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Modelling strategies in market finance Lecture 4: Value-at-Risk (in French)

Économie & finance
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Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 9 : Valeur `a risque Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca ´Ecole de gestion Universit´e de Sherbrooke Le 15 mars 2017
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mesure coh´erente de risque Normalisation : M0 = 0 (pas d’actifs, pas de risque) Monotonicit´e : X1 ≤ X2 ⇒ MX1 ≥ MX2 (toujours plus de rendements, moins de risque) Sous-additivit´e : M(X1 + X2) ≤ MX1 + MX2 (diversification) Uniformit´e : M(bX) = bMX, b > 0 (double de risque pour double de portefeuille) Invariance translationnelle : M(X + k) = MX − k (l’ajout d’un actif sans risque diminue le risque)
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique ´Ecart type (1) L’´ecart type n’est pas monotone et n’a pas d’invariance translationnelle, mais il est sous-additif. La variance de rendement du portefeuille : V π t = V (1) t + · · · + V (N) t , R (i) t2,t1 = V (i) t2 V (i) t1 − 1 Rπ t2,t1 ≡ V π t2 V π t1 − 1 = N i=1 V (i) t1 V π t1 V (i) t2 − V (i) t1 V (i) t1 = N i=1 ωi R (i) t2,t1 σ2 π = N i=1 N j=1 ωi ωj cov R (i) t2,t1 , R (j) t2,t1 Rπ t2,t1 ≡ ωT 1×N · Rt2,t1 N×1 , σ2 π = ωT 1×N · Σ N×N · ω N×1 , ωT 1×N · 1 N×1 = 1
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique ´Ecart type (2) La variance de valeur du portefeuille : ∆V π t2,t1 = ∆V (1) t2,t1 + · · · + ∆V (N) t2,t1 , ∆V (i) t2,t1 = V (i) t2 − V (i) t1 En termes mon´etaires : σ2 π = N i=1 N j=1 cov ∆V (i) t2,t1 , ∆V (j) t2,t1
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : deux actifs σ2 π = ωT Σω = (ω1 ω2) σ2 R1 σR1R2 σR1R2 σ2 R2 ω1 ω2 = ω2 1σ2 R1 + ω2 2σ2 R2 + 2ω1ω2σR1R2 σπ = α2σ2 R1 + (1 − α)2 σ2 R2 + 2α (1 − α) σR1 σR1 ρR1R2 Si ρ = 1, σπ = ασR1 + (1 − α) σR2 . Si ρ < 1, σπ < ασR1 + (1 − α) σR2 , diversification.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Valeur `a risque V`aR est une estimation des pertes actualis´ees d’un portefeuille fixe lors d’une p´eriode pr´ed´etermin´ee telle que de pertes plus grandes peuvent se produire avec la probabilit´e choisie : VaR1−α = inf {x : P {L > x} ≤ α} , Les param`etres : L’horizon : 1 jour, 10 jours, 1 an Le niveau de confiance : 1 − α = 95%, 99%, 99.97%, . . . La V`aR est monotone mais elle n’est pas toujours sous-additive.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple Pour une distribution elliptique des rendements, la V`aR est sous-additive. Cependant, pour le risque de cr´edit, ce n’est pas toujour le fait. Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel 100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les d´efauts sont ind´ependants. Pour chacune des obligations V`aR99% = ?
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple Pour une distribution elliptique des rendements, la V`aR est sous-additive. Cependant, pour le risque de cr´edit, ce n’est pas toujour le fait. Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel 100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les d´efauts sont ind´ependants. Pour chacune des obligations V`aR99% = ? Pour chacune des obligations V`aR99% = 0$ Pour le portefeuille des obligations V`aR99% = ?
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple ´Etat Probabilit´e Perte Pas de d´efaut 0.9850749 0$ 1 d´efaut 0.0148504 100$ 2 d´efauts 0.0000746 200$ 3 d´efauts 0.0000001 300$ V`aR99% = 100$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR conditionnelle CVaR1−α = E (L |L > VaR1−α ) = − 1 α −VaR1−α −∞ x fR(x) dx CVaR (Conditional VaR), ETL (Expected Tail Loss), ES (Expected Shortfall) La V`aR conditionnelle est sous-additive. Par exemple, l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour : VaR99% = 3.49$, CVaR99% = 5.22$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR normale lin´eaire L’hypoth`ese : les rendements du portefeuille sont ind´ependants et identiquement distribu´es selon la loi normale : Rπ ∼ N µπ, σ2 π , Rπ − µπ σπ ∼ N (0, 1) La V`aR normale lin´eaire VaR1−α = −σπΦ−1 (α) − µπ Φ−1 (0.05) = −1.64, Φ−1 (0.01) = −2.33, Φ−1 (0.0003) = −3.43 Pour l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour VaR99% = −1.18$ · (−2.33) − 0.02$ = 2.73$ VaR = - nanstd(dV) * norminv(0.01) - nanmean(dV)
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Loi t de Student −4 −2 0 2 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 ν=1 ν=2 ν=5 ν=100
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’indice TSX : ajustement de la loi normale −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’indice TSX : ajustement de la loi t de Student −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR lin´eaire : la loi t de Student Si X ∼ tν : EX = 0, VX = ν ν − 2 , ν > 2 L’hypoth`ese : les rendements standardis´es du portefeuille sont ind´ependants et identiquement distribu´es selon la loi t de Student Rπ − µπ σπ ν ν − 2 ∼ tν La V`aR lin´eaire si les rendements suivent la loi t de Student VaR1−α = −σπ ν − 2 ν t−1 ν (α) − µπ
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR lin´eaire de l’indice TSX >> pd = fitdist(dV_TSX,’t’) pd = tlocationscale distribution mu = 0.0815829 sigma = 0.664137 nu = 2.59919 >> VaR = - pd.sigma * tinv(0.01, pd.nu) - pd.mu VaR = 3.3393
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approximation lin´eaire pour les instrument financi`eres (1) G´en´eralement, la construction de pr´evisions pour la variance du portefeuille n’est pas ´evidente. Habituellement, l’historique des rendements pour le portefeuille actuel n’est pas observable. Cependant, l’historique peut ˆetre disponible pour les facteurs de risque qui d´eterminent les prix des instruments financi`eres d´etenus : les prix d’actions et/ou les indices de march´e, les taux d’int´erˆet et les spreads, les taux d’´echange, les volatilit´es implicites d’options. . .
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approximation lin´eaire pour les instrument financi`eres (2) L’approximation lin´eaire Les variances et covariances des facteurs de risque, Les sensibilit´es des prix des instruments financi`eres d´etenus aux facteurs de risque ( mappages ), La pr´evision pour la variance de rendement du portefeuille, La V`aR lin´eaire. Le nombre de facteurs de risque est limit´e : mˆeme si l’historique ´etait disponible, la matrice de covariance pour des milliers actifs d´etenus serait ´enorme. L’attribution de V`aR aux facteurs de risque est utile pour la gestion de risque (hedging, stress testing).
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Positions → facteurs de risque N actifs expos´es `a m facteurs de risque Ra N×1 = Ω N×m · Rf m×1 La matrice de covariance de rendements des actifs Σa N×N ≡ E (Ra − ERa ) N×1 (Ra − ERa )T 1×N = E Ω Rf − ERf Ω Rf − ERf T = Ω N×m · E Rf − ERf Rf − ERf T m×m · ΩT m×N = Ω N×m · Σf m×m · ΩT m×N
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Variance de rendement du portefeuille Rπ ≡ ωT 1×N · Ra N×1 , σ2 π = ωT 1×N · Σa N×N · ω N×1 σ2 π = ωT 1×N · Ω N×m · Σf m×m · ΩT m×N · ω N×1 = ωT Ω 1×m · Σf m×m · ωT Ω T m×1
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : un portefeuille 50 actions de la Banque Royale du Canada, 75.85$ · 50 ≈ 3783$ 50 obligations US TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020, 92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$ 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$ V π 0 = 9998$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : actions Supposons que l’historique pour RBC n’est pas disponible, mais on sait que βRBC = 0.9 par rapport `a l’indice TSX : ∆V RBC ≈ 0.9 · V RBC 0 · RTSX La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du rendement de TSX Ω1,1 = 0.9 · 3783 10000 ≈ 0.34$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : obligations Obligations gouvernementales des ´Etats-Unis, T = 5.2 ans ∆V TB ≈ − V TB · T 1 + y ∆y + V TB ExUSD/CAD ∆ExUSD/CAD La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux d’int´erˆet 5 ans Ω2,2 = − 5836 · 5.2 (1 + 0.0157) · 10000 ≈ −2.99$ La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux de change Ω2,3 = 5836 1.2659 · 10000 ≈ 0.46$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : devises USD ∆V USD = V USD ExUSD/CAD ∆ExUSD/CAD La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux de change Ω2,3 = 300 10000 = 0.03$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR Ω =   0.34 0 0 0 −2.99 0.46 0 0 0.03   Σf =   1.4 0.024 −0.31 0.024 0.0037 −0.0067 −0.31 −0.0067 0.64   · 104 σπ = 47$, VaR99% = 109$ Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; ... 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 V_TB/USDCAD/10000; ... 0 0 V_USD/USDCAD/10000]; Sigma_f = nancov([R_TSX d_y d_Ex], 1); sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’)))); VaR = -norminv(0.01)*sigma;
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR par facteur de risque La V`aR par facteur de risque est calcul´ee en mettant nul au lieu de toutes autres sensibilit´es. Exemple : VaRTSX 99% = 94$, VaRt5a 99% = 43$, VaRUSD 99% = 91$ Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; %Omega = [0 0 0; 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 0; 0 0 0]; %Omega = [0 0 0; 0 0 V_TB/USDCAD/10000; ... % 0 0 V_USD/USDCAD/10000]; sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’)))); VaR_f = -norminv(0.01)*sigma;
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR marginale (1) La V`aR marginale pour la position i MVaR(i) = ∂VaR ∂V (i) V (i) , VaRπ ≈ N i=1 ∂VaR ∂V (i) V (i) Exemple : MVaRRBC 99% = 43$, MVaRTB 99% = 62$, MVaRUSD 99% = 3$ La V`aR marginale peut ˆetre n´egative. La V`aR incr´ementale (IVaR) est la variation de la V`aR suite `a un certain changement dans la position.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR marginale (2) dOmega = [beta*1/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; %dOmega = [0 0 0; 0 -T*1/(1+y)/10000 ... % 1/USDCAD/10000; 0 0 0]; %dOmega = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 1/USDCAD/10000]; dsigma_sq = sum(sum(2*dOmega*Sigma_f*(Omega’))); dVaR = -norminv(0.01)*dsigma_sq/sigma/2; VaR_m = dVaR*V_RBC; %VaR_m = dVaR*V_TB; %VaR_m = dVaR*V_USD;
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approche historique `a l’estimation de V`aR La V`aR historique est un quantile de la distribution empirique des pertes actualis´ees. La s´erie de rendements historiques pour le portefeuille est construite en utilisant les positions du portefeuille actuel et les rendements historiques des actifs d´etenus, si disponibles, les mappages permettant une r´e´evaluation compl`ete et l’historique des facteurs de risque. Le mod`ele n’est donc pas lin´eaire. Aucun matrice de covariance n’est estim´ee.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX >> alpha = 0.01; >> VaR = - quantile( rts, alpha ) VaR = 3.4496
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : un portefeuille 50 actions de la Banque Royale du Canada, 75.85$ · 50 ≈ 3783$ 50 obligations US TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020, 92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$ 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$ V π 0 = 9998$ Il faut appliquer les chocs historiques (relatifs ou absolus) aux valeurs actuels des facteurs de risque
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour un portefeuille >> vrbc = rbc * 50; >> vtb = 50*100 * usdcad ./(1 + y5y / 100 ).^T; >> vusd = 300 * usdcad; >> prtf = vrbc + vtb + vusd; >> dV = prtf - V0; >> VaR = - quantile( dV, 0.01 ) VaR = 154.5170
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Pr´ecision de la V`aR historique Pr´ecision de l’estimation de quantile peut ˆetre calcul´ee en utilisant la m´ethode bootstrap. Pour 10 ans d’observation quotidiennes de l’indice TSX >> VaR =@(x)-quantile(x, alpha); >> CI = bootci(2000, {VaR, rts}, ’alpha’, 0.05) CI = 3.1989 4.0353
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’intervalle de confiance pour la V`aR historique 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 50 100 150 200 250 300 VaR, $, V0 = 100$ Nombred’observations
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Difficult´es La queue de distribution doit contenir assez d’observations pour atteindre la pr´ecision requise. L’historique de plusieurs ann´ees de donn´ees quotidiennes est donc utilis´e. Des changements structurels peuvent poser des probl`emes. La r`egle de racine carr´ee du temps ne fonctionne pas. Sous l’hypoth`ese d’une distribution stable VaR1−α,T = T1/ξ VaR1−α,1 Les exposants d’´echelle sont diff´erents pour diff´erents classes d’actifs et facteurs de risque. Une certaine approche est donc n´ecessaire pour recalculer la V`aR `a un autre horizon.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : S&P 500, 1950–2015 10 0 10 1 10 2 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 2.20 α = 0.010, ξ = 1.76 α = 0.050, ξ = 2.09 α = 0.100, ξ = 2.31
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : 3M TB yield, 1960–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 10 1 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 1.57 α = 0.010, ξ = 1.58 α = 0.050, ξ = 1.60 α = 0.100, ξ = 1.44
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : VIX, 1990–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 3.63 α = 0.010, ξ = 3.02 α = 0.050, ξ = 2.85 α = 0.100, ξ = 2.79
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’effet de l’exposant d’´echelle La diff´erence entre T1/ξ et T1/2 par rapport `a T1/2 : T ξ 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 2, j 12% 4% −2% −6% −9% −11% 10 47 14 −5 −17 −26 −32 60 98 26 −9 −29 −41 −49 252 151 36 −12 −37 −51 −60
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’exposant d’´echelle en Matlab T = 1:100; for i = 1:length(T) P1 = P( 1:T(i):end ); % P contient les prix r = log( P1( 2:end ) ./ P1( 1:(end-1) ); q(i, :) = - quantile( r, alpha ); end for i = 1:length(alpha) lm = fitlm( log( q(:,i) ), log(T) ); xi(i) = lm.Coefficients.Estimate(2); end
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mod`eles avec pond´eration La pr´ecision de la V`aR historique est d´etermin´ee par le nombre d’observations dans la queue ⇒ l’historique est long. Dans la m´ethode simple, des observations anciennes font la mˆeme contribution que celles plus r´ecentes. Dans le mod`ele lin´eaire, la matrice de covariances peut ˆetre estim´ee en utilisant l’approche EWMA. M´ethodes de pond´eration pour la V`aR historique : pond´eration exponentielle des probabilit´es, ajustement des volatilit´es.
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Pond´eration exponentielle des probabilit´es Assigner les probabilit´es aux rendements observ´es : pt−1 = 1 − λ, pt−2 = (1 − λ) · λ, pt−3 = (1 − λ) · λ2 , . . . Trier les rendements dans l’ordre croissant Calculer la probabilit´e cumulative jusqu’`a l’atteint de α −VaR1−α est entre les dernier et avant-dernier rendements inclus (multiplier par la valeur du portefeuille si en termes mon´etaires). Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations (V0 = 100$) VaRλ=0.99 99% = 2.42$, VaRλ=0.995 99% = 2.28$
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ∆V , $, V0 = 100$ Prob.cumul. 1/N λ = 0.99 λ = 0.995
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique La pond´eration des probabilit´es en Matlab N = length( rts ); prb = ( 1 - lambda ) * lambda .^ ( (N-1):(-1):0 ); [rts, ind] = sort( rts ); prb = cumsum( prb( ind ) ); [~, idx] = max( prb>alpha ); p2 = prb( idx ); p1 = prb( idx - 1 ); VaR = -( rts(idx) * ( alpha - p1 ) + ... rts(idx-1) * ( p2 - alpha ) ) / ( p2-p1 );
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Ajustement des volatilit´es L’id´ee est de pond´erer les rendements historiques pour que leur volatilit´e soit ´egale `a la volatilit´e actuelle. Obtenir les s´eries de volatilit´es en utilisant le mod`ele de GARCH (EWMA est aussi parfois utilis´e) Ajuster les rendements : ˜rt = ˆσT ˆσt rt Estimer la V`aR Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations est ´egale `a 2.04$ (V0 = 100$).
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2);
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’effet ARCH pour les rendements TSX 0 10 20 0 0.5 1 ACF 0 10 20 0 0.5 1 PACF 0 10 20 0 0.5 1 0 10 20 0 0.5 1
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2); rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) ); VaR = -quantile( rts_n, alpha );
Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : rendements TSX ajust´es 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −10 0 10 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −5 0 5 Date

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  • 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 9 : Valeur `a risque Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca ´Ecole de gestion Universit´e de Sherbrooke Le 15 mars 2017
  • 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mesure coh´erente de risque Normalisation : M0 = 0 (pas d’actifs, pas de risque) Monotonicit´e : X1 ≤ X2 ⇒ MX1 ≥ MX2 (toujours plus de rendements, moins de risque) Sous-additivit´e : M(X1 + X2) ≤ MX1 + MX2 (diversification) Uniformit´e : M(bX) = bMX, b > 0 (double de risque pour double de portefeuille) Invariance translationnelle : M(X + k) = MX − k (l’ajout d’un actif sans risque diminue le risque)
  • 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique ´Ecart type (1) L’´ecart type n’est pas monotone et n’a pas d’invariance translationnelle, mais il est sous-additif. La variance de rendement du portefeuille : V π t = V (1) t + · · · + V (N) t , R (i) t2,t1 = V (i) t2 V (i) t1 − 1 Rπ t2,t1 ≡ V π t2 V π t1 − 1 = N i=1 V (i) t1 V π t1 V (i) t2 − V (i) t1 V (i) t1 = N i=1 ωi R (i) t2,t1 σ2 π = N i=1 N j=1 ωi ωj cov R (i) t2,t1 , R (j) t2,t1 Rπ t2,t1 ≡ ωT 1×N · Rt2,t1 N×1 , σ2 π = ωT 1×N · Σ N×N · ω N×1 , ωT 1×N · 1 N×1 = 1
  • 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique ´Ecart type (2) La variance de valeur du portefeuille : ∆V π t2,t1 = ∆V (1) t2,t1 + · · · + ∆V (N) t2,t1 , ∆V (i) t2,t1 = V (i) t2 − V (i) t1 En termes mon´etaires : σ2 π = N i=1 N j=1 cov ∆V (i) t2,t1 , ∆V (j) t2,t1
  • 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : deux actifs σ2 π = ωT Σω = (ω1 ω2) σ2 R1 σR1R2 σR1R2 σ2 R2 ω1 ω2 = ω2 1σ2 R1 + ω2 2σ2 R2 + 2ω1ω2σR1R2 σπ = α2σ2 R1 + (1 − α)2 σ2 R2 + 2α (1 − α) σR1 σR1 ρR1R2 Si ρ = 1, σπ = ασR1 + (1 − α) σR2 . Si ρ < 1, σπ < ασR1 + (1 − α) σR2 , diversification.
  • 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Valeur `a risque V`aR est une estimation des pertes actualis´ees d’un portefeuille fixe lors d’une p´eriode pr´ed´etermin´ee telle que de pertes plus grandes peuvent se produire avec la probabilit´e choisie : VaR1−α = inf {x : P {L > x} ≤ α} , Les param`etres : L’horizon : 1 jour, 10 jours, 1 an Le niveau de confiance : 1 − α = 95%, 99%, 99.97%, . . . La V`aR est monotone mais elle n’est pas toujours sous-additive.
  • 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
  • 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple Pour une distribution elliptique des rendements, la V`aR est sous-additive. Cependant, pour le risque de cr´edit, ce n’est pas toujour le fait. Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel 100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les d´efauts sont ind´ependants. Pour chacune des obligations V`aR99% = ?
  • 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple Pour une distribution elliptique des rendements, la V`aR est sous-additive. Cependant, pour le risque de cr´edit, ce n’est pas toujour le fait. Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel 100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les d´efauts sont ind´ependants. Pour chacune des obligations V`aR99% = ? Pour chacune des obligations V`aR99% = 0$ Pour le portefeuille des obligations V`aR99% = ?
  • 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Non sous-additivit´e de V`aR : exemple ´Etat Probabilit´e Perte Pas de d´efaut 0.9850749 0$ 1 d´efaut 0.0148504 100$ 2 d´efauts 0.0000746 200$ 3 d´efauts 0.0000001 300$ V`aR99% = 100$
  • 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR conditionnelle CVaR1−α = E (L |L > VaR1−α ) = − 1 α −VaR1−α −∞ x fR(x) dx CVaR (Conditional VaR), ETL (Expected Tail Loss), ES (Expected Shortfall) La V`aR conditionnelle est sous-additive. Par exemple, l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour : VaR99% = 3.49$, CVaR99% = 5.22$
  • 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR normale lin´eaire L’hypoth`ese : les rendements du portefeuille sont ind´ependants et identiquement distribu´es selon la loi normale : Rπ ∼ N µπ, σ2 π , Rπ − µπ σπ ∼ N (0, 1) La V`aR normale lin´eaire VaR1−α = −σπΦ−1 (α) − µπ Φ−1 (0.05) = −1.64, Φ−1 (0.01) = −2.33, Φ−1 (0.0003) = −3.43 Pour l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour VaR99% = −1.18$ · (−2.33) − 0.02$ = 2.73$ VaR = - nanstd(dV) * norminv(0.01) - nanmean(dV)
  • 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Loi t de Student −4 −2 0 2 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 ν=1 ν=2 ν=5 ν=100
  • 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’indice TSX : ajustement de la loi normale −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
  • 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’indice TSX : ajustement de la loi t de Student −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
  • 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR lin´eaire : la loi t de Student Si X ∼ tν : EX = 0, VX = ν ν − 2 , ν > 2 L’hypoth`ese : les rendements standardis´es du portefeuille sont ind´ependants et identiquement distribu´es selon la loi t de Student Rπ − µπ σπ ν ν − 2 ∼ tν La V`aR lin´eaire si les rendements suivent la loi t de Student VaR1−α = −σπ ν − 2 ν t−1 ν (α) − µπ
  • 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR lin´eaire de l’indice TSX >> pd = fitdist(dV_TSX,’t’) pd = tlocationscale distribution mu = 0.0815829 sigma = 0.664137 nu = 2.59919 >> VaR = - pd.sigma * tinv(0.01, pd.nu) - pd.mu VaR = 3.3393
  • 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approximation lin´eaire pour les instrument financi`eres (1) G´en´eralement, la construction de pr´evisions pour la variance du portefeuille n’est pas ´evidente. Habituellement, l’historique des rendements pour le portefeuille actuel n’est pas observable. Cependant, l’historique peut ˆetre disponible pour les facteurs de risque qui d´eterminent les prix des instruments financi`eres d´etenus : les prix d’actions et/ou les indices de march´e, les taux d’int´erˆet et les spreads, les taux d’´echange, les volatilit´es implicites d’options. . .
  • 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approximation lin´eaire pour les instrument financi`eres (2) L’approximation lin´eaire Les variances et covariances des facteurs de risque, Les sensibilit´es des prix des instruments financi`eres d´etenus aux facteurs de risque ( mappages ), La pr´evision pour la variance de rendement du portefeuille, La V`aR lin´eaire. Le nombre de facteurs de risque est limit´e : mˆeme si l’historique ´etait disponible, la matrice de covariance pour des milliers actifs d´etenus serait ´enorme. L’attribution de V`aR aux facteurs de risque est utile pour la gestion de risque (hedging, stress testing).
  • 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Positions → facteurs de risque N actifs expos´es `a m facteurs de risque Ra N×1 = Ω N×m · Rf m×1 La matrice de covariance de rendements des actifs Σa N×N ≡ E (Ra − ERa ) N×1 (Ra − ERa )T 1×N = E Ω Rf − ERf Ω Rf − ERf T = Ω N×m · E Rf − ERf Rf − ERf T m×m · ΩT m×N = Ω N×m · Σf m×m · ΩT m×N
  • 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Variance de rendement du portefeuille Rπ ≡ ωT 1×N · Ra N×1 , σ2 π = ωT 1×N · Σa N×N · ω N×1 σ2 π = ωT 1×N · Ω N×m · Σf m×m · ΩT m×N · ω N×1 = ωT Ω 1×m · Σf m×m · ωT Ω T m×1
  • 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : un portefeuille 50 actions de la Banque Royale du Canada, 75.85$ · 50 ≈ 3783$ 50 obligations US TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020, 92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$ 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$ V π 0 = 9998$
  • 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : actions Supposons que l’historique pour RBC n’est pas disponible, mais on sait que βRBC = 0.9 par rapport `a l’indice TSX : ∆V RBC ≈ 0.9 · V RBC 0 · RTSX La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du rendement de TSX Ω1,1 = 0.9 · 3783 10000 ≈ 0.34$
  • 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : obligations Obligations gouvernementales des ´Etats-Unis, T = 5.2 ans ∆V TB ≈ − V TB · T 1 + y ∆y + V TB ExUSD/CAD ∆ExUSD/CAD La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux d’int´erˆet 5 ans Ω2,2 = − 5836 · 5.2 (1 + 0.0157) · 10000 ≈ −2.99$ La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux de change Ω2,3 = 5836 1.2659 · 10000 ≈ 0.46$
  • 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mappages : devises USD ∆V USD = V USD ExUSD/CAD ∆ExUSD/CAD La sensibilit´e `a la variation de 1 pdb du taux de change Ω2,3 = 300 10000 = 0.03$
  • 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR Ω =   0.34 0 0 0 −2.99 0.46 0 0 0.03   Σf =   1.4 0.024 −0.31 0.024 0.0037 −0.0067 −0.31 −0.0067 0.64   · 104 σπ = 47$, VaR99% = 109$ Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; ... 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 V_TB/USDCAD/10000; ... 0 0 V_USD/USDCAD/10000]; Sigma_f = nancov([R_TSX d_y d_Ex], 1); sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’)))); VaR = -norminv(0.01)*sigma;
  • 31. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 32. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR par facteur de risque La V`aR par facteur de risque est calcul´ee en mettant nul au lieu de toutes autres sensibilit´es. Exemple : VaRTSX 99% = 94$, VaRt5a 99% = 43$, VaRUSD 99% = 91$ Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; %Omega = [0 0 0; 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 0; 0 0 0]; %Omega = [0 0 0; 0 0 V_TB/USDCAD/10000; ... % 0 0 V_USD/USDCAD/10000]; sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’)))); VaR_f = -norminv(0.01)*sigma;
  • 33. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR marginale (1) La V`aR marginale pour la position i MVaR(i) = ∂VaR ∂V (i) V (i) , VaRπ ≈ N i=1 ∂VaR ∂V (i) V (i) Exemple : MVaRRBC 99% = 43$, MVaRTB 99% = 62$, MVaRUSD 99% = 3$ La V`aR marginale peut ˆetre n´egative. La V`aR incr´ementale (IVaR) est la variation de la V`aR suite `a un certain changement dans la position.
  • 34. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR marginale (2) dOmega = [beta*1/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; %dOmega = [0 0 0; 0 -T*1/(1+y)/10000 ... % 1/USDCAD/10000; 0 0 0]; %dOmega = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 1/USDCAD/10000]; dsigma_sq = sum(sum(2*dOmega*Sigma_f*(Omega’))); dVaR = -norminv(0.01)*dsigma_sq/sigma/2; VaR_m = dVaR*V_RBC; %VaR_m = dVaR*V_TB; %VaR_m = dVaR*V_USD;
  • 35. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Table de mati`ere Valeur `a risque Mesures du risque de march´e V`aR lin´eaire V`aR pour un portefeuille D´ecomposition de V`aR Approche historique `a l’estimation de V`aR
  • 36. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Approche historique `a l’estimation de V`aR La V`aR historique est un quantile de la distribution empirique des pertes actualis´ees. La s´erie de rendements historiques pour le portefeuille est construite en utilisant les positions du portefeuille actuel et les rendements historiques des actifs d´etenus, si disponibles, les mappages permettant une r´e´evaluation compl`ete et l’historique des facteurs de risque. Le mod`ele n’est donc pas lin´eaire. Aucun matrice de covariance n’est estim´ee.
  • 37. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX >> alpha = 0.01; >> VaR = - quantile( rts, alpha ) VaR = 3.4496
  • 38. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
  • 39. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : un portefeuille 50 actions de la Banque Royale du Canada, 75.85$ · 50 ≈ 3783$ 50 obligations US TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020, 92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$ 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$ V π 0 = 9998$ Il faut appliquer les chocs historiques (relatifs ou absolus) aux valeurs actuels des facteurs de risque
  • 40. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : V`aR historique pour un portefeuille >> vrbc = rbc * 50; >> vtb = 50*100 * usdcad ./(1 + y5y / 100 ).^T; >> vusd = 300 * usdcad; >> prtf = vrbc + vtb + vusd; >> dV = prtf - V0; >> VaR = - quantile( dV, 0.01 ) VaR = 154.5170
  • 41. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Pr´ecision de la V`aR historique Pr´ecision de l’estimation de quantile peut ˆetre calcul´ee en utilisant la m´ethode bootstrap. Pour 10 ans d’observation quotidiennes de l’indice TSX >> VaR =@(x)-quantile(x, alpha); >> CI = bootci(2000, {VaR, rts}, ’alpha’, 0.05) CI = 3.1989 4.0353
  • 42. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’intervalle de confiance pour la V`aR historique 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 50 100 150 200 250 300 VaR, $, V0 = 100$ Nombred’observations
  • 43. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Difficult´es La queue de distribution doit contenir assez d’observations pour atteindre la pr´ecision requise. L’historique de plusieurs ann´ees de donn´ees quotidiennes est donc utilis´e. Des changements structurels peuvent poser des probl`emes. La r`egle de racine carr´ee du temps ne fonctionne pas. Sous l’hypoth`ese d’une distribution stable VaR1−α,T = T1/ξ VaR1−α,1 Les exposants d’´echelle sont diff´erents pour diff´erents classes d’actifs et facteurs de risque. Une certaine approche est donc n´ecessaire pour recalculer la V`aR `a un autre horizon.
  • 44. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : S&P 500, 1950–2015 10 0 10 1 10 2 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 2.20 α = 0.010, ξ = 1.76 α = 0.050, ξ = 2.09 α = 0.100, ξ = 2.31
  • 45. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : 3M TB yield, 1960–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 10 1 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 1.57 α = 0.010, ξ = 1.58 α = 0.050, ξ = 1.60 α = 0.100, ξ = 1.44
  • 46. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : VIX, 1990–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 3.63 α = 0.010, ξ = 3.02 α = 0.050, ξ = 2.85 α = 0.100, ξ = 2.79
  • 47. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’effet de l’exposant d’´echelle La diff´erence entre T1/ξ et T1/2 par rapport `a T1/2 : T ξ 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 2, j 12% 4% −2% −6% −9% −11% 10 47 14 −5 −17 −26 −32 60 98 26 −9 −29 −41 −49 252 151 36 −12 −37 −51 −60
  • 48. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’exposant d’´echelle en Matlab T = 1:100; for i = 1:length(T) P1 = P( 1:T(i):end ); % P contient les prix r = log( P1( 2:end ) ./ P1( 1:(end-1) ); q(i, :) = - quantile( r, alpha ); end for i = 1:length(alpha) lm = fitlm( log( q(:,i) ), log(T) ); xi(i) = lm.Coefficients.Estimate(2); end
  • 49. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Mod`eles avec pond´eration La pr´ecision de la V`aR historique est d´etermin´ee par le nombre d’observations dans la queue ⇒ l’historique est long. Dans la m´ethode simple, des observations anciennes font la mˆeme contribution que celles plus r´ecentes. Dans le mod`ele lin´eaire, la matrice de covariances peut ˆetre estim´ee en utilisant l’approche EWMA. M´ethodes de pond´eration pour la V`aR historique : pond´eration exponentielle des probabilit´es, ajustement des volatilit´es.
  • 50. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Pond´eration exponentielle des probabilit´es Assigner les probabilit´es aux rendements observ´es : pt−1 = 1 − λ, pt−2 = (1 − λ) · λ, pt−3 = (1 − λ) · λ2 , . . . Trier les rendements dans l’ordre croissant Calculer la probabilit´e cumulative jusqu’`a l’atteint de α −VaR1−α est entre les dernier et avant-dernier rendements inclus (multiplier par la valeur du portefeuille si en termes mon´etaires). Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations (V0 = 100$) VaRλ=0.99 99% = 2.42$, VaRλ=0.995 99% = 2.28$
  • 51. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ∆V , $, V0 = 100$ Prob.cumul. 1/N λ = 0.99 λ = 0.995
  • 52. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique La pond´eration des probabilit´es en Matlab N = length( rts ); prb = ( 1 - lambda ) * lambda .^ ( (N-1):(-1):0 ); [rts, ind] = sort( rts ); prb = cumsum( prb( ind ) ); [~, idx] = max( prb>alpha ); p2 = prb( idx ); p1 = prb( idx - 1 ); VaR = -( rts(idx) * ( alpha - p1 ) + ... rts(idx-1) * ( p2 - alpha ) ) / ( p2-p1 );
  • 53. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Ajustement des volatilit´es L’id´ee est de pond´erer les rendements historiques pour que leur volatilit´e soit ´egale `a la volatilit´e actuelle. Obtenir les s´eries de volatilit´es en utilisant le mod`ele de GARCH (EWMA est aussi parfois utilis´e) Ajuster les rendements : ˜rt = ˆσT ˆσt rt Estimer la V`aR Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations est ´egale `a 2.04$ (V0 = 100$).
  • 54. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2);
  • 55. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’effet ARCH pour les rendements TSX 0 10 20 0 0.5 1 ACF 0 10 20 0 0.5 1 PACF 0 10 20 0 0.5 1 0 10 20 0 0.5 1
  • 56. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2); rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) ); VaR = -quantile( rts_n, alpha );
  • 57. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Mesures de RM V`aR lin´eaire Portefeuille D´ecomposition V`aR historique Exemple : rendements TSX ajust´es 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −10 0 10 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −5 0 5 Date