Monografia Evarista Matemática 2012

0

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

EVARISTA DE SOUZA SOARES

UM ESTUDO DAS DIFICULDADES ALGÉBRICAS DE ALUNOS DO 8º
ANO DA ESCOLA MUNICIPAL ANTONIO BASTOS DE MIRANDA –
SENHOR DO BONFIM - BA

SENHOR DO BONFIM

2012

1



Monografia apresentada ao Departamento de
Educação da Universidade do Estado da Bahia–
UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para
conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.

Orientador: Prof. Wagner Santana

Senhor do Bonfim

2012

2



APROVADA _______ DE _______________DE 2012.

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________________

Profº. (orientador): Wagner Ferreira de Santana

Universidade do Estado da Bahia- UNEB

________________________________________________

Profª. Alayde Ferreira dos Santos


_________________________________________________

Profª. Elizete Barbosa de Brito


3

Dedicatória.

Dedico a meus pais que tanto me ensinaram aos meus irmãos, sobrinhos, afilhados,
amigos e ao meu esposo Edgar.

4

AGRADECIMENTOS:

Em primeiro lugar agradeço ao meu Deus, que me proporcionou sabedoria
para a concretização deste trabalho.
Muito tenho a agradecer aos meus pais, Joselito e Almerinda, pelo grande
incentivo, apoio e carinho, certamente essa vitória também é deles.
Agradeço aos meus professores, que foram modelos referenciais na minha
formação educacional e na prática da sala de aula. Em especial, aos professores do
curso de MATEMÁTICA, prof. Elizete, prof. Geraldo Caetano, Prof. Mirian Brito, prof.
Alayde, prof. Ivan, e prof. Danton pela dedicação e carinho.
Ao meu orientador Wagner Santana, agradeço de modo especial pelo
incentivo e dedicação, bem como, pela compreensão das minhas limitações.
Agradeço ao Edgar pela força diária, compreensão e apoio constante nesse
período de aperfeiçoamento.
Agradeço aos meus colegas de curso, dentre eles destaco Manuela, Eliene,
Isaac, Aparecida, Nilson, Genilma, Auristela e Galdino que dividiam comigo as
angustias e as alegrias no decorrer do curso.
À minha colega de trabalho Marlúcia Candeias e a seu filho pela ajuda
espiritual assim como na leitura de minhas produções, amiga, obrigada!
Este singelo agradecimento estende-se também aos alunos com os quais tive
a grata satisfação de conviver ao longo da minha atividade docente e que
influenciaram em minha investigação.
A todos que direta ou indiretamente influenciaram para a concretização deste
trabalho, OBRIGADA!

5

“Se realmente entendemos o problema, a
resposta virá dele, porque a resposta não
está separada do problema”.
(Krishnamurt)

6

RESUMO

Este estudo buscou identificar e analisar algumas das possíveis causas das
dificuldades de aprendizagem em álgebra vivenciadas pelos alunos do 8º ano da
Escola Municipal Antonio Bastos de Miranda, localizada no distrito de Missão do
Sahy, Senhor do Bonfim Bahia. Como recursos foram utilizados questionários
contendo questões abertas e fechadas além de um pré-teste, que consistia em
avaliar conceitos básicos da Matemática de modo a adentrar pelas possíveis causas
das dificuldades discentes com relação á álgebra, além de buscarmos detectar quais
seriam essas dificuldades. Os resultados mostraram-nos que existem dificuldades
com relação à linguagem, com relação à interpretação dos enunciados, com relação
á álgebra dissociada da geometria, as possíveis causas detectadas decorreram da
não compreensão de conceitos básicos aritméticos, dificuldade na leitura e
interpretações de enunciados além de não associarem situações vivenciadas em
álgebra com o seu dia a dia. Com isso, espera-se que com esses dados, reflexões
sejam feitas sobre o processo de ensino aprendizagem da álgebra.

Palavras-chave: História da Álgebra; Ensino algébrico; Dificuldade de
aprendizagem;

7

ABSTRACT

This study sought to identify and analyze some of the possible causes of learning
difficulties experienced by students in algebra in 8th year of the Municipal School
Antonio Bastos of the Miranda, located in the Mission Sahy district, Senhor do
Bonfim, Bahia. As resources were used questionnaires containing open and closed
questions as well as a pretest, which was to assess the basic concepts of
mathematics in order to come into the possible causes of the difficulties students with
relationship to algebra, and we seek to detect what these difficulties. The results
showed us that there are difficulties related to language, with respect to the
interpretation of utterances in relation algebra will be separated from geometry, the
possible causes identified arose from not understanding the basic concepts of
arithmetic, difficulty in reading and interpretation of utterances as well as do not
involve situations experienced in algebra with their day to day. Thus, it is expected
that with these data, reflections are made on the process of teaching and learning of
algebra.

Keywords: History of Algebra, Algebraic Education, Learning disabilities;

8

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO......................................................................................................... 10

CAPÍTULO I – PROBLEMATIZAÇÃO......................................................................12
CAPÍTULO II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................ 15
2.1. ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO E SUAS IMPLICAÇÕES HISTÓRICAS....... 15

2.1.1. Um breve enfoque das concepções algébricas e do seu
surgimento............................................................................................17
2.1.2. O surgimento da álgebra .....................................................................18
2.1.3. Implicações para o Ensino algébrico ..................................................20

2.2. DIFICULDADE DE APRENDIZAGEM: UMA ABORDAGEM AOS
ESTUDOS NA ÁREA................................................................................. 23

2.2.1. Pensamento, linguagem e formação de conceitos no processo
aprendizagem: breve enfoque ........................................................... 26
CAPÍTULO III – UMA ABORDAGEM A METODOLOGIA UTILIZADA.................. 29
3.1. Tipo de pesquisa .......................................................................................29
3.2 . Lócus ........................................................................................................30
3.3. Sujeitos da Pesquisa ..................................................................................31
3.4. Métodos Utilizados......................................................................................31
CAPÍTULO IV – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.............................33
4.1. Descrição e análise do questionário ..........................................................33
4.2. Descrição e análise do pré-teste ................................................................39
CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................................................46

REFERENCIAS.........................................................................................................48
ANEXOS ...................................................................................................................52

9

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1- sexo ....................................................................................... 34

GRÁFICO 2 - Idade ..................................................................................... 34

GRÁFICO 3 – Já repetiu o ano por causa da Matemática? ........................ 35

GRÁFICO 4- Justificando porque não gosta de Matemática....................... 35

GRÁFICO 5- Quando não entende o conteúdo o que faz?......................... 36

GRÁFICO 6- Representar algebricamente você considera ........................ 37

GRÁFICO 7- Você acha a álgebra importante em seu dia a dia................. 38

GRÁFICO 8- Representação e resolução algébrica ................................... 40

GRÁFICO 9- Representação da área.......................................................... 41

GRÁFICO 10- representação do perímetro.................................................. 42

GRÁFICO 11- representação algébrica........................................................ 43

GRÁFICO 12- Encontrando valor numérico para a variável x...................... 44

10

INTRODUÇÃO

Esta pesquisa relaciona-se com a Educação Matemática, remetendo a este
estudo problemas envolvendo aprendizagem direcionando a Álgebra. A mesma
baseou-se na busca por respostas quanto às dificuldades discentes no campo
algébrico no Município de Senhor do Bonfim, mais precisamente na Escola
Municipal Antonio Bastos de Miranda, num contexto de duas turmas do 8º ano,
totalizando assim 26 alunos participantes.

A inquietação para este estudo aconteceu no período de estágio enquanto
estudante do curso de Matemática e se concretizou no momento em que assumi
uma turma de 8º ano regendo uma classe. O horror que os conteúdos algébricos
ocasionavam nos alunos, no período citado acima, era inquietante, e a partir daí
iniciou-se os primeiros passos para este estudo.

Dentro dessa perspectiva, este trabalho baseou-se na problemática em
enfoque para buscar compreender quais seriam as causas das dificuldades destes
alunos e quais seriam essas dificuldades com relação à Algebra. Para isso, Autores
como: D’Ambrósio (2005), Baumgart (1992), Boyer (1974), Brasil (1998), Vygotsky
(2001), Fiorentini et al (2004), Garcia (1998) dentre outros, foram utilizados para
fundamentar a nossa pesquisa, auxiliando assim, o nosso objeto de estudo.

Dividimos este trabalho em quatro Capítulos. O capítulo I destaca a causa, o
motivo desta pesquisa, nele justificamos e apresentamos à problemática, bem como,
traçamos os objetivos que incitaram esse estudo.

O capítulo II trata-se da Fundamentação Teórica. Nela, buscamos fazer uma
análise critica sobre o que outros pesquisadores já haviam escrito sobre a temática
para fundamentarmos o nosso trabalho. Está dividida em dois subtítulos. O primeiro
contendo três tópicos tratando da definição do termo álgebra e de um breve enfoque
da história da Álgebra por considerarmos que a História se configura de suma
importância para a compreensão das conjecturas abordadas no ensino da Álgebra.
O segundo refere-se a uma abordagem às dificuldades Matemática com ênfase nos
conceitos e linguagens algébricas.

11

O capítulo III refere-se à Metodologia utilizada, o caminho seguido. Referencia
e expõe os métodos utilizados na busca por respostas, tecemos informações sobre
o lócus, sujeitos da pesquisa, amostras a serem utilizados, fatores essenciais para a
obtenção dos resultados.

No capítulo IV foram analisados e discutidos os dados coletados por meio da
entrevista e do pré-teste representados qualitativamente tomando por base a
fundamentação teórica.

Por fim, nas Considerações Finais, expomos nossas constatações baseadas
nos objetivos propostos, expondo conclusões que puderam ser notadas no decorrer
e na finalização desta pesquisa.

12

CAPÍTULO I
PROBLEMATIZAÇÃO

Ao longo do tempo, a Matemática vem se consolidando cada vez mais na vida
das pessoas, podendo ser notada em diversas situações da vida cotidiana. No
entanto, o ensino-aprendizagem da matemática ainda representa inúmeros
problemas para profissionais da área e alunos, principalmente, quando se refere ao
ensino-aprendizagem da álgebra.

Meira (1996, p. 165) comenta que “um extenso conjunto de pesquisas sobre a
aprendizagem e o ensino da álgebra tem demonstrado as dificuldades de alunos e
também de professores com este campo”.

Não é diferente do que vemos nos relatos de professores e no próprio
discurso de alunos no dia-a-dia escolar. As dificuldades e aversões Matemáticas,
comumente são destacadas nas escolas. Mesmo após muitos trabalhos de
pesquisa, a busca incessante pela qualificação profissional por parte de professores,
o discurso com relação às dificuldades na disciplina de Matemática ainda são
imensas.

Quando se trata de álgebra as discussões se intensificam ainda mais, as
reclamações por parte dos alunos por estarem estudando algo que para eles não
tem significado e por outro lado os professores, queixando-se do não interesse e
posteriormente a não compreensão do que se é trabalhado em sala de aula.

“A introdução da álgebra no cotidiano escolar é um momento de grande
ansiedade para muitos alunos, pois eles são desafiados a abandonar o raciocínio
puramente aritmético e começar a pensar algebricamente”. Borba (2011, p.2)

A álgebra talvez por ser um ramo da Matemática que possui uma linguagem
própria composta de signos e símbolos que requer uma interpretação oral e escrita
na maioria das vezes de forma abstrata, leva os alunos ao baixo rendimento.
Segundo Ponte (2005, p.10) apud Beltrame (2009, p.19) isso se deve porque eles
“não conseguem ver uma letra como representando um número desconhecido e
assim não percebem o sentido de uma expressão algébrica”.

13

Outro fator, que devemos levar em consideração com relação às dificuldades
de aprendizagem e assimilação de conceitos algébricos é com relação à forma como
a álgebra é retratada, ou seja, o modo como os conteúdos são abordados e o meio
cultural dos alunos, pois, os mesmos podem ser fatores de grande influencia nesta
problemática.

Com isso, D’Ambrosio leva-nos a reflexão da necessidade de se abandonar
as teorias “congeladas”, pois segundo o mesmo o Ensino da Matemática tem se
apresentado de forma mecânica desprovendo os alunos a associarem-na com
situações que eles vivenciam na sua vida diária.

A matemática dos sistemas escolares é congelada. São teorias em geral
antigas, desligadas da realidade. Foram concebidas e desenvolvidas em
outros tempos, outros espaços. Será que essa matemática, que chamamos
de acadêmica, é importante para todos os povos? Sem dúvida. A sociedade
moderna não funciona sem essa matemática, a tecnologia moderna não se
aplica sem essa matemática, as teorias científicas não podem ser
trabalhadas sem essa matemática. Mesmo as artes e as humanidades
estão impregnadas dessa matemática (D’Ambrosio 1998. p. 3).

O fato é preocupante, pois Alves (2003, p.24) afirma que quando a
aprendizagem não é incorporada com algo que o aluno ache interessante:

Dentro de pouco tempo quase tudo aquilo que lhes foi aparentemente
ensinado terá sido esquecido. Não por burrice. Mas por inteligência. O
corpo não suporta carregar o peso de um conhecimento morto que ele não
consegue integrar com a vida.

Nesse sentido, a necessidade de uma proposta pedagógica que vise a
resignificação do aprendizado da álgebra faz-se de suma importância, visto que, a
mesma ao longo do tempo tem alcançado um espaço privilegiado nos currículos
escolares e as dificuldades de aprendizagem ainda permanecem.

Assim, diante das situações acima citadas e pela percepção visível da
aversão de muitos estudantes com relação à mesma, além da não compreensão de
seus conceitos e estruturas por parte dos discentes observadas desde o período de
estágio enquanto Licencianda do Curso de Matemática e se concretizando enquanto
professora do Ensino Fundamental, é que surgiu a inquietação de estudo na área da
álgebra. Despertou-nos para buscarmos respostas às problemáticas correlacionadas

14

à aprendizagem algébrica, mais precisamente a dificuldade discente neste campo, o
algébrico.

Detectando a problemática, utilizamos o questionamento abaixo como o
norteador desta pesquisa:

Qual seria a origem das dificuldades dos alunos quanto aos conteúdos e
conceitos algébricos, e quais são estas dificuldades?

A necessidade de compreender quais eram as dificuldades dos estudantes
com relação aos conteúdos e conceitos algébricos, bem como, quais as origens de
tais dificuldades, considerando o problema central e partindo da questão geradora
desta pesquisa, foram delineados os objetivos que seguem abaixo:

- Pesquisar as origens das dificuldades dos alunos para atividades que
envolvam expressão algébrica;

- Identificar as dificuldades dos alunos quanto à interpretação da linguagem
algébrica na resolução de problemas.

- observar a concepção que estes alunos têm de álgebra e como eles
enxergam um número representado por uma variável

Espera-se que esse estudo muito possa contribuir à Educação Matemática
no ensino-aprendizagem da Álgebra. Serão apontadas as análises dos resultados
obtidos a partir da realização de um pré-teste e um questionário, de modo a explorar
de maneira intencional as dificuldades encontradas na aprendizagem algébrica. A
contribuição ao Lócus da pesquisa será por esta prover aos professores uma
reflexão quanto a sua postura metodológica para o ensino algébrico e os alunos
quanto a uma meditação das origens de suas dificuldades de modo que possibilite
uma construção de resignificação da Álgebra através deles, alunos.

15

CAPÍTULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Levando em consideração o nosso problema, cujo objetivo é analisar as
possíveis dificuldades discentes com relação à aprendizagem da álgebra,
recorremos à busca de algo que pudesse referenciar a nossa pesquisa, algo que
pudesse fundamentar os resultados que posteriormente encontraríamos ou não.
Para isso nos fundamentamos em: D’Ambrósio (2005), Baumgart (1992), Boyer
(1974), Brasil (1998), Vygotsky (2001), Fiorentini et al (2004), Garcia (1998) dentre
outros.

Portanto, nesse capítulo abordaremos a crescente presença da álgebra na
Educação, através de breves relatos sobre a história e concepções algébricas, bem
como implicações para o ensino e em seguida um enfoque sobre as dificuldades de
aprendizagem Matemática evidenciando conceitos e linguagens algébricas.

2.1. ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO E SUAS IMPLICAÇÕES HISTÓRICAS

D’Ambrósio salienta que de um modo geral,

a Matemática se impõe como forte presença em todas as áreas do
conhecimento e em todas as ações do mundo moderno. Sua presença no
fundo será certamente intensificada, mas não na forma praticado hoje. Será
sem dúvidas, parte integrante dos instrumentos comunicativos, analíticos e
materiais. (2005, p.46)

A álgebra, não diferentemente, até mesmo por ser parte da Matemática tem
se apresentado ao longo dos tempos como de fundamental importância, mostrando-
se como instrumento de grande utilidade no processo de resolução de problemas,
bem como na formação do pensamento algébrico, por meio da compreensão de
variáveis e conceitos.

Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam que o estudo
de estruturas abstratas deve favorecer no aluno:

16

[...] a compreensão de conceitos como o de variável e de função: a
representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a
formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao
identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da sintaxe
(regras para resolução) de uma equação. Para apoiar a compreensão
desses conceitos pode-se lançar mão da construção e interpretação de
planilhas, utilizando recursos tecnológicos como a calculadora e o
computador. (BRASIL, 1998, p.84)

A importância de se buscar meios que atribuam à compreensão dos conceitos
e da álgebra propriamente dita, conforme visto nas definições dos PCNs são
imprescindíveis. Avanços têm aparecido ao longo dos tempos e segundo Telles
(2004), os matemáticos têm aprendido a superar muitas dificuldades mesmo que
lentamente, trocando palavras por letras e por sinais, fazendo surgir às noções da
Álgebra, ou melhor, equações compostas por símbolos como as conhecemos hoje.
A chamada “Álgebra simbólica”.

Apesar destes avanços destacados por Telles, para Santos (2004, p.19) a
álgebra ainda é carente de discussões no campo da Educação Matemática, o que
denota a possibilidade da não reflexão crítica sobre esse ensino e ocasiona que o
mesmo passa a ser limitado, de forma “mecânica e automatizada, dissociada de
qualquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e a
manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões”. Miorim (1998, p. 40).

Com relação ao ensino da Matemática, Castro (2003) apud Gil (2008),
destaca que o mesmo tem sofrido inúmeras mudanças que, na maior parte das
vezes, são lançadas pelo governo, e as escolas, preparadas ou não, precisam
atender essas mudanças. Desta forma, a Álgebra entra no currículo escolar,
deixando de ser privilégio de poucos estudiosos e tornando-se uma disciplina que é
considerada pré-requisito para a formação do cidadão comum.

Portanto, considerando que a Álgebra normalmente introduzida no 8º ano do
Ensino Fundamental ser uma das áreas da Matemática exigidas como pré-requisito
da formação do cidadão conforme citado por Castro (2003), é interessante que
façamos um apanhado histórico da introdução da Álgebra, ainda que substancial.

17

2.1.1. Um breve enfoque das concepções algébricas

Quando nos referimos ao termo álgebra um dos primeiros questionamentos
que nossos alunos nos fazem é: “o que é álgebra?”. Do mesmo modo muitos deles
se arriscam e a definem como a “parte da Matemática que trabalha com letras e
números”.
Assim, achamos por bem buscarmos defini-la para melhor compreendermos
as suas “raízes”, pois segundo Cury (2002):

[...] conhecer as concepções de Álgebra e de Educação Algébrica é um
elemento importante para as novas reformulações curriculares, pois permite
discussões sobre as finalidades do estudo dessa disciplina e sobre as inter-
relações existentes entre os conteúdos estudados no curso superior e
aqueles apresentados nos níveis fundamental e médio. (p.12)

. No dicionário Aurélio, encontramos que álgebra “é a parte da Matemática
que estuda as leis e processos formais de operações com entidades abstratas”
(Ferreira, 1986). Na Wikipédia, enciclopédia livre a álgebra é definida como “o ramo
que estuda as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Hoje em dia
o termo é bastante abrangente e pode se referir a várias áreas da matemática, ou
não”.

Da Rocha Falcão (1993, p. 86) caracteriza a álgebra como “um conjunto de
conceitos e procedimentos (algoritmos) matemáticos que permitem a representação
prévia e a resolução de um determinado tipo de problema, para o qual os
procedimentos aritméticos mostram-se insuficiente”.

Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) por sua vez, vão além ao que
tange a método de resolução, processo de representação de algoritmos. Segundo o
mesmo é por meio da Álgebra que se desenvolve habilidades abstratas quando a
definem como “uma área da matemática que desenvolve a capacidade de abstração
e generalização” (BRASIL, 1998).

Assim, (BAUMGART, 1992, v. 4, p. 3) apud (Tedesco, 2009), enfatiza que a
definição de álgebra para ser satisfatória requer que seja feita em duas fases
conforme podemos observar na citação que se segue.

Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem
um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um

18

enfoque em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das
equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o
estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos – para
mencionar apenas algumas. [...] (BAUMGART, 1992, v. 4, p. 3).

Nesse mesmo sentido, destacado por (BAUMGART, 1992) de o conceito de
álgebra ir além do campo aritmético estendendo-se ao absorto, Coxford (1995, p. 9),
também estende este conceito destacando-a como:

“a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras
para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as
manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam os
números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes
espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...]
que de maneira nenhuma são números”.

Por fim, são inúmeras as definições para o campo algébrico, todas
destacando a sua abstração e importância no ramo Matemático por facilitar a
resolução de operações que a aritmética não resolveria além de destacar também a
evolução da Álgebra, que passou da elementar que engloba as equações até à
Álgebra Moderna envolvendo estruturas, que abrangem campos bem mais
abstratos. Muito embora, talvez pelo fato de retratar grande dificuldade de
compreensão, fazem com que a álgebra seja questionada de “pra que surgiu, como
surgiu”?

2.1.2. O surgimento da álgebra

A álgebra inicia suas origens com os cálculos de equações, na verdade o
próprio nome álgebra refere-se a equações embora atualmente conforme podemos
ver acima, tem assumido proporções de grandes extensões quanto a sua
importância no campo Matemático.

A sua origem e evolução advém das necessidades surgidas ao longo do
tempo por diferentes povos. Segundo Boyer (1974) a evolução da notação algébrica
é classificada por três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram
usadas abreviações de palavras) e o simbólico.

19

Há relatos em Baumgart (1992) de que álgebra surgiu no Egito quase ao
mesmo tempo em que na Babilônia, no entanto não havia sofisticação no método de
resolução usado pelos egípcios em comparação com os babilônicos. A álgebra
grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica, no
entanto baseava-se no método de resolução de equações anteriormente usado
pelos babilônicos. Diofanto (250 a. C) introduziu o estilo sincopado de escrever
equações, sua abordagem é inteligente, mas não desenvolveu um método
sistemático de encontrar soluções gerais e sua abordagem também seguia as linhas
babilônicas. A Álgebra chega à Europa, por volta de 1100 d.C, no entanto, havia
uma regressão tanto em conteúdo como em estilo. Diofanto e Brahmagupta nos
seus estudos contemporâneos e o seu método sincopado não contribuíram para
uma eventual irrupção da Álgebra. O renascimento algébrico se deu na Itália (1200-
1300), com o Líber abaci (1 202) de Fibonacci (Leonardo de Pisa), no qual o autor
resolvia equações usando o estilo retórico de al-Khowarizmi, defendendo o uso de
numerais indo-arábicos, dos quais havia tomado conhecimento em suas viagens
como comerciante. A álgebra moderna notada por seu simbolismo foi introduzido
pelo Francês François Viète por volta de 1500 foi ele quem introduziu letras pra
representar números, muito embora todo o avanço conseguido por Viète ainda não
estava completo e Descartes complementa-a transformando a álgebra geométrica
dos gregos em uma geometria algébrica. Ele utilizou a álgebra para representar
partes da geometria tais como: curvas, retas, cones e etc., dando importante
contribuição para a álgebra que utilizamos nos dias atuais. (p. 11-15)

Os avanços ocorridos historicamente na Educação Algébrica no Brasil e em
outros países Miguel, Fiorentini e Miorim (1993, p.84) as classificam em concepções.
Concepções essas que definem o processo evolutivo do ensino da Álgebra.
Segundo eles, A primeira concepção predominou do século XIX até meados do
século XX. Trata-se da concepção lingüístico-pragmática, que constitui a crença de
que a obtenção, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo transformismo
algébrico, ou melhor, a obtenção de expressões iguais mediante o emprego de
regras e propriedades seria suficiente para que o aluno fosse capaz de resolver
problemas, ainda que estes fossem quase sempre artificiais.

20

A outra concepção destacada pelos autores como fundamentalista-estrutural
surgiu com o advento da Matemática Moderna. Essa concepção do Ensino algébrico
baseava-se na ideia de que, se o aluno conseguisse justificar a passagem do
transformismo algébrico por meio da introdução de propriedades estruturais, fariam
com que os mesmos também conseguissem aplicar essas estruturas em diferentes
contextos. (p.84)

Por fim, uma terceira concepção, a qual foi chamada pelos autores de
fundamentalista-analógica. Esta tenta fazer um resumo das concepções anteriores,
procurando recuperar o valor instrumental da Álgebra, mantendo o caráter
fundamentalista de justificação, mas agora não mais de forma lógico-estrutural, e
sim, na maioria das vezes, em recursos analógicos geométricos e, portanto, visuais.
(Fiorentini, Miorin, Miguel, 1993. p.84)

“A Álgebra, nos dias de hoje, ocupa um lugar privilegiado nos livros didáticos,
mas as reflexões realizadas sobre o seu ensino ainda não foram suficientes para
minimizar o problema das dificuldades de compreensão dos seus conceitos e
procedimentos” (Gil, 2008, p.24).

2.1.3. Implicações para o Ensino algébrico

De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) citado por Gil (2008)

a preocupação legal em introduzir a Álgebra no ensino brasileiro ocorre com
a Carta Régia de 19 de agosto de1799). A Álgebra seria introduzida na
forma de aulas avulsas, ao lado de outras disciplinas como a Aritmética, a
Geometria e a Trigonometria que já faziam parte do ensino. Estas áreas do
conhecimento eram trabalhadas em compartimentos estanques. E foi no
início do século XIX que, pela primeira vez, o estudo de Álgebra é
introduzido no ensino secundário brasileiro. Em 1927, Euclides Roxo, diretor
do Externato Pedro II, propôs à congregação do colégio uma alteração
radical no ensino da Matemática. Conforme Valente (2002),no documento
Euclides Roxo coloca a urgência de adotar métodos de ensino da
Matemática Elementar introduzidos na Alemanha, destacando que parte da
orientação era acabar com a divisão da Matemática em partes distintas e
separadas como vinha sendo trabalhada ( p.21 ).

O Ensino da álgebra desde que introduzido separadamente tem assumidos
caráter muitas vezes considerado descontextualizado. “Do início do estudo da
Álgebra até o início da década de 60, quando se inicia o Movimento da Matemática

21

Moderna, o seu ensino era predominantemente de caráter mecânico e reprodutivo,
sem clareza alguma, já que seu ensino era, na maioria das vezes, apresentado por
meio de procedimentos que conduziam a uma aprendizagem mecânica” (Miguel,
Fiorentini e Miorim (1992)).

Beltrame (2009) destaca Lelis e Imenes quando citam que,

Em muitas escolas, o ensino da Matemática é abordado como conjunto de
técnicas, aplicações de fórmulas, com grandes quantidades de exercícios,
que se resumem em “calcular”, “obter”, “efetuar”, em contextos
exclusivamente matemáticos, com o objetivo de buscar resultados,
importando-se apenas com o “como fazer”, sem se preocupar com o
“porque fazer assim” ou pra que fazê-lo. (Lelis e Imenes 2001 citado por
Beltrame p.23, 2009).

Essa postura mecanizada citada pelos autores destacados acima, se perdura
até aos dias de hoje e para Nogueira, (2005) um dos desafios principais do professor
é buscar estratégias que facilitem a ação pedagógica em sala de aula, propiciando
ao aluno situações que envolvam conteúdos essenciais à aprendizagem e garantam
a autonomia de pensamento.

Ele destaca ainda que atividades que permitam condições suficientes para o
aluno interpretar situações-problema, que desenvolvam habilidades como
organização, atenção e concentração são imprescindíveis. Visto que, “a álgebra é
uma área da matemática que desenvolve a capacidade de abstração e
generalização” (BRASIL, 1998).

Ele enfatiza a necessidade de uma “proposta que envolva situações-
problemas que provoquem no aluno a formação do pensamento e da linguagem
algébrica encaminhando-os para o desenvolvimento de conceitos científicos no
movimento do pensamento teórico”.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam que o uso de situações
problemas envolvendo álgebra, garantem um ensino e posteriormente um
aprendizado relativamente significativos:

É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar
centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na
resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes
como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para
a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que
privilegie uma formalização precoce dos conceitos (PCN, 1998, p. 63).

22

“Estudar álgebra não significa apenas manipular símbolos e equações, seu
ensino deve ser baseado em construções de noções algébricas pela observação de
regularidades em tabelas, gráficos e situações do cotidiano dos alunos” (Freire &
Filho, 2006, p. 162).

Para Vygotsky (2001) é importante que o indivíduo interiorize a experiência
adquirida culturalmente. Ou seja, interiorize os elementos simbólicos da linguagem
algébrica, para utiliza-los como instrumento do “pensar e do agir” na resolução dos
problemas, ao qual o sujeito venha a se deparar relacionando esses problemas com
suas práticas diárias.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental também
fazem menção a atitudes investigativas como forma de estimular os discentes a
identificar e compreender o jogo intelectual, característico da Matemática:

[...] identificar os conhecimentos matemáticos como meios para
compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de
jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o
interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da
capacidade para resolver problemas. (BRASIL, 2001, p.47).

Para (Fiorentini et al), a necessidade de desenvolver primeiramente o espírito
de investigação sugerido pelos Pcn’s é imprescindível, visto que para eles favorece
o desenvolvimento do pensamento e da linguagem em álgebra.

“A realização de atividades investigativas e exploratórias que visam levar os
alunos a pensar genericamente, perceber regularidades e explicitá-las
através de estruturas ou expressões matemáticas, pensar analiticamente,
estabelecer relações entre grandezas variáveis pode ser uma alternativa
poderosa para o desenvolvimento inter-relacionado do pensamento e da
linguagem algébrica do aluno”. (Fiorentini et al, 2004).

Logo, é de fundamental importância que se busque estratégia de forma que:

O ensino da álgebra continue garantindo que os alunos trabalhem com
problemas, que lhes permitam dar significados à linguagem e às ideias
matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o
aluno poderá reconhecer diferentes funções de Álgebra (ao resolver
problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao modelizar, generalizar e
demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre
grandezas). (PCN, 1998, p. 84).

Devemos, pois, considerar que os atos da atividade de ensino devem estar
voltados para essa apropriação da linguagem e das formas de pensar da álgebra

23

pelo estudante e também da relação do sujeito com as situações-problema
propostas.

Nesse mesmo sentido de aprendizagem Fiorentini (1995) destaca que,

a aprendizagem efetiva da Matemática não consiste apenas no
desenvolvimento de habilidades (como do cálculo ou da resolução de
problemas), ou na fixação de alguns conceitos através da memorização ou
da realização de uma série de exercícios, como entende a teoria tradicional
tecnicista. O aluno aprende significativamente Matemática, quando
consegue atribuir sentido e significados às ideias Matemáticas – mesmo
aquelas mais puras (isto é, abstraídas de uma realidade mais concreta) – e,
sobre elas, é capaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar,
discutir e criar. (p.32)

Logo, a necessidade de se fazer atribuir sentido e significado nas ideias
matemáticas, visto que, considerando as ideias de Fiorentini, favorecerá um
aprendizado significante sendo o aluno capaz de desenvolver opiniões críticas,
capazes de criar novas formas de pensar, agir e estabelecer relações Matemáticas
com outras situações vivenciadas e que de certa forma virá a proporcionar no
indivíduo a ideia de soma, adição de conhecimento, conhecimento esse repleto de
significados.

2.2. DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA: UMA BREVE
ABORDAGEM AOS ESTUDOS NA ÁREA

De maneira geral tem se discutido com bastante frequência com relação às
dificuldades de aprendizagem. Seja essa dificuldade em Matemática ou em outras
disciplinas, pesquisadores e estudiosos constantemente buscam respostas para
estas dificuldades e muitas já foram às causas citadas por eles.

Para Sanchez (2004) as dificuldades de aprendizagem em Matemática podem
se revelar em vários aspectos, dentre elas, ele destaca:

Dificuldades em relação ao desenvolvimento cognitivo e à construção da
experiência matemática;

24

Dificuldades na resolução de problemas, o que implica a compreensão do
problema, compreensão e habilidade para analisar o problema e raciocinar
matematicamente.

Dificuldades relativas à própria complexidade da matemática, como seu alto
nível de abstração e generalização, a complexidade dos conceitos e
algoritmos.

Podem ocorrer dificuldades mais intrínsecas, como bases neurológicas,
alteradas. Atrasos cognitivos generalizados ou específicos. Problemas
lingüísticos que se manifestam na matemática; dificuldades atencionais e
motivacionais; dificuldades na memória, etc.

Dificuldade originada no ensino inadequado ou insuficiente seja porque à
organização do mesmo não está bem sequenciado, ou não se
proporcionam elementos de motivação suficientes; seja porque os
conteúdos não se ajustam às necessidades e ao nível de desenvolvimento
do aluno, ou não estão adequados ao nível de abstração, ou não se treinam
as habilidades prévias; seja porque a metodologia é muito pouco
motivadora e muito pouco eficaz. (p. 174)

Observamos que as dificuldades citadas por Sanchez se estendem desde
problemas cognitivos, neurológicos, de complexidade própria da Matemática, da não
compreensão do problema proposto até destacar dificuldade gerada pelo ensino.
Machado (1992, p. 31), nesse sentido enfatiza que vários autores dizem que:

Os alunos se dispersam quando o ensino da Matemática se faz rotineiro,
ocultando consciente e inconscientemente sua verdadeira força e beleza,
complicando-a inutilmente com fórmulas que não sabem de onde vem. O
ensino tem que alcançar uma investigação em que o aluno sinta a sensação
de estar fazendo algo com isso, em que se sinta mais confiante colocando
em prática o seu trabalho efetivo e com isso, faça-o perceber o seu próprio
rendimento.

Assim, ele sugere que o ensino passe a favorecer no aluno a sensação de
que ele está inserido naquele contexto Matemático, que ele perceba que está
rendendo, aprendendo, porque se diferente certamente ele se dispersará e o ensino
da Matemática ficará apenas na rotina.

Observamos que Sanchez também faz referência a problemas relacionados à
dificuldade de ordem cognitiva, atencional, motivacional e neurológica como causas
das dificuldades.

E nesse mesmo sentido, Garcia (1998) apud (Salvan, 2004, pp. 20-21)
destaca doenças patogênicas como algumas das possíveis causas de muitas
dificuldades em Matemática referenciando a:

25

-“Alexia, que se caracteriza como impossibilidade de ler,
cegueira verbal completa acompanhada de mudez”. Nesse
caso há uma perturbação de percepção e memória.

- Descalculia, incapacidade para realização de cálculos.

- Síndrome do Déficit de Concentração: incapacidade de
concentrar-se, de prestar atenção em algo. Agitação e
nervosismo.

-Desaritmética, dificuldade para escrever ou ler números, ainda
que haja facilidade para realizar cálculos, impossibilidade de se
relacionar com números.

Quanto às dificuldades voltadas para álgebra, são destacadas por (Da Rocha
Falcão, 2003; Lelis e Imenes, 1997), que elas ocorrem em virtude dos alunos não
conseguirem utilizar a sua linguagem e assim não conseguirem também relacioná-la
com situações práticas e outros conteúdos matemáticos.

Santos (2004), citando Lins e Gimenez (1997) destaca que o fracasso em
álgebra significa um fracasso absoluto na escola e que um dos principais obstáculos
a este aprendizado é que “a álgebra escolar representa o mais severo corte
(momento de seleção) da educação matemática escolar” (p.9).

Outros autores destacam outra forma de analisar as dificuldades partindo do
contexto histórico cultural, pois, (Araújo & Cardoso, 2006) afirmam que,

A aprendizagem ocorre num contexto social. O conhecimento existe nas
relações sociais dos grupos em que as pessoas participam. A
aprendizagem como um fenômeno construído socialmente é uma forma
diferente de analisar as dificuldades dos alunos em relação à Matemática.
Ela tem ligação com a forma de organização social do homem e com a
organização individual do pensamento. (p.12)

Partindo da aprendizagem por meio do contexto social, conforme citado por
(Araújo & Cardoso, 2006), em que se dá por meio da organização e formação do

26

pensamento de forma individual e construído socialmente é que passaremos a
buscar entender como a linguagem e o pensamento favorecem a formação de
conceitos e concomitantemente da aprendizagem.

2.2.1. Pensamento, linguagem e formação de conceitos no processo
aprendizagem: um breve enfoque.

Inicialmente buscamos no dicionário Aurélio a definição de Linguagem e
pensamento respectivamente nessa ordem e encontramos para Linguagem que “é
todo sistema de signos que serve de meio de comunicação entre indivíduos e pode
ser percebido pelos diversos órgãos dos sentidos, o que leva a distinguir-se uma
linguagem visual, uma linguagem auditiva, uma linguagem tátil, etc., ou, ainda,
outras mais complexas, constituídas, ao mesmo tempo, de elementos diversos”.

E para pensamento conseguimos encontrar duas que nos parecem mais
aceitáveis para defini-lo: “é o poder de formular conceitos”. E “é um processo mental
que se concentra nas ideias”.

Para Leontiev (1983) o pensamento humano é entendido como:

[…] produto do desenvolvimento socio-histórico, como uma forma teórica
peculiar da atividade humana que não é mais que um derivado da atividade
prática; incluindo naquele nível de desenvolvimento que o pensamento
adquire uma independência relativa, a prática continua sendo a base e o
critério de sua autenticidade. (p.29, tradução nossa)

Davydov (1982) caracteriza pensamento, como um tipo de toda atividade
mental que está aliado ao processo de formação de conceitos bem como as
generalizações e abstrações.

Com relação à linguagem, Vygotsky (1998), destaca que a aquisição da
mesma passa por três fases: a linguagem social, que seria esta que tem por função
denominar e comunicar, e seria a primeira linguagem que surge. Depois teríamos a
linguagem egocêntrica e a linguagem interior, intimamente ligada ao pensamento.

“O desenvolvimento do pensamento é determinado pela linguagem, isto é,
pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiência sociocultural da
criança.” Vygotsky (1987, p. 44)

27

Em Rizzon (2008) encontramos a importância da linguagem como meio de
interação enfatizada por Vygotsky e seus colaboradores:

Inicialmente, os aspectos motores e verbais do comportamento são
misturados. A fala envolve os elementos referenciais, a conversação
orientada pelo objeto, as expressões emocionais e outros tipos de fala
social. Em virtude de a criança estar cercada de membros mais velhos da
família, a fala começa, cada vez mais, a adquirir traços demonstrativos, o
que permite que a criança indique o que está fazendo e quais são suas
necessidades. Após algum tempo, a criança, fazendo distinções para os
outros com auxilio da fala, começa, internamente, a fazer distinções para si
mesma. Desta forma, a fala deixa de ser apenas um meio para dirigir o
comportamento dos outros e começa a desempenhar a função de
autodireção. (VYGOTSKY; LURIA; LEONTIEV, 1988, p. 30)

Com relação à formação de conceitos associado à linguagem Vygotsky
(1991), destaca que,

Todas as funções psíquicas superiores são processos mediados, e os
signos constituem o meio básico para dominá-las e dirigi-las. O signo
mediador é incorporado à sua estrutura como uma parte indispensável, na
verdade a parte central do processo como um todo. Na formação de
conceitos, esse signo é a palavra, que em princípio tem o papel de meio na
formação de um conceito e, posteriormente, torna-se seu símbolo.
(VYGOTSKY, 1991, p. 48)

O que é inegável, baseado na afirmação de Vygotsky, é que a linguagem,
tanto falada quanto escrita, é uma ferramenta de extrema importância na relação
entre “professor e aluno, nas mediações na sala de aula”. Isso nos leva a crer que
no processo ensino aprendizagem, a linguagem não antecede necessariamente o
pensamento, embora a apropriação da linguagem possa potencializar e promover o
desenvolvimento do pensamento.

Conforme Kopnin (1978), “Não podemos imaginar o conhecimento do homem
sem a linguagem, pois a linguagem consubstancia nas palavras o resultado do
pensamento" (p. 150).

Fiorentini e Miorim (1993) defendem que a linguagem algébrica é resultado de
uma forma especial de pensamento, dado que, para expressar o pensamento
algébrico existe uma linguagem possível e integrada historicamente na cultura de
uma determinada comunidade de prática. Assim, o desenvolvimento do pensamento

28

algébrico pode ocorrer desde os primeiros anos de escolaridade. Eles destacam
ainda, que o pensamento algébrico se desenvolve à medida que, gradualmente, o
aluno desenvolve uma linguagem mais apropriada a ele.

Assim, se de um lado a introdução precoce e sem suporte empírico a uma
linguagem simbólica e abstrata pode funcionar como obstáculo ao desenvolvimento
do pensamento algébrico, de outro, o menosprezo ou recusa ao modo simbólico e
formal de pensar algebricamente, pode representar também um freio ao pleno
desenvolvimento do pensamento algébrico. (Fiorentini & Miorim, 1993).

Desta forma, vale frisar que segundo Vygotsky (2001) o domínio da álgebra
eleva ao nível superior do pensamento,
[...] permitindo entender qualquer operação matemática como caso
particular de operação de álgebra, facultando uma visão mais livre, mais
abstrata e generalizada e, assim, mais profunda e rica das operações com
números concretos. (p. 267)

Observa-se que linguagem e pensamento andam junto, um favorecendo o
desenvolvimento do outro. Considerando, pois, o poder de abstração e
generalização da álgebra, quando se compreende o que se está estudando de forma
a compreender as operações de modo a formar conceitos, partindo das ideias de
Vygotsky, certamente este aluno elevará o seu nível de pensamento.

29

CAPÍTULO III
UMA ABORDAGEM À METODOLOGIA UTILIZADA

É através da pesquisa que se desenvolve o avanço científico e tecnológico
nas diferentes áreas do conhecimento, (ALVES, 2003).

Para Severino (2007), não haveria sentido em pesquisar, em construir o
conhecimento novo, se não se tivesse em vista o benefício social do mesmo.

Netto (2008) por sua vez, destaca que os resultados de uma pesquisa para
serem favoráveis e contributivos ao conhecimento humano, são necessários ao
pesquisador a noção em grau, profundidade e extensão em que se pretende abordar
determinado assunto em uma investigação.

Assim sendo, cabe ao pesquisador um trabalho de organização,
determinando o que Gil (1987, p.27), define como ter que determinar o método,
podendo este ser definido como o "... caminho para se chegar a determinado fim”.
Gil nos remete a importância de se definir as estratégias metodológicas que
viabilizam o processo de identificação, coleta, registro, descrição e interpretação dos
dados coletados, ou seja, o caminho que ele se refere, induz ao pesquisador a
identificação do melhor procedimento que se ajuste as especificidades dos objetivos
da pesquisa.

3.1. TIPO DE PESQUISA

Este estudo se caracteriza por uma pesquisa com abordagem qualitativa do
tipo descritiva, com método de observação, fundamentado a uma pesquisa
bibliográfica.

Segundo Triviños (1987), a pesquisa qualitativa permite analisar os aspectos
implícitos ao desenvolvimento das práticas organizacionais, e a abordagem
descritiva é praticada quando o que se pretende buscar é o conhecimento de
determinadas informações que não podem ser numericamente caracterizado.

30

Minayo, (2007) também, menciona que existe uma relação dinâmica entre o
mundo real e o sujeito, isto é, um vínculo indissociável entre o mundo objetivo e a
subjetividade do sujeito que não pode ser traduzido em números.

De forma mais ampla e resumida podemos perceber o sentido do método
qualitativo através do trecho citado por Lakatos (1986), conforme abaixo:

A interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas
no processo de pesquisa qualitativa. Não requer o uso de métodos e
técnicas estatísticas. O ambiente natural é a fonte direta para coleta de
dados e o pesquisador é o instrumento-chave. É descritiva. Os
pesquisadores tendem a analisar seus dados indutivamente. O processo e
seu significado são os focos principais de abordagem (LAKATOS et al,
1986).

Este trabalho apresenta cunho bibliográfico. Para (MINAYO, 2007; LAKATOS
et al, 1986), tudo o que for elaborado, embasado a partir de material já publicado,
constituído principalmente de livros, artigos de periódicos e atualmente com material
disponibilizado na Internet, terá aspecto bibliográfico.

Entende-e desta forma que fundamentar bibliograficamente é entender a
prática que se dar da realidade utilizando meios posteriormente estudados e ou
publicados com o propósito de afirmar ou até mesmo negar o que foi escrito de
forma cuidadosa.

O caráter descritivo também utilizado se dá com o intuito de confrontar a
teoria à prática, cujo objetivo principal é estudar as características específicas de um
grupo (Gil, 1996).

Ludke e André (1986, p.11) afirmam que os problemas devem ser estudados
no ambiente em que eles ocorrem naturalmente.

3.2. LÓCUS

A instituição escolhida para a realização da pesquisa foi a Escola Municipal
Antonio Bastos de Miranda, situada em Missão do Sahy, interior do Municipio de
Senhor do Bonfim Bahia. A mesma oferece os cursos de Ensino Fundamental além

31

de uma extensão denominada anexo, que oferece Educação Infantil e Ciclo Básico
de Aprendizagem.
A escola (sede) onde realizamos a nossa pesquisa é composta por cantina,
três sanitários, sem área de lazer, um laboratório de informática, uma secretaria e
quatro salas de aula. A mesma é composta por um grupo de aproximadamente 20
professores e 400 alunos, distribuídos entre os três turnos (matutino, vespertino e
noturno).
Esta pesquisa se limitou a estudar o problema em foco em duas turmas de 8º
ano no curso das séries finais do Ensino Fundamental nesta instituição de ensino,
no turno matutino.

3.3. SUJEITOS DA PESQUISA

Os sujeitos da pesquisa foram alunos de duas turmas do 8º ano da escola
supracitada no turno matutino, totalizando 26 alunos participantes. Os mesmos
apresentam as características necessárias para a realização desta investigação e,
sobretudo a disponibilidade para participar da pesquisa.

3.4. MÉTODOS UTILIZADOS

Para a coleta de dados utilizamos um questionário e outra atividade ao qual
chamamos de pré-teste com questões fechadas e abertas. As questões fechadas
(nas quais os sujeitos da pesquisa poderiam escolher uma ou mais alternativa das
opções destacadas pelo pesquisador) tiveram o objetivo de conhecer o perfil do
aluno e, por meio dele, observar o que pode vir a influenciar esse aluno na sua
afinidade com os estudos e mais especificamente com a Matemática. O pré-teste,
utilizando questões abertas (neste caso os sujeitos respondiam com suas próprias
palavras, eles usavam os seus conhecimentos prévios, sem opções dadas pelo
pesquisador) teve por objetivo verificar o conhecimento do aluno em relação à
aplicabilidade de conceitos básicos da Matemática, símbolos, termos algébricos e
numéricos, incluindo linguagem, simbologia, conteúdos, interpretação, resolução e
análise de problemas, para assim analisarmos a formação do pensamento e da
linguagem algébrica.

32

Logo, os caminhos citados acima, visam delinear reflexões acerca de
adquirirmos conhecimentos específicos com relação ao objeto de estudo.

33

CAPÍTULO IV
ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Nesse capítulo apresentaremos as análises dos resultados obtidos na
pesquisa com alunos, com o intuito de verificar as dificuldades discentes, no que
tange ao campo algébrico.

Para a obtenção de resultados foram aplicados um questionário e uma
atividade a qual chamamos de pré-teste. O primeiro contendo questões abertas e
fechadas, com o objetivo de conhecer o perfil do aluno e sua relação com a
Matemática, e o segundo contendo questões abertas, uma vez que pretendíamos
avaliar a aplicabilidade de conceitos básicos da Matemática tais como: símbolos,
termos algébricos e numéricos, incluindo linguagem, simbologia, conteúdos,
interpretação, resolução e análise de problemas para assim verificarmos as
dificuldades tão frequentes no campo algébrico.

Portanto, dividiremos esse capítulo em duas subseções ao qual analisaremos
os métodos citados acima. Subseção I – Questionário e subseção II – Pré-teste. As
análises serão feitas qualitativamente e quantitativamente. Para cada questão
destacaremos os objetivos e posteriormente os resultados da coleta.

4.1. Descrição e análise do questionário – I

A pesquisa foi realizada em duas turmas de 8º ano da Escola Municipal
Antonio Bastos de Miranda, totalizando 26 alunos participantes desta pesquisa.

As duas primeiras questões tiveram por objetivo, conhecer o perfil dos
pesquisados. Identificamos o sexo e a idade dos mesmos, para desta forma
traçarmos os aspectos sociográficos, e obtivemos os resultados aos quais podemos
observar nos gráficos abaixo.

• Sexo:

Para o primeiro tópico, observamos que coincidentemente 50% dos
pesquisados são do sexo masculino e os outros 50% do sexo feminino.

34

GRÁFICO 1: SEXO

feminino
50% 50%
masculino

Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos

Quanto à idade, dividimos por faixa etária.

• Idade: ( ) 11 a 14 anos ( )15 a 17 anos ( ) mais de 17

A faixa etária dos mesmos, conforme podemos observar no gráfico,
predominou a dos 11 aos 14 anos totalizando assim 84% do grupo pesquisado, 16%
apresentaram faixa etária dos 15 aos 17 anos e 0% (nenhum) apresenta mais de 17
anos.

GRÁFICO 2: IDADE

0%
11 a 14 anos
16%
15 a 17 anos

84%
mais de 17
anos


A partir da terceira questão, o nosso objetivo era averiguar a relação destes
sujeitos com a Matemática.

• Já repetiu o ano alguma vez por causa da Matemática? Caso a resposta seja
sim indique quantas vezes.
Nesse tópico observamos que uma demanda de 23% enfatizou que já
repetiram o ano por causa de Matemática. Desses 23% quando questionados a
citarem o número de vezes, 11,5% assinalaram que já haviam repetido por duas
vezes, 3,8% uma vez e 7,7% não indicaram o número de vezes aos quais haviam
repetido. Os dados nos levam a crer que estes alunos já repetiram por no máximo
duas vezes o ano.

35

A maioria dos entrevistados, um montante de 77% afirmou nunca ter repetido
o ano, conforme podemos examinar no gráfico.

GRÁFICO 3: Já repetiu o ano alguma vez por causa da Matemática

23%
sim
77% não


• Gosta de Matemática:

( ) sim ( ) não

Caso não goste, justifique:

( ) tenho dificuldade em resolver problemas envolvendo as quatro
operações;
( ) não consigo entender o que o professor ensina então nem me esforço
( ) me esforço e mesmo assim não consigo

Para essa questão, apenas 19,2% afirmaram gostar de Matemática os outros
80,8% asseguraram não gostar e posteriormente assinalaram as justificativas para
essa negação de forma que os resultados podem ser analisados no gráfico que se
segue.

GRÁFICO 4: Justifique por que não gosta de Matemática

me esforço e mesmo assim não
consigo entender
24%
48% não consigo entender o que o
professor ensina então nem me
28% esforço
tenho dificuldade em resolver
problemas envolvendo as quatro
operações;


Observa-se que 28% simplesmente por achar que não entenderá o conteúdo
explicado pelo professor “mantém-se no conformismo” de não se esforçar por não
compreender o que o professor irá ensinar em um pensamento a priori, o que nos
faz pensar que nem ao menos tentam compreender. Os outros 24% já relatam que o

36

motivo de não gostar é por ter dificuldade envolvendo as quatro operações. No
entanto, a maioria dos que afirmaram não gostar, 48%, justificaram a sua aversão
pela Matemática pelo fato de que mesmo esforçando-se, não compreendem o
conteúdo abordado em sala.

Como cita Orton (1990), apud ARAÚJO (1990, p.338) "é possível que não
entendendo a matemática, os alunos se sintam frustrados, experimentem ansiedade
e cheguem a rechaçar a matemática como atividade significativa e valiosa".

Para os tópicos seguintes tivemos por objetivo, analisar a relação desse aluno
mais precisamente com a álgebra, uma vez que pretendíamos analisar sobre o que
pensa este sujeito sobre esse tópico Matemático.

• Quando seu professor inicia um conteúdo de álgebra, explica-o e você
não entende. O que faz?
( ) peço que explique novamente, pois não entendi.
( ) deixo pra lá, é difícil e sei que não vou compreender.

GRÁFICO 5: Quando seu professor inicia um conteúdo de Álgebra, explica-o e você não entende. O que
faz?

peço que explique
novamente, pois não

46%
entendi

54%
deixo pra lá, é difícil e
sei que não vou
compreender.


Observando o gráfico acima, notamos que aproximadamente 54% pedem ao
professor para explicar novamente, quando não compreendem, os demais 46 %
deixam de lado por acharem que não vão compreender.
Vale ressaltar, que apesar da maioria destacar que solicita ao professor que
explique novamente o conteúdo, deve-se considerar que o fato de acharem que não
compreenderão o conteúdo, um número considerável (46%), simplesmente não
busca aprender, proporcionando desta forma, um distanciamento do aprendizado
em virtude da pré-concepção de que a álgebra é difícil.

37

• Representar algebricamente uma situação, você considera:
( ) muito fácil ( )difícil ( ) não serve para nada

Para esse questionamento, a maioria dos entrevistados optou por considerar
a Álgebra difícil (69%) ou que não serve para nada (23%). Apenas (4%) consideram
a Álgebra um conteúdo fácil e os outros 4% não opinaram. Segue gráfico.

GRÁFICO 6: Representar algebricamente uma situação, você considera:

4% 4% muito fácil

difícil
23%
não serve para
69% nada
não opinaram


Observamos, pois, a existência de uma grande rejeição com relação à
importância atribuída a situações algébricas. Estes alunos, talvez pelo fato de não
verem significado, ou até mesmo perceberem a falta de aplicabilidade destes
conteúdos com situações vivenciadas em suas vidas diárias, destacam, que a
álgebra é difícil ou que não serve para nada.

Assim, de acordo com os PCN’s:

[...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os
conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de
significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado,
e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é
preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é
possível dizer a ideia de conhecer assemelha-se a ideia de tecer uma teia.
(BRASIL, 1998, p. 75)

Portanto, foi com o objetivo de analisar se o aluno estava compreendendo a
relação da Álgebra com o seu dia a dia, ou melhor, se os conteúdos trabalhados
estavam favorecendo a formação neste aluno a teia citada pelos PCN’s,
considerando a não importância atribuída a álgebra por meio das questões
anteriores, foi que indagamos o tópico abaixo.

• Você acha que a Álgebra é importante no seu dia-a-dia?
( ) sim ( ) mais ou menos ( ) nem um pouco

38

GRÁFICO 7: Você acha que a Álgebra é importante no seu dia-a-dia? Por quê?

sim
42% 23%
mais ou menos
35%
nem um pouco


Os resultados para esta questão nos levam a crer que a grande maioria não
associa a Álgebra no seu dia a dia, visto que, 42 % afirmam que a Álgebra não é
nem um pouco importante. Considerando as justificativas destacadas por eles ao
serem solicitados a apresentarem o porquê de suas respostas foram enfatizadas as
justificativas que serão destacadas abaixo:

Um dos sujeitos da pesquisa ao qual chamamos de S1 justificou da seguinte
forma: “__ pelo que eu entendo, não dá pra fazer nada com um cálculo com tanta
letra misturada com número”.

Trinta e cinco por cento demonstram insegurança em sua afirmação
assinalando que a álgebra é “mais ou menos” importante, porque não são todas as
vezes que a utilizam a não ser na escola. Apenas 23% afirmaram que a álgebra é
sim importante no seu dia a dia e mesmo assim as justificativas dadas por eles não
demonstram segurança quanto à importância da álgebra de maneira única e
dissociável, já que ao longo dos tempos tem se apresentado com destaque no
currículo escolar. Uma das justificativas de outro sujeito envolvido na pesquisa que
chamamos de S2 destacou que: “__É importante sim, porque a álgebra faz parte da
Matemática e a Matemática está presente em nossa vida”.

Por fim, com o objetivo de conhecer qual é a compreensão de definição que
estes sujeitos fazem da álgebra, foi questionado o que eles entendem por álgebra
através de uma questão aberta. Escolhemos três definições das fornecidas pelos
alunos, uma vez que as respostas variavam seguindo as mesmas ideias das citadas
abaixo.

Utilizaremos A1 para a definição do aluno um, A2 para a definição do aluno
dois e A3 para a definição do aluno três, na transcrição das respostas.

39

O que você entende por álgebra?

Para esta questão eles deram as seguintes definições:

A1: Não entendo nada

A2: Álgebra trabalha com letras e números e as vezes só com letras.

A3: É um cálculo cheio de letras

Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuram na Álgebra pelo fato do
aluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado no
contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico, procedimentos
aritméticos que não procedem.

Observa-se, que estes alunos não diferentemente do que esperávamos
mantém uma relação aversiva a Matemática e distanciam-se da álgebra por
simplesmente achá-la difícil além de percebermos também que a grande maioria
não compreende o seu significado, a sua importância o que favorece para as
dificuldades destes alunos.

4.2. Descrição e análise do Pré-teste – II

Este bloco é formado por 5 (cinco) questões. Para as questões 1, 4 e 5 o
aluno precisaria representar algebricamente o problema proposto e apenas na
questão 1 e 5 ele deveria ainda, encontrar valores reais para as variáveis.

Para a segunda questão o aluno deveria representar algebricamente a área
de uma figura cujos lados são definidos apenas por incógnitas. Da mesma forma, foi
proposta para a questão três. A diferença é que ao invés de área foi requerido à
representação do perímetro de uma figura que também aparece com as medidas
dos seus lados representadas por incógnitas, diferenciando-se da questão anterior
por envolver adição e multiplicação de números inteiros. Os objetivos propostos para
estas questões é identificar e observar como estes sujeitos utilizam e interpretam a
linguagem algébrica, bem como, a aplicabilidade de conceitos básicos, tais como:
símbolos, interpretações, raciocínio lógico e etc., com outras áreas da Matemática,
mais precisamente a - Geometria. Para assim, tentarmos descobrir origens e
possíveis dificuldades no aprendizado da Álgebra.

40

QUESTÕES

1. Leia a história dos namorados e responda:

a) Usando símbolos matemáticos, COMO VOCÊ
representaria esta história? ________________

b) Quantos reais cada um tem? Calcule.

O gráfico 8 indica o percentual dos resultados obtidos na realização da
resultados
questão 1a e b que propõe a representação algébrica de situações, a partir da
linguagem corrente, bem como a resolução de modo a encontrar valores reais para
as variáveis.
Gráfico 8: Representações e Resolução alg
algébrica

60%
40%
20%
0% questão 1 a
deixaram erraram acertaram cálculo acertaram questão 1 b
em branco incompleto por teste
aritmético

Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos

Conforme podemos observar n gráfico acima, a grande maioria errou na
no
representação algébrica bem como na resolução da mesma Observou
mesma. Observou-se que os
mesmos tiveram dificuldade na interpretação do problema proposto visto que
proposto,
aproximadamente 50% erraram tanto a questão a como a b e para a questão 1b
mais de 30% ou deix
deixou em branco ou não finalizou a questão deixando
deixando-a
incompleta.

Apenas 27% representaram a questão “a” corretamente, utilizando
representação algébrica. No entanto, desses 27% apenas 8% acertaram a questão
“b”. De modo que os demais ou deixaram o cálculo incompleto, erraram ou
. deixaram
simplesmente não tentaram resolver.

Quando indicamos que 12% acertaram por indução aritmética e não por
métodos algébricos nos referimos aos cálculos por “teste aritmético uma vez que
aritmético”
eles utilizaram o raciocínio aritmético buscando e testando valores que pudessem

41

sanar a dificuldade do problema proposto conforme podemos observar na figura 1
abaixo:


Isso implica dizer, que esses alunos não se desvincularam da ideia aritmética
,
na resolução de um problema que possui aspectos algébricos.

Para a questão 2, conforme citado anteriormente foi sugerido a representação
do cálculo de área de acordo com os dados fornecidos. A nossa ideia era identificar
se este aluno traz os métodos utilizados na resolução de cálculo de área utilizando
número para a representação em uma situação algébrica apenas com incógnita.

2. Área de um retângulo é dada multiplicando se o comprimento pela largur
multiplicando-se largura.
Como podemos representar a área da figura abaixo
abaixo?
a
Área: __________________
b b
a

GRÁFICO 9: Análise da questão 2 – Representação de área

100%
50%
Análise Da questão 2:
0% Representação da área
ERRARAM ACERTARAM DEIXARAM
EM BRANCO


Conforme observado no gráfico acima se identifica, que 65% erraram tal
rvado ,
questão, 27% deixaram em branco e apenas 8% acertaram.

Desses 17 alunos (65%) que erraram, onze alunos resolveram o perímetro ao
invés da área também demonstrando dificuldade quanto ao conceito de ambos os
termos ou não interpretaram o enunciado, visto que, foi afirmado na própria questão
enunciado,

42

que área é dada por meio da multiplicação do comprimento pela largura, uma vez
que a área é retangular. Desses onze teve caso em que eles não se contiveram em
. es
representar apenas “2a+2b como resposta e representaram a área da figura
2a+2b”
sugerida como “2a+2b=4ab Outros ainda, talvez por estarem acostum
4ab”. acostumados a terem
sempre um resultado final para seus cálculos, já que, até o 8º ano os cálculos
e,
aritméticos estavam sempre presentes com seus respectivos resultados implicou em
tentarem finalizar a questão de alguma maneira conforme podemos observar na
figura 2 abaixo:

teste

O raciocínio puramente aritmético ainda predomina no raciocino lógicos destes
alunos, o que ocasiona a observação da falta de compreensão e junção de
conceitos geométricos com conceitos algébricos, na resolução dos problemas
propostos.

Para a terceira questão as medidas da figura foram representadas p
questão, por
expressões envolvendo adição e multiplicação de termos algébricos.

3. Calcule o perímetro do retângulo ao lado:

Observa-se para esta questão, conforme dados percentuais do gráfico 10 que
23% acertaram. Os outros demonstraram falta de compreensão da quest
questão já que
38,5% não responderam 27% erraram e 12% deixaram o cálculo incompleto.

GRÁFICO 10: Análise da questão 3 – Representação do perímetro

60%
40% analise da questão
20% 3: Representação
0% do perímetro
erraram acertaram
deixaram em branco
cálculo incompleto


43

A questão 4, assim como a questão 1, requeria dos pesquisados a
,
representação por meio de símbolos, utilizando o raciocínio algébrico por meio de
esentação utilizando
problemas envolvendo respostas não aritméticas. Para isso, foi feito a seguinte
indagação: uma caneta custa x reais e uma lapiseira custa y reais. Qual é a
ma
expressão que você pode escrever para representar:
de

a) O custo de 2 canetas e 5 lapiseiras. ___________________
b) A diferença entre o preço de uma caneta e o preço de 2 lapiseiras. ______

Observa-se nas tabelas e gráfico abaixo que a grande maioria tentou resolver.
Os acertos (50%) da questão 4 a foram superiores aos erros (35%). O fato dos erros
)
(43%) da questão 4 b ultrapassar os acertos (37%) se deram em decorrência deles
não associarem o termo “diferença” ao sinal de subtração ( - ), o que implica a não
compreensão de termos ut
utilizados na linguagem matemática.

E para tanto os resultados foram os destacados no gráfico 11, abaixo
relacionado para melhor visualização
visualização.

Gráfico 11: Representações algébricas

60%
40%
questão 4a
20%
questão 4b
0%
Deixaram em Erraram Acertaram incompleto
branco


Para a questão 5 foi solicitado Qual deverá ser o valor de x para que a
solicitado:
balança mantenha-se equilibrada? Por quê?
se

x 2 10

44

Nesta, a maioria deles também tentou responder, conforme podemos averiguar no
gráfico abaixo.

GRÁFICO 12: Valor numérico da variável x

60%
40% questão 5:
20%
0%
Erraram Acertaram Deixaram em branco


Mais de 50% acertaram e 15% erraram. 12 alunos dos que acertaram não
diferente da primeira questão não se apegaram ao método de resolução utilizada
comumente para equações, eles deram suas respostas por meio do raciocínio lógico
conforme podemos observar nas figuras selecionadas abaixo em que eles justificam
suas respostas.


Para esta resposta o aluno usou propriedades aditivas, ele pensou em um
número que adicionado a 2 se igualasse a 10 e logo encontrou o resultado, da
mesma forma o aluno de número 2 da figura abaixo também utilizou o mesmo
raciocínio, no entanto pelo processo inverso.

Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos sujeitos da pesquisa
Fonte: Pré-teste aplicado aos

Vale ressaltar que apenas 2 alunos dos 14 que acertaram resolveram
utilizando as técnicas convencionais algébricas comumente ensinadas na escola
para a resolução de equação.

45

Contudo é visto que o raciocínio utilizado na resolução dos problemas
propostos é essencialmente na maioria dos casos aritmético.

As dificuldades destacadas ao longo da pesquisa são as mais diversas, não
poderíamos destacar apenas uma como a mais grave, até porque o conjunto das
dificuldades necessita de uma reflexão, pois, à medida que o tempo vai passando as
mudanças ocorrem. Conforme observamos nos estudos da Evolução do Ensino da
álgebra, muitas são as implicações históricas e sociais, aos quais poderíamos
destacar, como um dos fatores. Outro aspecto observado é o meio em que os
alunos vivem frente à desestruturação familiar, também são fatores que
consideramos originar as dificuldades de aprendizagem referentes à álgebra. Enfim,
muitos alunos até afirmam gostar da Matemática, no entanto, as dificuldades
apresentadas quando se é apresentada situações abstratas ainda são
frequentemente perceptíveis visto que, eles enxergam que a aplicabilidade da
álgebra, só se acomete nas avaliações da escola, que não lhes trarão nenhuma
contribuição. Isso favorece para tornar o conteúdo desmotivador e sem significação.

46

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao longo desta pesquisa, buscamos refletir, compreender e principalmente
procurar respostas para as inquietações que surgem em virtude das dificuldades
discentes com relação à Álgebra.

Assim, este estudo permitiu a visualização substancial da realidade de alunos
do 8º ano da Escola Municipal Antonio Bastos de Miranda, quanto às dificuldades
em álgebra. Para chegarmos às respostas, inicialmente elaboramos e aplicamos um
questionário aos quais estes alunos respondiam e depois devolviam para
analisarmos a relação deles, com a Matemática. Posteriormente foi aplicada uma
atividade contendo questões envolvendo estruturas algébricas, símbolos, linguagem
Matemática e etc., ao qual chamamos pré-teste, para observarmos a desenvoltura
deste aluno com relação a estes conteúdos.

Notamos através do questionário que a grande maioria afirmou não gostar da
Matemática, e chegou-se à conclusão que eles não gostam porque não sabem, ou
melhor, observamos que a raiz destas dificuldades se perdura desde os tempos de
alfabetização aritmética, o aluno não dominando as noções básicas de aritmética (as
quatro operações). E, quando ele se depara com situações abstratas ele logo de
imediato julga-se que não vai aprender e nem ao menos se esforça para isso. Outra
dificuldade é com relação a conceitos e linguagem matemática, encontramos neles
grandes dificuldades por não lembrarem conceitos básicos para resolver os
problemas, confundiam-se quanto à distinção entre área e perímetro, além de
quererem encontrar a todo custo um resultado numérico sem a presença de
variáveis para o problema, bem como a não compreensão de alguns termos
utilizados na Linguagem Matemática, tais como: produto, quociente e diferença.
Percebe-se uma dissociação da álgebra e da Geometria, são duas áreas da
Matemática que estiveram sempre juntas e observa-se que estes alunos não as
unem no processo de resolução de problemas algébricos.

Outra dificuldade perceptível foi com relação à leitura e posteriormente a
interpretação dos enunciados, pois, quando foi aplicado o pré-teste, muitos deles
deixaram as questões em branco, isso implica, a não interpretação dos enunciados

47

e concomitantemente a não realização do problema. Todavia, vale ressaltar, que os
que responderam demonstraram um raciocínio lógico aritmético bastante aguçado,
porém sem utilizar a linguagem simbólica o que para Fiorentini, Miorim e Miguel
apud Tedesco (2009), é de suma importância para a formação de um pensamento
abstrato:

A linguagem simbólica, na álgebra, desempenha um papel essencial para a
formação do pensamento abstrato, pois é através dele que se pode
solucionar um problema matemático, abrangendo todo o contexto da
situação, além de simplificar os cálculos. Essa capacidade permite que se
façam transformações simbólicas das expressões, por outras mais
objetivas, fáceis, mas que possuem o mesmo significado. É possível
trabalhar com quantidades variáveis, possibilitando compreensões de
casos, nos quais existam movimento e variação. (Tedesco, 2009, p. 4)

Um ponto positivo ao qual observamos, é que não existe tanta distorção
quanto ao processo idade/série. A grande maioria encontra-se no seu período
escolar normal, salvo os que repetiram a série por 2 anos.
Outra dificuldade ao qual merece menção é com relação à álgebra associada
com o dia a dia destes alunos, pois eles não associam, decodificam, para fazer as
provas sem existir nenhum significado para eles. Sabemos que, o que não nos
interessa não nos chama atenção, facilmente sairá da nossa cabeça ou às vezes
nem buscamos entender.
Desta forma, considerando que em Matemática o aprendizado é contínuo e
sucessivo, ou melhor, um conteúdo depende de outros e percebendo um déficit
altíssimo com relação à assimilação de conteúdos anteriores, sugerimos a reposição
destes em horários opostos considerando é claro a disponibilidade de professor e
espaço físico das escolas para assim, tentarmos amenizar a deficiência que se
apodera dos nossos alunos não só em álgebra, mas em todos os conteúdos
Matemáticos. Em longo prazo, sugerimos ainda uma verificação da aprendizagem
nas séries iniciais, por meio de outras pesquisas, visando melhorar as inquietações
quanto às dificuldades de aprendizagem existentes nas series finais do Ensino
Fundamental.
Para tanto, foram citadas, análises, compreensões, inquietações e dúvidas
alcançadas por meio deste estudo. Dizer que chegamos à receita para sanar tais
dificuldades ainda não, até por que a ciência é uma sequencia de buscas, muito
embora, me proporcionou uma valia inquestionável, tanto no campo profissional
como pessoal.

48

Referencias

ALVES, Magda. Como escrever teses e monografias (um roteiro passo a passo). Rio de
Janeiro: Elsevier, 2003 – 5ª reimpressão.

ALVES, Rubem. A alegria de ensinar. Campinas: Papirus, 2003.

BAUMGART, J. K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Álgebra.
Trad. Hyigino H. Domingues. São Paulo: Atual. 1992.

BELTRAME, Juliana Thais. A álgebra nos livros didáticos: um estudo das variáveis, segundo
o modelo 3UV. Disponível em:
<http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/juliana_thais_beltrame.pdf > acesso em: 23
out. 2011.

Borba, V. M. (3 a 6 de julho de 2011). Dificuldade de aprendizagem em algébra elementar:
problema de ensino ou de aprendizagem? Maringá, Paraná, Brasil.Disponível em: <
http://www.abrapee.psc.br/xconpe/trabalhos/1/110.pdf > acesso em: 13 dez. 2011.

BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blucher.
1974. 488p.

BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática, 5ª a 8ª séries. Brasília, 1998.

COXFORD, A. et al. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

CURY, H. N., LANNES, W., BROLEZZI, A. C., Carlos, R. V. Álgebra E Educação Algébrica:
Concepções de Alunos e Professores De Matemática. Educação Matemática em Revista,
Rio Grande do Sul, v.4, n.4, p.9-15, 2002.

DA ROCHA FALCÃO, J. T. A álgebra como ferramenta de representação de problemas.
Em D., SCHLIEMANN, A. D, D. W. CARRAHER, A. G. SPINILLO, L. L MEIRA & J. T. DA
ROCHA FALCÃO. Estudos em Psicologia da Educação Matemática. pp 85 – 107; Recife,
Editora Universitária da UFPE, 1993.

49

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria à prática. 15ª ed. Campinas,
SP: Papirus, 2005.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Matemática e Educação Matemática: O problema da
convergência. Palestra Proferida em 1998. Disponível em:
http://vello.sites.uol.com.br/palestras.htm. Acesso em 13 dez. 2011.

D., SCHLIEMANN, A. D, D. W. CARRAHER, A. G. SPINILLO, L. L MEIRA & J. T. DA
ROCHA FALCÃO. Estudos em Psicologia da Educação Matemática. pp 85 – 107; Recife,
Editora Universitária da UFPE, 1993.

Ferreira, A. B. (1986). novo dicionário aurelio. rio de janeiro, Brasil: Nova Fronteira.

FIORENTINI, Dario; FERNANDES, Fernando Luis Pereira; CRISTOVÃO, Eliane Matesco.
Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no
desenvolvimento do pensamento algébrico. Projeto de pesquisa desenvolvido com
auxílio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), 2004.

FIORENTINI, Dario. Alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática no Brasil.
ZETETIKÉ, Campinas, n. 4, p. 01 – 35, novembro. 1995.

Freire, R. S., & Filho, J. A. (2006). Desenvolvendo conceitos algébricos no ensino
fundamental . Anais do XXVI Congresso da SBC , 162.

GARCÍA, Jesus Nicasio. Manual de dificuldade de aprendizagem: linguagem, leitura,
escrita e matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.

GIL, Antônio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 3. ed .São Paulo:Atlas,1996

GIL, A. C. Métodos e técnicas de pesquisa social. São Paulo: Atlas, 1987.

GIL, Antonio Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. 5. ed. São Paulo: Atlas,
1999.

GIL, Kátia Henn. Reflexão sobre dificuldades dos alunos na aprendizagem de álgebra. Porto
Alegre, 2008.

Monografia Evarista Matemática 2012

Monografia Evarista Matemática 2012

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Monografia Evarista Matemática 2012

Similaire à Monografia Evarista Matemática 2012 (20)

Plus de Biblioteca Campus VII

Plus de Biblioteca Campus VII (20)

Monografia Evarista Matemática 2012