Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
COMPLEXOS

2. COMPLEXOS
1
01. (Ita 2020) A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral n
a é dado por
n n
cos n i sen n
a ,
2
+ 
= n 1
, 2, 3,
= é igual a
a)
1 2cos1
.
5 4cos1
− +
−
b)
2 4cos1
.
5 4cos1
− +
−
c)
4 2cos1
.
5 4cos1
−
−
d)
1 2cos1
.
5 4cos1
+
−
e)
2 4cos1
.
5 4cos1
+
−
02. (Epcar 2020) Considere no plano de Argand Gaus a região S formada pelos afixos P(x, y) dos números complexos
z x yi,
= + em que 1 i
− =
| z i | 1
S | z | 2
Re(z) 0
− 


= 

 

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) A área de S é maior que 4,8 u.a.
( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então ki S.

( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma é verdadeira.
b) apenas duas são verdadeiras.
c) todas são verdadeiras.
d) todas são falsas.
03. (Efomm 2020) Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade imaginária.
2020
j
j 0
S i
=
= 
Sobre o valor de S, é correto afirmar que
a) S 1 i
= −
b) S 1 i
= +
c) S 1
=
d) S i
=
e) 3
S i
=

3. COMPLEXOS
2
04. (Ime 2020) Seja 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ|2 ≤ |𝑧 − 3 − 4𝑖| ≤ 3} onde ℂ é o conjunto dos números complexos. O valor do
produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior módulo
do mesmo conjunto A é
a) 16
−
b) 8
−
c) 16 5
−
d) 1
e) 16
05. (Eear 2019) A parte real das raízes complexas da equação 2
x 4x 13 0,
− + = é igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
06. (Epcar 2019) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo 𝐴
̄ = 𝑥 − 2𝑖, 𝑥 ∈ ℝ e
B 1 i.
= +
Se no produto A B
 tem-se Re(A B) Im(A B),
   então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que
a) seus afixos formam uma reta.
b) nenhum deles é imaginário puro.
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.
d) existe A tal que | A | | B | .
=
07. (Ime 2019) Seja z um número complexo tal que 𝑧12
∈ ℝ, Re(z) 1
= e arg(z) 0, .
2
π
 
 
 
A soma dos inversos dos
possíveis valores de | z | está no intervalo
a)
1 3
,
2 2
 
 
 
b)
3 5
,
2 2
 
 
 
c)
5 7
,
2 2
 
 
 
d)
7 9
,
2 2
 
 
 
e)
9 11
,
2 2
 
 
 
08. (Ita 2019) Sabe-se que 2 2i
− + é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-
Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a
a) 4( 3 1).
+
b) 6 3.
c) 8( 3 1).
−
d) 10 3.
e) 12 3.

4. COMPLEXOS
3
09. (Espcex 2019) No plano complexo, temos uma circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um
quadrado inscrito à ,
λ de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o
vértice B é
a)
1 3
i.
2 2
− +
b) 3 i.
− −
c) 1 3i.
− +
d)
1 3
i.
2 2
− −
e)
3 1
i.
2 2
− +
10. (Epcar2019) Considere 𝑎 ∈ ℝ e os polinômios 6 3
a
P(x) x 26x 27
2
= − − e 2
A(x) 2x 4x a,
= + + tais que seus gráficos
se intersectam em um único ponto de ordenada nula.
Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o eixo Ox, analise as afirmativas abaixo e escreva V para
verdadeira e F para falsa.
( ) O gráfico de P(x) corta o eixo Ox em dois pontos.
( ) Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro mede 3 3
unidades de comprimento.
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a 2.
−
A sequência correta é
a) V – V – V
b) V – F – F
c) F – V – F
d) F – V – V

5. COMPLEXOS
4
11. (Ita 2018) As raízes do polinômio 2 3 4 5 6 7
1 z z z z z z z ,
+ + + + + + + quando representadas no plano complexo,
formam os vértices de um polígono convexo cuja área é
a)
2 1
.
2
−
b)
2 1
.
2
+
c) 2.
d)
3 2 1
.
2
+
e) 3 2
12. (Ita 2018) O lugar geométrico das soluções da equação 2
x bx 1 0,
+ + = quando |𝑏| < 2, 𝑏 ∈ ℝ, é representado no
plano complexo por
a) dois pontos.
b) um segmento de reta.
c) uma circunferência menos dois pontos.
d) uma circunferência menos um ponto.
e) uma circunferência.
13. (Ime 2018) Seja a função 𝐻: ℂ → ℂ definida por
3 2
3 2 1 0
2
2 1 0
a s a s a s a
H(s)
b s b s a
+ + +
=
+ +
com j
a e k
b reais, para j 0,1
, 2, 3
=
e k 0,1
, 2.
= Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i 1
= − é a unidade imaginária e
𝑤 ∈ ℝ. A afirmação correta a respeito de f(w) é
a) f(w) é uma função impar.
b) f(w) é uma função par.
c) f(w) é sempre negativa.
d) f(w) é sempre positiva.
e) f(w) é uma função periódica.
14. (Efomm 2018) Resolvendo o sistema
| z 2 | | z 4 |
,
| z 3 | | z 3 | 10
− = +


− + + =

para z complexo, encontramos como solução
a)
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
− + − −
b)
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
+ + + −
c)
6 8 6 8
1 i; 1 i
5 5
− + − −
d)
6 8 6 8
1 i; 1 i
5 5
+ + + −
e)
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
+ − − −

6. COMPLEXOS
5
15. (Esc. Naval 2018) Felipe, andando pelo pátio de sua escola, encontra, no chão uma lista de exercícios de
matemática toda feita pelo seu amigo Bruno contendo as seguintes perguntas e respostas:
1) É verdade que (√𝑧
3
)2
= √𝑧2
3
∀𝑧 ∈ ℂ. Justifique.
Resposta: Sim, é verdade, pois, tomando a parte real igual a 1 e a parte imaginária igual a zero, tem-se z 1
= e, com
isso, a igualdade permanece.
2) Cite duas descrições geométricas do conjunto B dos números complexos z que satisfazem | z 2 | | z 3i |,
− = − sendo
i a unidade imaginária.
Resposta: É uma reta que passa pelo ponto
1 7
,
2 6
 
 
 
e tem coeficiente igual a
2
.
3
3) Seja z um número complexo e Re(z) a parte real de z. Qual é o conjunto dos pontos tais que 2
Re(z ) 0?

Resposta: É o conjunto 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ|
𝜋
4
< 𝑎𝑟𝑔 𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑧 <
3𝜋
4
} união com o conjunto 𝐵 =
{𝑧 ∈ ℂ|
−3𝜋
4
< 𝑎𝑟𝑔 𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑧 <
−𝜋
4
}.
4) Seja z um número complexo. Os valores de z tais que 2z 1
e 1
−
= é igual a?
Resposta:
1
z k i
2
π
= + para 𝑘 ∈ ℤ. Sendo i a unidade imaginária.
Suponha que Felipe saiba responder a todas as perguntas de forma correta. E que ele as corrigirá atribuindo a cada
pergunta o valor de 2,5 pontos por resposta correta e zero ponto por resposta errada, não existe acerto de parte da
questão (Bruno acerta ou erra sua resposta). Sendo assim, assinale a opção que apresenta a quantidade de pontos
obtidos por Bruno na correção de Felipe.
a) 10
b) 7,5
c) 5
d) 2,5
e) zero
16. (Espcex 2018) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números
complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que
A (1
, 0).
=
O polígono regular cujos vértices são os afixos de 4
E é
a) BEHK. b) CFIL. c) ADGJ. d) BDHJ. e) CEIK.

7. COMPLEXOS
6
17. (Ime 2018) Determine o valor de a , sabendo-se que 0 a 1
,
 
colog 256
65
(2 )
(a )
log 256
4
(a )
2
(a )
colog 256
a
1
log 256 Im {Z}
16
= onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:
4.033 2 2.017
2 Z 2 Z 1 0.
− + =
Obs.: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z.
a)
1
4
b)
1
8
c)
1
16
d)
1
32
e)
1
64
18. (Espcex 2018) Seja a igualdade
4
a b
i cos isen ,
3 5 6 6
π π
 
− = +
 
 
onde i é a unidade imaginária. Se a e b são números
reais, então o quociente
a
b
é igual a
a)
3
.
5
b)
3 3
.
5
c)
3 3
.
5
− d)
3
.
5
− e)
15 3
.
4
19. (Efomm 2017) Analise as afirmações que se seguem.
I. Se x, y, z são números reais positivos, então 3
x y z
x y z.
3
+ +
  
II. Se z é um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição 2n
z 1
,
 − sendo n um número inteiro
positivo, então
n
2n
z
1 z
+
é um número real.
III. Se 4, 3
A representa a matriz dos coeficientes de um sistema linear com quatro equações e três incógnitas, esse
sistema será possível e determinado sempre que o posto desta matriz A for menor ou igual a 3.
Então, pode-se dizer que
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

8. COMPLEXOS
7
20. (Espcex 2017) Sejam z e v números complexos onde | z | 1
= e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss
2 2
, .
2 2
 
 
 
 
Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar
que
a) sempre é um número real.
b) sempre tem módulo igual a 2.
c) sempre é um número imaginário puro.
d) pertence à circunferência 2 2
x y 1.
+ =
e) sempre tem argumento igual a .
4
π
GABARITO
1 - A 2 - A 3 - C 4 - A 5 - B
6 - C 7 - C 8 - E 9 - C 10 - A
11 - D 12 - C 13 - B 14 - A 15 - B
16 - A 17 - A 18 - A 19 - C 20 - D