Modèle d'examen national 2 - 2022 - filières sciences mathématiques A et B - Dr Karam Ouharou

1. Modèle d'examen national N°2 en sciences mathématiques
Matière : Sciences Mathématiques
Filières : Sciences Mathématiques A et B
Durée : 4 heures
Dr. Karam Ouharou
é ℂ é 𝑍2
− (5 − 7𝑖)𝑍 − 6 − 13𝑖 = 0
è é (𝑂
⃗ ; 𝑢
⃗ ; 𝑣) è
𝐴, 𝐵 𝐶 𝑎 = 1 − 2𝑖; 𝑏 = 4 − 5𝑖 𝑐 = 4 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑐−𝑎
𝐴𝐵𝐶
é 𝐷 é
𝑅 𝐴 𝐵 𝐶
é
𝜋
2
𝑅 𝑅 é 𝑍′
=
𝑖𝑍 − 1 − 3𝑖
𝑀′
𝑀 𝑅 ′) ⊥ (𝐵𝑀)
(𝐴) On rappel que (𝑀2(ℝ), +, 𝑥) est un anneau unitaire et (𝑀2(ℝ), +,⋅) un espace vectoriel réel. on
considère l’ensemble
𝐸 = {𝑀(𝑥, 𝑦) = (
𝑥 + 𝑦 𝑦
0 𝑥 + 𝑦
) /(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
} et on pose 𝐽 = (
1 1
0 1
)
I. a) montrer que (𝐸, +) est un groupe commutatif
b) montrer que (𝐸, +,⋅) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension
II. a) vérifier que 𝐽2
= −𝐼 + 2𝐽 et déduire que 𝐸 est stable dans (𝑀2(ℝ, 𝑥))
b) montrer que (𝐸, +,×) est un anneau unitaire. est-il commutatif ?
(𝐵) dans l’anneau unitaire (𝑀3(ℝ), +, 𝑥) on considère 𝐴 = (
−1 1 0
0 −1 0
0 0 −1
)
III. a) Calculer 𝐴2
et vérifier que 𝐴2
+ 2𝐴 + 𝐼 = 𝜃. 𝜃 est la matrice nulle
b) déduire que 𝐴 admet un inverse que l’on déterminera

2. IV. montrer que (∀𝑛 ≥ 2)𝐴𝑛
= (−1)𝑛−1
(𝑛𝐴 + (𝑛 − 1)𝐼) ( I la matrice unitaire)
Exercice 3 :
Soit 𝑝 un nombre premier tel que 𝑝 ≥ 3 et (𝑛, 𝑎) un couple de ℕ∗
× ℤ
(𝑎 ≡ 1[𝑝𝑛] 𝑎 ≡ −1[𝑝𝑛]) ⇒ (𝑎2
≡ 1[𝑝𝑛])
𝑎2
≡ 1[𝑝𝑛]
𝑝 ∣ 𝑎 − 1 𝑝 ∣ 𝑎 + 1
𝑝 ∣ 𝑎 − 1 (𝑎 + 1) ∧ 𝑝 = 1
é 𝑎 ≡ 1[𝑝𝑛] 𝑎 ≡ −1[𝑝𝑛]
é ℕ∗
l’é 121
̅̅̅̅̅(𝑥)
≡ 1[125]
Exercice 4 :
Partie A
𝑓 é 𝑓(𝑥) =
𝑒2𝑥
𝑒𝑥+1
é (𝐶𝑓)
𝑓′
(𝑥) é 𝑓
(𝐶𝑓)
𝑓 ℝ ℝ∗+
è é é é 𝑓−1
é 𝑓−1
(𝑥) 𝑥 ℝ∗+
𝜆 é ℝ∗
𝑆𝜆 é (𝐶𝑓) è
é 𝑥 = 𝜆 𝑆𝜆 é lim𝜆→−∞ 𝑆𝜆
𝑛 𝑥 ℝ−
𝐹
𝑛(𝑥) = ∫
0
𝑠
𝑒𝑛𝑡
𝑒𝑡 + 1
𝑑𝑡
𝐹1(𝑥) é lim𝑥→−∞ 𝐹1(𝑥) = ln 2
é lim𝑥→−∞ 𝐹2(𝑥)
(∀𝑛 ∈ ℕ∗) 𝐹𝑛+1(𝑥) + 𝐹𝑛(𝑥) =
1
𝑛
(1 − 𝑐𝑛𝑥)

3. é 𝐹𝑛 −∞
𝑅𝑛 = lim𝑥→−∞ 𝐹
𝑛(𝑥)
(∀𝑡 ≤ 0)2𝑒𝑡
≤ 1 + 𝑒𝑡
≤ 2
(∀𝑛 ≥ 2)(∀𝑥 ∈ ℝ−)
1
2𝑛
(1 − 𝑒𝑛𝑥) ≤ 𝐹
𝑛(𝑥) ≤
1
2(𝑛−1)
(1 − 𝑒(𝑛−1)𝑥
)
é 𝑅𝑛
𝐺𝑛(𝑥) = (−1)𝑛
∫𝑥
0
𝑒𝑛𝑡
𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑒ℝ∗
𝐺𝑛(𝑥) lim𝑥→−∞ 𝐺𝑛(𝑥) =
(−1)𝑛
𝑛
(∀𝑛 ≥ 2)∑𝑘=1
𝑘=𝑛
𝐺𝑘(𝑥) = −𝐹1(𝑥) + (−1)𝑛
𝐹𝑛+1(𝑥)
soit(𝑈𝑛)𝑛 é 𝑈𝑛 = ∑𝑘=1
𝑘=𝑛
(−1)𝑘
𝑘
a) montrer que 𝑈𝑛 = ln 2 + (−1)𝑛+1
𝑅𝑛+1
b) montrer que (𝑈𝑛)𝑛 est convergente en déterminant sa limite.
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