specialement pour les opticien

1. Chapitre 7 : champs d’un objectif et pertes d’éclairement
dans le champ de l’image
1 Champ des instruments
1.1 Définition
Le champ total d’un instrument est la région tridimensionnelle de l’espace dont les points
objets sont optiquement reproduits par l’instrument.
Les rayons lumineux issus des points objets appartenant à ce volume forment des faisceaux
traversant l’instrument pour atteindre le récepteur (rétine de l’œil pour les instruments
subjectifs et récepteur physique pour les instruments objectifs).
Les systèmes optiques des instruments sont généralement des systèmes centrés, leur champ
est donc un volume conique de révolution autour de l’axe optique. Pour étudier ce champ,
on le caractérise par deux dimensions linéaires ou un angle et une longueur :
Le champ en largeur ou champ transversal, mesuré dans une direction quelconque
perpendiculaire à l’axe optique, dans un plan de front objet ; il est limité vers l’extérieur
par un cercle. Lorsque le plan objet est à l’infini, le champ en largeur est défini par un
diamètre apparent.
Le champ comprend aussi des points qui se trouvent en arrière ou en avant du plan de
mise au point et qui donnent sur le récepteur des images acceptables. Ces points sont
situés entre deux plans de front dont la distance définit la profondeur de champ ou
champ axial.

2. 1.2 Champ transversal : champ de pleine lumière, champ de contour, champ total
Le champ objet transversal correspond à la portion d’un plan de front objet perpendiculaire à
l’axe au point A, visible à travers l’instrument. Il est délimité par un cercle dont le rayon est la
largeur du champ.
Un point B du plan de front objet, situé dans le champ, doit émettre au moins un rayon utile
qui traverse la totalité de l’instrument pour atteindre le récepteur et contribuer à la
formation de l’image. Cette condition très générale impose une limite à la largeur du champ.
En effet, le passage des rayons est en général gêné par la présence d’autres éléments
mécaniques (diaphragmes).
Le cône de sommet B dont les génératrices s’appuient sur le contour de la pupille d’entrée
[PE], délimite le faisceau utile : les rayons intérieurs à ce cône, d’angle solide Ω, traversent
tous les diaphragmes de l’instrument.
Lorsque le point B s’éloigne de A, l’ouverture du faisceau
lumineux issu de B est de plus en plus petite : l’angle solide du
faisceau utile n’est plus que d’une fraction de Ω. Quand B
atteint une certaine position limite, le cône se réduit à un
rayon unique.
La figure ci-contre décrit trois situations particulières de
visibilité correspondant à un faisceau conique incident issu du
point objet B.

3. Champ de pleine lumière
Lorsque le point B arrive en Bp, les rayons marginaux du faisceau incident utile s’appuient sur
le contour de la pupille d’entrée [PE]. Le faisceau conique est tangent à un autre diaphragme
appelé lucarne d’entrée [LE].
Les points de (ABp) appartiennent au champ de pleine lumière. Les rayons lumineux issus d’un
point de (ABp) et traversant l’ouverture de la pupille d’entrée ne peuvent pas être arrêtés
ultérieurement par un autre diaphragme ; ils participent tous à la formation de l’image.
Champ de contour
Lorsque le point B dépasse Bp, le faisceau issu de B est partiellement intercepté par le
diaphragme [LE] ; une partie du faisceau incident atteint l’ouverture de la pupille d’entrée.
Les rayons ayant traversé [LE] et [PE] participent donc à la formation de l’image dont
l’éclairement est réduit.
Lorsque le point objet arrive en
Bt, le faisceau incident est
entièrement intercepté. Les
positions entre Bp et Bt sont dites
dans le champ de contour, le
faisceau lumineux est de plus en
plus échancré par [LE] à mesure
que le point B s’éloigne de l’axe.
L’éclairement du point image
diminue brusquement.

4. Champ total
L’ensemble de ces champs de pleine lumière et de contour constitue le champ transversal
total.
Au-delà de Bt les points sont hors du champ. Les rayons lumineux du faisceau ne peuvent
pas parvenir au plan image. L’éclairement de l’image s’annule à la limite du champ total.

5. Deux exemples concrets
Dans tous les objectifs photographiques, il existe toujours une inclinaison maximale admissible
pour les rayons, en entrée et donc en sortie, qui va définir le champ de vision utile de l’objectif
côté objet et la surface effectivement éclairée dans l’image. C’est à dire du côté de l’objet
l’ensemble des points de la scène capables de former une image sur le film ou le détecteur.
À l’ensemble de ces points-objets correspond l’ensemble des points-images appelé champ
total. On dit qu’un point de l’image est à l’intérieur du champ total s’il y a au moins un rayon
qui relie l’objet à l’image en passant à travers tout l’objectif sans être intercepté par une
monture ou par le diaphragme. Lorsque tous les rayons délimités par le diaphragme arrivent
dans l’image, on dit qu’on est dans le champ de pleine lumière. Si le cône de rayons est
délimité à la fois par le diaphragme et le bord d’une monture de lentille, la luminosité de
l’image disparaît rapidement, on dit qu’on est dans le champ de contour.

6. On considère un objectif de prise de vue à 6 lentilles, l'objet est à l'infini. Un iris placé au
centre de l'objectif sert de diaphragme d'ouverture au système. Les pupilles d'entrée et de
sortie sont virtuelles.
Les points du champ de pleine lumière sont éclairés par des faisceaux uniquement limités par
le D.O. La figure ci-dessous montre le bord du champ de pleine lumière image, pour un point
au-delà, le faisceau de lumière sera limité, en partie, par les montures des lentilles.

7. 1.3 Champ moyen, diaphragme de champ et lucarnes
Champ moyen
L’existence du champ de contour qui correspond à une variation rapide de l’éclairement dans
le plan image peut être gênante pour l’observation visuelle ou en photographie.
En pratique, on essaie de le supprimer.
On peut pour cela limiter le champ au champ moyen en plaçant un diaphragme dans le plan
d’une image réelle intermédiaire ; ce diaphragme est alors le diaphragme de champ et le
conjugué objet de ce diaphragme est alors la lucarne d’entrée ; elle se trouve dans le plan
objet observé. L’œil qui accentue les contrastes ne perçoit pas la diminution d’éclairement sur
les bords du champ.

8. Diaphragme de champ et lucarnes
La description précédente n’a fait intervenir qu’un seul diaphragme limitant le champ. Le
conjugué antérieur (Dl) qui échancre les faisceaux incidents un peu à la manière d’une
lucarne est la lucarne d’entrée [LE]. Le diaphragme réel (∆l) correspondant est le diaphragme
de champ [DC] et son image postérieure (D’l) est la lucarne de sortie [LS].
Il existe toujours un diaphragme de champ sinon le champ serait illimité. La lucarne d’entrée
est toujours vue du point objet A sous un angle supérieur à celui sous lequel est vue la
pupille d’entrée. Par exemple, pour un objectif photographique constitué d’une seule lentille
mince convergente, la monture de la lentille est la pupille d’entrée, la pupille de sortie et le
diaphragme d’ouverture ; le champ réel est limité par la plaque photographique.
Lorsque plusieurs diaphragmes
sont susceptibles de limiter le
champ (cf. figure 11.9), le
diaphragme de champ (∆l) est
celui dont la lucarne [LE] est vue
du centre de la pupille d’entrée
sous le plus petit angle θp. Il peut
se faire que les limites du champ
de pleine lumière et du champ
total soient fixées par deux
diaphragmes de champ
différents.

9. 1.4 Mesure linéaire ou angulaire des champs
Après avoir déterminé la pupille d’entrée et la lucarne d’entrée, il est possible de mesurer les
différents champs comme le décrit la figure ci-dessous.
Mesure linéaire : champ linéaire
Si le plan de front objet observé est proche (observation avec
un instrument du type microscope), on mesure les champs par
les diamètres 2ABp, 2ABm et 2ABt des cercles qui délimitent ces
champs : ces diamètres sont qualifiés de champs linéaires.
Mesure angulaire : champ angulaire
Si le plan objet est très éloigné (observation avec un instrument
du type télescope), on utilise les diamètres apparents
correspondants 2ωp, 2ωm, 2ωt définissant les champs
angulaires.

10. Champs dans l’espace objet
Le champ de pleine lumière est mesuré
par 2ABp ou 2 ωp. Pour le déterminer on
joint (dans un plan méridien) les points
de même côté appartenant aux contours
des ouvertures de la pupille d’entrée et de
la lucarne d’entrée.
Pour avoir le champ de contour (2ABc ou
2ωc) on joint des points diamétralement
opposés des contours des ouvertures de
la pupille d’entrée et de la lucarne
d’entrée.
Le champ total est déterminé par 2ABt
ou 2 ωt.
Ici, m3 est la pupille d’entrée, antécédent du
diaphragme d’ouverture et m2 est la lucarne
d’entrée, antécédent du diaphragme de
champ.

11. En général, on détermine approximativement le champ d’un instrument par le champ
moyen (2ABm ou 2ωm) obtenu en joignant le centre de l’ouverture de la pupille d’entrée aux
points du contour de l’ouverture de la lucarne d’entrée. On suppose donc que l’ouverture de
la pupille d’entrée se réduit à un point. Le rayon Abm est la demi-somme des rayons du
champ total et du champ de pleine lumière.
Ici, m3 est la pupille d’entrée,
antécédent du diaphragme
d’ouverture et m2 est la
lucarne d’entrée, antécédent
du diaphragme de champ.

12. Soient Ro et Rc les rayons de la pupille et de la lucarne d'entrée; A et L les distances du plan
objet et de la lucarne à la pupille d'entrée.
En considérant les triangles semblables HBpM' et KMM':
on obtient pour le rayon du champ de pleine lumière :
De même, on obtient pour le rayon du champ total :
et pour le rayon du champ moyen :
Calcul des champs objets dans le cas d’un plan objet à distance finie

13. Calcul des champs objets dans le cas d’un plan objet à distance infinie
Lorsque le plan objet est rejeté à l'infini, on obtient :
pour le demi-champ de pleine lumière
pour le demi-champ total
pour le demi-champ moyen

14. 2 Phénomène de vignettage, définition
La construction de l’objectif ainsi que les accessoires employés en prise de vue (monture de
filtre, pare-soleil, etc.) peuvent être la cause de pertes de lumière (assombrissement) dans les
zones marginales de l’image (périphérie du champ), voire l’apparition d’un anneau noir au bord
du champ.
Ce phénomène porte le nom de vignettage ou vignetage, et correspond à la diminution
progressive ou brutale du niveau d'éclairement de l'image formée par un objectif, en allant du
centre de cette image vers sa périphérie.
En pratique, il se manifeste donc avant tout aux angles et parfois sur les bords de l'image. Cet
assombrissement est généralement considéré comme nuisible à la qualité des photographies
mais comme toujours, il se trouve des artistes qui savent tirer profit de ce genre de défaut
pour produire des images intéressantes .

15. Le vignettage est particulièrement visible dans les zones de teinte uniforme

16. Illustration du phénomène de vignettage

17. 3 Mesure du vignettage
On mesure l’affaiblissement de l’éclairement du support sensible dû au vignettage le long de
la diagonale de l’image par un coefficient de vignettage vP (en %) défini par :
où EP est l’éclairement du film au point P et EO l’éclairement au centre du film.
Il est possible de tracer la courbe de vignettage qui traduit la variation de l’éclairement du
centre vers les bords de l’objectif. On obtient par exemple :
(%) .100
P
P
O
E
v
E
=
Chaque objectif est caractérisé par une courbe de vignettage particulière.
De plus, pour un objectif fixé, la courbe obtenue (et donc l’affaiblissement de l’éclairement)
dépend de l’ouverture. La perte d’éclairement augmente si l’objectif est plus ouvert.

18. Vignettage avec le Planar 50/1,4 ; prise de vue à grande ouverture f1,4 à gauche avec fort
vignettage optique et à plus petite ouverture f 5,6 à droite avec peu de vignettage.
Le vignettage est donc réduit en diaphragmant.

19. 4 Différents types de vignettage
Les causes du phénomène de vignettage sont multiples et on attribue souvent un qualificatif
pour les distinguer : on parlera par exemple de vignettage optique ou de vignettage naturel
(en cas d’assombrissement vers les bords) ou de vignettage mécanique (en cas d’apparition
d’un anneau noir en bordure du champ).
4.1 Vignettage naturel
Le vignettage naturel, inhérent à toutes les lentilles, découle d’une loi physique appelée loi
en cos4Θ qui décrit la diminution naturelle de l’éclairement (illumination falloff en anglais) du
plan image en fonction de l’angle Θ par rapport à l’axe optique.
L'angle Θ considéré est celui que fait le faisceau lumineux tombant dans l'objectif avec l'axe
de ce dernier (axe optique).
Si les rayons arrivent dans l'axe, l'angle est nul, son cosinus vaut 1 et il n'y a pas
d'affaiblissement. Pour un angle non nul, par exemple 20°, le cosinus vaut 0,94 et en l'élevant
à la puissance 4, on trouve 0,78, ce qui correspond à une perte relativement modérée. En
revanche, pour un angle de 45°, cette valeur tombe à 0,25 et l'éclairement produit est donc 4
fois plus faible que pour les rayons axiaux, ce qui correspond à la fermeture du diaphragme
de deux crans.
4
2
cos
TL A
E
Q
Θ
Θ
Θ
=

20. La figure ci-dessous représente la variation de l'éclairement selon la diagonale d'un format 24
x 36, pour différentes valeurs de la distance focale.
La perte de luminosité dans les angles est pratiquement nulle avec les téléobjectifs puissants,
puisque tous les rayons lumineux servant à former l'image sont paraxiaux (peu inclinés par
rapport à l'axe optique).
Pour les objectif de très courte focale, capables de capter des rayons très obliques, la perte est
en revanche considérable, au point de rendre nécessaire le recours à certains subterfuges.
Les objectifs grand angulaires sont a priori ceux qui posent le plus de problèmes ; ils imposent
parfois aux opticiens de réaliser de véritables exploits pour limiter ce défaut.

21. 4.2 Vignettage optique
Le faisceau lumineux qui traverse un objectif est toujours limité par diverses ouvertures qui
peuvent être les barillets des montures des lentilles ou, bien sûr, le diaphragme.
Le diaphragme n'intervient pas lorsque l'objectif est utilisé à son ouverture maximale et c'est
dans ces conditions que le vignettage optique est le plus important. Le vignettage optique est
donc surtout marqué à pleine ouverture et diminue lorsque l’on diaphragme. Le vignetage
optique est plus important pour les objectifs grands angles et les zooms.
Le vignettage optique s'ajoute au vignettage naturel mais en fermant le diaphragme d'un ou
deux crans, les montures des lentilles n'interviennent plus et le vignettage optique disparaît
alors complètement.
Le vignettage optique trouve son origine dans le fait que la pupille d’entrée de l’objectif n’est
pas la même pour un point objet situé dans l’axe de l’objectif et un point objet situé hors axe :
en quelque sorte, on pourrait dire que les montures des lentilles avant font de l'ombre aux
lentilles arrières et donc réduisent la transmission des rayons obliques.

22. 4.3 Vignettage mécanique
Le vignettage mécanique ou effet de silhouettage provient surtout de l’ajout d’un élément
mécanique (comme un pare-soleil, un filtre) devant l’objectif qui crée un obstacle devant la
pupille d’entrée de l’objectif pour les rayons incidents fort obliques. Comme le vignettage
optique, le vignettage mécanique diminue lorsque l’on diaphragme.
Ce type de vignettage se produit lorsque les rayons obliques sont interceptés, volontairement
ou non, par un élément étranger à l'objectif et situé devant lui.
Le vignettage mécanique a un effet beaucoup moins progressif que les autres,
particulièrement lorsque le diaphragme est très fermé, auquel cas la transition est très
abrupte.
Les causes en sont multiples : montage d'un filtre de trop
faible diamètre ou trop épais, montage d'un empilement de
filtres, pare-soleil mal adapté ou cache disposé là de façon
intentionnelle en vue de provoquer un assombrissement des
bords, avec par exemple un effet « trou de serrure ».

23. Un objectif Distagon 28/2 sans et avec le
pare-soleil Contax.
Photo réalisée avec le Distagon 28/2
muni du pare-soleil Contax. Le pare-
soleil engendre un vignettage
mécanique.
Origine et effet du vignettage mécanique

24. 4.4 Vignettage dû à la surface sensible
Dans le cas des films, d'autres effets viennent s'ajouter à l'assombrissement des bords. D'une
part, les rayons obliques sont davantage réfléchis sur la surface que les rayons axiaux, d'autre
part ils doivent traverses une épaisseur plus grande de gélatine, dans la couche de protection,
avant d'arriver aux cristaux sensibles. Ces phénomènes, sauf cas particuliers, sont
habituellement considérés comme de peu d'importance par rapport aux autres causes de
vignettage et il n'existe d'ailleurs aucun moyen de les corriger.
Dans le cas des capteurs numériques, il en va tout autrement. Le phénomène de variation de
la réflexion en fonction de l'angle est plus important que pour les films, car les surfaces des
capteurs sont plus brillantes, mais surtout l'éclairement des photosites varie beaucoup avec
l'angle d'incidence.
Pour comprendre ce phénomène, on peut s'imaginer que les capteurs sont constitués d'un
ensemble de boîtes cubiques sans couvercle et dont les fonds constituent les surfaces
sensibles. Si ces boîtes ne reçoivent que des rayons axiaux ou paraxiaux, leurs fonds sont bien
éclairés mais il n'en est pas de même si elles reçoivent des rayons obliques car l'ombrage
provoqué par les parois latérales devient très vite important.

25. Le logiciel de traitement d'images embarqué dans la plupart des appareils compacts
numériques tient compte de ce phénomène lorsqu'il produit une image JPEG ou TIFF à partir
des données du capteur.
Pour les appareils reflex c'est un peu plus compliqué en raison des changements d'objectifs et
donc des variations possibles des angles d'incidence sur la périphérie de l'image. Dans les
capteurs des générations les plus récentes, les fabricants s'efforcent de rapprocher les
éléments sensibles de la surface pour éviter ou minimiser ces effets d'ombrage ; l'adjonction
de micro-lentilles permet aussi de concentrer la lumière aux endroits stratégiques.
Coupe schématique d'un capteur Nikon montrant les microlentilles

26. 4.5 Influence du diaphragme sur les divers types de vignettage
le vignetage naturel est peu sensible aux variations de l'ouverture du diaphragme ;
le vignetage optique diminue et disparaît lorsque l'on ferme le diaphragme d'un ou deux
crans ;
le vignetage mécanique provoque des transitions d'autant plus brutales que le diaphragme
est plus fermé ;
le vignetage dû à la surface sensible est à peu près indifférent au réglage du diaphragme
dans le cas des films, mais il n'y a pas de règle générale dans le cas des capteurs
numériques.

27. 4.6 Mesure du vignettage par les indices de lumination
Le vignetage se mesure en tenant compte de la différence totale de luminosité entre le centre
et les bords de l'image.
Cette mesure n'a de sens que si l'on considère la surface effectivement enregistrée. Par
exemple, un objectif Canon EF conçu pour le format 24 x 36 mm peut être monté devant un
capteur dit « APS-C » à peu près deux fois moins étendu et qui n'enregistrera que la zone
centrale de l'image, là où le vignettage est le plus faible.
Le résultat de la mesure sera donc très différent selon le cas : un objectif médiocre du point de
vue du vignettage devant un film 24 x 36 sera peut-être très bon devant un capteur demi-
format.
Il est commode de chiffrer le vignettage en utilisant les indices de lumination (IL) pour
quantifier l'écart entre lez zones les plus sombres et les plus claires, donc entre les coins et le
centre des images.
On admet communément qu'un vignettage de 0,1 IL est sans effet pratique. Ce phénomène
devient nettement visible à partir de 0,3 IL et franchement gênant à 1 IL et au-delà. Rappelons
que 1 IL correspond à une division ou une multiplication par 2, et correspond donc à une
division de diaphragme en plus ou en moins.

28. Sur ces schémas, M désigne un obstacle, par exemple une monture, PE la pupille d’entrée de
l’objectif (c’est-à-dire l’image du diaphragme iris).
le point objet C participe complètement à l’image puisque tous les rayons qui s’appuient sur
la pupille PE peuvent passer par M : on dit qu’il appartient au champ de pleine ouverture.
le point objet D participe partiellement à l’image (effet de silhouettage) puisque certains
rayons qui s’appuient sur la pupille PE sont bloqués par M : on dit qu’il appartient au champ de
contour. Le point image de D sera plus sombre.
le point objet E ne participe plus à l’image comme tous les rayons sont bloqués par M
(vignettage mécanique).
5 Vignettage optique et mécanique (silhouettage et champ de contour)

29. Naturellement, on réduit l’effet de silhouettage en diaphragmant.
Le champ total est formé du champ de pleine ouverture et du champ de contour.

30. Origine du vignettage optique : l’effet œil de chat pour les points objets situés hors-axe. On
voit que cet effet augmente si le diaphragme est fort ouvert (figures de gauche).

31. Le vignettage optique trouve son origine dans la
longueur physique d’un objectif.
Les rayons incidents obliques sont interceptés
par les bords des lentilles, qui délimitent une
pupille d’entrée en forme d’œil de chat (cat’s
eye).
On peut observer ci-contre en blanc les pupilles
d’entrée associées à chaque lentille et l’œil de
chat (en sombre) qui en résulte.

32. Dans un système optique à deux diaphragmes prépondérants (on suppose que les autres
diaphragmations ne jouent pas), le calcul du champ de pleine lumière s'effectue de la
manière suivante :
Les diaphragmes sont ramenés dans le même espace, espace image, par exemple.
La pupille est le conjugué objet ou image du D.O vu sous le plus petit angle depuis le centre du
champ image (point A).
La lucarne est le conjugué objet ou image du diaphragme de champ
Le bord du champ de pleine lumière (point B) s'obtient en cherchant l'intersection avec le plan
image, la plus proche du centre du champ, du rayon joignant le bord de la pupille et le bord
de la lucarne (dans le même espace : objet, image ou intermédiaire).
Pour un point hors du champ de pleine lumière (point C, par exemple), les rayons issus de la
pupille convergents en C sont en partie obturés par la lucarne, la diaphragmation est en « œil
de chat ».

35. 6 Loi en cos4 du vignettage naturel
6.1 Introduction
Dans le cas idéal (c’est-à-dire si le vignettage optique est nul, ce qui est possible en fermant
assez le diaphragme), la perte d’éclairement du film pour un point P, incliné d’un angle α par
rapport à l’axe optique de l’objectif, varie en fonction de la quatrième puissance du cosinus de
l’angle α.
Cette loi porte le nom de loi en cos4 du vignettage naturel.
Si le vignettage optique v n’est pas nul, le coefficient de vignettage total vaut donc :
4
.cos
P O
E E α
÷
4
.cos
total
v v α
=

36. Effet de l’ouverture sur le vignettage naturel et comparaison avec le vignettage théorique

37. Comparaison du vignettage de deux objectifs grands angulaires, pour diverses ouvertures. On
voit que la perte d’éclairement par vignettage augmente lorsque l’objectif est plus ouvert.

38. 6.2 étude théorique du vignettage naturel dans l’approximation de la lentille mince
Raisonnons dans un premier temps en assimilant l’objectif à une lentille mince, munie d’un
diaphragme circulaire collé à la lentille. Dans ce cas, le diaphragme, la pupille d’entrée et la
pupille de sortie de l’objectif coïncident.

39. Considérons un objet plan, situé à une distance objet P de la lentille.
Comme la pupille d’entrée est confondue avec la lentille, la distance R de l’objet à la pupille
d’entrée vaut donc aussi P (distance de mise au point).
Par définition de la luminance LΘ, un élément infinitésimal de cet objet, d’aire a, formant un
angle Θ avec l’axe de la lentille envoie dans la direction du centre de la pupille d’entrée une
intensité lumineuse IΘ donnée par :
Quel flux lumineux issu de l’élément infinitésimal va entrer dans l’objectif ?
Par définition de l’intensité lumineuse, ce flux vaut :
où ω est l’angle solide, dont le sommet est l’élément infinitésimal d’aire a de l’objet et
s’appuyant sur la surface de la pupille d’entrée.
Par définition de l’angle solide, il vaut approximativement :
où A’ est la surface de la pupille d’entrée, projetée dans la direction de l’élément infinitésimal
de l’objet et R’ est la distance de l’élément infinitésimal objet au centre de la pupille d’entrée.
cos
I L a
Θ Θ
= Θ
I ω
Θ
Φ =
2
'
'
A
R
ω =

40. Soit A la surface de la pupille d’entrée.
La surface A’ de la projection de la pupille d’entrée dans la direction de l’élément infinitésimal
de l’objet vaut :
De la même manière, on peut relier les distances R et R’ par :
Donc, on obtient, pour l’angle solide ω, en remplaçant A’ et R’, l’expression :
Le flux lumineux Φ provenant de l’élément infinitésimal de l’objet et entrant par la pupille
d’entrée, vaut donc :
' cos
A A
= Θ
'
cos
R
R =
Θ
3
2 2
' cos
'
A A
R R
ω
Θ
= =
4
2
cos
L aA
I
R
ω Θ
Θ
Θ
Φ = =

41. Nous devons maintenant déterminer l’aire infinitésimale a’ de l’élément d’image qui
correspond à notre élément infinitésimal objet, d’aire a.
Le grandissement m du système vaut tirage sur distance de mise au point, donc :
Donc, l’élément image infinitésimal correspondant à l’élément infinitésimal objet a une aire a’
reliée à la surface a de l’objet par :
Le flux lumineux Φ’ reçu par cet élément infinitésimal de l’image est égal au flux lumineux
entrant Φ par la pupille, issu de l’élément infinitésimal objet, multiplié par la transmittance T
de la lentille, donc l’éclairement correspondant à cet élément de l’image vaut :
ou encore, comme dans notre approximation de l’objectif par une lentille mince P=R,
l’éclairement du film dans la direction Θ vaut :
Q
m
P
=
2
2
2
'
Q
a m a a
P
= =
2 4
2 2
cos
'
' '
TL P A
T
E
a a R Q
Θ
Θ
Θ
Φ Φ
= = =
4
2
cos
TL A
E
Q
Θ
Θ
Θ
=

42. On peut reformuler cette décroissance de l’éclairement sous la forme :
où E0 est l’éclairement produit par un point objet situé sur l’axe de la scène, de luminance
dans l’axe L0, EΘ est l’éclairement produit par un point objet situé hors de l’axe de la scène, de
luminance LΘ.
Insistons sur le fait que dans cette dérivation, l’angle, noté ici ΘN est mesuré dans l’espace
objet.
4
0 0
/
cos
/
Θ Θ
= ΘN
E L
E L

43. 6.3 généralisation à un objectif réel
Lorsque l’on envisage un objectif réel, et plus simplement une lentille mince, les pupilles
d’entrée et de sortie ne sont plus confondues.
Dans ce cas, l’angle mesurant la position d’un point objet situé hors axe (vu depuis le centre de
la pupille d’entrée) ne correspond plus à l’angle mesurant la position de l’image de ce point (vu
depuis le centre de la pupille de sortie) dans tous les cas.
En fait, ces angles restent égaux tant que les pupilles d’entrée et de sortie se trouvent dans les
plans principaux (mais ce n’est pas toujours le cas pour les objectifs).
Une étude théorique générale du phénomène de vignettage naturel est donc beaucoup plus
complexe.

44. On trouve dans la littérature différentes formules pour le vignettage naturel, mais aucune
n’est parfaitement justifiée sur le plan théorique, et ne rend compte du vignettage naturel
observé dans le cas idéal.
On trouve par exemple :
où ΘX correspond cette fois à l’angle mesurant la position de l’image d’un point hors-axe
(mesuré dans l’espace image, depuis le centre de la pupille de sortie de l’objectif). Cette
formule est un peu plus précise que la formule dérivée précédemment.
On trouve encore une formule intermédiaire :
4
0 0
/
cos
/
Θ Θ
= ΘX
E L
E L
3
0 0
/
cos cos
/
Θ Θ
= Θ Θ
N X
E L
E L

45. 4
2
cos
TL A
E
Q
Θ
Θ
Θ
=
7 Expression générale de la lumination
L’expression générale de l’éclairement de la surface sensible produit par un objectif de
transmittance T, de pupille d’entrée A, mis au point à un tirage Q sur un sujet de luminance LΘ
dans la direction Θ de l’espace sujet vaut donc :
Dans l’axe, c’est-à-dire si Θ=0, si on assimile la pupille d’entrée à un disque d’aire :
cette expression se réduit à celle trouvée dans le chapitre 5 :
ou encore, en assimilant le tirage p’=Q à la focale :
2 2
2
'
4 4
D f
A
n
π π
= =
2
' .
4 '
D
E T L
f
π  
=  
 
2
' .
4 '
D
E T L
p
π  
=  
 

46. 2 2
4 4
2 2 2 2
. . . . . ' . . . '
.cos avec q= . . .cos
4 ' ' 4
f f
T v L t f q L t f
H H H T v
n p n p
π π
θ θ
= + = +
où T est la transmittance de l’objectif, v le facteur de vignettage optique, θ l’angle du point
image par rapport à l’axe optique, p’ la distance image ou tirage, f’ la focale de l’objectif, L la
luminance de la scène, t la vitesse d’exposition, n le nombre d’ouverture de l’objectif et Hf
l’exposition flare dans le plan focal.
En tenant compte du vignettage naturel et du vignettage optique, l’exposition ou lumination H
de la surface sensible est donc liée à la luminance moyenne L de la scène par la formule :
Quand la caméra est mise au point sur
l’infini, Hf H, T = 9/10, θ = 10°, cos4 θ
= 94/100, et v = 98/100, donc q est égal
à 65/100
Pour un sujet et un objectif donné, l’exposition lumineuse du film (ou du capteur) dépend
donc de deux variables conjuguées, le nombre d’ouverture de l’objectif (n), facteur
géométrique qui fixe l’éclairement du film, et le temps d’obturation ou vitesse (t).