2. Algèbre Linéaire 2016 2
Valeurs propres
• Un
vecteur
non
nul
qui
est
transformé
en
un
mul4ple
de
lui
même
par
une
applica4on
linéaire
sur
un
corps
K
est
dit
un
vecteur
propre
de
ce8e
applica4on
(ou
de
la
matrice
associée)
• La
valeur
de
ce
mul4ple
est
dite
la
valeur
propre
du
vecteur
propre
correspondant
9. Algèbre Linéaire 2016 4
Définition
Défini4on
17.1:
Soit
A
une
matrice
carrée
de
taille
n
sur
un
corps
K.
• Un
vecteur
non
nul
x
de
Kn
tel
que
Ax=lx
pour
un
l de
K
est
appelé
un
vecteur
propre
de
A.
• La
valeur
l est
appelée
une
valeur
propre
de
A.
10. Algèbre Linéaire 2016 4
Définition
Défini4on
17.1:
Soit
A
une
matrice
carrée
de
taille
n
sur
un
corps
K.
• Un
vecteur
non
nul
x
de
Kn
tel
que
Ax=lx
pour
un
l de
K
est
appelé
un
vecteur
propre
de
A.
• La
valeur
l est
appelée
une
valeur
propre
de
A.
Ques4ons
principales:
(1) Pourquoi:
On
s’intéresse
des
vecteurs/valeurs
propres
pourquoi?
(2) Comment:
Comment
est-‐ce
que
on
peut
les
calculer?
Existent-‐ils
toujours?
11. Algèbre Linéaire 2016 5
Pourquoi?
• Les
applica4ons
dans
la
théorie
d’équa4ons
différen4elles
(Analyse
II)
• Transforma4on
d’une
matrice
en
une
forme
plus
simple
(forme
diagonale)
• Les
applica4ons
dans
la
théorie
des
graphes
• Les
applica4ons
dans
la
théorie
de
chaînes
de
Markov
• Les
applica4ons
dans
la
théorie
de
marches
aléatoires
(par
exemple,
l’algorithme
de
PageRank)
• ……
14. Algèbre Linéaire 2016 6
Comment les calculer?
() (A In)x = 0 () det(A In) = 09x 6= 0: Ax = x
15. Algèbre Linéaire 2016 6
Comment les calculer?
() (A In)x = 0 () det(A In) = 09x 6= 0: Ax = x
Alors……
16. Algèbre Linéaire 2016 6
Comment les calculer?
() (A In)x = 0 () det(A In) = 0
Théorème
17.1:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
l
est
une
valeur
propre
de
A
si
et
seulement
si
det(A-‐
lIn)=0.
Dans
ce
cas,
chaque
vecteur
x
de
ker(A-‐
lIn)
est
un
vecteur
propre
de
A
correspondent
à
la
valeur
propre
l.
9x 6= 0: Ax = x
Alors……
18. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
19. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
20. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
21. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
22. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
23. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
24. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
25. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
26. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
27. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
28. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
29. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
30. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
A ( 1)I2 =
✓
3 6
3 6
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
31. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
A ( 1)I2 =
✓
3 6
3 6
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
32. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
A ( 1)I2 =
✓
3 6
3 6
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
33. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
A ( 1)I2 =
✓
3 6
3 6
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
34. Algèbre Linéaire 2016 7
Exemple
Première
étape:
calculer
les
valeurs
propres
det(A xI2) = det
✓
4 x 6
3 5 x
◆
= (4 + x)(5 x) + 18 = x2
x 2
x2
x 2 = 0 =) x1,2 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=2
et
l2=-‐1
Deuxième
étape:
Pour
chaque
valeur
propre,
calculer
le
noyau
de
A-‐
lI2
A 2I2 =
✓
6 6
3 3
◆
⇠
✓
1 1
0 0
◆
=) ker(A 2I2) =
⌧✓
1
1
◆
A ( 1)I2 =
✓
3 6
3 6
◆
⇠
✓
1 2
0 0
◆
=) ker(A + I2) =
⌧✓
2
1
◆
Vecteur
propre
Vecteur
propre
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
4 6
3 5
◆
2 R2⇥2
35. Algèbre Linéaire 2016 8
Alors….
Sur
R il
y
a
une
infinité
des
vecteurs
propres
pour
une
valeur
propre
donnée
36. Algèbre Linéaire 2016 8
Alors….
Sur
R il
y
a
une
infinité
des
vecteurs
propres
pour
une
valeur
propre
donnée
Car
ker(A-‐lIn)
a
une
infinité
d’éléments
si
l et
une
valeur
propre
de
A
37. Algèbre Linéaire 2016 9
Quelques définitions
Défini4on
17.2:
Soit
A
une
matrice
carrée
de
taille
n
sur
un
corps
K.
• Le
polynôme
det(A-‐xIn)
est
appelé
le
polynôme
caractéris4que
de
A.
• On
dit
que
l
est
une
valeur
propre
de
mul5plicité
k
de
A
si
le
facteur
(x-‐
l)
apparaît
k
fois
dans
le
polynôme
caractéris4que
=
sa
mul4plicité
en
tant
que
racine
du
polynôme
caractéris4que
38. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
39. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A =
40. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x)
41. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
42. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6
43. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
44. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
8 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
45. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
46. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
47. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
48. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
Polynôme
caractéris4que
49. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
=) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
Le
nombre
des
valeurs
propres
est
au
maximum
égal
à
3,
la
taille
de
la
matrice
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
Polynôme
caractéris4que
50. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
x1 = 1 =) ( x3
+ 2x2
+ x 2) ÷ (x 1) = x2
+ x + 2 =) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
Le
nombre
des
valeurs
propres
est
au
maximum
égal
à
3,
la
taille
de
la
matrice
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
Polynôme
caractéris4que
51. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
x1 = 1 =) ( x3
+ 2x2
+ x 2) ÷ (x 1) = x2
+ x + 2 =) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
Le
nombre
des
valeurs
propres
est
au
maximum
égal
à
3,
la
taille
de
la
matrice
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
Polynôme
caractéris4que
52. Algèbre Linéaire 2016 10
Exemple
= x3
+ 2x2
+ 355x 1700 1056
1008 + 48x + 960
66x + 1122 336x + 1680
= x3
+ 2x2
+ x 2
x1 = 1 =) ( x3
+ 2x2
+ x 2) ÷ (x 1) = x2
+ x + 2 =) x2,3 =
1 ±
p
1 + 8
2
= 2, 1
Les
valeurs
propres
sont
l1=1,
l2=2,
l3=-‐1.
Chacun
a
de
mul4plicité
1
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
Le
nombre
des
valeurs
propres
est
au
maximum
égal
à
3,
la
taille
de
la
matrice
det(A xI3) = det
0
@
17 x 8 4
42 20 x 11
12 6 5 x
1
A = (17 x) ⇥ ( 20 x) ⇥ (5 x) +8 ⇥ ( 11) ⇥ 12
+4 ⇥ ( 42) ⇥ 6 4 ⇥ ( 20 x) ⇥ 12
(17 x) ⇥ ( 11) ⇥ 68 ⇥ ( 42) ⇥ (5 x)
Polynôme
caractéris4que
53. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
54. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A
55. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A
56. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
57. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
58. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A ⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
59. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A ⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
60. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
61. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
A 2I3 =
0
@
15 8 4
42 22 11
12 6 3
1
A
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
62. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
A 2I3 =
0
@
15 8 4
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
42 22 11
12 6 3
1
A
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
63. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
A 2I3 =
0
@
15 8 4
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
0 2/5 1/5
0 2/5 1/5
1
A
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
64. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
A 2I3 =
0
@
15 8 4
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
0 2/5 1/5
0 2/5 1/5
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
0 1 1/2
0 0 0
1
A
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
75. Algèbre Linéaire 2016 11
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A 2 R3
A I3 =
0
@
16 8 4
42 21 11
12 6 4
1
A ⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
2
0
1
A
+
⇠
0
@
1 1/2 1/4
42 21 11
12 6 4
1
A⇠
0
@
1 1/2 1/4
0 0 1/2
0 0 1
1
A
A 2I3 =
0
@
15 8 4
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
42 22 11
12 6 3
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
0 2/5 1/5
0 2/5 1/5
1
A⇠
0
@
1 8/15 4/15
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 0
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A 2I3) =
*0
@
0
1
2
1
A
+
A + I3 =
0
@
18 8 4
42 19 11
12 6 6
1
A ⇠
0
@
1 4/9 2/9
42 19 11
12 6 6
1
A ⇠
0
@
1 4/9 2/9
0 1/3 5/3
0 2/3 10/3
1
A⇠
0
@
1 4/9 2/9
0 1 5
0 0 0
1
A ⇠
0
@
1 0 2
0 1 5
0 0 0
1
A
=) ker(A + I3) =
*0
@
2
5
1
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
2
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
-‐1 La
somme
de
dim
ker(A-‐liIn)
est
égale
à
3,
la
taille
de
la
matrice
⇠
0
@
1 1/2 0
0 0 1
0 0 0
1
A
76. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
77. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A
78. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
79. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
80. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
81. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4
82. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4Polynôme
caractéris4que
83. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4
x1 = 1 =) ( x3
+ 5x2
8x + 4) ÷ (x 1) = x2
+ 4x 4 = (x 2)2
Polynôme
caractéris4que
84. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4
x1 = 1 =) ( x3
+ 5x2
8x + 4) ÷ (x 1) = x2
+ 4x 4 = (x 2)2
Les
valeurs
propres
sont
l1=1,
l2=l3=2
Polynôme
caractéris4que
85. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4
x1 = 1 =) ( x3
+ 5x2
8x + 4) ÷ (x 1) = x2
+ 4x 4 = (x 2)2
Les
valeurs
propres
sont
l1=1,
l2=l3=2 Alors,
le
nombre
des
valeurs
propres
différentes
peut
être
strictement
inférieur
à
la
taille
de
la
matrice
Polynôme
caractéris4que
86. Algèbre Linéaire 2016 12
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
det(A xI3) = det
0
@
9 x 4 3
11 6 x 3
22 8 8 x
1
A= (9 + x)
6 x 3
8 8 x
4
11 3
22 8 x
3
11 6 x
22 8
= x3
+ 5x2
8x + 4
x1 = 1 =) ( x3
+ 5x2
8x + 4) ÷ (x 1) = x2
+ 4x 4 = (x 2)2
Les
valeurs
propres
sont
l1=1,
l2=l3=2 Alors,
le
nombre
des
valeurs
propres
différentes
peut
être
strictement
inférieur
à
la
taille
de
la
matrice
La
valeur
1
est
de
mul4plicité
1,
et
la
valeur
2
est
de
mul4plicité
2
Polynôme
caractéris4que
87. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
88. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A
89. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A
90. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A
91. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A
92. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
93. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
94. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
95. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A
96. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
11 4 3
22 8 6
1
A
97. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
0 0 0
0 0 0
1
A
98. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
0 0 0
0 0 0
1
A
=) ker(A 2I3) =
*0
@
4
11
0
1
A ,
0
@
3
0
11
1
A
+
99. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
0 0 0
0 0 0
1
A
=) ker(A 2I3) =
*0
@
4
11
0
1
A ,
0
@
3
0
11
1
A
+
Deux
vecteurs
propres
linéairement
indépendants
pour
la
valeur
propre
2
100. Algèbre Linéaire 2016 13
Les vecteurs propres
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Conseil:
1
est
une
valeur
propre
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A 2 R2
A I3 =
0
@
10 4 3
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
11 5 3
22 8 7
1
A⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 3/5 3/10
0 4/5 2/5
1
A ⇠
0
@
1 2/5 3/10
0 1 1/2
0 0 0
1
A⇠
0
@
1 0 1/2
0 1 1/2
0 0 0
1
A
=) ker(A I3) =
*0
@
1
1
2
1
A
+
Vecteur
propre
pour
la
valeur
propre
1
A 2I3 =
0
@
11 4 3
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
11 4 3
22 8 6
1
A⇠
0
@
1 4/11 3/11
0 0 0
0 0 0
1
A
=) ker(A 2I3) =
*0
@
4
11
0
1
A ,
0
@
3
0
11
1
A
+
Deux
vecteurs
propres
linéairement
indépendants
pour
la
valeur
propre
2
La
somme
de
dim
ker(A-‐liIn)
est
égale
à
3,
la
taille
de
la
matrice
101. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
102. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
103. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
104. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
Polynôme
caractéris4que
105. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Il
y
a
qu’une
valeur
propre
de
mul4plicité
2,
à
savoir
l=1
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
Polynôme
caractéris4que
106. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Il
y
a
qu’une
valeur
propre
de
mul4plicité
2,
à
savoir
l=1
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
A I1 =
✓
0 1
0 0
◆
Polynôme
caractéris4que
107. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Il
y
a
qu’une
valeur
propre
de
mul4plicité
2,
à
savoir
l=1
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
A I1 =
✓
0 1
0 0
◆
=) ker(A I1) =
⌧✓
1
0
◆
Polynôme
caractéris4que
108. Algèbre Linéaire 2016 14
Exemple
Calculer
les
vecteurs
et
les
valeurs
propres
de
la
matrice
Il
y
a
qu’une
valeur
propre
de
mul4plicité
2,
à
savoir
l=1
det(A xI3) = det
✓
1 x 1
0 1 x
◆
= (1 x)2
A =
✓
1 1
0 1
◆
2 R2⇥2
A I1 =
✓
0 1
0 0
◆
=) ker(A I1) =
⌧✓
1
0
◆
Qu’un
vecteur
propre,
alors,
La
somme
de
dim
ker(A-‐liIn)
est
strictement
inférieur
à
2,
la
taille
de
la
matrice
Polynôme
caractéris4que
109. Algèbre Linéaire 2016 15
Alors…
Proposi4on
17.1:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
Donc,
A
a
au
maximum
n
valeurs
propres.
110. Algèbre Linéaire 2016 15
Alors…
Proposi4on
17.1:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
Donc,
A
a
au
maximum
n
valeurs
propres.
Car
det(A-‐xIn)
est
un
polynôme
de
degré
n
sur
le
corps
K,
alors
il
a
au
maximum
n
racines.
111. Algèbre Linéaire 2016 16
det et Tr
Proposi4on
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
(1) Le
produit
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égal
à
det(A)
(2) La
somme
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égale
à
Tr(A)
112. Algèbre Linéaire 2016 16
det et Tr
Proposi4on
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
(1) Le
produit
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égal
à
det(A)
(2) La
somme
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égale
à
Tr(A)
Corollaire
17.1:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
A
est
inversible,
si
et
seulement
si
0
n’est
pas
une
valeur
propre
de
A.
113. Algèbre Linéaire 2016 16
det et Tr
Proposi4on
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
(1) Le
produit
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égal
à
det(A)
(2) La
somme
de
toutes
les
racines
du
polynôme
caractéris4que
de
A
est
égale
à
Tr(A)
Les
démonstra4ons
sont
présentées
pendant
le
cours
Corollaire
17.1:
Soit
A
une
matrice
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
A
est
inversible,
si
et
seulement
si
0
n’est
pas
une
valeur
propre
de
A.
132. Algèbre Linéaire 2016 19
La relation de similitude
Défini4on
17.3:
Deux
matrices
carrées
A
et
B
de
taille
n
sont
dites
semblables
si
il
y
a
une
matrice
inversible
P
de
même
taille
telle
que
A
=
P-‐1BP.
On
dit
que
A
est
similaire
à
B.
133. Algèbre Linéaire 2016 19
La relation de similitude
Défini4on
17.3:
Deux
matrices
carrées
A
et
B
de
taille
n
sont
dites
semblables
si
il
y
a
une
matrice
inversible
P
de
même
taille
telle
que
A
=
P-‐1BP.
On
dit
que
A
est
similaire
à
B.
Proposi4on
17.3:
Soient
A,
B
des
matrices
de
taille
n
x
n
sur
un
corps
K.
(1) Si
A
est
similaire
à
B,
donc
B
est
similaire
à
A
(2) Deux
matrices
semblables
ont
le
même
polynôme
caractéris4que,
donc
elles
ont
les
mêmes
valeurs
propres
(avec
la
même
order
de
mul4plicité)
Les
démonstra4ons
sont
présentées
pendant
le
cours
135. Algèbre Linéaire 2016
Diagonalisation
Théorème
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
format
n
x
n
sur
un
corps
K.
• A
a
au
maximum
n
valeurs
propres
différentes
• Soient
l1,
l2,
…,lk
les
valeurs
propres
différentes
de
A.
On
a
kX
i=1
dim ker(A iIn) n
136. Algèbre Linéaire 2016 22
Diagonalisation
Théorème
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
format
n
x
n
sur
un
corps
K.
• A
a
au
maximum
n
valeurs
propres
différentes
• Soient
l1,
l2,
…,lk
les
valeurs
propres
différentes
de
A.
On
a
• Si
,
donc
il
y
a
une
matrice
inversible
P
de
taille
n
telle
que
kX
i=1
dim ker(A iIn) n
kX
i=1
dim ker(A iIn) = n
P 1
AP =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
...
1
2
...
2
...
k
...
k
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
0
137. Algèbre Linéaire 2016 22
Diagonalisation
Théorème
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
format
n
x
n
sur
un
corps
K.
• A
a
au
maximum
n
valeurs
propres
différentes
• Soient
l1,
l2,
…,lk
les
valeurs
propres
différentes
de
A.
On
a
• Si
,
donc
il
y
a
une
matrice
inversible
P
de
taille
n
telle
que
kX
i=1
dim ker(A iIn) n
kX
i=1
dim ker(A iIn) = n
P 1
AP =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
...
1
2
...
2
...
k
...
k
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
0
C’est-‐à-‐dire,
A
est
similaire
à
une
matrice
diagonale
138. Algèbre Linéaire 2016 22
Diagonalisation
Théorème
17.2:
Soit
A
une
matrice
de
format
n
x
n
sur
un
corps
K.
• A
a
au
maximum
n
valeurs
propres
différentes
• Soient
l1,
l2,
…,lk
les
valeurs
propres
différentes
de
A.
On
a
• Si
,
donc
il
y
a
une
matrice
inversible
P
de
taille
n
telle
que
kX
i=1
dim ker(A iIn) n
kX
i=1
dim ker(A iIn) = n
P 1
AP =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
...
1
2
...
2
...
k
...
k
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
0
Chaque
valeur
est
répétée
autant
de
fois
que
sa
mul4plicité
C’est-‐à-‐dire,
A
est
similaire
à
une
matrice
diagonale
139. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
140. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
141. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
142. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
143. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
144. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
145. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
146. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
147. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
Si
oui….
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
148. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
Si
oui….
=)
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A
1
A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
149. Algèbre Linéaire 2016 23
Exemple
1 = 1, 2 = 2, 3 = 1
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) + dim ker(A + I3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
0
@
1
2
1
1
A = 1 ·
0
@
1
2
1
1
A A
0
@
0
1
2
1
A = 2 ·
0
@
0
1
2
1
A A
0
@
2
5
1
1
A = ( 1) ·
0
@
2
5
1
1
A
=) A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
Si
oui….
=)
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A
1
A
0
@
1 0 2
2 1 5
1 2 1
1
A =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
P-‐1 P
A =
0
@
17 8 4
42 20 11
12 6 5
1
A
150. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
151. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A
152. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A
153. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
154. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
155. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
156. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres
157. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
158. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
=)
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A
1
A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
Si
oui….
159. Algèbre Linéaire 2016 24
Exemple
1 = 1, 2,3 = 2
dim ker(A I3) + dim ker(A 2I3) = 1 + 2 = 3
A =
0
@
9 4 3
11 6 3
22 8 8
1
A
A
0
@
1
1
2
1
A = 1 ·
0
@
1
1
2
1
A A
0
@
4
11
0
1
A = 2 ·
0
@
4
11
0
1
A A
0
@
3
0
11
1
A = 2 ·
0
@
3
0
11
1
A
=) A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A ·
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
=)
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A
1
A
0
@
1 4 3
1 11 0
2 0 11
1
A =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
Matrice
des
vecteurs
propres Inversible?
Si
oui….
P-‐1 P
