1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα 2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα 2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα 2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα 2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀ 2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃ 2.5) Το σύμβολο ≈ 3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής 3.1) Εισαγωγή 3.2) Όρος 3.3) Ατομικός Τύπος 3.4) Μη Ατομικός Τύπος 3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών 3.6) Πρόταση 4) Δομές και Αποτιμήσεις 4.1) Δομή (ή Ερμηνεία) 4.2) Αποτίμηση 5) Συντομογραφίες Τύπων 5.1) Ορισμός Συντομογραφίας 5.2) Χρήση Συντομογραφίας 6) Μεταφραστικός Πίνακας Ασκήσεις

1. ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Μάθηµα 3.1:
Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
∆ηµήτρης Ψούνης

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Η πρωτοβάθµια γλώσσα
2. Νέα Στοιχεία σε Σχέση µε την
Προτασιακή γλώσσα
1. Τα συναρτησιακά σύµβολα
2. Τα κατηγορηµατικά σύµβολα
3. Ο ποσοδείκτης ∀
4. Ο ποσοδείκτης ∃
5. Το σύµβολο
3. Το συντακτικό της
Κατηγορηµατικής Λογικής
1. Εισαγωγή
2. Όρος
3. Ατοµικός Τύπος
4. Μη Ατοµικός Τύπος
5. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου και
Προτεραιότητα Τελεστών
6. Πρόταση
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή Ερµηνεία)
2. Αποτίµηση
5. Συντοµογραφίες Τύπων
1. Ορισµός Συντοµογραφίας
2. Χρήση Συντοµογραφίας
6. Μεταφραστικός Πίνακας
Γ.Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές

3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Όλοι οι ορισµοί και άριστη γνώση του συντακτικού κατηγορηµατικής λογικής.
Ο µεταφραστικός πίνακας είναι απαραίτητος σε όλη τη διάρκεια της ενότητας
της κατηγορηµατικής λογικής.
Επίπεδο Β
Κατασκευή δενδροδιαγράµµατος.
Επίπεδο Γ
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική

4. B. Θεωρία
1. Η πρωτοβάθµια Γλώσσα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Η Πρωτοβάθµια Γλώσσα (συµβολιζεται µε Γ1) αποτελείται από τα εξής στοιχεία:
Όλα όσα χρησιµοποιεί η προτασιακή λογική:
Μεταβλητές (π.χ. x1,x2,…)
Λογικοί Σύνδεσµοι: , ⋀, ⋁, →, ↔
Παρενθέσεις: ( )
Επαυξηµένο µε τα εξής στοιχεία:
Το σύµβολο της ισότητας:
Τους ποσοδείκτες για κάθε: ∀ και υπάρχει: ∃
Το σύνολο των κατηγορηµατικών συµβόλων: P1/m1, P2/m2,…
Το σύνολο των συναρτησιακών συµβόλων: f1/m1, f2/m2,…
Το σύνολο των σταθερών: c1, c2,…
Επίσης:
Το σύνολο των µεταβλητών συµβολίζεται µε Μ(Γ1)
Το σύνολο των σταθερών συµβολίζεται µε Στ(Γ1)
Ο συµβολισµός Pi / mi απεικονίζει ότι το Pi είναι ένα κατηγορηµατικό σύµβολο βαθµού mi
Ο συµβολισµός fi / mi απεικονίζει ότι το fi είναι ένα συναρτησιακό σύµβολο βαθµού mi
Βαθµός είναι το πλήθος των ορισµάτων του κατηγορήµατος ή συν.συµβόλου.

5. B. Θεωρία
2. Νέα στοιχεία σε σχέση µε την προτασιακή γλωσσα
1. Τα συναρτησιακά σύµβολα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Τα συναρτησιακά σύµβολα της κατηγορηµατικής λογικής:
Αντιστοιχούν σε µαθηµατικές συναρτήσεις
Άρα όπως µία µαθηµατική συνάρτηση δέχεται ένα όρισµα και επιστρέφει
µία τιµή
Ένα συναρτησιακό σύµβολο θα λειτουργεί όπως µία συνάρτηση, δηλαδή
θα δέχεται ένα όρισµα και θα επιστρέφει µία τιµή.
Παραδείγµατα Συναρτησιακών Συµβόλων:
Θα ορίσουµε σε επόµενα µαθήµατα:
• Το συναρτησιακό σύµβολο fatherOf(x)
• που θα το ερµηνεύσουµε να δέχεται ως όρισµα ένα άτοµο και να
επιστρέφει τον πατέρα του.
• Το συναρτησιακό σύµβολο mult(x,y)
• που θα το ερµηνεύσουµε να δέχεται ως όρισµα δύο φυσικούς και να
επιστρέφει το γινόµενό τους.
• Το συναρτησιακό σύµβολο sum(x,y)
• που θα το ερµηνεύσουµε να δέχεται ως όρισµα δύο φυσικούς και να
επιστρέφει το άθροισµά τους.

6. B. Θεωρία
2. Νέα στοιχεία σε σχέση µε την προτασιακή γλωσσα
2. Τα κατηγορηµατικα σύµβολα
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Τα κατηγορηµατικά σύµβολα της κατηγορηµατικής λογικής:
Αντιστοιχούν σε µαθηµατικές σχέσεις
Άρα δεδοµένων των ορισµάτων τους θα επιστρέφουν Αληθές ή Ψευδές
Παραδείγµατα ΚατηγορηµατικώνΣυµβόλων:
Θα ορίσουµε σε επόµενα µαθήµατα:
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο less(x,y)
• που θα το ερµηνεύσουµε να αληθεύει αν το x<y
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο greater_equal(x,y)
• που θα το ερµηνεύσουµε να αληθεύει αν το x≥y
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο odd(x)
• που θα το ερµηνεύσουµε να αληθεύει αν το x είναι περιττός
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο likes(x,y)
• που θα το ερµηνεύσουµε να δέχεται ως όρισµα δύο άτοµα και να
αληθεύει αν το άτοµο που αντιστοιχεί στο 1ο όρισµα συµπαθεί το άτοµο
που αντιστοιχεί στο 2ο όρισµα

7. B. Θεωρία
2. Νέα στοιχεία σε σχέση µε την προτασιακή γλωσσα
3. Ο ποσοδείκτης ∀
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ο ποσοδείκτης ∀ εκφράζει το «για κάθε» των µαθηµατικών.
Μια µαθηµατική έκφραση της µορφής «για κάθε x ισχύει πρόταση» γράφεται σε
κατηγορηµατική λογική:
∀x ΠΡΟΤΑΣΗ ή ∀x ΠΡΟΤΑΣΗ
Όπου x οποιαδήποτε µεταβλητή
Και ΠΡΟΤΑΣΗ η διατύπωση της πρότασης σε κατηγορηµατική λογική
Παραδείγµατα:
• «Κάθε αριθµός γράφεται ως κλάσµα». Είναι ψευδής (π.χ. δεν ισχύει για το 2)
• «Κάθε άνθρωπος έχει µόνο µία φυσική µητέρα». Είναι αληθής
Σηµαντικό!! Μια πρόταση της µορφής: ∀x ΠΡΟΤΑΣΗ
Είναι Αληθής αν η ΠΡΟΤΑΣΗ είναι αληθής για όλες τις τιµές που παίρνει το x
Για να το αποδείξουµε απαιτείται γενική επιχειρηµατολογία που να
καλύπτει όλες τις τιµές του x
Είναι Ψευδής αν η ΠΡΟΤΑΣΗ είναι ψευδής για έστω µία τιµή του x
Για να το αποδείξουµε δίνουµε συγκεκριµένη τιµή του x που η πρόταση
είναι ψευδής.

8. B. Θεωρία
2. Νέα στοιχεία σε σχέση µε την προτασιακή γλωσσα
4. Ο ποσοδείκτης ∃
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ο ποσοδείκτης ∃ εκφράζει το «υπάρχει» των µαθηµατικών.
Μια µαθηµατική έκφραση της µορφής «υπάρχει x ώστε να ισχύει πρόταση»
γράφεται σε κατηγορηµατική λογική:
∃x ΠΡΟΤΑΣΗ ή ∃x ΠΡΟΤΑΣΗ
Όπου x οποιαδήποτε µεταβλητή
Και ΠΡΟΤΑΣΗ η διατύπωση της πρότασης σε κατηγορηµατική λογική
Παραδείγµατα:
• «Υπάρχει πρώτος αριθµός που είναι πολ/σιο του 2». Είναι αληθής (για x=2)
• «Υπάρχει φυσικός που δεν διαιρείται µε το 1». Είναι ψευδής
Σηµαντικό!! Μια πρόταση της µορφής: ∃x ΠΡΟΤΑΣΗ
Είναι Αληθής αν η ΠΡΟΤΑΣΗ είναι αληθής για έστω µία τιµή του x
Για να το αποδείξουµε δίνουµε συγκεκριµένη τιµή του x που η πρόταση
είναι αληθής.
Είναι Ψευδής αν η ΠΡΟΤΑΣΗ είναι ψευδής για όλες τις τιµές που παίρνει το x
Για να το αποδείξουµε απαιτείται γενική επιχειρηµατολογία που να
καλύπτει όλες τις τιµές του x

9. B. Θεωρία
2. Νέα στοιχεία σε σχέση µε την προτασιακή γλωσσα
5. Το σύµβολο ισότητας
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Το σύµβολο της ισότητας συντάσσεται:
Α Β
Και θα ελέγχει αν τα στοιχεία αριστερά και δεξία του έχουν την ίδια τιµή.
Η αποτίµησή του θα είναι:
• Αληθές, αν τα Α και Β έχουν την ίδια τιµή.
• Ψευδές, αν τα Α και Β έχουν διαφορετική τιµή.
Σηµαντικό!! Μία παράσταση της µορφής Α Β ελέγχει αν δύο τιµές είναι ίσες.
Έτσι τα Α,Β µπορούν να είναι µόνο
Σταθερές
Μεταβλητές
Συναρτησιακά Σύµβολα
Τα οποία αποτιµώνται σε συγκεκριµένες τιµές.

10. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της Κατηγορηµατικής Λογικής
1. Εισαγωγή
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Το συντακτικό της Κατηγορηµατικής Λογικής είναι ιδιαίτερα αυστηρό και
οτιδήποτε γράφουµε σε κατηγορηµατική λογική θα πρέπει να σεβεται τους
κανόνες που θα θέσουµε.
Έκφραση κατηγορηµατικής λογικής ορίζεται οποιαδήποτε παράσταση συµβόλων
της πρωτοβάθµιας γλώσσας (ακόµη και ασύντακτη! )
Οι ακόλουθοι ορισµοί θα κατασκευάσουν το συντακτικό της κατηγορηµατικής
λογικής:
• Όρος: να είναι µεταβλητή, σταθερα και συναρτησιακό σύµβολο.
• Ατοµικός Τύπος: να είναι ισότητα όρων ή κατηγόρηµα
• Μη Ατοµικός Τύπος να είναι παράσταση που χρησιµοποιεί ποσοδείκτες ή
προτασιακούς σύνδεσµούς.
Και περαιτέρω θα ορίσουµε:
• ∆εσµευµένες Μεταβλητές: Μεταβλητές που δεσµεύονται από ποσοδείκτη
• Ελεύθερες Μεταβλητές: Μεταβλητές που δεν δεσµεύονται από ποσοδείκτη
• Πρόταση: Ένας τύπος που δεν έχει ελεύθερες µεταβλητές.

11. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της κατηγορηµατικής λογικής
2. Όρος
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµός: Όρος α είναι:
• Είτε α ∈ M Γ ∪ Στ Γ
• δηλαδή είναι µεταβλητή είτε σταθερά
• Είτε α ! " , "#,…, "$ όπου ! είναι συναρτησιακό σύµβολο βαθµού n µε
τα "%, & 1, … , ) είναι όροι.
• ∆ηλαδή είναι συναρτησιακό σύµβολο.
• Επίσης έπεται ότι ένα συναρτησιακό σύµβολο µπορεί να δεχθεί ως
όρισµα σταθερά ή µεταβλητή ή συναρτησιακό σύµβολο
Σηµαντικό!! Ένας όρος αν υπολογιστεί µας επιστρέφει µία τιµή:
Μία σταθερά θα έχει µια τιµή
Μία µεταβλητή θα έχει µία τιµή
Ένα συναρτησιακό σύµβολο θα επιστρέψει µία τιµή
Παραδείγµατα:
• 5, x, y, sum(5,4), mult(sum(5,3),2), fatherOf(fatherOf(fatherOf(x)))

12. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της κατηγορηµατικής λογικής
3. Ατοµικός Τύπος
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµός: Ατοµικός Τύπος είναι:
• Είτε * *# όπου * , *# είναι όροι.
• Παρατηρούµε ότι η ισότητα εφαρµόζεται µόνο σε όρους
• Είτε P * , *#,…, *$ όπου , είναι κατηγορηµατικό σύµβολο βαθµού n µε τα
*%, & 1, … , ) είναι όροι.
• ∆ηλαδή είναι σωστή εφαρµογή κατηγορηµατικού συµβόλου.
• Επίσης έπεται ότι ένα κατηγορηµατικό σύµβολο µπορεί να δεχθεί ως
όρισµα σταθερά ή µεταβλητή ή συναρτησιακό σύµβολο
Παραδείγµατα ατοµικών τύπων:
• - 3
• "/" !0*1234! 5/1)
• 6320*23_*10) 3,5
• 92:: :;< 2,2 , <;9* 1,3

13. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της κατηγορηµατικής λογικής
4. Μη Ατοµικός Τύπος
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµός: Μη Ατοµικός Τύπος είναι:
• Είτε =, = ∨ ?, = ∧ ?, = → ?, = ↔ ? όπου =, ? είναι τύποι.
• Παρατηρούµε ότι οι προτασιακοί τύποι µπορούν να συνδέσουν µόνο
τύπους (ατοµικούς ή µη ατοµικούς), παραστάσεις δηλαδή που
επιστρέφουν Αληθές ή Ψευδές.
• Είτε ∀- Π, ∃- Π όπου Π είναι τύπος.
• Επίσης έπεται ότι ένας ποσοδείκτης εφαρµόζεται µόνο σε ατοµικό ή
µη ατοµικό τύπο
Παραδείγµατα µη ατοµικών τύπων:
• , -, A ∧ B C, D όπου P/2, Q/2 είναι κατηγορηµατικά σύµβολα
• "/" !0*1234! 5/1)
• ∀- Q x → P x ∨ R x όπου P/1, Q/1, R/1 είναι κατηγορηµατικά σύµβολα
• ∀- ∃A, -, A όπου P/2 κατηγορηµατικό σύµβολο
Σηµαντικό!! Ένας τύπος (ατοµικός ή µη ατοµικός) αν υπολογιστεί µας επιστρέφει
Αληθές ή Ψευδές:

14. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της κατηγορηµατικής λογικής
5. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Η προτεραιότητα των τελεστών της κατηγορηµατικής λογικής είναι:
Μεγαλύτερη προτεραιότητα έχουν τα: , ∀, ∃
Αµέσως µετά µε ίση προτεραίοτητα είναι τα : ⋀, ⋁
Μικρότερη προτεραίοτητα έχουν οι σύνδεσµοι: →, ↔
Το δενδροδιάγραµµα ενός τύπου υποδεικνύει την προτεραιότητα των πράξεων
Παράδειγµα
∆ενδροδιαγράµµατος:
Στον τύπο έχω
P/2 κατηγορηµατικό σύµβολο
f/1 συναρτησιακό σύµβολο
c: σταθερά
x,y: µεταβλητές
Παρατηρούµε:
Μη ατοµικός Τύπος
Ατοµικός Τύπος
Όρος
))],())(,(([)( cxPxfzPyxyxx ∧∀∃→≈∀
)( yxx ≈∀ ))],())(,(([ cxPxfzPyx ∧∀∃
yx ≈ )),())(,(( cxPxfzPy ∧∀
),())(,( cxPxfzP ∧
))(,( xfzP ),( cxP
x y
z )(xf x c
x

15. B. Θεωρία
3. Το συντακτικό της κατηγορηµατικής λογικής
6. Πρόταση
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµοί:
Μία µεταβλητή είναι ελεύθερη αν δεν είναι στο πεδίο εφαρµογής ενός ποσοδείκτη.
Μια µεταβλητή είναι δεσµευµένη αν είναι στο πεδίο εφαρµογής ενός ποσοδείκτη.
Ένας τύπος είναι πρόταση αν δεν περιέχει ελεύθερες µεταβλητές
Παραδείγµατα:
• ∀- B - → , A όπου P/1,Q/1 κατηγορηµατικά σύµβολα
• Η x είναι δεσµευµένη. ∆εσµεύεται από τον ποσοδείκτη ∀x
• Η y είναι ελεύθερη. ∆εν δεσµεύεται από ποσοδείκτη
• ∃- ! - A ∧ ∀yQ x, y όπου f/1 συναρτησιακό, Q/2 κατηγορηµατικό
• Η εµφάνιση της x στο ∃- ! - A είναι δεσµευµένη
• Η εµφάνιση της y στο ∃- ! - A είναι ελεύθερη
• Η εµφάνιση της x στο ∀yQ x, y είναι ελεύθερη.
• Η εµφάνιση της y στο ∀yQ x, y είναι δεσµευµένη
• ∀-∃A B -, A όπου Q/2 κατηγορηµατικά σύµβολα
• Η x είναι δεσµευµένη. ∆εσµεύεται από τον ποσοδείκτη ∀x
• Η y είναι δεσµευµένη. ∆εσµεύεται από τον ποσοδείκτη ∃A

16. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
∆εδοµένης µιας παράστασης κατηγορηµατικής λογικής που σέβεται το
συντακτικό που ορίσαµε, θέλουµε να:
• Υπολογίζουµε την τιµή της (αν είναι όρος)
• Υπολογίζουµε αν είναι αληθής / ψευδής (αν είναι τύπος)
Για να το επιτύχουµε αυτό πρέπει να µας δίδεται από την εκφώνηση:
• Την δοµή (ή ερµηνεία) η οποία:
• Ορίζει το πεδίο ορίσµού των µεταβλητών
• ∆ίνει νόηµα στα συναρτησιακα και τα κατηγορηµατικά σύµβολα
• ∆ίνει τιµές στις σταθερές.
• Την αποτίµηση η οποία:
• ∆ίνει τιµή στις ελεύθερες µεταβλητές.

17. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµός: Η δοµή (ή ερµηνεία) Α αποτελείται από τα εξής:
• Το σύµπαν της H (συµβολίζεται µε |H| ) που είναι το πεδίο ορισµού των
µεταβλητών.
• Σε κάθε συναρτησιακό σύµβολο f/) αντιστοιχούµε µια συνάρτηση: !L: |H|$ → |H|
• Σε κάθε κατηγορηµατικό σύµβολο ,/) αντιστοιχούµε µια σχέση: ,L ⊆ |H|$
• Σε κάθε σύµβολο σταθεράς c αντιστοιχούµε µια τιµή: DL ∈ |H|
∆ηλαδή η ερµηνεία αποδίδει νόήµα σε όλα τα σύµβολα που εµφανίζονται στον τύπο
(ή στον όρο)

18. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 1: Να αποτιµηθεί ο όρος:
! D , D#
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της !/2 είναι !P
-, A - Q A
• H ερµηνεία της D είναι D P 9
• H ερµηνεία της D# είναι D#
P 4
Λύση
Η αποτίµηση του όρου είναι: 9+4=13

19. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 2: Να αποτιµηθεί ο τύπος:
DT ! D , D#
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της !/2 είναι !P
-, A - Q A
• H ερµηνεία της D είναι D P 9
• H ερµηνεία της D# είναι D#
P 4
• H ερµηνεία της DT είναι DT
P 11
Λύση
Η αποτίµηση του όρου είναι: 11=13, άρα είναι ψευδής.

20. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 3: Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∀-B -, D
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της Q/2 είναι BP
-, A αληθεύει αν x<y
• H ερµηνεία της D είναι D P 5
Λύση
Ο τύπος γράφεται ∀- - U 5 άρα ερµηνεύεται ως «Κάθε φυσικός είναι µικρότερος
του 5» άρα είναι ψευδής (π.χ. δεν ισχύει για x=6)

21. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
1. ∆οµή (ή ερµηνεία)
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 4: Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∀-B -, D
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της Q/2 είναι BP
-, A αληθεύει αν x>y
• H ερµηνεία της D είναι D P 0
Λύση
Ο τύπος γράφεται ∀- - W 0 άρα ερµηνεύεται ως «Κάθε φυσικός είναι µεγαλύτερος
του 0» άρα είναι ψευδής (δεν ισχύει για x=0)

22. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
2. Αποτίµηση
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Ορισµός: Η αποτίµηση v είναι µία συνάρτηση που δίνει τιµή από το σύµπαν σε κάθε
ελεύθερη µεταβλητή.
• Άρα είναι µία συνάρτηση: v: Μ Γ → |H|
Η αποτίµηση των ελευθέρων µεταβλητών:
• Είναι απαραίτητη αν πρέπει να
• Υπολογίσουµε έναν όρο ή
• Αποφασίσουµε αν ένας τύπος είναι αληθής ή ψευδής
που περιλαµβάνει ελεύθερες µεταβλητές.
• Αντίθετα δεν απαιτείται αν δεν υπάρχουν ελεύθερες µεταβλητες (δηλαδή αν ο
τύπος είναι πρόταση)

23. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
2. Αποτίµηση
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 5: Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∃-B -, A
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της Q/2 είναι BP
-, A αληθεύει αν x<y
Και της αποτίµησης
• v(y)=1
Λύση
Ο τύπος γράφεται ∃- - U 1 άρα ερµηνεύεται ως «Υπάρχει φυσικός που είναι
µικρότερος του 1» άρα είναι αληθής (Ισχύει για x=0)

24. B. Θεωρία
4. ∆οµές και Αποτιµήσεις
2. Αποτίµηση
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Παράδειγµα 6: Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∃-B -, A ∧ ∃A C ! A, C
∆εδοµένης της ερµηνείας:
• Το σύµπαν είναι Α O
• Η ερµηνεία της Q/2 είναι BP
-, A αληθεύει αν x<y
• Η ερµηνεία της f/2 είναι !P -, A - Q A
Και της αποτίµησης
• v(y)=1, v(z)=2
Λύση
Ο τύπος γράφεται ∃- - U 1 ∧ ∃A 2 A Q 2 άρα ερµηνεύεται ως «Υπάρχει
φυσικός που είναι µικρότερος του 1 και υπάρχει φυσικός που αν προστεθεί στο 2,
κάνει 2» άρα είναι αληθής (Ισχύει για x=0 και για y=0)

25. B. Θεωρία
5. Συντοµογραφίες Τύπων
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Χρησιµοποιώντας όλα τα στοιχεία που περιγράψαµε µπορούµε να κατασκευάζουµε
συντοµογραφίες τύπων που θα συµπεριφέρονται σαν κατηγορηµατικά σύµβολα.
• ∆ηλαδή δεδοµένων των ορισµάτων τους θα παίρνουν τιµή αληθές ή ψευδές.
Παράδειγµα:
Αν στο σύµπαν των φυσικών αριθµών ορίσουµε τα συναρτησιακά σύµβολα sum/2
και mult/2 να επιστρέφουν αντίστοιχα το άθροισµα και το γινόµενο των ορισµάτων
τους, µπορούµε να ορίσουµε τις συντοµογραφίες:
• Την συντοµογραφία E(x) να αληθεύει αν ο x είναι άρτιος:
Ε - ≡ ∃A - <;9* 2, A
• Την συντοµογραφία O(x) να αληθεύει αν ο x είναι περιττός:
O - ≡ ∃A - :;< <;9* 2, A , 1
Με χρήση αυτών των συντοµογραφιών µπορούµε να ορίσουµε πιο περίπλοκες
προτάσεις:

26. B. Θεωρία
5. Συντοµογραφίες Τύπων
26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Με χρήση αυτών των συντοµογραφιών µπορούµε να ορίσουµε πιο περίπλοκες
προτάσεις. Για παράδειγµα µπορούµε να ορίσουµε τις εξής προτάσεις:
• «Κάθε φυσικός είναι άρτιος ή περιττός»
• «Κάθε φυσικός αν είναι άρτιος τότε δεν είναι περιττός»
• «Υπάρχει φυσικός που είναι άρτιος και περιττός»
• «Κάθε άρτιος αριθµός γράφεται σαν άθροισµα δύο περιττών αριθµών»
• κ.ο.κ.
∀x ] - ∨ 4 -
∀x ] - → 4 -
∃x ] - ∧ 4 -
∀x ] - → ∃A∃C 4 A ∧ 4 C ∧ - :;< A, C

27. B. Θεωρία
6. Μεταφραστικός Πίνακας
27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Μορφή Πρότασης Μετάφραση
1 ^_`a=bc
…
∆εν ισχύει η
^_`a=bc
…
2 ^_`a=bc
…
∧
^_`a=bc
…
^_`a=bc
…
και
^_`a=bc
…
3 ^_`a=bc
…
∨
^_`a=bc
…
^_`a=bc
…
ή
^_`a=bc
…
4 ^_`a=bc
…
→
^_`a=bc
…
Αν
^_`a=bc
…
τότε
^_`a=bc
…
5 ^_`a=bc
…
↔
^_`a=bc
…
^_`a=bc
…
αν και µόνο αν
^_`a=bc
…

28. B. Θεωρία
6. Μεταφραστικός Πίνακας
28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Μορφή Πρότασης Μετάφραση
6 ∃-
dedόaca= a`g -
…
Yπάρχει στοιχείο για το οποίο ισχύει η
dedόaca=
…
Yπάρχει στοιχείο που ισχύει η
dedόaca=
…
Yπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε να ισχύει η
dedόaca=
…
7 ∀-
dedόaca= a`g -
…
Κάθε στοιχείο έχει την
dedόaca=
…
Για κάθε στοιχείο ισχύει η
dedόaca=
…
8 ∃-∃A
- bhibc ji A
…
Yπάρχει ζεύγος στοιχείων για το οποίο ισχύει η
bhibc
…
Yπάρχει ζεύγος στοιχείων τέτοιο ώστε να ισχύει η
bhibc
…
9 ∀-∀A
- bhibc ji A
…
Κάθε ζεύγος στοιχείων έχει την
bhibc
…
Για κάθε ζεύγος στοιχείων ισχύει η
bhibc
…

29. B. Θεωρία
6. Μεταφραστικός Πίνακας
29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Μορφή Πρότασης Μετάφραση
10 ∃-∀A
- bhibc ji A
…
Yπάρχει στοιχείο που έχει τη
bhibc
…
µε όλα τα
στοιχεία
11 ∀-∃A
- bhibc ji A
…
Κάθε στοιχείο έχει τη
bhibc
…
µε τουλάχιστον ένα
στοιχείο
12 ∃-∃A - k A ∧
- bhibc ji A
…
Yπάρχει ζεύγος διαφορετικών στοιχείων για το οποίο
ισχύει η
bhibc
…
Yπάρχει ζεύγος διαφορετικών στοιχείων τέτοιο ώστε
να ισχύει η
bhibc
…
13 ∀-∀A - k A →
- bhibc ji A
…
Κάθε ζεύγος διαφ/κών στοιχείων έχει την
bhibc
…
Για κάθε ζεύγος διαφ/κων στοιχείων ισχύει η
bhibc
…

30. B. Θεωρία
6. Μεταφραστικός Πίνακας
30∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Μορφή Πρότασης
14
∃-
ded`aca= ba` -
…
∧ ∀A
`j`d= ded`aca= ba` A
…
→ - A
Υπάρχει µοναδικό στοιχείο µε την ιδιότητα
ή
Υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο µε την ιδιότητα
15
∃-∃A
ded`aca= ba` -
…
∧
`j`d= ded`aca= ba` A
…
∧ - k A ∧
∀C
`j`d= ded`aca= ba` C
…
→ C - ∨ C A
Υπάρχουν ακριβώς δύο στοιχεία µε την ιδιότητα

31. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
31∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Κατασκευάστε δενδροδιαγράµµατα για τους τύπους:
όπου Q/2 είναι κατηγορηµατικό σύµβολο, f/1 είναι συναρτησιακό σύµβολο, c,d είναι
σταθερές.
))((),(),(.2
)]))(),((([.1
xfydxxyyxyQxdcQ
dycxyfxfQyx
≈→≈∃∀↔∀∃∧
≈∧≈→∀∃

32. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
32∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
Στους παρακάτω τύπους P/2 και Q/3 είναι κατηγορηµατικά σύµβολα, f/2,g/3 είναι
συναρτησιακά σύµβολα, τα c,d είναι σταθερές και τα x,y,z είναι µεταβλητές. Εξετάστε
ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι εκφράσεις, όροι, ατοµικοί τύποι, µη ατοµικοί
τύποι ή προτάσεις:
))),,,(,(),,((.7
),()),,(,(.6
),()),,(,(.5
),(),,(.4
))),,(,(),,((.3
),(.2
),(.1
xxxxgxQxxfP
yxyPxcyxfxg
xxzPyyxfxQ
yxPdcxQ
cyxfxgyxfP
yxyQx
yxyPx
∃∃≈
∃→
≈
∀∃
∀∃