Le taquin             1               2       3             4               5       6             7               8       ...
Propriétés de cette représentation  1       2       3                                1 2 3 4 5 6 7 8 9  4       5       6 ...
Autre représentationClasse d’équivalence :                                  1       2       3                             ...
Résolution du taquinReprésentation d’un mouvement :                                  1 2 3                    1 2 3  Exemp...
Algorithme SIFTPermet la décomposition d’unepermutation en produit de générateursdu groupe.Pour le taquin, on a une permut...
Tableau de permutations Exemple :       Id        - Id        σ    • σ(1)=1                         • σ(2)=4        -    -...
SIFT                               1       2       3   4           1   2   3   4Générateurs :      R=                     ...
Résultats sur le taquin (P 04 09)                       (P 04 09)i5 mouvements au départ, SIFT donne :  (P 01 06)i*(P 04 0...
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    1. 1. Le taquin 1 2 3 4 5 6 7 8 9Représentation mathématique naïve 11 32 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 4 9 5 2 6 σ= 1 3 4 5 9 2 7 6 8 77 68 89Un mouvement : multiplication par une transposition 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 9 7 7 8 8 9 6 = τ9,6 ∗ Id 1 2 3 1 2 3 4 5 9 4 5 6 7 8 6 7 8 9
    2. 2. Propriétés de cette représentation 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 σ= 1 2 3 4 5 6 8 7 9 8 7 9 σ résoluble ?Si σ résoluble, σ = τ1 τ2...τpAlors, ε(σ) = (-1)pParité de p récupérable :Problème : Démo de ε(σ) = (-1)p σ résoluble 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 1 2 σ= 5 1 2 7 4 3 6 8 9 7 4 3 ε(σ) = 1 6 8 9 Résoluble ?
    3. 3. Autre représentationClasse d’équivalence : 1 2 3 6 5 4 7 8 Numérotation suivant le serpentinReprésentation d’une configuration : 5 1 2 51 12 23 Exemple : 4 3 76 45 34 7 6 8 67 88 1 2 3 4 5 6 7 8 σ= 5 1 2 3 4 7 6 8
    4. 4. Résolution du taquinReprésentation d’un mouvement : 1 2 3 1 2 3 Exemple : 6 5 4 5 4 7 8 6 7 8 1 2 3 1 2 3 5 7 4 5 7 4 6 8 6 8 1 2 3 4 5 6 7 8 τ5,8 = 1 2 3 4 6 7 5 8Mouvements possibles : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8τ1,6 = τ2,5 = 5 1 2 3 4 6 7 8 1 4 2 3 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8τ5,8 = τ4,9 = 1 2 3 4 6 7 5 8 1 2 3 5 6 7 8 4 Et leurs inverses… Ces permutations génèrent un groupe
    5. 5. Algorithme SIFTPermet la décomposition d’unepermutation en produit de générateursdu groupe.Pour le taquin, on a une permutation etles générateurs : on utilise SIFT !Étude des isométries laissants invariantesles quatre points d’un carré : 1 • •2 4• •3 Exemple : R-π/4 4 1 • •2 • •1 4• •3 3• • 2 1 2 3 4 R−π/4 = 4 1 2 3
    6. 6. Tableau de permutations Exemple : Id - Id σ • σ(1)=1 • σ(2)=4 - - Id • σ(3)=? - - - IdTableau permutation : • La case T[i; j] est : • soit indéfinie, • soit contient σ telle que • ∀ k<i, σ(k)=k • σ(i)=j
    7. 7. SIFT 1 2 3 4 1 2 3 4Générateurs : R= 4 1 2 3 S= 3 2 1 4 1 2 3 4 σ= 3 4 1 2 Id S R - Id La place est prise pour σ ! - - Id - - - Id SIFT : 1 2 3 4 γ = S −1 σ = Id R3 S R 1 4 3 2 - Id - ɣ 1 2 3 4 - - Id - R3 = 2 3 4 1 - - - IdTableau complet de calcul du groupe G : • Tableau de permutation • ∀ ε∈G, on peut écrire ε = σ1σ2σ3...σn où σi appartient à la ligne i du tableau.
    8. 8. Résultats sur le taquin (P 04 09) (P 04 09)i5 mouvements au départ, SIFT donne : (P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)* (P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)*(P 05 08)i* (P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)iSimplifiable : (P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)* (P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)*(P 05 08)i* (P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i (suppression des identités) (P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)* (P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 05 08)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i* (P 04 09)i Objectif pour étendre : trouver d’autres simplifications

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