2015.07.26に行われたベイズ塾の発表資料です。

1. ガンマ分布
gamma distribution
魁!!広島ベイズ塾 掴め！分布感 編 (2015.07.26)
山根 嵩史(飯炊き兵)

2. ガンマ分布とは
レポート問題 (豊田先生ベイズ本 p.60)
単位時間あたりに提出されるレポートの数
⇒ ポアソン分布
始めてレポートが提出されるまでの時間
⇒ 指数分布
50人分のレポートが提出されるまでの時間
⇒ ガンマ分布
W大学の統計学の授業では，毎週，授業内レポートが課されます。 (中略)
提出時における10秒間あたりの平均提出者数は0.8人でした。学生は50人いま
す。長すぎず短すぎない執筆時間を用意したいのですが，それは何分間と見
積もればよいのでしょうか。

3. ガンマ分布とは
早く一号生になりたい
早く一号生になりたい
早く一号生になりｔ
単位時間あたりに流れる流れ星の数
⇒ ポアソン分布
流れ星が初めて観測されるまでの時間
⇒ 指数分布
流れ星がα個観測される
までの時間
⇒ ガンマ分布
ガンマ分布 = 母数λの指数
分布に従う事象がα回生じる
までの時間の分布 他にも交通事故数，スペルミス回数など

4. ガンマ分布の確率密度関数
母数λの指数分布に従うα個の独立な確立変数の和X
𝛼：形状母数
𝜆：尺度母数 β などの場合には = 1/ 𝜆
αが大きくなる，あるいはβが小さくなるにつれて，期待値と分散が増加
λを変動させた場合 αを変動させた場合

5. どんな時に使える？
先ほどのレポート問題を解いてみる
単位時間(10秒)あたりの平均提出者数0.8人 λ = 0.8
学生の人数50人 α = 50
平均62.5，中央値62.1
※1単位 = 10秒
50人全員が提出するまでに
約10分25秒！！
62.5

6. どんな時に使える？
コワイ本の事例
The seven scientists
7人の科学者の能力に関するデータ
分散(λi)の無情報事前分布として(0.001,0.001)のガンマ
分布設定
出典：『Bayesian Cognitive Modeling』

7. どんな時に使える？
Change detection in time series data
あるタイミング(ti)で認知課題の成績が変動する(μ1→μ2)
ようなデータ
分散(λ)の無情報事前分布として(0.001,0.001)のガンマ
分布設定

8. アーラン分布
形状母数αが整数値であるガンマ分布は，特にアーラン分
布と呼ばれる
数学者Agner K. Erlangが待ち行列理論において顧客の待ち
時間を計算するために用いた分布
※待ち行列理論
顧客の窓口への到着，提供されるサービス
サービスを待つ顧客の行列などから，
平均待ち時間などの混雑の程度を評価する
物売るってレベル
じゃねーぞ！

9. 他の分布との関係

10. 分析例：流れ星問題2
流れ星問題2 (豊田先生ベイズ本 p.148)
50分間流れ星を観測したH君は，あと３つお願い事があることを思い出しま
した。今から流れ星を３つ観測するためにはどれくらい待てばよいでしょう
か。
運が良ければ20分未満
運が悪ければ1時間以上

11. 参考文献・サイト
・Michael D. Lee , Eric-JanWagenmakers (2014) 『Bayesian Cognitive Modeling:
A Practical Course』 Cambridge University Press
・R Financial & Marketing Library F.2.11. ガンマ分布
http://itbc-world.com/home/rfm/
・豊田 秀樹(2015) 『基礎からのベイズ統計学 ハミルトニアンモンテカルロ
法による実践的入門』 朝倉書店
・Univariate Distribution Rerationship http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/
UDR/UDR.html
・wikipedia ガンマ分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ分布
・wikipedia アーラン分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/アーラン分布
・weblio 待ち行列モデル http://www.weblio.jp/content/待ち行列モデル