énigme scientifique CDI

1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 05 DECEMBRE
LA MONNAIE DE MATHLAND
Fabrice et Clément vive à Mathland.
Dans ce pays, la monnaie officielle est le X (évidemment !).
Mais aucune carte bancaire et pas plus de chèque !
Uniquement des pièces, dont il n'existe que quatre types différents.
♦ Chacun de ces quatre types de pièces a une valeur différente des autres.
♦ Aucune parmi les trois valeurs de pièces les plus élevées n'en divise une autre.
♦ Les valeurs des pièces sont des entiers inférieurs à 10 ou des multiples de 10 inférieurs à 100.
Bien sûr à Mathland, toutes les sommes entières sont payables (sans retour de monnaie).
Clément et Fabrice s'amusent toujours à payer avec un nombre minimum de pièces…
Clément achète ainsi à Fabrice un cadeau pour Noël qui lui coûte 146 X et paye avec cinq pièces.
Fabrice achète à Clément un cadeau qui coûte 140 X et paye avec quatre pièces.
Quelles sont les quatre valeurs des pièces de Mathland?
(pour une fois, il ne s'agit pas de trouver X !)

2. Correction de l'énigme : la monnaie de Mathland
Fabrice et Clément vive à Mathland. Dans ce pays, la monnaie officielle est le X (évidemment !).
Mais aucune carte bancaire et pas plus de chèque ! Uniquement des pièces, dont il n'existe que quatre types
différents. Chacun de ces quatre types de pièces a une valeur différente des autres.
Aucune parmi les trois valeurs de pièces les plus élevées n'en divise une autre. Les valeurs des pièces sont des entiers inférieurs à 10 ou
des multiples de 10 inférieurs à 100. Bien sûr à Mathland, toutes les sommes entières sont payables (sans retour de monnaie).
Clément et Fabrice s'amusent toujours à payer avec un nombre minimum de pièces…
Clément achète ainsi à Fabrice un cadeau pour Noël qui lui coûte 146 X et paye avec cinq pièces.
Fabrice achète à Clément un cadeau qui coûte 140 X et paye avec quatre pièces.
Quelles sont les quatre valeurs des pièces de Mathland? (pour une fois, il ne s'agit pas de trouver X !)
Premières remarques :
Tous les prix sont payables, même 1X, ce qui impose une pièce de 1X…
D'après les indications du texte, les trois autres type de pièces sont dans la liste suivante
2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Il faut au moins 4 pièces pour payer 140X. La pièce de 70X est à écarter car deux pièces de 70X suffiraient à payer 140X.
De plus, il y a au moins une pièce de valeur supérieure à 140 / 4 = 35 , donc parmi 40 50 60 80 90
On peut ainsi raisonner par rapport à la pièce de valeur la plus élevée (tous les cas sont étudiés) :
Si c'est 90 X, en enlevant les diviseurs de 90, les deux autres types sont dans la liste :
4 7 8 20 40 50 60 80
On peut enlever la pièce de 50X, car 50X+90X = 140X (avec seulement deux pièces)
90X+90X > 140X, donc la seconde pièce est de valeur supérieure à (140-90)/3 ≈ 16, 6 , parmi 20/40/60/80.
Donc la valeur 4 divise la seconde valeur et doit être écarter. Restent possibles les valeurs
7 8 20 40 60 80
On réfléchit alors par rapport aux chiffres des unités qui permettent d'obtenir 146X…avec au plus cinq pièces !
On écarte 6 pièces de 1X, on est donc dans l'obligation de choisir une (et une seule) valeur 7 ou 8.
Avec 7, il faut donc poser 7X+7X+1X+1X (pour être à moins de 5 pièces): il manquerait alors 130X en une seule pièce !
Avec 8, il faut choisir 8X+8X. Il faut alors écarter les multiples de 8. Il nous reste une pièce de 60X ou de 20X possible.
Mais on ne peut pas faire 140X avec quatre pièces si on dispose des pièces 1X, 8X, 60X et 90X ou 1X, 8X, 20X et 90X …
Donc pas de pièce possible de 90X.
Si c'est 60 X, en enlevant les diviseurs de 60, les deux autres types sont dans la liste :
7 8 9 40 50 60
On peut enlever la pièce de 40X, car 40X+40X+60X = 140X (avec seulement trois pièces)
60X+60X+60X > 140X, donc la seconde pièce est de valeur supérieure (ou égale) à (140-120)/2=10 : il s'agit donc de 50X.
Mais avec des pièces de 1X, 50X et 60X, il est impossible d'obtenir 140X en quatre pièces, quelle que soit la 4ème valeur.
Si c'est 50 X, en enlevant les diviseurs de 50, les deux autres types sont dans la liste :
3 4 6 7 8 9 20 30 40
On peut enlever la pièce de 40X, car 40X+50X+50X = 140X (avec seulement trois pièces)
50X+50X+50X > 140X, donc la seconde pièce est de valeur supérieure (ou égale) à (140-100)/2=20.
On raisonne alors sur la seconde valeur de pièce la plus élevée :
Si on choisit une pièce de 30X, alors on paye 140X au minimum avec quatre pièces : 30X+30X+30X+50X.
Alors la quatrième valeur est parmi : 4 7 8 9 20
Une seule possibilité se présente avec la pièce de 8X pour payer 146X en cinq pièces : 50X+50X+30X+8X+8X.
Première solution : 1X, 8X, 30X, 50X.
Si on choisit une pièce de 20X, alors on paye 140X au minimum avec quatre pièces : 50X+50X+20X+20X.
Alors la quatrième valeur est parmi : 3 6 7 8 9
Une seule possibilité se présente avec la pièce de 6X pour payer 146X en cinq pièces : 50X+50X+20X+20X+6X.
Seconde solution : 1X, 6X, 20X, 50X.
Si c'est 40 X, en enlevant les diviseurs de 40, les deux autres types sont dans la liste :
3 6 7 9 30 40
40X+40X+40X+40X > 140X, donc la seconde pièce est de valeur supérieure à (140-120)=20 : il s'agit de 30X.
On a donc 140X en quatre pièces avec 40X+40X+30X+30X…
Alors la quatrième valeur est parmi : 7 9
Aucune de ces deux valeurs ne permet d'obtenir 146X avec cinq pièces.
CONCLUSION : (2 solutions)
Mathland possède une monnaie composée de pièces de 1X, 8X, 30X et 50X,
OU de pièces de 1X, 6X, 20X et 50X.