciones irreducibles en
superficies 1-perforadas
M.J. Ch´veza , S. Lawrencenkoa , J.R. Portilloa , M.T. Villarc
a
(a) Departamento de Matem´tica Aplicada 1, Universidad de Sevilla.
a
E-mail: {mjchavez,josera}@us.es
(b) Russian State University de Tourism y Service, Lyubertsy, Moscow Region, Russia.
E-mail: lawrencenko@hotmail.com
(c) Departamento de Geometr´a y Topolog´a, Universidad de Sevilla.
ı
ı
E-mail: villar@us.es
Resumen. Una triangulaci´n de una superficie es irreducible si no contiene aristas
o
tales que su contracci´n produzca otra triangulaci´n de la superficie. En este trabajo
o
o
presentamos un algoritmo que construye el conjunto de triangulaciones irreducibles de
cualquier superficie con exactamente una componente en el borde.
Palabras clave. Triangulaci´n irreducible, superficie perforada, algoritmo.
o
´
Introduccion y terminolog´
ıa
Fijamos nuestra atenci´n en los siguientes objetos:
o
• S es una superficie cerrada. Ora la superficie orientable Sg de g´nero g,
e
ora la superficie cerrada no orientable Nk de g´nero no orientable k. En
e
particular, S0 es la esfera, S1 el toro, N1 el plano proyectivo y N2 la botella
de Klein.
• S − D es S menos el disco abierto D (el agujero). Estas superficies compactas se denominan 1-perforadas. Asumimos que el borde ∂S de S (que
es tambi´n ∂D) es homoeomorfo a una circunferencia.
e
Usamos la notaci´n Σ para representar superficies en cualquiera de los dos casos
o
anteriores, o sea, Σ ∈ {S, S − D}.
Si un grafo (finito, no dirigido, simple) G es una inmersi´n 2-celular en Σ, a
o
las componentes de Σ − G se les llaman caras. Una triangulaci´n de Σ mediante
o
un grafo G es una inmersi´n 2-celular T : G → Σ en la cual cada cara est´
o
a
acotada por un 3-ciclo (i.e., un ciclo de longitud 3) de G y cualesquiera dos
caras son disjuntas o comparten un unico v´rtice o comparten una unica arista.
´
e
´

2. 124
Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas
Denotamos por V = V (T ), E = E(T ) y F = F (T ) a los conjuntos de v´rtices,
e
aristas y caras de T , respectivamente. Del mismo modo, la triangulaci´n T de
o
una superficie cerrada se puede definir como un hipergrafo de rango 3 (un 3grafo) cuyo conjunto de v´rtices es V (T ) y sus hiperaristas es la colecci´n F (T )
e
o
de tripletas de V (T ) (llamadas 3-aristas o tri´ngulos de T ) (v´ase [4]). Para las
a
e
superficies perforadas el conjunto de hiperaristas est´ constituido por las 2-aristas
a
∂(T ) de pares de v´rtices que constituyen las aristas del borde del agujero y las
e
3-aristas F (T ) de tripletas de v´rtices que son los tri´ngulos.
e
a
Denotamos G(T ) al grafo (V (T ), E(T )) de la triangulaci´n T . Dos triangulao
∼ T2 ), si existe una biyecci´n α : V (T1 ) → V (T2 )
ciones T1 y T2 son isomorfas, (T1 =
o
tal que uvw ∈ F (T1 ) si y s´lo si α(u)α(v)α(w) ∈ F (T2 ). En este trabajo consio
deraremos que triangulaciones isomorfas son la misma triangulaci´n.
o
En el caso Σ = S − D, denotaremos por ∂T (que es tambi´n ∂D) al ciclo
e
borde de T . Los v´rtices y aristas de ∂T se llaman v´rtices-borde y aristas-borde
e
e
de T , respectivamente.
Una triangulaci´n de una superficie perforada es irreducible si ninguna arista
o
puede ser contra´ sin producir aristas m´ltiples o sin cambiar el tipo topol´gico
ıda
u
o
de la superficie. Este t´rmino ser´ definido de forma m´s precisa en la secci´n 1.
e
a
a
o
Las triangulaciones irreducibles de Σ forman una base de la familia de todas las
triangulaciones de Σ, en el sentido de que cualquier triangulaci´n de Σ se puede
o
obtener a partir de un miembro de la base aplicando la operaci´n explosi´n,
o
o
(definida as´
ımismo en la secci´n 1) un n´mero finito de veces. Poseer esta base
o
u
es, por tanto, muy util en aplicaciones pr´cticas de generaci´n de triangulaciones
´
a
o
(vid. [6] y [19]).
Es conocido que para cada superficie Σ la base de triangulaciones irreducibles
es finita (el caso de superficies cerradas est´ probado en [2], [13], [12] y [7] y el
a
caso de superficies con borde en [3]).
En la actualidad, tales bases s´lamente se conocen para siete superficies cero
radas y dos superficies 1-perforadas: la esfera ([14]), el plano proyectivo ([1]), el
toro ([8]), la botella de Klein ([9] y [15]), S2 , N3 , y N4 ([16, 17]), el disco y la
banda de M¨bius ([5]).
o
En este trabajo presentamos un algoritmo dise˜ado como aplicaci´n de ren
o
cientes avances en el estudio de triangulaciones irreducibles de superficies 1perforadas [5]. Espec´
ıficamente, los lemas 1-3 de la secci´n 1 son el soporte
o
te´rico del citado algoritmo. Como ejemplo de las aplicaciones del mismo, se han
o
determinado todos los tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones del
toro 1-perforado: existen exactamente 293 tipos.

3. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar
a
1
125
Resultados previos
Sea T una triangulaci´n de Σ. Un par no ordenado de distintas aristas vu
o
y vw de T adyacentes en el mismo v´rtice v se denomina una esquina de T en
e
el v´rtice v y se denota como u, v, w (= w, v, u ). La explosi´n de una esquina
e
o
u, v, w se denota sp u, v, w y es la operaci´n que consiste en cortar T en las
o
aristas vu y vw y cerrar el agujero resultante con dos nuevas caras triangulares,
v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w, d´nde v ′ y v ′′ denotan dos im´genes del v´rtice v que aparecen
o
a
e
como resultado del corte. Bajo esta operaci´n, el v´rtice v se convierte en la
o
e
arista v ′ v ′′ y las dos nuevas caras que tienen esta arista en com´n se insertan en
u
la triangulaci´n. Por lo tanto, el orden del grafo se incrementa en una unidad y
o
el tama˜o en tres.
n
Si una esquina u, v, w se compone de dos aristas vu y vw con el v´rtice v en
e
com´n, sp u, v, w equivale a la subdivisi´n estelar de la cara uvw.
u
o
Especialmente en el caso {Σ = S − D, uv ∈ E(T ), y v ∈ V (T )}, la operaci´n
o
de explosi´n de una esquina truncada u, v], sp u, v], produce una cara triangular
o
simple uv ′ v ′′ , d´nde v ′ v ′′ ∈ E(∂(sp u, v](T ))).
o
Bajo la operaci´n inversa, contraer la arista v ′ v ′′ (denotado como sh v ′ v ′′ )
o
la arista colapsa a un unico v´rtice v y las caras v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w colapsan en las
´
e
aristas vu y vw, respectivamente. En este caso, sp u, v, w ◦ sh v ′ v ′′ (T ) = T .
Debe hacerse notar que en el caso {Σ = S − D, v ′ v ′′ ∈ E(∂T )}, hay s´lo una
o
cara incidente con v ′ v ′′ y esta unica cara colapsa a una arista mediante sh v ′ v ′′ .
´
Obviamente, la operaci´n explosi´n no cambia el tipo topol´gico de Σ if Σ ∈
o
o
o
{S, S − D}. Observemos que la operaci´n contraer debe preservar tambi´n el
o
e
tipo topol´gico de Σ; m´s a´n, aristas m´ltiples no pueden ser creadas en una
o
a u
u
triangulaci´n. Un 3-ciclo de T se llama no-cara si no acota ninguna cara de T . En
o
el caso que una arista e ∈ E(T ) aparezca en alg´n 3-ciclo no-cara y si insistimos
u
en contraer e, es posible que se produzcan aristas m´ltiples, que expulsar´n a
u
a
sh e (T ) de la clase de triangulaciones. Una arista e se denomina contr´ctil o
a
cable si sh e (T ) sigue siendo triangulaci´n de Σ; en otro caso la arista se llama
o
no contr´ctil o barra. El subgrafo de G(T ) formado por los cables de G(T ) se
a
llama el subgrafo de cables de G(T ).
Los impedimentos para contraer una arista en una triangulaci´n T de una
o
superficie perforada S − D fueron identificados en [2, 3, 1, 8]; una arista e ∈ E(T )
es una barra si y s´lo si e satisface una de las siguientes condiciones:
o
(1) e pertenece a un 3-ciclo no-cara de G(T ). En particular, e es una aristaborde en el caso de que el ciclo borde sea un 3-ciclo.
(2) e es una cuerda de D -i.e., los v´rtices de e pertenecen a V (∂D) pero
e
e ∈ E(∂D).
/
A partir de ahora, asumiremos que S = S0 y asumiremos que por “3-ciclo

4. 126
Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas
no-cara” entendemos un 3-ciclo no homot´picamente nulo siempre que nos refio
ramos a las condiciones (1) y (2). Entonces, una arista e ser´ una barra cuando
a
e pertenezca a alg´n 3-ciclo no homot´picamente nulo, y e ser´ un cable en
u
o
a
cualquier otro caso. En particular, las aristas-borde de caras subdivididas estelarmente ser´n consideradas cables a menos que que pertenezcan a 3-ciclos no
a
homot´picamente nulos. El inter´s de este acuerdo es que una vez que una barra
o
e
deviene cable en el curso de alguna secuencia de explosiones, seguir´ siendo un
a
cable bajo subsiguientes explosiones.
Diremos que una triangulaci´n es irreducible si no tiene cables o, lo que es lo
o
mismo, si cada arista es una barra. Por ejemplo, un unico tri´ngulo es la unica
´
a
´
triangulaci´n irreducible del disco S0 − D.
o
Sea T una triangulaci´n irreducible de una superficie perforada S − D donde
o
S = S0 . Cerremos ahora el agujero de T restaurando el disco D a˜adiendo un
n
v´rtice p en D y uniendo p con todos los v´rtices de ∂D. De esta manera obtene
e
emos una triangulaci´n, T ∗ , de la superficie cerrada S. En estas circunstancias
o
llamaremos a D el parche, p ser´ el v´rtice central del parche y diremos que T se
a
e
obtiene de la correspondiente triangulaci´n T ∗ de S mediante eliminar parche.
o
N´tese que T ∗ puede ser una triangulaci´n irreducible de S pero no tiene que
o
o
serlo necesariamente. Utilizando que hemos asumido la irreducibilidad de T y el
hecho de que cada cable de T ∗ no puede satisfacer la condici´n (1) (en el sentido
o
de no nulidad homot´pica fuerte), se puede ver f´cilmente que en el caso que
o
a
T ∗ no sea irreducible, todos los cables de T ∗ tienen que estar completamente en
D ∪ ∂D y, m´s a´n, no hay cables que est´n completamente en ∂D cuando la
a u
e
longitud del ciclo borde ∂D sea mayor o igual que 4. En particular, observamos
que cada cuerda de D (si existen) es una barra de T porque verifican la condici´n
o
(2), y es tambi´n una barra de T porque cumple la condici´n (1). A continuaci´n
e
o
o
presentamos un lema para el cual necesitamos algunas definiciones:
Un v´rtice de una triangulaci´n R de S se denomina v´rtice pil´n si dicho
e
o
e
o
v´rtice es incidente con todos los cables de R. Una triangulaci´n que tiene al
e
o
menos un cable y al menos un v´rtice pil´n se llama triangulaci´n pil´n.
e
o
o
o
Una triangulaci´n puede tener un unico cable y por lo tanto dos v´rtices
o
´
e
pilones. Sin embargo, si el n´mero de cables de una triangulaci´n pil´n R es al
u
o
o
menos dos, R tiene exactamente un v´rtice pil´n.
e
o
Lema 1. Supongamos que una triangulaci´n irreducible T de una superficie pero
forada S − D (S = S0 ) se ha obtenido de la correspondiente triangulaci´n T ∗
o
∗ tiene al menos dos cables, entonces o el
de S mediante eliminar parche. Si T
v´rtice central p del parche es el unico v´rtice pil´n de T ∗ , o la longitud de ∂D
e
´
e
o
es 3.
Sea Ξ0 = Ξ0 (S) el conjunto de triangulaciones irreducibles de una superficie

5. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar
a
127
cerrada fijada S, y para n ≥ 1 sea Ξn = Ξn (S) el conjunto de triangulaciones
de S que puede ser obtenido de una triangulaci´n irreducible de S mediante una
o
secuencia de exactamente n explosiones sucesivas.
En el siguiente resultado, “eliminaci´n de un v´rtice v” significa eliminar v
o
e
junto con los interiores de las aristas y caras incidentes en v y “eliminaci´n de
o
una cara” significa eliminar el interior de dicha cara.
Lema 2. Cada triangulaci´n irreducible T de S − D (S = S0 ) se obtiene de una
o
de las siguientes maneras:
(I) por eliminaci´n de un v´rtice v de una triangulaci´n de Ξ0 = Ξ0 (S),
o
e
o
(II) por eliminaci´n de un v´rtice pil´n de una triangulaci´n de Ξ1 ∪Ξ2 ∪· · ·∪ΞK ,
o
e
o
o
donde la constante K viene dada por [3] (siempre que exista una triangulaci´n pil´n),
o
o
(III) por eliminaci´n de cada una de las dos caras que contengan un cable en su
o
3-ciclo borde si tal cable es unico en una triangulaci´n de Ξ1 (siempre que
´
o
esa situaci´n se d´),
o
e
(IV) por eliminaci´n de una cara que contenga dos o tres cables en su 3-ciclo
o
borde si esos dos o tres cables forman el subgrafo de cables completo de una
triangulaci´n de Ξ1 ∪ Ξ2 (siempre que esa situaci´n se d´).
o
o
e
Lema 3. Si una triangulaci´n de S tiene al menos dos cables pero no tiene v´rtice
o
e
pil´n, entonces no pueden crearse v´rtices pil´n nuevos en futuras explosiones de
o
e
o
la triangulaci´n.
o
2
Esquema del algoritmo
En esta secci´n consideraremos las triangulaciones como hipergrafos de rango
o
3 o 3-grafos. Sea T un 3-grafo y sean V = V (T ) y F = F (T ) los conjuntos de
v´rtices y de tri´ngulos de T . Ese 3-grafo puede ser representado de forma unica
e
a
´
(salvo isomorfismos) por un grafo bipartito BT = (V (BT ), E(BT )) de la siguiente
forma: V (BT ) = V (T ) ∪ F (T ), uv ∈ E(BT ) si y s´lo si el v´rtice u est´ en el
o
e
a
tri´ngulo v de T .
a
La entrada del algoritmo es el conjunto Ξ0 = Ξ0 (S) de triangulaciones irreducibles de una superficie cerrada S = S0 . La salida del algoritmo es el conjunto
de todos los tipos combinatorios de triangulaciones irreducibles de las superficies
1-perforadas S − D.
El primer paso es la generaci´n del conjunto Ξ1 ∪Ξ2 a partir del conjunto Ξ0 . A
o
continuaci´n, cada 3-grafo T ∈ Ξ1 ∪ Ξ2 se representa mediante su correspondiente
o

6. 128
Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas
grafo bipartito BT . Este paso ha sido implementados mediante la aplicaci´n
o
Mathematica ([18]).
El segundo paso consiste en descartar todos los grafos bipartitos duplicados.
Con esto, todas las triangulaciones duplicadas de Ξ1 ∪Ξ2 tambi´n son descartadas.
e
De esta manera obtenemos todas las triangulaciones no isomorfas, conjuntos que
denotaremos Ξ1 y Ξ2 respectivamente. Este paso se realiza haciendo uso de los
paquetes de computaci´n Nauty y gtools [10, 11].
o
A continuaci´n se detectan todos los v´rtices pil´n de Ξ1 ∪ Ξ2 se aplican las
o
e
o
operaciones (I)–(IV) del lema 2 para obtener las correspondientes triangulaciones
irreducibles (usando Mathematica).
Si Ξ2 no tiene ninguna triangulaci´n pil´n, se procede inmediatamente al paso
o
o
final: Descartar todas las triangulaciones duplicadas usando de nuevo Nauty y
gtools. En otro caso se genera Ξ3 y se aplican los pasos precedentes a Ξ3 , repitiendo el procedimiento con Ξ4 , Ξ5 , . . . hasta que no haya ninguna triangulaci´n
o
pil´n en el Ξn en curso; en ese caso el proceso termina y se produce la salida
o
deseada.
Los lemas 1 - 3 junto con los resultados de [3] justifican la validez de este
procedimiento. En particular, la finitud de la ejecuci´n se deduce de la cota
o
superior en el n´mero de v´rtices de una triangulaci´n irreducible de S − D [3].
u
e
o
En particular, esta cota superior implica (junto con el lema 3) que Ξn no contiene
ninguna triangulaci´n pil´n para alg´n n ≥ K + 1, donde K = 945 para S1 y
o
o
u
K = 376 para N1 . En realidad K es mucho menor que esos valores. Hemos
verificado por ordenador (y tambi´n a mano) que, de hecho, K = 1 para S1 y
e
K = 2 para N1 .
Mencionemos ahora dos ejemplos.
En primer lugar, el algoritmo ha sido implementado para el conjunto dos
triangulaciones irreducibles de N1 ([1]). El algoritmo proporciona un conjunto de
6 triangulaciones irreducibles de la banda de M¨bius, N1 −D, que es precisamente
o
le mismo valor obtenido por algunos de los autores de este trabajo en [5], aunque
sin usar paquetes computacionales.
En segundo lugar, presentamos los detalles del caso del toro, S1 .
Ejemplo: el toro 1-perforado
Entrada: El conjunto de 21 triangulaciones irreducibles de S1 (tal como est´n
a
etiquetadas en [8]).
• Ξ1 (S1 ) tiene 433 triangulaciones no isomorfas: 232 no tienen v´rtice pil´n,
e
o
193 tienen un unico v´rtice pil´n y 8 tienen dos v´rtices pil´n.
´
e
o
e
o
• Ξ2 (S1 ) tiene 11612 triangulaciones no isomorfas y ninguna de ellas es una

7. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar
a
129
triangulaci´n pil´n.
o
o
• Las operaciones descritas en el lema 2 proporcionan:
(I) 184 triangulaciones; s´lo 80 son no isomorfas.
o
(II) 209 triangulaciones; s´lo 203 son no isomorfas.
o
(III) 16 triangulaciones; s´lo 10 son no isomorfas.
o
(IV) 0 triangulaciones.
Salida: 293 tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones irreducibles
del toro 1-perforado S1 − D.
3
Conclusiones finales
Obviamente este algoritmo puede ser implementado para cualquier superficie
cerrada siempre que la base de triangulaciones irreducibles sea conocida. En un
pr´ximo trabajo esperamos presentar el conjunto de triangulaciones irreducibles
o
de la botella de Klein 1-perforada, N2 − D.
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