Leontief readings, February 18, 2011

1. Европейский университет в Санкт-Петербурге
Санкт-Петербургский экономико-математический
институт РАН
Голосование в моделях
экономического роста
Александр Сурков
Леонтьевские чтения, 18 февраля 2011 г .

2. План
• Модель эндогенного роста с
голосованием по поводу ставок
налогообложения
– Влияние пропорционального и
аккордного налогообложения на темп
экономического роста
• Модели экономического роста с
природными ресурсами
– Влияние формы собственности на
природные ресурсы на темп роста
экономики
2

3. Голосование
• Механизм голосования отражает
стремление правительства
реагировать на пожелания
большинства населения
• Теорема о медианном
избирателе
• Электорально-устойчивое
равновесие
3

4. Модель эндогенного роста
с голосованием по поводу
ставок налогообложения
4

5. Предположения модели
• Задача потребителя
∞
∑β i
t
⋅ u ( ci ,t ) → max ,
ci ,t
t =0
u ( c ) = ln c
• Бюджетные ограничения
ci ,t + si ,t ≤ (1 − θt ) ⋅ ⎡(1 + rt ) ⋅ si ,t −1 + wt ⎤ ,
⎣ ⎦
ci ,t + si ,t ≤ (1 + rt ) ⋅ si ,t −1 + wt − τ t 5

6. Производство
• Производственная функция
1−α α
y =g
t t t⋅k
• Пропорциональный налог
gt +1 = θt ⋅ yt
• Аккордный налог
gt +1 = τ t 6

7. Равновесная траектория
• Потребители решают задачу
потребителя
• Производитель максимизирует
прибыль
• Капитал финансируется за счет
сбережений
• Государственные расходы
финансируются за счет налогов
7

8. Равновесие
сбалансированного роста
• Ставка % постоянна
• Сбережения, потребление,
капитал, заработная плата,
государственные расходы растут
с темпом γ
– возможно при θ t = θ
– или τ t = µ ⋅ yt
*
8

9. Темп роста
• Пропорциональный налог
α
1 + γ = ⎡α ⋅ β max ⋅ (1 − θ ) ⎤ ⋅ θ
*
⎣ ⎦
1−α
• Аккордный налог
1−α
1 + γ = α ⋅ β max ⋅ µ
*
9

10. Голосование
∞
Vi = ∑ β ⋅ u ( ci ,t ) ,
i
t
t =0
• Потребитель i поддерживает увеличение
налогов в момент t, если
∂Vi / ∂θt > 0 ( ∂Vi / ∂τ t > 0 )
• Потребитель i поддерживает снижение
налогов в момент t, если
∂Vi / ∂θt < 0 ( ∂Vi / ∂τ t < 0 ) 10

11. Электорально-устойчивая
равновесная траектория
• Такая, что в каждый момент
времени менее половины
домохозяйств желают
увеличения ставки налога, и
менее половины – желают ее
уменьшения
• Электорально-устойчивое
равновесие сбалансированного
роста 11

12. Пропорциональный налог
1−α
(α ⋅ β max ) ⎡(1 − α ) ⋅ β m ⎤
α
1+ γ =
* ⎣ ⎦ ,
1 + (1 − α ) ⋅ β m
θ = * (1 − α ) ⋅ β m < 1−α
1 + (1 − α ) ⋅ β m
12

13. Аккордный налог
1−α
1 + γ = (α ⋅ β max ) ⎡(1 − α ) ⋅ β m ⎤
* α
⎣ ⎦ ,
µ = (1 − α ) ⋅ β m
*
⎧ β m , β m < β max
βm = ⎨
⎩ β m ⋅ ξ m , β m = β max
13

14. Сопоставление темпов роста
• Пропорциональный налог дает
более высокий темп роста при
βm < β ,
⎧ 1 ⎡ 1 ⎤
⎪ ⎢ − 1⎥ , β m < β L
⎢ (1 − α )
1−α
⎪1 − α ⎣ ⎥
⎦
β =⎨
⎪ 1 ⎡ 1 ⎤
⎪ ⎢ 1−α − 1⎥ , β m = β L
⎩ 1−α ⎣ ξm ⎦ 14

15. Интерпретация
• Недостаточно «терпеливое»
медианное домохозяйство
оказывается настолько бедным, что
аккордный налог для него более
обременителен, чем
обеспечивающий тот же темп роста
пропорциональный налог, так как
пропорциональный налог возлагает
бремя государственных расходов на
более богатые домохозяйства 15

16. Модели экономического
роста с неоднородными
потребителями и
природными ресурсами
16

17. Предположения модели
• Производственная функция
Yt = (1 + λ ) K t L E
α1 α 2 1−α1 −α 2
t
t
• Извлечение природных ресурсов
Et = ρt ⋅ Rt
17

18. Модель 1: частные ресурсы
• Потребители
∞
∑β i
t
⋅ u ( Ci ,t ) → max
ci ,t
t =0
Ci ,t + Si ,t ≤ (1 + rt ) ⋅ St −1 + Wt
• Исчерпываемый ресурс
Rt +1 = Rt − Et = (1 − ρt ) Rt 18

19. Равновесная траектория (1)
• Потребители максимизируют
полезность
• Цены капитала и труда равны
предельному продукту капитала
и труда соответственно
• Цена ресурса равна
предельному продукту ресурса
19

20. Равновесная траектория (2)
• Выполняется правило Хотелинга
P = (1 + r
*
t +1
*
t +1 )P t
*
• Сбережения равны инвестициям
L
∑S
i =1
*
i ,t = Pt ⋅ R + K
* *
t +1
*
t +1
• Выполняется натуральный баланс
R *
t +1 = R −E
*
t
*
t 20

21. Равновесие
сбалансированного роста
• Ставка % постоянна
• Сбережения, потребление,
капитал, заработная плата
растут с темпом γ
• Объем извлечения и запасы
убывают с постоянным
темпом извлечения ρ
21

22. В равновесии
• Равновесный темп извлечения
ρ = 1 − β max
*
• Равновесный темп роста
1
1 + γ = ⎡(1 + λ ) β
*
⎣
1−α1 −α 2
max
⎤
⎦
1−α1
22

23. Модель 2: коллективная
собственность
• Бюджетное ограничение
Ci ,t + Si ,t ≤ (1 + rt ) Si ,t −1 + Wt + Ωt
23

24. Равновесная траектория (1)
• Потребители максимизируют
полезность
• Цена капитала равна предельному
продукту капитала
• Доход потребителей состоит из
предельного продукта труда и ренты
* *
Pt E
Ω =
*
t
t
L
• Цена ресурса равна предельному
продукту ресурса 24

25. Равновесная траектория (2)
• Общие сбережения равны
запасу капитала
L
∑S
i =1
*
i ,t =K *
t +1
• Выполняется натуральный
баланс
R*
t +1 = R − E = (1 − ρt ) R
*
t
*
t
*
t 25

26. Равновесие
сбалансированного роста
• Ставка % и темп инфляции
постоянны
• Сбережения, потребление, капитал,
заработная плата, доходы от
продажи ресурсов растут с темпом γ
• Объем извлечения и запасы
убывают с постоянным темпом
извлечения
– возможно при постоянном ρ
26

27. В равновесии
• Равновесный темп роста
1
1 + γ = ⎡(1 + λ )(1 − ρ )
1−α1 −α 2
* ⎤ 1−α1
⎣ ⎦
• Правило Хотелинга может
нарушаться
1+ π *
β max
=
1+ r *
1− ρ 27

28. Голосование
∞
Vi = ∑ β ⋅ u ( Ci ,t )
i
t
t =0
• Потребитель i поддерживает
увеличение ρt, если
∂Vi / ∂ρt > 0
• Потребитель i поддерживает
снижение ρt, если
∂Vi / ∂ρt < 0 28

29. Электорально-устойчивая
равновесная траектория
• Такая, что в каждый момент времени
менее половины домохозяйств
желают увеличения темпа
извлечения природных ресурсов, и
менее половины – желают его
уменьшения
• Электорально-устойчивое
равновесие сбалансированного
роста
29

30. Теорема о медианном
избирателе
• В равновесии
ρ = 1 − βm
*
• Равновесный темп роста
1
1 + γ = ⎡(1 + λ ) β
*
⎣
1−α1 −α 2
m
⎤
⎦
1−α1
30

31. Частное и коллективное
• Частные ресурсы
1
*
⎡(1 + λ ) β m−ax1 −α 2 ⎤
ρ = 1 − β max , 1 + γ = ⎣ * 1 α
⎦
1−α1
• «Общественные» ресурсы
1
*
⎡(1 + λ ) β m−α1 −α 2 ⎤
ρ = 1 − βm , 1 + γ = ⎣* 1
⎦
1−α1
Частная собственность может быть
благоприятной для роста 31

32. Что дальше?
• Частная собственность на
природные ресурсы увеличивает
неравенство
• Чрезмерное неравенство может
приводить к политической
нестабильности
• Нестабильность может уменьшать
«терпеливость» наиболее
терпеливого потребителя,
владеющего ресурсами, что ведет к
уменьшению темпа экономического
роста
32

33. Эндогенные межвременные
предпочтения
• Потребители
∞
∑ ⎡(1 − p ) β ⎤ ⋅ u ( C ) → max
t
⎣ i ⎦ i ,t
ci ,t
t =0
• Пусть наиболее терпеливые
потребители (их доля σ)
делают одинаковые
сбережения
33

34. Неравенство
⎡α1 + α 3
p = ψ (η ) , η = (1 − σ ) × ⎢
⎣α1
ψ
1
0 1 η 34

35. Неравенство и рост
• Частная собственность
{ }
1
{ }
1−α1 −α 2 1−α1
1 + γ = (1 + λ ) ⎡1 −ψ ⎡(α1 + α 3 )(1 − σ ) ⎤ ⎤ β max
*
⎣ ⎣ ⎦⎦
• Коллективная собственность
{ }
1
{ }
1−α1 −α 2 1−α1
1 + γ = (1 + λ ) ⎡1 −ψ ⎡α1 (1 − σ ) ⎤ ⎤ β m
*
⎣ ⎣ ⎦⎦
• Существует область параметров, когда
общественная собственность на ресурсы
35
ведет к большему темпу роста

36. Заключение
• Модели экономического роста с
неоднородными потребителями и
голосованием позволяют
– Анализировать влияние налоговой
системы на темп роста экономики в
демократической стране
– Обсуждать влияние прав
собственности на природные ресурсы
на темп экономического роста
36