Tipos de problemas - 2016-I http://ivanvladimir.github.io/content/teach/curso_lfya_2016I.html

1. Problemas, problemas, problemas
I'vegot99problemsand3-SATreducestoallofthem..—
Reddit
Ivan Meza

2. Reducción
Un problema se reduce aA B

3. Función de reducción
Una función
se reduce a si si y sólo si
Sí entonces
Sí entonces
f(w)
A B w ∈ A
f(w) ∈ B
w ∈ A f(w) ∈ B
w ∉ A f(w) ∉ B

4. Pequeño problema
Considerar y reducir aLD 0
∗
1
∗
Sí entonces
Sí entonces
w ∈ LD
f(w) = 01
w ∉ LD
f(w) = 10
¿Entonces reducimos a regular?LD
tiene que ser computablef

5. Reducción
Verdadero
Falso
W calcular f
f(w) Máquina B
R

6. Máquina R
Con la entrada w
Calcular
Correr en
Si acepta , entonces aceptar
Si rechaza , entonces rechazar
f(w)
MB f(w)
MB f(w) w
MB f(w)
w
Notación , es reducible aA B≤M A B

7. Opciones
Si A B≤M
Si es decidible, entonces los es
Si es computable, entonces los es
Si es indecidible, entonces los es
Si es no es computable (no RE), entonces los
es
B A
B A
A B
A B

8. ¿Qué sabemos de este lenguaje?
HALT = {[M, w]|M para con w}
Es indecidible

9. DECIDER = {[M]|Mes una máquina que decide}
¿Qué sabemos de este lenguaje?

10. Sabemos HALT DECIDER≤M
DECIDER indecidible

11. ¿Qué sabemos de este lenguaje?
= {[M, w]|M acepta w}AT M
Es indecidible

12. ONES = {[M]|M acepta una cadena de la forma }1
n
¿Qué sabemos de este lenguaje?

13. Sabemos ONESAMT ≤M
ONES indecidible

14. HALT ≤M AMT
HALT y son REAMT

15. ON LY ON ES = {[M]|L(M) ⊂ }1
∗
¿Qué sabemos de este lenguaje?

16. ON LY ON ESLD ≤M
ONLYONES es no RE

17. = {[M]|L(M) ⊄ }ON LY ON ES
¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1
∗
¿Qué sabemos de este lenguaje?

18. RE y co-RE
RE es el conjunto de lenguajes reconocidos por una máquina
de Turing
Problemas para los cuales verificamos una respuesta
correcta
co-RE es el conjunto de lenguajes cuyos complementso son
reconocidos por una máquina de Turing
Problemas para los cuales verificamos una respuesta
incorrecta

19. RE y co-RE
Si y , entonces
Si y , entonces
Si y , entonces
Si y , entonces
L ∈ RE ∈ REL
¯ ¯¯¯
L ∈ Rec
L ∈ RE ∈ coREL
¯ ¯¯¯
L ∈ Rec
L ∉ R L ∈ RE
L ∉ co − RE
L ∉ R L ∈ co − RE
L ∉ RE

20. ¿Qué sabemos de este lenguaje?
= {[M]|M ∉ L(M)}LD
¿Quién es ?LD
¯ ¯¯¯¯¯¯

21. ¿Qué sabemos de este lenguaje?
REGU LAR = {[M]|L(M) es regular}

22. REGU LARLD ≤M
REGULAR es no RE, pero
REGU LARLD
¯ ¯¯¯¯¯¯
≤M

23. y afuera de los límites de lo
computable
REGU LAR REGU LAR
¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

24. ¿Otro afuera?
E = {[ , ]|L( ) = L( )}QT M M1 M2 M1 M2

25. Resumen: Church-Turing tesis
Rec: problemas que pueden ser calculados por una computadora
RE: problemas donde respuestas pueden ser verificados por una
computadora
co-RE: problemas donde respuestas pueden ser refutadas por una
computadora

26. Fijandonos en los decidables
¿Es posible resolver un problema
eficientemente?
Eficiencia se mide en número de pasos/tiempo

27. Tipos de complejidades
Contante
Log log
Logarítmica
Raiz cuadrática
Polinómica
Polinómica Log
Polinómica cuadrada
Exponencial log
Exponencial
Factorial
O(1)
O(log(n)log(n))
O(log(n))
O( )n√
O(n)
O(nlog(n))
O( )n
2
O( )2
log(n)
O( )2
n
O(n!)

28. Tesis de Cobham-Edmonds
Un lenguaje puede ser resuelto eficientemente si se decide
en tiempo polinómico
L

29. Clase de P
Todos los problemas que se pueden resolver en en tiempo
polinomial

30. Ejemplos
Reconocer de un AF, AFND y AFND-
Reconocer de un APD
Reconocer de un AP (!Compiladores!)
¿Dado un grafo y dos nodos, estos se
conectan?
¿Dado un número es primo?
Etc, ...
w ϵ
w
w
n

31. Clase de NP
Todos los problemas que se pueden resolver en en tiempo
polinomial por una MTND
NP es No determinístico en tiempo polinomial

32. Máquina de Turing no Determinístico
Todos los problemas que se pueden resolver en en tiempo
polinomial por una MTND
NP es No determinístico en tiempo polinomial

33. Máquinas de Turing
Es una tupla (Q, Σ, Γ, , B, A, δ)q0
conjunto finito de estados
alfabeto de cadenas reconocidas
alfabeto de cinta,
estado inicial
Símbolo de espacio en blanco pero
estados finales
función de transición
Q
Σ
Γ Σ ⊂ Γ
q0
B B ∈ Γ B ∉ Σ
A
δ
Q × Γ → Q × Γ × {der, izq}

34. Máquinas de Turing no
determinística
Es una tupla (Q, Σ, Γ, , B, A, δ)q0
conjunto finito de estados
alfabeto de cadenas reconocidas
alfabeto de cinta,
estado inicial
Símbolo de espacio en blanco pero
estados finales
función de transición
Q
Σ
Γ Σ ⊂ Γ
q0
B B ∈ Γ B ∉ Σ
A
δ
Q × Γ → {Q × Γ × {der, izq}}

35. Uso el no determinismo para adivinar respuestas
Uso el determinismo para verificar la respuesta
Problemas fáciles de verificar

36. Ejemplos de NP
Soduko
El problema del agente de viaje
Un grafo puede ser coloreado por colores
Determinar la mejor forma de asignar trabajos a
trabajadores
k

37. La pregunta más importante en
computación
¿ ? o ¿ ?P = N P P ≠ N P

38. NP-hard
Informalmente, son los problemas que son tan difíciles como
el más difícil en NP
Formalmente, son los problemas que son tan difíciles como el
más difícil en NP

39. NP-complete
Intercección NP y NP-hard

40. Ejemplos
e
Satisfacción Lógica Proposicional
De un conjunto de números podemos encontrar un conjunto que
sume zero

41. Ejemplosd
NP-complete
Halting
problem

42. Si y , entoncesL ∈ NP-complete L ∈ P P = N P

43. ¿Como resolvemos estos problemas?
Aproximación
Aleatoriidad
Uso de
restricciones
Parametrización
Heurísticas

44. Para mayor información visitar el zoológico aquí

45. ivanvladimir@gmail.com ivanvladimir.github.io ivanvladimir
Problemas, problemas, problemas by is licensed
under a
.
Creado a partir de la obra en
.
Ivan V. Meza Ruiz
Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional
License
http://turing.iimas.unam.mx/~ivanvladimir/slides/lfya/np_p.html