λ-Calculus (ou Lambda-Calcul) est un système formel de logique mathématique permettant d'exprimer des calculs sous forme de fonctions. L'influence de Lambda Calculus sur les différents langages fonctionnels n'est pas seulement due au fait que le formalisme est « Turing-complete », mais également à sa simplicité et à son caractère expressif. Malheureusement, ce formalisme reste encore peu connu bien qu’il constitue les fondations de plusieurs langages fonctionnels comme Lisp, Haskell et Scala. Dans ce talk, nous allons découvrir ce que c’est le λ-calculus, son histoire et, plus important encore, son application à la programmation fonctionnelle.

1. #DevoxxFR
@yassine_meherzi

2. Tous les hommes doivent être rasés

3. Tous les hommes doivent être rasés
Le barbier doit raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci

4. Tous les hommes doivent être rasés
Le barbier doit raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci
??

9. Mon nez va
grandir !

10. David Hilbert
1862 – 1943

11. Problème de l’arrêt (Halting problem)
David Hilbert
1862 – 1943

12. Problème de l’arrêt (Halting problem)
La réponse est NON David Hilbert
1862 – 1943

13. Machine de Turing
(1936)

14. Machine de Turing
(1936)
Lambda-Calcul
(1935-1936)

15. Machine de Turing
Etat
Lambda-Calcul
Tout est fonction ≠

17. Machine de Turing
Etat
Lambda-Calcul
Tout est fonction
Thèse
Church-Turing

18. Machine de Turing
Etat
Lambda-Calcul
Tout est fonction

19. @yassine_meherzi
Yassine Meherzi
Technical Leader

21. λ x.e
Syntaxe
λ-Abstraction

22. λ x.e
Début de la fonction
Syntaxe

23. λ x.e
Variable
Début de la fonction
Syntaxe

24. λ x.e
Variable
Fin des arguments
Début de la fonction
Syntaxe

25. λ x.e
Variable
Fin des arguments
Expression
Début de la fonction
Syntaxe

26. e ::= variable (x, y, z…) Identifiant
Syntaxe

27. e ::= variable (x, y, z…)
| λ variable . e’
Identifiant
Abstraction
Syntaxe

28. e ::= variable (x, y, z…)
| λ variable . e’
| e1 e2
Syntaxe
Identifiant
Abstraction
Application

29. e ::= variable (x, y, z…)
| λ variable . e’
| e1 e2
| ( e’ )
Syntaxe
Identifiant
Abstraction
Application
Groupement

31. λ x.x
Identité

32. Application (x = 5)
Application
(λ x.x) 5

33. Application (x = 5)
Application
(λ x.x) 5
(λ x.x) 5
β-réduction

34. Application (x = 5)
Application
(λ x.x) 5
(λ x.x) 5
5
β-réduction

35. (λ x.x+1) 2
Application (x = 2)
Application

36. (λ x.x+1) 2
Application (x = 2)
Application

37. (λ x.x+1) 2
2+1
Application (x = 2)
Application
Redex
expression réductible

38. (λ x.x+1) 2
2+1
3
Application (x = 2)
Application
Redex
expression réductible

40. Ordre d’application
f a
Sens de réduction

41. Ordre d’application
f g a
Sens de réduction

42. Ordre d’application
(f g) a
Sens de réduction

43. (λ x.x+2 λ y.y) 5
Ordre d’application
f g

44. (λ x.x+2 λ y.y) 5
(λ y.y+2) 5
Ordre d’application
f g

45. (λ x.x+2 λ y.y) 5
(λ y.y+2) 5
(λ y.y+2) 5
5+2
7
Ordre d’application
f g

47. (λ x. x+x) (3 + 4)
Application (x = 3 + 4)
Stratégies d’évaluation
f a

48. (λ x. x+x) (3 + 4)
(3 + 4) + (3 + 4)
7 + 7
14
Application (x = 3 + 4)
Stratégies d’évaluation
Ordre normal

49. (λ x. x+x) (3 + 4)
(3 + 4) + (3 + 4)
7 + 7
14
Application (x = 3 + 4)
(λ x. x+x) (3 + 4)
(λ x. x+x) 7
7 + 7
14
Ordre normal Ordre applicatif
Stratégies d’évaluation

50. (λ x. x+x) (3 + 4)
(3 + 4) + (3 + 4)
7 + 7
14
Application (x = 3 + 4)
(λ x. x+x) (3 + 4)
(λ x. x+x) 7
7 + 7
14
Ordre normal
Appel par nom
Ordre applicatif
Appel par valeur
Stratégies d’évaluation

51. (λ x. 2) (3 + 4)
Application (x = 3 + 4)
Stratégies d’évaluation
f a

52. (λ x. 2) (3 + 4)
2
Application (x = 3 + 4)
Stratégies d’évaluation

53. (λ x. 2) (3 + 4)
2
Application (x = 3 + 4)
(λ x. 2) (3 + 4)
(λ x. 2) 7
2
Stratégies d’évaluation

54. (λ x. 2) (3 + 4)
2
Application (x = 3 + 4)
(λ x. 2) (3 + 4)
(λ x. 2) 7
2
Stratégies d’évaluation
Evaluation retardée Evaluation immédiate

55. Ordre normal
Appel par nom
Evaluation retardée
Ordre applicatif
Appel par valeur
Evaluation immédiate
Church-Rosser
Stratégies d’évaluation

56. Ordre normal
Appel par nom
Evaluation retardée
Ordre applicatif
Appel par valeur
Evaluation immédiate
Church-Rosser
Stratégies d’évaluation

59. Fonction anonyme
λ x.x+y

60. λ x.x+y
Fonction anonyme
x: variable liée
y: variable libre

61. Fonction anonyme
λ x.x+y
x: variable liée
y: variable libre

63. Fonction pure

64. Fonction pure
x

65. Fonction pure
x x + 1

66. Fonction pure

67. Fonction pure

69. e ::= variable (x, y, z…)
| λ variable . e’
| e1 e2
| ( e’ )
Syntaxe
Identifiant
Abstraction
Application
Groupement

70. e ::= variable (x, y, z…)
| λ variable . e’
| e1 e2
| ( e’ )
Syntaxe
Identifiant
Abstraction
Application
Groupement

71. λ x.x
Application (x = fonction)
Fonction d’ordre supérieur

72. Fonction d’ordre supérieur
(λ x.x) λ y.y+1
Application (x = λ y.y+1 )

73. Fonction d’ordre supérieur
(λ x.x) λ y.y+1
λ y.y+1
Application (x = λ y.y+1 )
Identité(f) = f

74. Fonction d’ordre supérieur

76. (x,y) => x+y ?
Fonction unaire

77. λxy. x+y
Fonction unaire

78. (λxy. x+y) => (λx. λy. x+y)
Fonction unaire
Curryfication

79. Fonction unaire
(λ x. λ y. x+y) 1 2
Application (x = 1) (y = 2)

80. Fonction unaire
(λ x. λ y. x+y) 1 2
(λ x. λ y. x+y) 1 2
Application (x = 1) (y = 2)

81. Fonction unaire
(λ x. λ y. x+y) 1 2
(λ x. λ y. x+y) 1 2
(λ y. 1+y) 2
Application (x = 1) (y = 2)
Application partielle

82. Fonction unaire
(λ x. λ y. x+y) 1 2
(λ x. λ y. x+y) 1 2
(λ y. 1+y) 2
1+2 = 3
Application (x = 1) (y = 2)
Application partielle

83. Fonction unaire

85. 1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé

86. 1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé

87. 1972 λ-Calcul polymorphe
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme

88. 1973 ML 1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe

89. 1977 FP 1990 Haskell
1973 ML 1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe

90. 2007 Clojure
1986 Erlang 2011 Elixir
1990 Haskell
1977 FP 1990 Haskell
1973 ML 1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe

91. 2003 Scala
2002 F#
1996 OCaml
2007 Clojure
1986 Erlang 2011 Elixir
1990 Haskell
1977 FP 1990 Haskell
1973 ML 1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe

92. 2003 Scala
2002 F# 2010 Rust
2007 Clojure
1986 Erlang 2011 Elixir
1990 Haskell
1977 FP 1990 Haskell
1973 ML 1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe
1996 OCaml
2012 Elm

93. 2010 Rust
2012 Elm
1936 λ-Calcul
1941 λ-Calcul simplement typé
1958 Lisp 2007 Clojure
1990 Haskell
1975 Scheme
1972 λ-Calcul polymorphe
1973 ML
2003 Scala
2002 F#
1996 OCaml
1986 Erlang 2011 Elixir
1977 FP
1985 Miranda 1987 Caml
1984 SML

95. Conclusion

96. Conclusion

97. Conclusion

98. Aller plus loin …

99. #DevoxxFR
@yassine_meherzi

101. True = λ a. λb. a
False = λ a. λb. b
if = p ? e1 : e2
if = predicate x then-clause else-clause
If = λ p. λa. λb. p a b
Booléens

102. True
False
And
Or
Not1
Not2
Xor
If
Booléens
λa. λb. a
λa. λb. b
λp. λq. p q p
λp. λq. p p q
λp. λa. λb. p b a
λp. p(λa. λb.b) (λa. λb.a)
λa. λb. a (not b) b
λp. λa. λb. p a b

103. Y = λf. (λx. f(x x)) (λx. f(x x))
Récursivité