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podemos considerar x + 2 = sec(θ) => x = sec(θ) −2 => dx = sec(θ) tg(θ) dθ
e −( )+x 2 2
1 = −( )sec θ 2
1 = ( )tg θ 2
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  • Bruna, eu só não entendi porque a cossecante de f de x não foi trabalhada junto com o seno de f de x. Pode me explicar isso depois? Brigaduuuuuuuu
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Integr com subst_trigonometricas__calculo

  1. 1. Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais aplicando o método de integração por substituição trigonométrica: 1) I = d ⌠ ⌡     1 x3 −x2 9 x ; Solução intervalos: ≤π θ e <θ 3 π 2 , se x < -3 ; ≤0 θ < π 2 , se x > 3 considerando x = 3 ( )sec θ => dx = 3 ( )sec θ ( )tg θ dθ temos que: x3 = ( )3 ( )sec θ 3 = 27 ( )sec θ 3 e −x2 9 = −( )3 ( )sec θ 2 9 = −9 ( )sec θ 2 9 = 3 −( )sec θ 2 1 = 3 ( )tg θ 2 = 3 ( )tg θ substituindo em I , temos: I = d ⌠ ⌡    3 ( )sec θ ( )tg θ 27 ( )sec θ 3 3 ( )tg θ θ = 1 27 d ⌠ ⌡    1 ( )sec θ 2 θ = 1 27 d ⌠ ⌡  ( )cos θ 2 θ = 1 27 d ⌠ ⌡    +( )cos 2 θ 1 2 θ = = 1 54 d ⌠ ⌡  ( )cos 2 θ θ + 1 54 d ⌠ ⌡ 1 θ = 1 54 ( 1 2 ( )sen 2 θ ) + 1 54 θ + K = θ 54 + 1 54 ( )sen θ ( )cos θ + K temos que: x = 3 ( )sec θ = 3 ( )cos θ => ( )cos θ = 3 x temos também: −x2 9 = 3 ( )tg θ => ( )tg θ = −x2 9 3 => θ = Page 1
  2. 2.        arctg −x2 9 3 fazendo: ( )sen θ = ( )cos θ ( )sen θ ( )cos θ = ( )cos θ ( )tg θ => ( )sen θ = 3 x −x2 9 3 = −x2 9 x substituindo estes valores em I , temos: I = 1 54        arctg −x2 9 3 + 1 54 −x2 9 x 3 x + K = = 1 54        arctg −x2 9 3 + 1 18 x2 −x2 9 + K ------------------------------------------ 2) I = d ⌠ ⌡     12 x3 +2 x2 7 x ; Solução intervalos: ≤0 θ e <θ π 2 , se ≤0 x ; − π 2 < θ < 0 , se x < 0 I = d ⌠ ⌡     12 x3 +2 x2 7 x = d ⌠ ⌡       12 x3 + 2 x2 7 1 x considerando x = 7 2 ( )tg θ => dx = 7 2 ( )sec θ 2 dθ temos que: 12x3 = 12       7 2 ( )tg θ 3 = 42 7 2 ( )tg θ 3 e Page 2
  3. 3. +2 x2 7 = +2       7 2 ( )tg θ 2 7 = +7 ( )tg θ 2 7 = 7 ( )+( )tg θ 2 1 = = 7 +( )tg θ 2 1 = 7 ( )sec θ 2 = 7 ( )sec θ subtituindo em I , temos: I = d ⌠ ⌡          42 7 2 ( )tg θ 3 7 2 ( )sec θ 2 7 2 ( )sec θ θ = 42 7 2 7 d ⌠ ⌡  ( )tg θ 3 ( )sec θ θ = 21 7 d ⌠ ⌡  ( )tg θ 3 ( )sec θ θ = = 21 7 d ⌠ ⌡ ( )−( )sec θ 2 1 ( )tg θ ( )sec θ θ = 21 7 d ⌠ ⌡  −( )sec θ 2 ( )tg θ ( )sec θ ( )tg θ ( )sec θ θ = = 21 7 d ⌠ ⌡  ( )sec θ 2 ( )sec θ ( )tg θ θ −21 7 d ⌠ ⌡  ( )sec θ ( )tg θ θ considerando u = ( )sec θ => du = ( )sec θ ( )tg θ dθ sutstituindo , temos: I = 21 7 d ⌠ ⌡ u2 u −21 7 d ⌠ ⌡ 1 u = 21 7 u3 3 −21 7 u + K sustituindo u por seu valor inicial, temos: I = 21 7 ( )sec θ 3 3 −21 7 ( )sec θ + K = 7 7 ( )sec θ 3 −21 7 ( )sec θ + K como temos que +2 x2 7 = 7 ( )sec θ => ( )sec θ = 7 +2 x2 7 7 substituindo este valor em I, temos: Page 3
  4. 4. I = 7 7         7 +2 x2 7 7 3 − 21 7 7 +2 x2 7 7 = 7 7 7 3 +2 x2 7 3 73 −21 +2 x2 7 = = −+2 x2 7 3 21 +2 x2 7 + K = −( )+2 x2 7 +2 x2 7 21 +2 x2 7 + K = = −2 x2 +2 x2 7 14 +2 x2 7 + K ------------------------------------------ 3) I = d ⌠ ⌡     − −x2 2 x 3 +x 1 x ; Solução considerando x + 1 = u => x = u - 1 => dx = du substituindo em I , temos: I = d ⌠ ⌡     − −( )−u 1 2 2 ( )−u 1 3 u u = d ⌠ ⌡     − + − + −u2 2 u 1 2 u 2 3 u u = = d ⌠ ⌡     −u2 4 u u u = d ⌠ ⌡     −u2 4 u u −u2 4 u u = d ⌠ ⌡     −u 4 −u2 4 u u = d ⌠ ⌡     −u 4 −( )−u 2 2 4 u no intervalo 0 < θ < π 2 podemos considerar −u 2 = 2 ( )sec θ => u = 2 ( )sec θ + 2 => du = 2 ( )sec θ ( )tg θ dθ assim, temos: −u 4 = −2 ( )sec θ 2 Page 4
  5. 5. e −( )−u 2 2 4 = −( )+ −2 ( )sec θ 2 2 2 4 = −4 ( )sec θ 2 4 = = 2 −( )sec θ 2 1 = 2 ( )tg θ 2 = 2 ( )tg θ subtituindo estes valores em I , temos: I = d ⌠ ⌡    ( )−2 ( )sec θ 2 2 ( )sec θ ( )tg θ 2 ( )tg θ θ = d ⌠ ⌡  −2 ( )sec θ 2 2 ( )sec θ θ = −2 d ⌠ ⌡  ( )sec θ 2 θ 2 d ⌠ ⌡  ( )sec θ θ = = 2 ( )tg θ −2 ln( | sec(θ) + tg(θ) | ) + K mas temos que: −u 2 = 2 ( )sec θ => sec(θ) = −u 2 2 e que: −( )−u 2 2 4 = 2 tg(θ) => tg(θ) = −( )−u 2 2 4 2 substituindo em I , temos: I = 2 −( )−u 2 2 4 2 −2 ln( | −u 2 2 + −( )−u 2 2 4 2 | ) + K mas temos que: u = x + 1 substituindo em I , temos: I = −( )+ −x 1 2 2 4 −2 ln( | + −x 1 2 2 + −( )+ −x 1 2 2 4 2 | ) + K = = −( )−x 1 2 4 −2 ln( | −x 1 2 + −( )−x 1 2 4 2 | ) + K = = − −x2 2 x 3 −2 ln( | − +x 1 − −x2 2 x 3 2 | ) + K ---------------------------------------- Page 5
  6. 6. 4) I = d ⌠ ⌡       1 ( )− −x2 2 x 3       3 2 x ; Solução I = d ⌠ ⌡       1 ( )− −x2 2 x 3       3 2 x = d ⌠ ⌡       1 [ ]−( )−x 1 2 4       3 2 x = d ⌠ ⌡     1 [ ]−( )−x 1 2 4 3 x no intervalo ≤0 θ e θ < π 2 podemos considerar −x 1 = 2 sec(θ) => x = 2 sec(θ) + 1 => dx = 2 sec(θ) tg(θ) dθ e [ ]−( )−x 1 2 4 3 = −( )2 ( )sec θ 2 4 3 = 23 −( )sec θ 2 1 3 = 8 ( )tg θ 2 3 = 8 ( )tg θ 3 substituindo estes valores em I , temos: I = d ⌠ ⌡    2 ( )sec θ ( )tg θ 8 ( )tg θ 3 θ = 1 4 d ⌠ ⌡    ( )sec θ ( )tg θ 2 θ = 1 4 d ⌠ ⌡    ( )cos θ ( )sen θ 2 θ considerando u = sen(θ) => du = cos(θ) dθ substituindo em I , temos: I = 1 4 d ⌠ ⌡    1 u2 u = − 1 4 u + K substituindo u por seu valor inicial, temos: Page 6
  7. 7. I = − 1 4 ( )sen θ + K como temos que: −x 1 = 2 sec(θ) = 2 ( )cos θ => cos(θ) = 2 −x 1 e que: [ ]−( )−x 1 2 4 3 = 8 ( )tg θ 3 = 8       ( )sen θ ( )cos θ 3 => 8 ( )sen θ ( )cos θ = −( )−x 1 2 4 => => 8 sen(θ) = ( )cos θ −( )−x 1 2 4 = 2 −x 1 −( )−x 1 2 4 = 2 −( )−x 1 2 4 ( )−x 1 2 = = 2 −1       2 −x 1 2 => sen(θ) = 1 4 −1       2 −x 1 2 logo, I = 1 16 −1       2 −x 1 2 + K ----------------------------------------- 5) I = d ⌠ ⌡     1 ( )+x 2 + +x2 4 x 3 x ; Solução I = d ⌠ ⌡     1 ( )+x 2 + +x2 4 x 3 x = d ⌠ ⌡     1 ( )+x 2 −( )+x 2 2 1 x no intervalo 0 < θ < π 2 Page 7
  8. 8. podemos considerar x + 2 = sec(θ) => x = sec(θ) −2 => dx = sec(θ) tg(θ) dθ e −( )+x 2 2 1 = −( )sec θ 2 1 = ( )tg θ 2 = tg(θ) substituindo estes valores em I , temos: I = d ⌠ ⌡    ( )sec θ ( )tg θ ( )sec θ ( )tg θ θ = d ⌠ ⌡ 1 θ = θ + K como temos que: x + 2 = sec(θ) => θ = arcsec( x + 2 ) logo, I = arcsec( x + 2 ) + K ---------------------------------------- ============================================ Jailson Marinho Cardoso Aluno do curso de Matemática Universidade Federal da Paraíba Campus I 31/07/2000 ============================================ Page 8

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