Des mathématiques pour protéger les communications
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 Certains messages ne doivent pas tomber dans les
mains de n'importe qui. Voilà des millénaires que
les hommes tentent de...
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pour défendre une ville ou la conquérir. Il explique plusi...
Texte extrait d'un polycopié de logique combinatoire sur le problème
des ponts de Königsberg, tapé par un mathématicien de...
Des lettres ont été décalées pour former le message :
« nieder mit dem sowjetimperialismus »
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Stéganos = couvert Graphein = écriture
 James Bond : technique des micro-points (espions
soviétiques et allemands premièr...
 La stéganographie cache l'existence d'un message.
 La cryptographie rend un message inintelligible.
Stéganos = couvert ...
Cryptographie
Codes
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 Le code le plus connu en
France au XIXe s.
 Utilisé pour la télégraphie et
les messages personnels
dans les journaux.
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Grèce
Ve s. av. J.-C.
Siècle de Périclès
L’un des
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exemples de
chiffrement
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Utilisé jusqu’au XIXe
siècle car très pratique
Pigpen = parc à cochons
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Pendant la guerre des Gaules, Jules César (101-44
av. J.-C.) envoyait des messages chiffrés à Cicéron
qui était resté au s...
 Solide jusqu’aux années 800.
 Pour étudier des textes et savoir s’ils émanent du
prophète, les arabes initient l’analys...
Voici une analyse de fréquences sur le texte de l'Education
sentimentale de Gustave Flaubert :
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Pour tester la sécurité d'un chiffre, il est habituel de
faire les hypothèses de Kerckhoff :
 L'adversaire peut accéder à...
Exemple de cryptanalyse : méthode de Kasiski
On essaie de trouver la longueur de la clé en cherchant les
répétitions dans ...
 Les diplomates et les militaires considéraient
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 Ils préféraient utiliser de...
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Voici un tableau extrait d’un exercice du BAC S de Pondichéry 2012
qui satisfait certainement aux exigences du programm...
Impératifs stratégiques d’un chiffre militaire :
 Facile d'emploi.
 Permet d'envoyer de nombreux messages chaque jour.
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1918 : Gilbert Vernam
(ingénieur AT&T) et
Joseph Mauborgne
(major de l‘US Army).
Vernam = Vigenère
avec clé à usage
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Inventé par Charles
Wheatstone en 1854,
mais ce fut Lord
Playfair qui en fit une
promotion effrénée…
Wheatstone proposa ce...
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•On mémorise une phrase-clé :
DANSEZ MAINTENANT JULES
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•On supprime les lettres répétées :
DANSEZMITUL
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•Substitution des digrammes. Si 2 lettres se suivent, intercaler un X.
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•M = DEMANDE RENFORTS IMMEDIATEMENT
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Utilisé par l'armée allemande dès le 5
mars 1918 pour l'offensive générale sur
Paris
Inventé par le colonel Fritz Nebel po...
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2. TRANSPOSITION
mot-clé = BRUTE
Exemple
Décrypté en avril 1918 par le lieutenant français Georges Painvin
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Arthur Scherbius (1918)
Machine à trois rotors
Armée allemande : seconde guerre mondiale
ENIGMA ressemblait à une machi...
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• 3 rotors pouvaient prendre 26 positions différentes et fonctionnaient comme des
compteurs kilométriques de voiture.
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 Le Data Encryption Standard est le plus connu
des chiffres à blocs et à clé symétrique. Il a été
retenu en 1977 par le U...
 Schéma de Feistel
 16 rondes
 Clé de 64 bits utilisée
pour obtenir 16 clés
partielles
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Claude Shannon définit deux principes généraux
concernant les chiffrements à clé secrète
 La confusion doit cacher les st...
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Entrée bloc de 128 bits
K = Clé de
128 bits
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Message de 128 bits
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C B D
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 Multiplication des clés - Pour sécuriser une
information entre deux partenaires, ceux-ci
doivent posséder la même clé. n...
 Diffie et Hellman (1976)
 Cryptosystème classique : l'émetteur E et le
récepteur R connaissent tous les deux la clé qui...
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L'utilisation d'une fonction trappe C résout les
problèmes de la multiplication des clés et de leur
communication.
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Toute la mathématique
du RSA est contenue
dans ce résultat :
Rivest, Shamir, Adleman 1978
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Pour chiffrer un message
Choisir 2 nombres
premiers p, q.
n = pq.
m = (p-1)(q-1)
Utiliser l’algorithme d’Euclide
Choisi...
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Sécurité du système RSA :
 Facilité d'obtenir des nombres premiers très grands.
 Impossibilité de calculer la décompo...
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 RSA-792 bits implémenté sur les CB dès l'an 2000.
Il aurait fallu immédiatement passer au RSA-1024,
mais cela posait ...
Les transactions par CB sont protégées par un chiffrement à clé publique (RSA)
et un chiffrement à clé secrète (à l'origin...
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Authentification
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CC = clé publique de la carte
DC = clé secrète de la carte
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Terminal
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à distance
CB
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Envoi
de x
Envoi de x
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procédure
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Problème de la pile :
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Comment passer du problème facile à celui non résoluble en
temps polynomial ?
En utilisant l'arithmétique des congruenc...
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Message
Chiffrer
Déchiffrer
Equation
facile
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Problème du logarithme discret = calcul de r connaissant gr
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facile
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Fonction trappe
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Fonction trappe :
r donne gr
Construction de cryptosystèmes : exponentiation,
El Gamal, courbe elliptique, courbe algéb...
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Echange de clés : schéma de Diffie-Hellman
Anatole
choisit g et h
Bernadette
choisit k
Clé secrète
commune = ghk
g, gh
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Les maths, c’est pour le pl isir
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Mathématiques et codes secrets - Des mathématiques pour protéger les communications

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Aspect historique de la cryptographie, scytale spartiate, chiffre des francs-maçons, cryptographie à clé secrète et à clé révélée, chiffrement de César et de Vigénère, puis ceux des guerres mondiales, DES, RSA et carte bancaire.
La cryptographie n'a jamais été aussi présente dans notre vie de tous les jours, tout en sachant rester discrète. A travers elle, ce sont des mathématiques qui sont mises en oeuvre dans tous les appareils et les systèmes qui nous entourent aujourd'hui.
Beaucoup de lycéens demandent à leurs professeurs à quoi servent les mathématiques et s'il est utile de passer autant de temps à les étudier.
Pour beaucoup, faire des mathématiques revient à couper les cheveux en quatre et ne les concerne pas. On peut d'ailleurs comprendre qu'en tant qu'utilisateurs et consommateurs, on puisse se contenter d'enfoncer des boutons et de poser les doigts sur des écrans tactiles pour obtenir par magie ce que l'on désire.
Qui peut imaginer qu'il utilise l'une des plus grandes découvertes en cryptographie au XXe siècle quand il insère sa carte bancaire dans le terminal d'une caisse de supermarché ?
Qui se rappelle que des mathématiques sont mises en oeuvre chaque fois qu'il se connecte à un site internet sécurisé signalé par le texte « https » ?
Qui enfin se rend compte que la moindre de ses communications sur son Smartphone utilise de l'algèbre, des anneaux de congruences, des corps finis, des matrices, et beaucoup d'arithmétique, et que les algorithmes qui en résultent forment autant de passerelles qui codent et décodent des milliards de messages en des temps records ?
Que se passe-t-il quand nous allumons notre poste de télévision pour recevoir des images ?
L'homme moderne est devenu malgré lui un utilisateur effréné des mathématiques ! Nous baignons dans les mathématiques sans nous en rendre compte.
Nous évoluons dans cet univers de plus en plus magique créé par l'esprit humain.
Cet exposé nous propose de voyager à travers le temps en examinant de nombreux systèmes mis au point par les hommes pour protéger leurs messages. L'aventure commence au Ve siècle avant J.-C. avec les conseils d'Enée le tacticien, traverse le moyen-âge en écoutant la découverte du diplomate, cryptographe, traducteur et alchimiste Vigenère, décrit les codes secrets utilisés pendant les deux guerres mondiales, puis explique le bouleversement opéré en 1976 avec la découverte de Diffie et Hellman menant à l'élaboration des systèmes cryptographiques à clés révélées, un concept indispensable pour faire fonctionner internet comme nous le connaissons aujourd'hui.

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Mathématiques et codes secrets - Des mathématiques pour protéger les communications

  1. 1. Des mathématiques pour protéger les communications
  2. 2. 2
  3. 3.  Certains messages ne doivent pas tomber dans les mains de n'importe qui. Voilà des millénaires que les hommes tentent de sécuriser les messages qu’ils s’envoient…  Hérodote (Ve s. av. J.-C.) raconte comment Demaratus informa Sparte que Xerxès rassemblait la plus grande armée jamais connue pour envahir la Grèce. Il gratta la cire de deux tablettes de bois pliantes et grava le texte directement sur le bois, puis recouvrit d’une couche de cire vierge. Son messager pu avertir Sparte, et les Grecs eurent le temps de construire 200 navires de guerre pour remporter la bataille de Salamine. 3
  4. 4. Dans La Poliorcétique (IVe s. av. J.-C) Enée donne des conseils pour défendre une ville ou la conquérir. Il explique plusieurs procédés destinés à camoufler les messages, comme :  Ecrire un texte sur les boucles d'oreille d'une femme élégante qui n'éveillera aucun soupçon,  Ecrire un message sous une image pieuse que le destinataire grattera,  Percer un dé autant de fois qu'il y a de lettres de l'alphabet, retenir la lettre correspondant à chaque trou, puis faire passer un fil d'un trou à l'autre en suivant l'ordre des lettres du message,  Ou écrire au fer rouge sur la tête d’un esclave et attendre que ses cheveux repoussent (ruse d'Histiæus pour avertir le roi de Milet). 4
  5. 5. Texte extrait d'un polycopié de logique combinatoire sur le problème des ponts de Königsberg, tapé par un mathématicien de RDA et expédié à un collègue d'Allemagne de l'Ouest. Ce texte anodin a traversé la censure. Pourtant… 5
  6. 6. Des lettres ont été décalées pour former le message : « nieder mit dem sowjetimperialismus » « A bas l'impérialisme soviétique ». 6
  7. 7. Stéganos = couvert Graphein = écriture  James Bond : technique des micro-points (espions soviétiques et allemands première moitié du XXe s.),  Encre sympathique (jus de citron),  Coquilles d’œufs durs (encre vinaigre/alun),  Message dans un clou enfoncé dans une planche,  Fichier jpeg envoyé par mél… 7
  8. 8.  La stéganographie cache l'existence d'un message.  La cryptographie rend un message inintelligible. Stéganos = couvert Kruptos = caché 8
  9. 9. Cryptographie Codes Chiffres 9
  10. 10.  Le code le plus connu en France au XIXe s.  Utilisé pour la télégraphie et les messages personnels dans les journaux.  Clé : un dictionnaire et des pages numérotées comme on le désirait.  Messages : 8264 pour texte n°64 à la page 82 (ou autres combinaisons possibles). 10
  11. 11. Grèce Ve s. av. J.-C. Siècle de Périclès L’un des premiers exemples de chiffrement 11
  12. 12. Utilisé jusqu’au XIXe siècle car très pratique Pigpen = parc à cochons 12 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z W RASSEMBLEMENT
  13. 13. Chiffrement à clé secrète à clé révélée 13
  14. 14. 14
  15. 15. 15
  16. 16. Pendant la guerre des Gaules, Jules César (101-44 av. J.-C.) envoyait des messages chiffrés à Cicéron qui était resté au sénat à Rome. Il envoyait des messages où les lettres étaient décalées de 3 places dans l'alphabet. 16
  17. 17.  Solide jusqu’aux années 800.  Pour étudier des textes et savoir s’ils émanent du prophète, les arabes initient l’analyse de fréquences (Al-Kindi 801-873).  En Français, les 4 lettres les plus fréquentes sont e, a, s, i. On peut aussi relever la fréquence d’apparition des digrammes, et la façon dont les lettres sont le plus susceptibles de se suivre… 17
  18. 18. Voici une analyse de fréquences sur le texte de l'Education sentimentale de Gustave Flaubert : 18
  19. 19. 19
  20. 20. Pour tester la sécurité d'un chiffre, il est habituel de faire les hypothèses de Kerckhoff :  L'adversaire peut accéder à toute l'information chiffrée : il peut lire autant de messages chiffrés qu'il désire.  L'adversaire connait les détails de la méthode de cryptographie employée, à l'exception de la clé. Trois attaques sont efficaces sur le code de Vigenère. 20
  21. 21. Exemple de cryptanalyse : méthode de Kasiski On essaie de trouver la longueur de la clé en cherchant les répétitions dans le message chiffré. Ces répétitions existent puisque des mots courants comme « de », « les » ou « que » finiront par être traduits de la même façon. Si des répétitions sont repérées avec des intervalles de longueurs 42, 63 et 105, on déduit que la longueur de la clé est un diviseur de pgcd(42, 63, 105) = 21. On débute une analyse de fréquences pour chacune des longueurs de clés possibles (ici 1, 3, 7 et 21). 21
  22. 22.  Les diplomates et les militaires considéraient Vigenère comme trop long à mettre en œuvre.  Ils préféraient utiliser des chiffres de sécurité intermédiaire, comme des tableaux de substitutions homophoniques… 22
  23. 23. 23
  24. 24. 24
  25. 25. 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27 Voici un tableau extrait d’un exercice du BAC S de Pondichéry 2012 qui satisfait certainement aux exigences du programme de spécialité de terminale S après la très pénible et abracadabrante réforme Chatel de 2010 qui minimise l'importance des sciences dans la voie scientifique : L’exercice portait sur un chiffrement de Hill, un cas particulier d’un chiffrement affine.
  28. 28. Impératifs stratégiques d’un chiffre militaire :  Facile d'emploi.  Permet d'envoyer de nombreux messages chaque jour.  Assure la confidentialité pendant un laps de temps relativement court. En 1914-18, les procédés manuels devaient obéir à la règle : « Un message doit pouvoir être chiffré ou déchiffré manuellement en moins d'une heure ». Procédés cryptographiques utilisés en 1914-18 :  Substitution = principe du remplacement  Transposition = principe du mélange (anagrammes) L'intérêt du chiffrement par transpositions est de coder un caractère de façon différente dans chaque bloc, et ainsi de détruire les liens entre des caractères qui se suivent. La faiblesse de ce chiffrement est de rester vulnérable à une attaque par analyse de fréquences, car les fréquences d'apparition des caractères restent les mêmes. 28
  29. 29. 29 1918 : Gilbert Vernam (ingénieur AT&T) et Joseph Mauborgne (major de l‘US Army). Vernam = Vigenère avec clé à usage unique de longueur égale au texte à expédier. Sécurité absolue ! Un livre de 100 pages est donné à l'expéditeur et au destinataire. Chaque page contient une clé aléatoire de 100 lettres. L'expéditeur et le destinataire utilisent une page par message à transmettre. Chaque message est chiffré par la méthode de Vigenère. Utilisé pour faire fonctionner le téléphone rouge entre Washington et Moscou pendant la guerre froide !
  30. 30. Inventé par Charles Wheatstone en 1854, mais ce fut Lord Playfair qui en fit une promotion effrénée… Wheatstone proposa ce chiffrement au British Foreign Office qui le jugea extrêmement complexe ! 30
  31. 31. 31 1 •On mémorise une phrase-clé : DANSEZ MAINTENANT JULES 2 •On supprime les lettres répétées : DANSEZMITUL 3 •On complète dans l'ordre alphabétique (sans le J) : DANSEZMITULBCFGHKOPQRVWXY 4 •On dispose ces lettres dans une matrice 5×5 :
  32. 32. 32 1 •Substitution des digrammes. Si 2 lettres se suivent, intercaler un X. 2 •M = DEMANDE RENFORTS IMMEDIATEMENT 3 •DE-MA-ND-ER-EN-FO-RT-SI-MX-XM-ED-IA-TE-ME-NT 4 •M’ = AD-BM-SA-YD-DS-PC-ZX-TN-VT-TV-DA-NM-SU-AU-IS Invulnérable à une attaque basée sur les fréquences d'apparition des caractères, mais pas si l’on étudie les fréquences d'apparition des digrammes.
  33. 33. Utilisé par l'armée allemande dès le 5 mars 1918 pour l'offensive générale sur Paris Inventé par le colonel Fritz Nebel pour reprendre l'avantage après les échecs du chiffre allemand depuis 1914 (UBCHI, ABC, KRU...). 1. SUBSTITUTION Chaque caractère est remplacé par le digramme correspondant à la ligne et la colonne où il se trouve dans le tableau. Exemple : U donne DG 2 étapes 33
  34. 34. 34 2. TRANSPOSITION mot-clé = BRUTE Exemple Décrypté en avril 1918 par le lieutenant français Georges Painvin
  35. 35. 35 Arthur Scherbius (1918) Machine à trois rotors Armée allemande : seconde guerre mondiale ENIGMA ressemblait à une machine à écrire. Appuyer sur une touche du clavier faisait allumer une lampe qui éclairait la lettre à employer dans le message chiffré.
  36. 36. 36 • 3 rotors pouvaient prendre 26 positions différentes et fonctionnaient comme des compteurs kilométriques de voiture. • Le réflecteur permettait de déchiffrer les messages avec la même position des rotors. • Un tableau de connexions à fiches à la sortie du clavier permettait de relier 6×2=12 lettres entre elles L à l’aide de 6 câbles. 4×1018 clés Film U571
  37. 37.  Le Data Encryption Standard est le plus connu des chiffres à blocs et à clé symétrique. Il a été retenu en 1977 par le U.S. National Bureau of Standards.  Dérivé du chiffrement Lucifer.  Successeurs : Triple DES, G-DES, DES-X, LOKI et ICE qui reprennent la même idée en augmentant la complexité. 37
  38. 38.  Schéma de Feistel  16 rondes  Clé de 64 bits utilisée pour obtenir 16 clés partielles  Expansions et réductions 38
  39. 39. Claude Shannon définit deux principes généraux concernant les chiffrements à clé secrète  La confusion doit cacher les structures algébriques et statistiques.  La diffusion doit permettre à un bit d'information d'avoir une influence sur une grande partie du texte chiffré. Le DES est construit pour qu’un seul caractère du texte influe sur de nombreux caractères du message chiffré. 39 Un remplaçant : l’AES (Advanced Encryption Standard) adopté par le NIST en 2001.
  40. 40. 40 Entrée bloc de 128 bits K = Clé de 128 bits A Sortie bloc de 128 bits Message de 128 bits S B D C B D K Transformation non linéaire d’octets Décalage de lignes Brouillage des colonnes Addition de la clé de tour Tour suivant (10 tours) KT = Clé de tour Le successeur du DES
  41. 41. 41
  42. 42.  Multiplication des clés - Pour sécuriser une information entre deux partenaires, ceux-ci doivent posséder la même clé. n abonnés auront besoin de n² clés distinctes pour communiquer entre eux.  Communication des clés - Comment se communiquer des clés de chiffrement sur internet ?  Signature – Comment certifier qu’un message crypté avec une clé donnée provient bien du titulaire de cette clé ? 42
  43. 43.  Diffie et Hellman (1976)  Cryptosystème classique : l'émetteur E et le récepteur R connaissent tous les deux la clé qui permet de chiffrer et de déchiffrer.  Cryptosystème à clé révélée : le récepteur connaît la clé C de chiffrement et la clé D de déchiffrement. Il conserve D secrète mais donne C à tout le monde. 43 C = clé publique ou clé révélée D = clé secrète
  44. 44. 44
  45. 45. L'utilisation d'une fonction trappe C résout les problèmes de la multiplication des clés et de leur communication. 45
  46. 46. 46
  47. 47. 47 Toute la mathématique du RSA est contenue dans ce résultat : Rivest, Shamir, Adleman 1978
  48. 48. 48 Pour chiffrer un message Choisir 2 nombres premiers p, q. n = pq. m = (p-1)(q-1) Utiliser l’algorithme d’Euclide Choisir c premier avec m Choisir d et k tels que cd = km+1. Calculer les clés
  49. 49. 49 Sécurité du système RSA :  Facilité d'obtenir des nombres premiers très grands.  Impossibilité de calculer la décomposition d'un grand nombre en produit de facteurs premiers en un temps raisonnable. Adleman 1978 Pomerance 1981
  50. 50. 50  RSA-792 bits implémenté sur les CB dès l'an 2000. Il aurait fallu immédiatement passer au RSA-1024, mais cela posait trop de problème : augmentation du temps d'attente aux caisses de 10 sec pour la procédure d'authentification, renouvellement du parc des machines électroniques de vérification…  En 2014 : protection suffisante pour des clés de 1024 à 2048 bits.  RSA-2048 = nombre pq de l'ordre de 3×10616.
  51. 51. Les transactions par CB sont protégées par un chiffrement à clé publique (RSA) et un chiffrement à clé secrète (à l'origine un DES, puis Triple DES et AES). Le protocole de paiement comporte 3 vérifications : 51
  52. 52. fff 52 Authentification de la carte CC = clé publique de la carte DC = clé secrète de la carte CR = clé publique de référence DR = la clé secrète de référence I = valeur d'authentification
  53. 53. Terminal Centre de contrôle à distance CB Calcul de y = f(x,K) Envoi de x Envoi de x Débuter la procédure Calcul de y = f(x,K) Envoi de y Envoi de y
  54. 54. 54 Problème de la pile : • n boîtes de hauteurs respectives a1, a2, …, an. • Inconnues x1, x2, …, xn qui ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1. • Pour une hauteur donnée h, quelles boîtes ont été utilisées ? Il faut résoudre l’équation : a1 x1 + a2 x2 + …+ an xn = h Ce problème est très difficile à résoudre : si l’on emploie la force brute, il faut réaliser 2n tests. Il s’agit donc d’un problème NP (non résoluble en temps polynomial). Un cas particulier va nous sauver. Si l’on suppose que pour tout entier k les hauteurs des boîtes vérifient : b1+ b2+ …+ bk-1 < bk alors on sait résoudre ce problème en utilisant seulement n tests !
  55. 55. 55 k n h>=bk xk 1 xk 0 h h-bk k k-1 k=0 oui non oui FIN Print xk non h bn
  56. 56. 56 Comment passer du problème facile à celui non résoluble en temps polynomial ? En utilisant l'arithmétique des congruences, bien sûr !
  57. 57. 57 Message Chiffrer Déchiffrer Equation facile
  58. 58. 58 Problème du logarithme discret = calcul de r connaissant gr r gr facile difficile Fonction trappe
  59. 59. 59 Fonction trappe : r donne gr Construction de cryptosystèmes : exponentiation, El Gamal, courbe elliptique, courbe algébrique… Signature des clés en se référant à une autorité tierce (DSA) Echange de clés sur un réseau (schéma de Diffie-Hellman)
  60. 60. 60 Echange de clés : schéma de Diffie-Hellman Anatole choisit g et h Bernadette choisit k Clé secrète commune = ghk g, gh gk 1976
  61. 61. 61
  62. 62. 62 Les maths, c’est pour le pl isir

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