στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος

Περιεχόμενα
25. Η έννοια της μεταβλητής......................................................................................................1
26. Εξισώσεις στις οποίες άγνωστος είναι προσθετέος .............................................................3
27. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι αφαιρετέος...........................................................6
28. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου .......................................8
29. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι διαιρέτης ή διαιρετέος......................................10
30. Λόγος δύο μεγεθών............................................................................................................12
31. Από τον λόγο στην αναλογία .............................................................................................15
32. Από τον λόγο στην αναλογία...............................................................................................17
33. Σταθερά και μεταβλητά ποσά ............................................................................................20
34. Ανάλογα ποσά ....................................................................................................................22
35. Προβλήματα με ανάλογα ποσά..........................................................................................27
36. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά..............................................................................................29
37. Προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά...................................................................33
38. Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά ................................................................35
39. Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά............................................37
40. Εκτιμώ το ποσοστό .............................................................................................................39
41. Βρίσκω το ποσοστό.............................................................................................................43
42. Λύνω προβλήματα με ποσοστά – Βρίσκω την τελική τιμή................................................47
43. Λύνω προβλήματα με ποσοστά – Βρίσκω την αρχική τιμή...............................................52
44. Λύνω προβλήματα με ποσοστά – Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό ....................................57
45. Απεικονίζω δεδομένα με ραβδόγραμμα ή εικονόγραμμα..................................................61
46. Ταξινομώ δεδομένα – Εξάγω συμπεράσματα...................................................................67
47. Άλλοι τύποι γραφημάτων ..................................................................................................71
48. Βρίσκω τον μέσο όρο .........................................................................................................76

Η έννοια της μεταβλητής 25
Ασκήσεις
1. Εκφράζω τις παρακάτω προτάσεις, χρησιμοποιώντας μια μεταβλητή.
Α. Το επταπλάσιο ενός αριθμού.
Β. Το ένα τέταρτο ενός αριθμού.
Γ. Ένας αριθμός μειωμένος κατά 5.
Δ. Ένας αριθμός μεγαλύτερο κατά 3,5.
Ε. Το εξαπλάσιο ενός αριθμού που μεγαλώνει κατά 8.
……………………………………………………...…………………………………
…………………………………………………………….……………………………
……………………………………………………...…………………………………
…………………………………………………………….……………………………
……………………………………………………...…………………………………
2. Εκφράζω τις παρακάτω σχέσεις με λόγια.
Α. x – 8
Β. x + 8
Γ. 12 · x
Δ. 15 – x = 3
Ε. 3 · x > 5
Στ. x + 3 = 14
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………...………………………………………………………………………………………...………………
3. Το παρακάτω ορθογώνιο έχει μήκος x και πλάτος ψ.
Α. Το διπλάσιο του μήκους είναι:
Β. Το τριπλάσιο του πλάτους είναι:
……………………………………………………………………………………………………...………………...
……………………………………………………………………………………………………...………………...
• Κατανοώ την έννοια «μεταβλητή».
• Χρησιμοποιώ μεταβλητές για να εκφράσω τις σχέσεις στις εκφράσεις, τις
ισότητες, τις ανισότητες και τις γεωμετρικές σχέσεις.
• Επιλέγω μεταβλητές και σχηματίζω αριθμητικές παραστάσεις.
1

Η έννοια της μεταβλητής25
Γ. Η περίμετρος του είναι:
Δ. Το εμβαδόν του είναι:
……………………………………………………………………………………………………...………………...
……………………………………………………………………………………………………...…………………
Προβλήματα
1. Έχουμε τρία κουτιά γεμάτα μολύβια και πέντε μολύβια εκτός κουτιών. Τα μολύβια συνολικά είναι 41.
Α. Εκφράζω το παραπάνω πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια μεταβλητή.
Β. Πόσα μολύβια έχει το κάθε κουτί;
Δεδομένα Ζητούμενα
Α
Βοηθητικές πράξεις για το Β
Απάντηση Α : .....................................................................................................................................................................
Απάντηση Β : .....................................................................................................................................................................
2

Εξισώσεις στις οποίες άγνωστος
είναι ο προσθετέος
26
Ασκήσεις
1. Λύνω τις παρακάτω εξισώσεις, όπως στο παράδειγμα.
+ =
= −
=
x 3 8
x 8 3
x 5
Α.
x + 12 = 55
Β.
55 + x = 233
Γ.
w + 123 = 234
Δ.
15 + r = 188
2. Λύνω τις παρακάτω εξισώσεις, ακολουθώντας την ίδια στρατηγική.
Α.
x + 3,7 = 12,2
Β.
55,25 + x = 77,8
Γ.
1
4
+ x = 1
Δ.
t + 2,8 = 9,85
• Σχηματίζω την εξίσωση ενός προβλήματος.
• Λύνω μια εξίσωση με δοκιμές και έλεγχο.
• Λύνω μια εξίσωση χρησιμοποιώντας την αφαίρεση ως αντίστροφη πράξη της
πρόσθεσης.
3

26
+ + + = +
+ + + = +
+ =
+ = −
=
x 3 8 16 8 55
x (3 8 16) (8 55)
x 27 63
x 27 63 27
x 36
Α.
x + 12 + 8 = 55 – 4
Β.
55 + x + 12 = 233 + 2 – 4
Γ.
311 + x – 15 = 412 = 12 + 16
Δ.
t + 55 – 2 = 64 – 3
4. Εκφράζω τα παρακάτω προβλήματα με μορφή εξίσωσης. Ύστερα λύνω τις εξισώσεις που έφτιαξα.
Α.
4

26
5. Σημειώνω με Σ τις σωστές και Λ τις λανθασμένες προτάσεις.
(…..) Α. Η εξίσωση x + 5 = 14 έχει λύση x = 9.
(…..) Β. Κάθε εξίσωση έχει τη μορφή ζυγαριάς.
(…..) Γ. Η εξίσωση w + 4 = 12 έχει άγνωστο το x.
(…..) Δ. Η σχέση k + 5 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Ε. Η σχέση k + k + 5 = 12 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Στ. Μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή ονομάζεται εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Ζ. Η τιμή που επαληθεύει την εξίσωση ονομάζεται λύση της εξίσωσης.
(…..) Η. Σε μια εξίσωση πρόσθεσης κάνεις πρόσθεση, για να τη λύσεις.
1. Ο Μάνος έφτιαξε τη βαλίτσα του, για τις διακοπές του και ζύγιζε 16 κιλά. Η μητέρα του πρόσθεσε κάποια
πράγματα και η βαλίτσα του έγινε πιο βαριά, με συνολική μάζα 21,5 κιλά. Πόσα κιλά πρόσθεσε η μητέρα του;
Λύνω χρησιμοποιώντας μια εξίσωση.
Βοηθητικές πράξεις
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
5

είναι ο αφαιρετέος
27
Ασκήσεις
− =
= +
=
x 3 8
x 8 3
x 11
Α.
x – 12 = 55
Β.
55 – x = 23
Γ.
311 – x = 41
Δ.
t – 55 = 64
Α.
x – 3,7 = 12,2
Β.
55,25 – x = 17,8
Γ.
6
4
– x = 1
Δ.
t – 2,8 = 9,85
3. Βρίσκω τις τιμές για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις.
Α.
x – 5 = 11
x + y = 25
Β.
2 + x = 24
x – y = 2
• Σχηματίζω την εξίσωση ενός προβλήματος.
• Χρησιμοποιώ τις αντίστροφες πράξεις της αφαίρεσης.
6

είναι ο αφαιρετέος
27
(…..) Α. Η εξίσωση x – 5 = 14 έχει λύση x = 9.
(…..) Β. Κάθε εξίσωση έχει τη μορφή ζυγαριάς.
(…..) Γ. Η εξίσωση w – 4 = 12 έχει άγνωστο το x.
(…..) Δ. Η σχέση k – 5 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Ε. Η σχέση 2k – k + 5 = 12 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Στ. Οι εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος λύνονται με μία αφαίρεση.
(…..) Ζ. Στην εξίσωση x – 8 = 12, ο άγνωστος x είναι ο αφαιρετέος.
1. Ο Αλέξανδρος είναι 120 κιλά, ενώ ο Πέτρος είναι 88 κιλά. Και οι δύο άντρες έχουν το ίδιο ύψος. Αν το ιδανικό
βάρος είναι αυτό του Πέτρου, πόσα κιλά πρέπει να χάσει ο Αλέξανδρος, για να τον φτάσει; Λύνω
χρησιμοποιώντας μια εξίσωση.
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
7

είναι ο παράγοντας γινομένου
28
Ασκήσεις
=
=
=
n · 3 24
n 24:3
n 8
Α.
s · 6 = 54
Β.
t · 2 = 16
Γ.
p · 7 = 42
Δ.
4 · t = 28
Α.
0.004 · b = 0.012
Β.
c · 0.001 = 0.009
Γ.
d · 7 = 0.056
Δ.
0.3 · k = 0.9
3. Βρίσκω τις τιμές των μεταβλητών, για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις.
Α.
x · 5 = 15
x + y = 25
Β.
2 + x = 24
x · y = 44
Γ.
12 · x = 36
x · y = 27
Δ.
t · 24 = 12
t + z = 9,5
• Μελετώ τον τύπο του εμβαδού ως εξίσωση.
• Σχηματίζω τις αντίστροφες πράξεις του πολλαπλασιασμού.
• Λύνω εξισώσεις όταν ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου.
8

είναι παράγοντας γινομένου
28
(…..) Α. Η εξίσωση x · 5 = 14 έχει λύση x = 5 : 14.
(…..) Β. Η εξίσωση x · 7 = 14 έχει λύση x = 2.
(…..) Γ. Η εξίσωση w · 4 = 12 και t · 5 = 13 έχουν την ίδια λύση.
(…..) Δ. Η σχέση k · 5 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Ε. Η σχέση 2k · k = 8 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Στ. Οι εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου λύνονται με αφαίρεση.
(…..) Ζ. Η διαίρεση και των δύο μελών μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό διατηρεί την ισορροπία της.
1. Η Έλενα αγόρασε 12, 75 κιλά γλυκά και πλήρωσε 146,25 €. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό γλυκά; Λύνω με τη
βοήθεια μιας εξίσωσης.
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
9

είναι ο διαιρέτης ή διαιρετέος
29
Ασκήσεις
=
=
=
n : 3 24
n 24·3
n 72
Α.
s : 14 = 30
Β.
t : 16 = 21
Γ.
p : 32 = 36
Δ.
252 : n = 18
Α.
6,15 : b = 5
Β.
c : 4 = 2,14
Γ.
d : 6 = 8,32
Δ.
29,16 : k = 3,24
3. Βρίσκω τις τιμές των μεταβλητών, για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις.
Α.
x : 5 = 15
x : y = 25
Β.
48 : x = 24
x : y = 0,5
Γ.
36 : x = 6
x : y = 2
Δ.
t : 24 = 20
t : z = 12
• Σχηματίζω τις αντίστροφες πράξεις μιας διαίρεσης.
• Χρησιμοποιώ τις αντίστροφες πράξεις, για να λύσω μια εξίσωση όταν ο
άγνωστος έχει τη θέση του διαιρετέου ή του διαιρέτη.
10

είναι ο διαιρέτης ή διαιρετέος
29
(…..) Α. Η εξίσωση x : 5 = 14 έχει λύση x = 14 · 5.
(…..) Β. Η εξίσωση x : 7 = 14 έχει λύση x = 2.
(…..) Γ. Η εξίσωση w : 4 = 12 και t : 5 = 13 έχουν την ίδια λύση.
(…..) Δ. Η σχέση k : 5 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Ε. Η σχέση 2k : k = 8 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο.
(…..) Στ. Οι εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι ο διαιρετέος λύνονται με πολλαπλασιασμό του πηλίκου με τον
διαιρέτη.
(…..) Ζ. Στην εξίσωση 12 : x = 5, ο άγνωστος είναι ο διαιρετέος.
1. Η κληρονομιά του θείου Γιάννη, ύψους 37.035 €, θα μοιραστεί στα τρία ανίψια του, ώστε το κάθε ένα να
πάρει ίσο μερίδιο. Πόσα χρήματα θα πάρει ο καθένας τους; Λύνω το πρόβλημα με εξίσωση.
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
11

Λόγος δύο μεγεθών30
Ασκήσεις
1. Βρίσκω τους παρακάτω λόγους.
Α.
Β∆
=
∆Ζ
Β.
ΑΒ
=
ΒΖ
Γ.
ΒΓ
=
ΑΓ
Δ.
ΒΕ
=
ΑΖ
Ε.
ΑΖ
=
ΑΕ
Στ.
ΓΖ
=
Γ∆
2. Συμπληρώνω το 4ο
σχήμα σε κάθε ομάδα, μελετώντας τη σχέση των δύο μεγεθών.
3. Βρίσκω τα ζεύγη των αντίστροφων λόγων.
Α. =
1
3
Β. =
2
3
Γ. =
7
6
• Συγκρίνω μεγέθη.
• Μελετώ τη σχέση δύο μεγεθών.
• Εκφράζω τη σχέση δύο μεγεθών με λόγο.
• Αναγνωρίζω τους αντίστροφους λόγους.
12

Λόγος δύο μεγεθών 30
4. Βρίσκω τρεις διαφορετικούς λόγους για τις παρακάτω εικόνες, όπως στο παράδειγμα.
Εικόνα Α. Εικόνα Β.
• Λ1=
• Λ2=
• Λ3=
• Λ1=
• Λ2=
• Λ3=
5. Γράφω στον πίνακα με τρεις τρόπους (
1
2
ή 1 προς 2 ή 1 : 2) τους λόγους που αναφέρουν οι παρακάτω
προτάσεις.
αγόρια / κορίτσια αγόρια / μαθητές γάτες / σκύλοι ευρώ / λίρα
Α.
Ο λόγος των αγοριών προς τα
κορίτσια της τάξης είναι 12
αγόρια προς 16 κορίτσια.
Β.
Ο λόγος των αγοριών προς τους
μαθητές της τάξης είναι 12
αγόρια προς 28 μαθητές.
Γ.
Ο λόγος των γάτων προς τους
σκύλους της γειτονιάς είναι
1
3
.
Δ.
Σε ένα ανταλλακτήριο τιμών
αναγράφεται:
1 € : 0,70 λίρες.
13

Λόγος δύο μεγεθών30
6. Σημειώνω τους λόγους που αποτυπώνουν οι παρακάτω προτάσεις.
Α. Οι ημέρες της εβδομάδας προς τις μέρες του Δεκέμβριου.
Β. Οι ημέρες της εβδομάδας προς τις ημέρες του χρόνου, όταν δεν είναι δίσεκτος.
Γ. Η πλευρά του τετραγώνου προς την περίμετρό του.
7. Σημειώνω με «Σ» τις σωστές και «Λ» τις λανθασμένες προτάσεις.
(…..) Α. Το αποτέλεσμα της σύγκρισης δύο μεγεθών ονομάζεται λόγος.
(…..) Β. Ο λόγος δύο μεγεθών είναι πάντα ίσος με έναν ακέραιο αριθμό.
(…..) Γ. Η κλίμακα ενός χάρτη μας δείχνει τον λόγο αυτού που βλέπουμε στον χάρτη προς την πραγματικότητα.
(…..) Δ. Ο λόγος μιας εβδομάδας προς της ημέρες του μήνα είναι
31
7
.
1. H παρακάτω γραφική παράσταση απεικονίζει τις απαντήσεις 50 παιδιών στην ερώτηση «Ποιο είναι το
αγαπημένο σου άθλημα;».
Α. Ποιο είναι το αγαπημένο άθλημα των παιδιών; ……………………………………………………………………………………………………
Β. Ποιο είναι το λιγότερο αγαπημένο άθλημα των παιδιών; …………………………………………………………………………………….
Γ. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση, συμπληρώνω τον λόγο των παιδιών που προτιμούν:
Α.
ποδόσφαιρο προς
μπάσκετ
Β.
μπάσκετ προς
ποδόσφαιρο
Γ.
τένις προς γκολφ
Δ.
βόλεϊ προς τένις
14

Από τον λόγο στην αναλογία 31
Ασκήσεις
1. Κυκλώνω τους λόγους που σχηματίζουν αναλογίες.
Α. Β. Γ. Δ.
8 12
,
12 18
12 15
,
26 20
3 6
,
4 2
9 3
,
6 2
2. Υπολογίζω το x στις παρακάτω αναλογίες.
Α. Β. Γ. Δ.
=
13 x
6 12
=
6 4
66 x
=
x 3
100 6
=
3 6
x 28
3. Σχηματίζω αναλογίες με τους παρακάτω αριθμούς, όπως στο παράδειγμα.
2, 2, 1, 4
1 2
2 4
= ή
2 4
1 2
=
Α.
3, 6, 7, 14
Β.
2, 6, 5, 15
Γ.
7, 2, 4, 14
Δ.
10, 5, 8, 4
(…..) Α. Οι λόγοι 2:3 και 4:6 αποτελούν μια αναλογία.
(…..) Β. Οι λόγοι 7:1 και 2:5 αποτελούν μια αναλογία.
(…..) Γ. Οι λόγοι 4:1 και 8:3 αποτελούν μια αναλογία.
(…..) Δ. Οι λόγοι 11:2 και 2:11 αποτελούν μια αναλογία.
(…..) Ε. Οι λόγοι 3:1 και 9:3 αποτελούν μια αναλογία.
• Συγκρίνω δύο λόγους.
• Αναγνωρίζω την ισότητα δύο λόγων.
• Σχηματίζω αναλογίες.
15

Από τον λόγο στην αναλογία31
5. Συμπληρώνω τα κενά των παρακάτω προτάσεων με τις κατάλληλες λέξεις, φράσεις ή μαθηματικά σύμβολα.
Α. Όταν συγκρίνοντας δύο λόγους διαπιστώσουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους, λέμε ότι αποτελούν μια
……………………………….
Β. Για να σχηματίσω αναλογία από ένα λόγο, αρκεί να ………………………………. ή να ………………………………. και τους δύο
όρους με κάποιον αριθμό.
1. Το αυτοκίνητο του Ζήση χρειάζεται 14 λίτρα, για να ταξιδέψει 168 χμ. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει με 29
λίτρα από την ίδια βενζίνη;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
16

Ασκήσεις
1. Ο Αλέξανδρος ισχυρίζεται ότι τα ζευγάρια ηλικία προς ύψος είναι ανάλογα.
Ηλικία (χρόνια) 1 2 3 4 5
Ύψος (εκ.) 74 85 94 101 108
Σύμφωνείς μαζί του; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
2. Υπολογίζω το x στις παρακάτω αναλογίες, όπως στο παράδειγμα.
Α.
1 p
3 6
= ⇒........................................................................................................................................................................
B.
7 s
9 18
= ⇒......................................................................................................................................................................
Γ.
21 28
t 36
= ⇒....................................................................................................................................................................
Δ.
u 5
12 15
= ⇒....................................................................................................................................................................
(…..) Α. Αν σε δύο λόγους τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα, τότε πρόκειται για μια αναλογία.
(…..) Β. Στην αναλογία
12 6
4 x
= το x είναι ο αριθμός 3.
(…..) Γ. Στην αναλογία
1 2
2 4
= ισχύει ότι 1 · 4 = 2 · 2.
(…..) Δ. Αν έχουμε 20 πίτσες για πέντε άτομα, η αναλογία είναι 4 κομμάτια ανά άτομο.
• Βρίσκω τη σχέση των όρων της αναλογίας.
• Yπολογίζω τον άγνωστο όρο της αναλογίας.
17

Από τον λόγο στην αναλογία32
1. Μελετώ την παρακάτω γραφική παράσταση και απαντώ στις ερωτήσεις που ακολουθούν.
Α. Η γραφική παράσταση απεικονίζει τις εισπράξεις ενός φούρνου από λευκά κουλούρια. Πόσα χρήματα θα
εισπράξει αν πουλήσει 4 τέτοια κουλούρια; Λύνω σχηματίζοντας την αναλογία.
Β. Ο Ηλίας αγόρασε, από τον φούρνο, για το κυλικείο του 17 λευκά κουλούρια. Πόσα πλήρωσε; Πόσα ρέστα
πήρε, αν έδωσε 20 €; Λύνω σχηματίζοντας την αναλογία.
Γ. Η κ. Χριστίνα αγόρασε τρία κουλούρια ολικής αλέσεως. Πλήρωσε 2,80 €. Το λευκό ή το ολικής κοστίζει
περισσότερο; Λύνω συγκρίνοντας τους δύο λόγους.
Δ. Αν ο φούρνος εισέπραξε από τα κουλούρια ολικής 43,20 €, πόσα τέτοια κουλούρια πούλησε; Λύνω
σχηματίζοντας την αναλογία.
Ε. Προσπαθώ να φτιάξω μια γραφική παράσταση που να απεικονίζει τα χρήματα που εισπράττει ο φούρνος από
την πώληση κουλουριών ολικής αλέσεως.
Βοηθητικές πράξεις Α
18

Βοηθητικές πράξεις Β
Βοηθητικές πράξεις Γ
Βοηθητικές πράξεις Δ
Σχεδιασμός γραφικής παράστασης
19

Σταθερά και τα μεταβλητά ποσά33
Ασκήσεις
1. Σημειώνω με «Σ» τα ποσά που είναι σταθερά και «Μ» τα ποσά που είναι μεταβλητά.
(…..) Α. Το ύψος του ανθρώπου.
(…..) Β. Οι μήνες του χρόνου.
(…..) Γ. Η ταχύτητα των ανέμων.
(…..) Δ. Η απόσταση Αθήνας – Θεσσαλονίκης.
(…..) Ε. Η τιμή της βενζίνης.
(…..) Στ. Η ηλικία του ανθρώπου.
(…..) Η. Η ηλιοφάνεια ενός τόπου.
(…..) Θ. Οι μέρες της εβδομάδας.
(…..) Ι. Η μάζα του ανθρώπου.
(…..) Κ. Η περιουσία ενός ανθρώπου.
2. Σημειώνω με τις λέξεις που δηλώνουν ποσά.
(…..) Α. φόβος
(…..) Β. θάρρος
(…..) Γ. όγκος
(…..) Δ. ταχύτητα
(…..) Ε. ανδρεία
(…..) Στ. πλάτος
(…..) Ζ. θερμοκρασία
(…..) Η. επιφάνεια
• Μελετώ την έννοια του ποσού.
• Διακρίνω τα ποσά από τις αντίστοιχες τιμές τους.
• Συγκρίνω και αναγνωρίζω τα σταθερά και τα μεταβλητά ποσά.
20

Σταθερά και τα μεταβλητά ποσά 33
(…..) Α. Η απόσταση Αθήνας - Τρίπολης είναι σταθερό ποσό.
(…..) Β. Η πρόταση «Ο Κώστας είναι καλός μαθητής» εκφράζει ποσό.
(…..) Γ. Το υψόμετρο του χωριού είναι μεταβλητό ποσό.
(…..) Δ. Ο λογαριασμός της ΔΕΗ είναι μεταβλητό ποσό.
(…..) Ε. Ο Κώστας πήρε τον βαθμό 10. Το 10 είναι το ποσό.
(…..) Στ. Το ύψος ενός βουνού είναι σταθερό ποσό.
(…..) Ζ. Η θερμοκρασία βρασμού του νερού είναι σταθερό ποσό.
(…..) Η. Η θερμοκρασία τήξης ενός υλικού σώματος είναι μεταβλητό ποσό.
21

Ανάλογα ποσά34
Ασκήσεις
1. Εξετάζω αν οι παρακάτω πίνακες περιλαμβάνουν ανάλογα ποσά.
Πίνακας Α
k 2 6 14 20 28
l 6 18 40 52 68
• Είναι ανάλογα ποσά, γιατί: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
• Δεν είναι ανάλογα ποσά, γιατί: ……………………………………………………………………………………………………………………………
Πίνακας B
k 20 10 5 4 2
l 0,8 1,6 3,4 5,2 12,8
• Είναι ανάλογα ποσά, γιατί: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
• Δεν είναι ανάλογα ποσά, γιατί: ……………………………………………………………………………………………………………………………
2. Συμπληρώνω τους πίνακες, ώστε να προκύπτουν ανάλογα ποσά.
Πίνακας Α
k 2 7 10
l 10 20 45
Πίνακας B
k 3 15 30
l 24 56 80
• Μελετώ την έννοια των ανάλογων ποσών.
• Συγκρίνω ποσά.
• Αναγνωρίζω τα ανάλογα ποσά.
22

Ανάλογα ποσά 34
Πίνακας Γ
k 4,5 7,5 12
l 3,2 16 32
3. Αν τα 5 κιλά μήλα κοστίζουν 8 €, συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα.
κιλά μήλα 1 2 3 7 9
€
(…..) Α. Ο αριθμός αναψυκτικών και τα χρήματα που κοστίζουν είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Β. Το εμβαδόν του πατώματος και ο αριθμός των πλακών που είναι στρωμένο είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Γ. Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται, για να ολοκληρώσουν ένα έργο είναι ανάλογα ποσ ά.
(…..) Δ. Η ταχύτητα και ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη μιας απόστασης είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Ε. Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εμβαδόν του είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Στ. Η ηλικία ενός ανθρώπου και η περιουσία του είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Ζ. Το ποσό που ξοδεύει κάποιος, για να αγοράσει λαχεία και το ποσό που κερδίζει είναι ανάλογα ποσά.
(…..) Η. Η ηλικία και το ύψος ενός ανθρώπου είναι ποσά ανάλογα.
(…..) Θ. Στα ανάλογα ποσά τα κλάσματα που απεικονίζουν τις αναλογίες είναι ισοδύναμα.
(…..) Ι. Το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα.
(…..) Κ. Το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου και το εμβαδόν του είναι ποσά ανάλογα.
1. Ένας πεζός περπάτησε 3,5 ώρες και ένας άλλος 1,5 ώρες. Ο πρώτος διένυσε απόσταση 10,5 χιλιομέτρων. Πόση
απόσταση διένυσε ο δεύτερος, αν βάδιζαν με τον ίδιο ρυθμό; Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους
(κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
23

Πίνακας ανάλογων ποσών Αναγωγή στη μονάδα
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
2. Μελετώ την παρακάτω γραφική παράσταση και απαντώ στις ερωτήσεις που ακολουθούν.
Α. Η γραφική παράσταση απεικονίζει τη σχέση που έχουν οι αγορές ενός διαδικτυακού μαγαζιού με τις
επισκέψεις του κοινού. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα, αξιοποιώντας τις πληροφορίες των τριών κουκίδων
της γραφικής παράστασης.
Πλήθος επισκέψεων
Πλήθος αγορών
24

Ανάλογα ποσά 34
Β. Τα ποσά αυτά είναι ανάλογα ή όχι; Δικαιολογώ την απάντησή μου.
Δικαιολόγηση
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Γ. Πόσες αγορές θα γίνουν, αν υποθέσουμε ότι έχουν γίνει 18 επισκέψεις; Απαντώ χωρίς πράξεις, με τη βοήθεια
της γραφικής παράστασης.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Δ. Πόσες αγορές θα γίνουν, αν ο αριθμός των επισκέψεων γίνει 60;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Ο Βαγγέλης αγόρασε 6 τετράδια και έδωσε 8,40 €. Πόσα € θα δώσει, για να αγοράσει 8 τετράδια; Λύνω το
πρόβλημα με δύο τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
25

Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
26

Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά 35
1. Με 200 κιλά αλεύρι φτιάχνουμε 250 κιλά ψωμί. Πόσο αλεύρι χρειάζεται για το ψωμί 14 ημερών ενός
εστιατορίου που καταναλώνει 1.200 μερίδες την ημέρα; (κάθε μερίδα είναι 260 γρ. )
Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη
μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
• Διακρίνω αν δύο ποσά είναι μεταξύ τους ανάλογα.
• Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα.
• Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο της αναλογίας.
27

Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά35
2. Ένας γεωργός πούλησε διαδοχικά
3
4
του τόνου,
1
1
2
τόνους και
1
2
του τόνου πορτοκάλια και πήρε 950 €.
Πόσα χρήματα θα πάρει αν πουλήσει
1
6
2
τόνους πορτοκάλια; Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους
(κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Δυο έμποροι πλήρωσαν 6.500 € για τη μεταφορά 7,5 τόνων εμπορευμάτων. Ο ένας μετέφερε 2,3 τόνους
εμπορεύματος και ο δεύτερος τα υπόλοιπα. Πόσα χρήματα πλήρωσε ο κάθε έμπορος; Λύνω το πρόβλημα με δύο
τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
28

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 36
Ασκήσεις
1. Εξετάζω αν οι παρακάτω πίνακες περιλαμβάνουν αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
Πίνακας Α
k 15 12 8 4 2
l 8 10 14 29 60
• Είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί: …………………………………………………………………………………………………………….
• Δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί: ………………………………………………………………………………………………………
Πίνακας B
k 12 10 8 4 2
l 8 9,6 12 24 48
• Είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί: …………………………………………………………………………………………………………….
• Δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί: ………………………………………………………………………………………………………
2. Συμπληρώνω τους πίνακες, ώστε να προκύπτουν αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
Πίνακας Α
k 12 24 96
l 6 1
Πίνακας B
k 2 5 10 160
l 10 4
3. Δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν γινόμενο 40. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα.
• Μελετώ την έννοια των αντίστροφων ποσών.
• Συγκρίνω ποσά.
• Αναγνωρίζω τα αντίστροφα ποσά.
29

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά36
x 1 2 6 8 12
y
(…..) Α. Η βάση και το εμβαδόν ενός τριγώνου, με σταθερό ύψος είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
(…..) Β. Η παροχή μιας βρύσης και ο χρόνος που χρειάζεται, για να γεμίσει μια μπανιέρα είναι αντιστρόφως
ανάλογα ποσά.
(…..) Γ. Το εμβαδόν της ρωγμής ενός πλοίου και ο χρόνος που απαιτείται, για να γεμίσουν τα αμπάρια του με νερό
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
(…..) Δ. Ο αριθμός ατόμων και η μάζα του παγωτού που θα φάνε, από ένα οικογενειακό παγωτό 2 κιλών είναι
αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
(…..) Ε. Η χωρητικότητα των μπουκαλιών και ο αριθμός μπουκαλιών που χρειαζόμαστε, για να εμφιαλώσουμε 100
λίτρα κρασιού είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
(…..) Στ. Ο αριθμός των ατόμων και οι σκηνές των 2 ατόμων που χρειάζονται, για να κατασκηνώσουν είναι
αντιστρόφως ανάλογα ποσά.
(…..) Ζ. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα.
(…..) Η. Η ποσότητα του φαγητού είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των ατόμων.
(…..) Θ. Ποσά που μειώνονται ταυτόχρονα είναι αντιστρόφως ανάλογα.
(…..) Ι. Το πλήθος των νικητών ενός τυχερού παιχνιδιού (Τζόκερ) είναι αντιστρόφως ανάλογο των κερδών.
1. Το σαλάμι που έχουμε στο ψυγείο φτάνει για 24 τοστ, αν βάζουμε από 3 φέτες σαλάμι. Αν βάζουμε από 4
φέτες σαλάμι, πόσα τοστ θα μπορέσουμε να φτιάξουμε;
Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών και με
αναγωγή στη μονάδα).
30

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 36
Πίνακας αντιστρόφως ανάλογων ποσών Αναγωγή στη μονάδα
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
2. Μια οικογένεια αγοράζει κρέας και περνά 10 ημέρες, αν η μερίδα είναι 325 γραμμάρια. Πόσες ημέρες θα
διαρκέσει το κρέας, αν η μερίδα γίνει 0,25 κιλά;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
31

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά36
3. Σε μια κατασκήνωση το φαγητό που έχουν στην αποθήκη φτάνει για 14 μέρες, αν τα παιδιά είναι 10. Αν τα
παιδιά ήταν 20, για πόσες μέρες θα έφτανε το φαγητό; Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους (κατασκευάζοντας
έναν πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
32

Προβλήματα με αντιστρόφως
ανάλογα ποσά
37
Ασκήσεις
(…..) Α. Όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε μειώνεται το ένα και αυξάνεται το άλλο.
(…..) Β. Όλα τα ποσά στα οποία ισχύει ότι, όταν μειώνεται το ένα αυξάνεται το άλλο, είναι αντιστρόφως ανάλογα.
(…..) Γ. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν σταθερό πηλίκο.
(…..) Δ. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν το ίδιο γινόμενο.
(…..) Ε. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσα σταυρωτά γινόμενα.
(…..) Στ. Ο τριπλάσιος αριθμός εργατών τελειώνει ένα έργο σε μισές μέρες.
(…..) Ζ. Αν γνωρίζουμε ότι 24 πλοία κάνουν 6 δρομολόγια, τότε τα 18 πλοία κάνουν 12 δρομολόγια.
1. Για να τελειώσει ένα οδικό έργο, χρειάζονται 18 εργάτες, οι οποίοι δουλεύουν για 14 ημέρες. Σε πόσες ημέρες
θα τελειώσουν το ίδιο έργο 12 εργάτες; Λύνω το πρόβλημα με δύο τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα
αντιστρόφως ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
• Διακρίνω, αν δύο ποσά είναι μεταξύ τους αντιστρόφως ανάλογα.
• Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα.
• Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο των ίσων γινομένων.
33

Προβλήματα με αντιστρόφως
ανάλογα ποσά
37
2. Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 72 χμ. την ώρα χρειάζεται 7,5 ώρες, για να μεταβεί από την Αθήνα στη
Θεσσαλονίκη. Πόσες ώρες θα χρειαστεί για την ίδια διαδρομή, αν τρέχει με ταχύτητα 80 χμ. την ώρα;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Ένα συνεργείο εργατών, όταν εργάζεται 6 ώρες την ημέρα, ασφαλτοστρώνει ένα δρόμο σε 10 ημέρες. Πόσες
ώρες πρέπει να εργάζεται την ημέρα για να ασφαλτοστρώσει τον ίδιο δρόμο σε 8 ημέρες; Λύνω το πρόβλημα με
δύο τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών και με αναγωγή στη μονάδα).
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
34

Η απλή μέθοδος των τριών
στα ανάλογα ποσά
38
Ασκήσεις
(…..) Α. Όταν τοποθετούμε τα ποσά (κατάταξη), τα ποσά που είναι ίδια μπαίνουν το ένα δίπλα στο άλλο.
(…..) Β. Στα προβλήματα ανάλογων ποσών, με όποια από τις τρεις μεθόδους και αν λύσω, θα πάρω το ίδιο
αποτέλεσμα.
(…..) Γ. Στα προβλήματα ανάλογων ποσών τρεις αριθμοί είναι γνωστοί και ένας άγνωστος.
(…..) Δ. Για να λύσουμε τα προβλήματα ανάλογων ποσών, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που βρίσκεται πάνω από
το x επί το κλάσμα των δύο άλλων αριθμών.
1. Ο κ. Γιώργος αγόρασε 8 λαχνούς σε ένα πανηγύρι και πλήρωσε 288 €. Πόσα € θα πληρώσει, για να αγοράσει
74 λαχνούς στο πανηγύρι; Λύνω το παραπάνω πρόβλημα με την απλή μέθοδο των τριών.
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
• Λύνω τα προβλήματα των ανάλογων ποσών με την απλή μέθοδο των τριών.
35

στα ανάλογα ποσά
38
2. Για να αγοράσουμε 12 κιλά μήλα, χρειάζεται να πληρώσουμε 18 €.
Α. Πόσα κιλά μήλα μπορούμε να αγοράσουμε, αν έχουμε διαθέσιμα 30 €;
Β. Πόσα € πρέπει να πληρώσουμε, για να αγοράσουμε 15 κιλά μήλα;
Βοηθητικές πράξεις για το Α Βοηθητικές πράξεις για το Β
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Μία μοδίστρα χρειάζεται 18 μέτρα ύφασμα, για να ράψει 3 τραπεζομάντηλα.
Α. Πόσα τραπεζομάντηλα μπορεί να ράψει με 30 μέτρα ύφασμα;
Β. Πόσα μέτρα ύφασμα χρειάζεται, για να ράψει 8 τραπεζομάντηλα;
Βοηθητικές πράξεις για το Α Βοηθητικές πράξεις για το Β
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
36

στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά
39
Ασκήσεις
(…..) Α. Όταν τοποθετούμε τα ποσά (κατάταξη), τα ποσά που είναι ίδια μπαίνουν χιαστί.
(…..) Β. Στα προβλήματα αντιστρόφως ανάλογων ποσών, με όποια από τις τρεις μεθόδους και αν λύσω, θα πάρω το
ίδιο αποτέλεσμα.
(…..) Γ. Στα προβλήματα ελέγχω πάντα αν το αποτέλεσμα που πήρα είναι λογικό.
(…..) Δ. Για να λύσουμε τα προβλήματα αντιστρόφως ανάλογων ποσών, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που
βρίσκεται πάνω από το x επί το κλάσμα των δύο άλλων αριθμών.
1. Οι 4 εργάτες μπορούν να χτίσουν ένα τζάκι σε 12 μέρες. Οι 6 εργάτες σε πόσες μέρες θα χτίσουν το ίδιο τζάκι;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
• Λύνω τα προβλήματα των αντίστροφων ποσών με την απλή μέθοδο των
τριών.
37

στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά
39
2. Μια ομάδα 6 τεχνικών ασφαλτοστρώνουν έναν δρόμο σε 15 μέρες. Αν προσληφθούν τρεις επιπλέον τεχνικοί,
σε πόσες μέρες μπορούν να ασφαλτοστρώσουν τον ίδιο δρόμο;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Ο Κύρος, για να αγοράσει ένα ποδήλατο, χρειάζεται να μαζεύει 8 € την εβδομάδα για 15 εβδομάδες. Πόσα
χρήματα χρειάζεται να αποταμιεύει την εβδομάδα, αν θέλει να μαζέψει τα χρήματα, που κοστίζει το ποδήλατο,
σε 10 εβδομάδες;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
38

Εκτιμώ το ποσοστό 40
Ασκήσεις
1. Βρίσκω τα παρακάτω ποσοστά, όπως στο παράδειγμα.
Οι 10 από τις 20 μπάλες→ 10 : 20 = 0,5 =
50
100
= 50 %
Α. 40 από τα 50 € : .............................................................................................................................................................
Β. Τα 150 από τα 400 κιλά : ...............................................................................................................................................
Γ. Οι 40 από τις 160 κρεμάστρες : .....................................................................................................................................
Δ. Τα 150 από τα 200 άτομα : ............................................................................................................................................
Ε. Τα 5 από τα 8 θρανία : ...................................................................................................................................................
2. Μετατρέπω τα παρακάτω κλάσματα σε ποσοστά, όπως στο παράδειγμα.
• Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το κλάσμα
16
32
σε ποσοστό.
• Διαιρώ το 100 με τον παρονομαστή του κλάσματος →100 : 32 = 3,125.
•
·3,125
·3,125
1616 50
50%
32 32 100
= = = ·
Α.
30
50
Β.
10
20
• Κατανοώ ότι ποσοστό ενός ποσού είναι ένα μέρος του ποσού αυτού.
• Μετατρέπω τα κλάσματα σε ισοδύναμα με παρονομαστή το 100.
• Αντιλαμβάνομαι το σύνολο ως το 100 % και εκτιμώ το ποσοστό.
39

Εκτιμώ το ποσοστό40
Γ.
4
10
Δ.
28
40
3. Ερμηνεύω τα παρακάτω ποσοστά, όπως στο παράδειγμα.
• Το 12 % των μαθητών είναι κορίτσια σημαίνει ότι «σε κάθε 100 μαθητές οι 12 είναι κορίτσια.».
Α. Το 20 % των μαθητών είναι αγόρια.
............................................................................................................................................................................................
Β. Το 50 % των ανθρώπων πάσχουν από αρθριτικά.
............................................................................................................................................................................................
Γ. Το 15 % των ανθρώπων είναι αναλφάβητοι.
............................................................................................................................................................................................
Δ. Το 80 % των φιλάθλων είναι Πανιώνιοι.
............................................................................................................................................................................................
4. Εκτιμώ τι ποσοστό (επί τοις εκατό) κάθε σχήματος είναι σκιασμένο.
A. B. Γ. Δ.
40

Εκτιμώ το ποσοστό 40
5. Ζωγραφίζω τα παρακάτω ποσοστά.
50 % 25 % 75 %
6. Ερμηνεύω τις παρακάτω προτάσεις.
Α. Το 25 % των κατοίκων έχει αυτοκίνητο.
............................................................................................................................................................................................
Β. Πέτυχε το 85 % των οδηγών στις εξετάσεις για το δίπλωμα οδήγησης.
............................................................................................................................................................................................
Γ. Τα σταφύλια δίνουν 80 % μούστο.
............................................................................................................................................................................................
(…..) Α. Για να βρω το 25 % ενός ποσού, αρκεί να βρω το μισό του μισού του αρχικού αριθμού.
(…..) Β. Για να βρω το 150 % ενός αριθμού πολλαπλασιάζω με το 2,5.
(…..) Γ. Για να βρω το 10 % ενός αριθμού, αρκεί να βρω το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμού με το 10.
(…..) Δ. Το 20 % είναι ίσο με
1
5
.
(…..) Ε. Για να βρω το 30 % ενός αριθμού, αρκεί να βρω το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμού με το 3.
(…..) Στ. Ένας εύκολος τρόπος να υπολογίσω το 30 % ενός αριθμού είναι να βρω πρώτα το 10 % και μετά να το
πολλαπλασιάσω με το 3.
41

Εκτιμώ το ποσοστό40
Α. Ποσοστό ενός ποσού είναι ο λόγος του μέρους προς ……………………………….το ποσό.
Β. Ποσοστό στα 100 είναι ένα μέρος του ποσού που έχει τιμή ………………………………. και γράφεται με
………………………………. που έχει αριθμητή το ………………………………. και παρονομαστή το ……………………………….
Γ. Για το ποσοστό επί τοις εκατό χρησιμοποιούμε το σύμβολο ……………………………….
Δ. Για το ποσοστό επί τοις χιλίοις χρησιμοποιούμε το σύμβολο ……………………………….
1. Σε μια ομάδα 400 παιδιών τα 240 είναι αγόρια και τα υπόλοιπα κορίτσια. Εκφράζω με ποσοστό επί τοις εκατό
τα αγόρια και τα κορίτσια της ομάδας.
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
42

Βρίσκω το ποσοστό 41
Ασκήσεις
1. Γράφω τα κλάσματα ως ποσοστά, όπως στο παράδειγμα.
1 50
1:2 0,50 50%
2 100
= = = =
Α.
1
5
= .................................................................................................................................................................................
Β.
2
8
= .................................................................................................................................................................................
Γ.
10
16
= ...............................................................................................................................................................................
Δ.
4
16
= ...............................................................................................................................................................................
Ε.
24
30
= ...............................................................................................................................................................................
Στ.
12
40
= .............................................................................................................................................................................
2. Γράφω τα κλάσματα ως ποσοστά, όπως στο παράδειγμα, με στρογγυλοποίηση εκατοστού.
1 50
1:2 0,50 50%
2 100
= = = =
Α.
2
11
= ...............................................................................................................................................................................
Β.
12
23
= ...............................................................................................................................................................................
Γ.
17
23
= ...............................................................................................................................................................................
Δ.
4
7
= .................................................................................................................................................................................
• Κατανοώ τη σχέση μεταξύ κλάσματος, ποσοστού και δεκαδικού αριθμού.
• Εκφράζω ποσοστό στα 100 (%) με κλάσμα και δεκαδικό αριθμό.
• Βρίσκω το ποσοστό ενός ποσού όταν ξέρω το ποσοστό στα 100 (%).
43

Βρίσκω το ποσοστό41
3. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα.
Κλάσμα Εκατοστιαίο κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Ποσοστό %
60
100
1
4
0,7
80 %
4. Εργάζομαι όπως στο παράδειγμα.
Τα 2 € από τα 8 € είναι τα
2
8
των 6 €, άρα :8 0,25
2
2
8
25%= = = .
Α. Τα 9 € από τα 32 €
............................................................................................................................................................................................
Β. Τα 10 κιλά από τα 160 κιλά
............................................................................................................................................................................................
Γ. Τα 20 γρ. από τα 400 γρ.
............................................................................................................................................................................................
Αριθμός 20 % 40 % 55 % 90 %
300
500
700
1.000
2.000
44

Βρίσκω το ποσοστό 41
6. Βάζω (Σ) στις σωστές και (Λ) στις λανθασμένες προτάσεις.
(…..) Α. Το ποσοστό επί τοις εκατό μπορεί να γραφτεί ως ένας δεκαδικός αριθμός που δηλώνει εκατοστά.
(…..) Β. Όταν υπολογίζω ένα ποσοστό, υπολογίζω το μέρος από το ολόκληρο.
(…..) Γ. Οι τρεις στους έξι αποτελούν το 50% του συνόλου.
(…..) Δ. Μία αύξηση από τα 125 στα 250 άτομα αποτελεί αύξηση με ποσοστό 100 %.
1. Ένας υπάλληλος έχει μηνιαίο μισθό 900 € και του γίνεται αύξηση 5%. Πόσα χρήματα είναι η αύξηση του
μισθού του;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
2. Ο Μάριος έχει μισθός 1.600 €. Υπολογίζω πόσα χρήματα ξοδεύει για κάθε μία από τις παρακάτω
υποχρεώσεις.
Υποχρεώσεις Ποσοστό €
Φαγητό 38 %
Ενοίκιο 24 %
Αθλητισμός 15 %
Βενζίνη 17 %
Κουμπαράς
Σύνολο
45

Βρίσκω το ποσοστό41
3. Ένα μηχανάκι κοστίζει στον έμπορος 1.600 €. Το κέρδος που θέλει να έχει αντιστοιχεί σε ποσοστό 13 % επί της
τιμής αγοράς. Πόσο είναι το κέρδος που θέλει να έχει ο έμπορος;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
46

Λύνω προβλήματα με ποσοστά –
Βρίσκω την τελική τιμή
42
Ασκήσεις
Είδος ποσοστού Αρχική τιμή Τιμή από ποσοστό Τελική τιμή
κρατήσεις 12 % σε κάθε 100 € οι κρατήσεις είναι 12 € 88 €
κέρδος 32 % σε κάθε 100 € το κέρδος είναι …………. € …………. €
τόκος 30 % σε κάθε 100 € ο τόκος είναι …………. € …………. €
Αρχική τιμή Ποσοστό μείωσης Τιμή από ποσοστό Τελική τιμή
300 20 %
60 % 126
1.900 30 %
Αρχική τιμή Ποσοστό αύξησης Τιμή από ποσοστό Τελική τιμή
1.200 8 %
50 % 339
1.730 64 %
• Κατανοώ τη σχέση μεταξύ αρχικής τιμής, ποσοστού και τελικής τιμής.
• Λύνω προβλήματα γνωρίζοντας την αρχική τιμή και το ποσοστό και ζητώντας
την τελική τιμή.
47

42
Α. Όταν η τιμή ενός ποσού ………………………………. ή ………………………………., το ποσοστό είναι το μέρος του ποσού που
δηλώνει πόση ………………………………. ή ………………………………. υπάρχει στην αρχική τιμή του ποσού.
Β. Η ………………………………. τιμή του ποσού προκύπτει, όταν στην αρχική τιμή προσθέσουμε την αύξηση ή
αφαιρέσουμε τη μείωση.
Γ. Τα ποσά στα ποσοστά είναι πάντα ……………………………….
Δ. Τα προβλήματα ποσοστών μπορούμε να τα λύσουμε με τις μεθόδους της ………………………………. στη μονάδα, της
………………………………., και της απλής μεθόδου των ……………………………….
1. Ένας υπάλληλος έχει μηνιαίο μισθό 800 € και του γίνεται αύξηση 5%. Ποιος είναι ο νέος μισθός του;
Λύνω το πρόβλημα με τρεις τρόπους (κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών, με αναγωγή στη μονάδα
και με την απλή μέθοδο των τριών).
Πίνακας ανάλογων ποσών
Αναγωγή στη μονάδα
48

42
Απλή μέθοδος των τριών
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
2. Ένα ποδήλατο που είχε 160 € πωλείται με έκπτωση 35 %. Πόσο πωλείται το ποδήλατο μετά την έκπτωση;
49

42
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Ο κ. Ζήσης, μετά τη δίαιτα που έκανε, έχασε το 12 % του βάρους του. Αν ζύγιζε 70 κιλά, πριν τη δίαιτα, πόσο
ζυγίζει τώρα;
50

42
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
51

Βρίσκω την αρχική τιμή
43
Ασκήσεις
40 % 210
30 % 63
15 % 1.092,5
23 % 276
9% 4.251
16 % 2.016
25 % 169,5
32 % 588,2
40 % 293,6
8 % 317,4
• Μελετώ τη σχέση μεταξύ αρχικής τιμής, ποσοστού και τελικής τιμής.
• Βρίσκω την αρχική τιμή σε προβλήματα ποσοστών.
52

43
3. Βάζω (Σ) στις σωστές και (Λ) στις λανθασμένες προτάσεις.
(…..) Α. Για να υπολογίσω την αρχική τιμή ενός ποσού, αρκεί να γνωρίζω το ποσοστό.
(…..) Β. Στα προβλήματα ποσοστών δε ζητείται πάντα η τελική τιμή.
(…..) Γ. Όταν ένα αντικείμενο με αρχική τιμή 100 € πωλείται με ποσοστό κέρδους 20 %, τότε η τελική του τιμή είναι
120 €.
(…..) Δ. Στα προβλήματα ποσοστών που η αρχική τιμή είναι άγνωστη, τα ποσά είναι πάντα ανάλογα.
1. Ο Δημήτρης ξοδεύει το 25 % των χρημάτων του σε βενζίνη. Το ποσοστό αυτό αντιστοιχεί σε 220 €. Πόσο είναι
το σύνολο του μισθού του;
53

43
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
2. Τα σταφύλια, όταν αποξηραθούν, χάνουν το 35 % της μάζας τους και γίνονται σταφίδες. Αν θέλω να έχω 2,6
κιλά αποξηραμένες σταφίδες, πόσα κιλά σταφύλια πρέπει να αγοράσω;
54

43
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
3. Ένας έμπορος πούλησε 40 κινητά τηλέφωνα με κέρδος 22 % για το καθένα. Αν το συνολικό του κέρδος ήταν
2.200 €, ποια ήταν η τιμή κάθε κινητού;
55

43
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
56

Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό
44
Ασκήσεις
9.800 1.568
785 588,75
1.696 3.604
650 390
673 53,84
250 262,5
187 26,18
29,9 144,9
562 747,46
311,6 1.071,6
• Κατανοώ την ανάγκη χρήσης του ποσοστού (%).
• Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό (%) σε προβλήματα ποσοστών.
57

44
1. Μία σοκολάτα πριν την έκπτωση είχε τιμή πώλησης 1,60 €, ενώ μετά την έκπτωση κοστίζει 1,30 €. Ποιο είναι
το ποσοστό της έκπτωσης;
Λύνω το πρόβλημα με τέσσερις τρόπους (με διαίρεση, κατασκευάζοντας έναν πίνακα ανάλογων ποσών, με
αναγωγή στη μονάδα και με την απλή μέθοδο των τριών).
Διαίρεση Πίνακας ανάλογων ποσών
Αναγωγή στη μονάδα Απλή μέθοδος των τριών
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
58

44
2. O Αλέξανδρος αγόρασε ένα φούτερ μετά τις εκπτώσεις. Το φούτερ, πριν τις εκπτώσεις, κοστίζει 30 €, το
ποσοστό της έκπτωσης ήταν 20 % και το ποσοστό της αύξησης μετά τις εκπτώσεις ήταν 20 %. Ποιο ήταν το τελικό
ποσοστό μείωσης της αξίας του, μετά το ανεβοκατέβασμα των τιμών;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
59

44
3. Ένας παραγωγός παρήγε το 2014 4.590 κιλά φρούτα και το 2015 5.967 κιλά. Ποιο είναι το ποσοστό της
αύξησης των πωλήσεων;
Απάντηση : ........................................................................................................................................................................
60

Απεικονίζω δεδομένα
με ραβδόγραμμα ή εικονόγραμμα
45
Ασκήσεις
(…..) Α. Σε ένα εικονόγραμμα συγκρίνουμε τα δεδομένα, συγκρίνοντας τα μήκη (ή τα ύψη) των ράβδων.
(…..) Β. Το ραβδόγραμμα πρέπει πάντα να έχει τίτλο.
(…..) Γ. Σε ένα ραβδόγραμμα η αριθμητική κλίμακα μπορεί να είναι στην οριζόντια ή στην κάθετη πλευρά, οπότε οι
ράβδοι είναι αντίστοιχα οριζόντιες ή κάθετες.
(…..) Δ. Σε ένα ραβδόγραμμα αποστάσεις ανάμεσα στους αριθμούς δε χρειάζεται να είναι ίσες.
Α. Σε ένα γράφημα ράβδων ή ………………………………. συγκρίνουμε τα δεδομένα, συγκρίνοντας τα μήκη (ή τα ύψη)
των ράβδων.
Β. Το ……………………………….. εικονόγραμμα είναι ένα είδος ραβδογράμματος στο οποίο χρησιμοποιούνται εικόνες
για την αναπαράσταση του αντικειμένου.
Γ. Το ραβδόγραμμα πρέπει πάντα να έχει ……………………………….
Δ. Η αριθμητική κλίμακα μπορεί να είναι στην …………………….. ή στην …………………….. πλευρά, οπότε οι ράβδοι είναι
αντίστοιχα ………………………………. ή ……………………………….
Ε. Οι αποστάσεις ανάμεσα στους αριθμούς πρέπει να είναι ……………………………….
1. Σε μία εκδήλωση συμμετείχαν 1.475 παιδιά. Στο τέλος αυτής, έγινε μια έρευνα στους συμμετέχοντες σχετικά
με τις προτιμήσεις τους στα αθλήματα. Κατασκευάζω το ραβδόγραμμα και το εικόνογραμμα. Ύστερα απαντώ
στις ερωτήσεις.
Ζωγραφική Ψάρεμα Κολύμπι Ράφτινγκ Φωτογραφία
400 175 450 350 125
• Ανακαλύπτω τη χρησιμότητα των γραφικών παραστάσεων.
• Αντλώ πληροφορίες από το ραβδόγραμμα και το εικονόγραμμα.
• Μαθαίνω να κατασκευάζω ένα ραβδόγραμμα.
61

45
Α. Ποια δραστηριότητα είναι η δεύτερη πιο δημοφιλής;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Ποια δραστηριότητα ψήφισαν τα παιδιά δύο φορές σαν το ψάρεμα;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Γ. Πόσα παιδιά διάλεξαν το ψάρεμα ή τη φωτογραφία;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Δ. Αν ακόμα 25 παιδιά διάλεγαν ζωγραφική, θα είχαν ξεπεράσει τα παιδιά που ψήφισαν για το κολύμπι;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Κατασκευάζω το ραβδόγραμμα
Κατασκευάζω το εικονόγραμμα
62

45
2. Το κατάστημα ρούχων της κ. Δήμητρας έχει τα παρακάτω είδη. Συμπληρώνω τον πίνακα και μετά
κατασκευάζω το ραβδόγραμμα και το εικονόγραμμα.
Είδος Ποσότητα
Σύνολο
63

45
3. Ο Ζήσης, η Αλεξία, ο Κρίτωνας και η Δέσποινα είναι γείτονες και τους αρέσει να ψαρεύουν. Ο Ζήσης έπιασε 16
ψάρια, η Αλεξία 12, ο Κρίτωνας 20 και η Δέσποινα 20. Συμπληρώνω τον πίνακα και μετά κατασκευάζω το
ραβδόγραμμα και το εικονόγραμμα.
Όνομα Ποσότητα
Σύνολο
64

45
4. Πέντε οικογένειες πήγαν το σαββατοκύριακο σε διαφορετικούς προορισμούς. Το παρακάτω εικονόγραμμα
δείχνει των αριθμώ των χιλιομέτρων που έκαν κάθε οικογένεια. Χρησιμοποιήσε τις πληροφορίες που δίνονται,
για να συμπληρώσεις τον πίνακα και να κατασκευάσεις το ραβδόγραμμα. Ύστερα, απάντησε στις παρακάτω
ερωτήσεις.
Οικογένειες Χιλιόμετρα
Οικογένεια Χιονά
Οικογένεια Αμοιραλή
Οικογένεια Βαμιεδάκη
Οικογένεια Κανιούρα
Οικογένεια Μαυραγάνη
Οικογένειες Χιλιόμετρα
65

45
Α. Ποια οικογένεια ταξίδεψε πιο μακριά;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε η οικογένεια Μαυραγάνη;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Γ. Πόσα χιλιόμετρα λιγότερα ταξίδεψε η οικογένεια Βαμιεδάκη από την οικογένεια Αμοιραλή;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Δ. Η οικογένεια Αμοιραλή ταξίδεψε διπλάσια χιλιόμετρα από την οικογένεια Βαμιεδάκη;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
66

Συλλέγω, καταγράφω και ταξινομώ
δεδομένα
46
1. Ο Φράγκος, η Μαρία, ο Σκοτ, η Σουζάνα και η Λίντα επισκέπτονται πολύ συχνά τη βιβλιοθήκη του σχολείου
τους. Τα παρακάτω δεδομένα δείχνουν πόσα βιβλία έχει πάρει ο καθένας τους κατά τη διάρκεια της σχολικής
χρονιάς.
(Φράγκος: 40, Μαρία: 24, Σκοτ: 64, Σουζάνα: 32 και Λίντα: 56)
Α. Συμπληρώνω τον πίνακα συχνοτήτων
Μαθητής Καταμέτρηση Συχνότητα
Σύνολο
Β. Κατασκευάζω το ραβδόγραμμα
• Συλλέγω, καταγράφω και ταξινομώ δεδομένα.
• Παρουσιάζω την κατανομή συχνότητας των δεδομένων.
• Χρησιμοποιώ τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των δεδομένων.
67

δεδομένα
46
Γ. Απαντώ στις ερωτήσεις
Α. Σημειώνω τα ονόματα των ατόμων που έχουν διαβάσει λιγότερα από 40 βιβλία.
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Πόσα βιβλία διάβασαν ο Φράγκος, η Μαρία και ο Σκοτ;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
2. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα μιας έρευνας που σχετίζεται με το αγαπημένο μάθημα
μαθητών Στ΄ δημοτικού.
Α. Κατασκευάζω τον πίνακα συχνοτήτων
68

δεδομένα
46
Β. Απαντώ στις ερωτήσεις
Α. Ποιο μάθημα είναι το δεύτερο πιο δημοφιλές μάθημα;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Ποιο μάθημα είναι το λιγότερο δημοφιλές, τα Μαθηματικά ή η Γεωγραφία;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Γ. Ποιο μάθημα είναι δημοφιλές σε 50 άτομα;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Δ. Ποια μαθήματα έχουν ίδιο αριθμό ψήφων;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Ε. Πόσα άτομα ρωτήθηκαν;
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
3. Το ύψος σε εκατοστά 20 μαθητών της Στ΄ δημοτικού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
145 150 144 145 150 152 139 139 148 145
148 150 144 145 152 150 139 139 145 148
Α. Κατασκευάζω τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων
Β. Κατασκευάζω το ραβδόγραμμα
69

δεδομένα
46
Γ. Απαντώ στις ερωτήσεις
Α. Βρίσκω πόσοι μαθητές είναι πάνω από 145 εκατοστά.
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Βρίσκω πόσοι μαθητές είναι το πολύ 145 εκατοστά.
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
Β. Βρίσκω πόσοι μαθητές είναι τουλάχιστον 150 εκατοστά.
…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………….…………………………
70

στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος

στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος

Similaire à στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος (20)

Plus de Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη

Plus de Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη (20)

Dernier

Dernier (14)

στ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος