1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 27 FEVRIER
LES NOMBRES RESISTANTS
Fabrice propose un jeu à Clément :
"Tu choisis un nombre entier positif et tu multiplies entre
eux tous ses chiffres. Par exemple avec 246, tu obtiens
2×4×6 = 48."
Clément ajoute :
- Et je suis sûr qu'il faut ensuite recommencer avec le
produit 48. Donc on obtient 4×8 = 32 puis 3×2 = 6.
- Et comme tu atteins un chiffre seul, tu stoppes le
processus. Je dis alors que 246 a une résistance de 3
puisqu'on a fait trois fois les produits des chiffres avant de
tomber sur un chiffre seul.
- Si j'ai bien compris, 24 a une résistance de 1 puisqu'on
tombe tout de suite sur 8, alors que 25 a une résistance de 2
avec des produits de 10 puis de 0.
- Effectivement ! Mais saurais-tu trouver le plus petit entier
qui a une résistance de 4 ? Et trouver un entier qui a une
résistance de 5 ?
1) Et vous, saurez-vous trouver le plus petit entier qui a une résistance de 4 ?
2) Et trouver aussi un entier qui a une résistance de 5 ?

2. Correction de l'énigme scientifique du 27 février
Le plus simple est encore de tester les premiers nombres entiers. Pour ce qui est du plus petit entier de résistance 4 :
Les chiffres ont une résistance de 0.
Entre 10 et 19, les entiers ont une résistance de 1.
Entre 20 et 29, les entiers ont au plus une résistance de 2 (puisque le produit est inférieur à 19).
Entre 30 et 39, les entiers ont au plus une résistance de 3 (puisque le produit est inférieur à 27).
Mais en fait, seul 39 a une résistance de 3.
Ceci dit aucun nombre n'aura un produit de ses chiffres égal à 39 à cause du facteur 13.
Entre 40 et 49, les entiers ont au plus une résistance de 3 (puisque le produit est inférieur à 36).
En fait, 47 et 49 seulement ont une résistance de 3.
Aucun nombre n'aura un produit de ses chiffres égal à 47 car il est premier.
Par contre, 49 s'obtient avec 7 fois 7 donc 77 est de résistance 4.
Entre 50 et 59, les entiers ont au plus une résistance de 3 (puisque le produit fini par 0 ou 5 et que tous les entiers
inférieurs à 45 finissant par 0 ou 5 sont au plus de résistance 2).
En fait, 55, 57 et 59 sont les seuls entiers de résistance 3.
Mais aucun n'est le produit des chiffres d'un entier de résistance 4.
Entre 60 et 69, les entiers ont au plus une résistance de 3 (puisque le produit est inférieur à 54).
En fait, 66, 68 et 69 sont les seuls entiers de résistance 3.
Mais aucun n'est le produit des chiffres d'un entier de résistance 4.
Entre 70 et 79, le premier entier de résistance est 77.
Pour déterminer un entier de résistance 5, il semble nécessaire de programmer un test de tous les entiers jusqu'à trouver le
premier avec la bonne propriété…
Pour les amateurs, l'algorithme ci-dessous sur Algobox saisit une résistance et affiche en sortie tous les entiers entre 1 et
10000 de résistance choisie. Le plus petit entier de résistance 5 est 679.
De même on trouve que le plus entier de résistance 6 est 6788.
Et on trouve que le plus entier de résistance 7 est 68889 :
6 × 8 × 8 × 8 × 9 = 27648
2 × 7 × 6 × 4 × 8 = 2688
2 × 6 × 8 × 8 = 768
7 × 6 × 8 = 336
3 × 3 × 6 = 54
5 × 4 = 20
2× 0 = 0