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ガンマ分布 @魁!!広島ベイズ塾

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2015.07.26に行われたベイズ塾の発表資料です。

Publié dans : Données & analyses
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ガンマ分布 @魁!!広島ベイズ塾

  1. 1. ガンマ分布 gamma distribution 魁!!広島ベイズ塾 掴め!分布感 編 (2015.07.26) 山根 嵩史(飯炊き兵)
  2. 2. ガンマ分布とは レポート問題 (豊田先生ベイズ本 p.60) 単位時間あたりに提出されるレポートの数 ⇒ ポアソン分布 始めてレポートが提出されるまでの時間 ⇒ 指数分布 50人分のレポートが提出されるまでの時間 ⇒ ガンマ分布 W大学の統計学の授業では,毎週,授業内レポートが課されます。 (中略) 提出時における10秒間あたりの平均提出者数は0.8人でした。学生は50人いま す。長すぎず短すぎない執筆時間を用意したいのですが,それは何分間と見 積もればよいのでしょうか。
  3. 3. ガンマ分布とは 早く一号生になりたい 早く一号生になりたい 早く一号生になりt 単位時間あたりに流れる流れ星の数 ⇒ ポアソン分布 流れ星が初めて観測されるまでの時間 ⇒ 指数分布 流れ星がα個観測される までの時間 ⇒ ガンマ分布 ガンマ分布 = 母数λの指数 分布に従う事象がα回生じる までの時間の分布 他にも交通事故数,スペルミス回数など
  4. 4. ガンマ分布の確率密度関数 母数λの指数分布に従うα個の独立な確立変数の和X 𝛼:形状母数 𝜆:尺度母数 β などの場合には = 1/ 𝜆 αが大きくなる,あるいはβが小さくなるにつれて,期待値と分散が増加 λを変動させた場合 αを変動させた場合
  5. 5. どんな時に使える? 先ほどのレポート問題を解いてみる 単位時間(10秒)あたりの平均提出者数0.8人 λ = 0.8 学生の人数50人 α = 50 平均62.5,中央値62.1 ※1単位 = 10秒 50人全員が提出するまでに 約10分25秒!! 62.5
  6. 6. どんな時に使える? コワイ本の事例 The seven scientists 7人の科学者の能力に関するデータ 分散(λi)の無情報事前分布として(0.001,0.001)のガンマ 分布設定 出典:『Bayesian Cognitive Modeling』
  7. 7. どんな時に使える? Change detection in time series data あるタイミング(ti)で認知課題の成績が変動する(μ1→μ2) ようなデータ 分散(λ)の無情報事前分布として(0.001,0.001)のガンマ 分布設定
  8. 8. アーラン分布 形状母数αが整数値であるガンマ分布は,特にアーラン分 布と呼ばれる 数学者Agner K. Erlangが待ち行列理論において顧客の待ち 時間を計算するために用いた分布 ※待ち行列理論 顧客の窓口への到着,提供されるサービス サービスを待つ顧客の行列などから, 平均待ち時間などの混雑の程度を評価する 物売るってレベル じゃねーぞ!
  9. 9. 他の分布との関係
  10. 10. 分析例:流れ星問題2 流れ星問題2 (豊田先生ベイズ本 p.148) 50分間流れ星を観測したH君は,あと3つお願い事があることを思い出しま した。今から流れ星を3つ観測するためにはどれくらい待てばよいでしょう か。 運が良ければ20分未満 運が悪ければ1時間以上
  11. 11. 参考文献・サイト ・Michael D. Lee , Eric-JanWagenmakers (2014) 『Bayesian Cognitive Modeling: A Practical Course』 Cambridge University Press ・R Financial & Marketing Library F.2.11. ガンマ分布 http://itbc-world.com/home/rfm/ ・豊田 秀樹(2015) 『基礎からのベイズ統計学 ハミルトニアンモンテカルロ 法による実践的入門』 朝倉書店 ・Univariate Distribution Rerationship http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/ UDR/UDR.html ・wikipedia ガンマ分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ分布 ・wikipedia アーラン分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/アーラン分布 ・weblio 待ち行列モデル http://www.weblio.jp/content/待ち行列モデル

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