Tema de repàs de les derivades a 2n de Batxillerat

1. Tema 2(8): Derivades
1. Definició de derivada
2. Funcions derivades
2.1 Funcions elementals
2.2 Regla de la cadena
2.3 Operacions amb derivades
3. Equacions de la recta tangent i normal a una funció
4. Derivabilitat de funcions

2. 1. Definició de derivada
-La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval?
TVM ([a ,b])=
f (b)− f (a)
b−a
a b
f(b)
f(a)
-La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret)
TVM ([a ,b])=mr
a a+h
f(a+h)
f(a)
f ' (a)=lim
h→ 0
f (a+ h)− f (a)
h
a
f(a)
h h→ 0
f ' (a)=mr
p190: E1,E2, 2 +amb fórmula

3. 2. Funció derivada
2.1 Funcions elementals
p196: 13, 86, 87, 88 no def, E11, 15, 16
2.2 Regla de la
cadena

4. 2. Funció derivada
2.3 Operacions amb derivades
p195: 11, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102...120
[ f (x)+ g(x)]'= f ' (x)+ g ' (x)
[k·f (x)]'=k·f ' (x)
[ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x)
[
f (x)
g(x)
]'=
f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x)
[ g(x)]2
[(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x)

5. 3. Equacions de la recta normal i tangent a una funció
-Equacions de la recta
Vectorial: (x,y) = (a, b) + t·(v1
,v2
)
Paramètriques: x = a + t·v1
y = b + t·v2
Contínua:
General: Ax + By + C = 0
Punt-pendent: y - b = m · (x - a)
Explícita: y = m·x + n
p191: 3 i 4 (t i n), 39, 41, 43, 45, 47, Exercici Sele
x−a
v1
=
y−b
v2
Recta tangent a f(x) en x = a: m = f'(a) a = a b = f(a)
Recta normal a f(x) en x = a: m= -1/f'(a) a = a b = f(a)

6. 4. Derivabilitat de funcions
-Una funció NO és derivable en:
Comprovar en x=-1 de: f (x)=
x+ 1
x2
+ x
a) Punts de discontinuïtat
b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra
i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió.
c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞
d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞
-Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a.
I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a
si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a

7. 4. Derivabilitat de funcions
-Una funció NO és derivable en:
Comprovar en x=-1 de: f (x)=
x+ 1
x2
+ x
a) Punts de discontinuïtat
b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra
i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió.
c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞
d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞
-Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a.
I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a
si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a