1. GUIA DE ESTUDIO PARA ESTADISTICA INFERENCIAL
2.1 Distribuciones de Probabilidad.
Pag web de apoyo
https://static1.squarespace.com/static/526e85b4e4b09c47421bd159/t/5876555620099e329ddde
427/1484150105476/T13DISPROBb.pdf
Introducción
Antes de adentrarnos en el tema de las distribuciones de probabilidad existen un conjunto
de conceptos que debemos tener muy claro.
Variable Aleatoria: Con frecuencia es útil resumir con un número el resultado de un
experimento aleatorio. La variable que asocia un número con el resultado de un
experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.
Otra forma de definir variable aleatoria es decir que:
“Es aquella que toma diferentes valores como resultado de un experimento
aleatorio”
“Matemáticamente, una variable aleatoria es una función que asigna un número real
a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio”
Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y con una letra
minúscula, como x, el valor posible de X.
Ejemplos de Variables Aleatorias.
En cada uno de los ejemplos, determine el espacio muestral, la variable aleatoria y cuáles
son posibles valores que toma.
Se analiza una muestra de 5 celulares, se quiere observar cuántos poseen una avería
interna en las baterias.
Una empresa posee un sistema de comunicación por voz de 30 líneas, se estudia el
número de líneas ocupadas en cualquier momento.
Hay que contar la cantidad de minutos que esperan para ser atendido en un Banco, por
todos los clientes que ingresaron el mes de mayo.
2. 2.2.- Variables Aleatorias Discretas y Continuas.
Si la variable aleatoria sólo puede tomar un valor de un conjunto limitado de valores,
entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, sí se puede tomar cualquier
valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.
2.3.- Distribución de Probabilidad.
Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una descripción del
conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada a c/u de estos valores.
Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:
Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas
Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables continúas.
El estudio de las Distribuciones de probabilidad por si solo es una materia. En esta guía
vamos a trabajar con las más importantes. Dentro de las discretas analizaremos la
distribución Poisson y en las Continuas la Distribución Normal.
3. Función de probabilidad Función de densidad de probabilidad
Matemáticamente, es la función P(X=x)
que va desde el conjunto posible de los
valores de la variable discreta X al
intervalo[0,1]
Matemáticamente, es aquella función
de una variable aleatoria continua X
que cumple las siguientes condiciones:
Propiedades: Propiedades:
1. P(X = x) ≥ 0 1. ----------
2. P(X = x) =1 2.
1
f(x)dx
3.
b
a
)
x
P(X
)
b
X
a
(
P 3.
b
a
f(x)dx
)
b
X
a
(
P
4.
a
0
)
x
P(X
)
a
X
(
P 4. ----------
2.4 PARAMETROS DE UNA DISTRIBUCION
https://www.youtube.com/watch?v=oB48B-WUwJk
VALOR ESPERADO
El valor esperado de una variable aleatoria es el equivalente a la media o promedio aritmético, que se utiliza
para identificar el valor central de la variable aleatoria.
Matemáticamente, se define:
x.P(x)
E(x)
μX , para variables discretas
x.f(x)dx
E(x)
μX , para variables continua
VARIANZA
Medida de la dispersión (de la desigualdad) de los valores de la variable aleatoria respecto a la
media.
𝝈𝟐
= ∑(𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐
. 𝒑𝒊 =
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒙𝒊
𝟐
.
𝒏
𝒊=𝟏
𝒑𝒊 − 𝝁𝟐
DESVIACION ESTANDAR
Raíz cuadrada positiva de la varianza.
𝝈 = √∑(𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐. 𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
4. Cálculo del Valor Esperado
https://www.youtube.com/watch?v=pMozll4vm8M
Ejemplo 1
El Hub de la figura posee desperfectos en sus puertos, el número de puertos
que fallan y sus respectivas probabilidades se muestran en el cuadro de
abajo. Determine el valor esperado del número de puertos que fallan.
SOLUCION
Como la variable es discreta, aplicamos la fórmula:
x.P(x)
E(x)
0.10
16
0.10
12
0.15
8
0.20
4
0.45
2
E(x)
E(x) 5.7 puertos que fallan en promedio.
RESPUESTA: El valor esperado de número de puertos que fallan es de 5.7
Ejemplo 2
El número de motos de cuatro ruedas solicitadas en renta
en una caseta de alquiler de motos en las orillas del río
Piraí durante un periodo de 50 días se identifica en la
tabla siguiente:
a) Construir la función de probabilidad.
b) Determinar el valor esperado.
c) Graficar la función de probabilidad
d) Determinar la Probabilidad que se alquilen :
i. Exactamente 5 motos
ii. Tres o más motos
iii. Menos de 6 motos
iv. Por lo menos 5 y menos de ocho motos
v. Entre 3 y 5 motos
e) Determinar la varianza
f) Determinar la desviación estándar
x 2 4 8 12 16
P(x) 0,45 0,20 0,15 0,10 0,10
Demanda( X) Número de días
3
4
5
6
7
8
6
10
15
9
6
4
5. a) FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Se elabora un cuadro calculando la probabilidad de demanda diaria y luego se calcula el
valor esperado:
N° de
días
Demanda (X) Probabilidad P(X) Valor Esperado[X*P(X)]
6
10
15
9
6
4
3
4
5
6
7
8
0.12
0.20
0.30
0.18
0.12
0.08
0,36
0,80
1,50
1,08
0,84
0,64
1.00 E(X) = 5,22
b) El valor esperado es 5,22 motos.
c) Graficar
P
d) Determinar la Probabilidad que se alquile :
i) Exactamente 5 motos
P (X = 5)= 0.30 -30%
ii) Tres o más motos
P(X ≥ 3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) +P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=
= 1 100%
iii) Menos de 6 motos
P(X < 6)= 𝑃(𝑋 ≤ 5) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=
= 0.12+0.20+ 0.30=0.62 -62%
12% +20% ( evitar suma de porcentajes)
iv) Por lo menos 5 y menos de ocho motos
P (5 ≤ X < 8)= P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=0.30+0.18+0.12 =0.60-60%
v) Entre 3 y 5 motos
P (3 < X < 5)= P(X=4)= 0.20 20%
0.3
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0 3 4 5 6 7 8 X
6. N° de días
Demanda
P(xi) xi * P(xi) (xi – u)2
* P(xi)
(xi)
6 3 6/50= 0.12 0.12*3=0.36 (3- 5.22)2
*0.12=0.59
10 4 0.2 0.8 0.29768
15 5 0.3 1.5 0.01452
9 6 0.18 1.08 0.109512
6 7 0.12 0.84 0.380208
4 8 0.08 0.64 0.618272
50 TOTAL 5.22 2.010192
Varianza =2.01 motos2
Desv estándar = √2.01 =1.42 motos
Interpretacion: se estima que la variabildad del numero de motos que se alquilan es de 1.42
