1. Enigme n°9 ( Les pneus de la voiture de Loïc ) (Réponse à rendre au plus tard le lundi 11/02 à 9h)
Loïc vient de poser quatre pneus identiques tous neufs
sur sa voiture. En lui demandant à quelle "vitesse " ils
s’usent, il me répond qu’à l’avant chaque pneu tient
40000 km mais qu’à arrière, il dure 60000 km.
Sachant que Loïc n’aime pas gaspiller, et qu’il est donc prêt à interchanger
les trains de pneus avant et arrière, déterminer le nombre maximum de
kilomètres que Loïc peut parcourir avec ses quatre nouveaux pneus ?
Correction de l’énigme 9
Pour des pneus à l’avant, l’usure est proportionnelle au nombre de km réalisés.
Pour des pneus à l’arrière, l’usure est proportionnelle au nombre de km réalisés.
Si on change de place un train de pneus, l’usure à l’avant et à l’arrière se cumule…
On peut donc modéliser l’usure d’un train de pneus par une fonction à deux variables :
( ; )
40 000 60 000
x y
usure x y   où x représente le nb de km réalisés à l’avant et y le nb de km réalisés à l’arrière.
Si l’usure est égale à 0 , les pneus sont neufs ; c’est le cas pour (0;0) 0
usure  .
Si l’usure est égale à 1, les pneus sont à jeter ; c’est le cas (cf énoncé) pour (40000;0) (0;60000) 1
usure usure
  .
Bien sûr, si le premier train de pneus a fait x kilomètres à l’avant et y kilomètres à l’arrière, alors le second train a fait
le « contraire ». Loïc peut donc continuer à rouler tant que les deux conditions suivantes sont respectées :
( ; ) 1
usure x y  et ( ; ) 1
usure y x  . (avec 0
x  et 0
y  )
On peut étudier graphiquement ce système de deux inéquations cartésiennes :

2. La plage colorée correspond à celle qui permet encore de rouler.
Reste donc à savoir pour toute cette zone quel est le point qui autorise le plus grand nombre de km donné par x y
 .
Si on choisit un point à l’intérieur de la zone, il est possible d’augmenter le nombre de km en s’approchant de la bordure
(vers la droite en augmentant x ou vers le haut en augmentant y ).
Sur la bordure de la zone, le point qui amène le plus grand nombre de km est évidemment celui qui permet d’atteindre une
usure totale des deux trains de pneus en même temps.
Il reste donc à trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites :
1
24000
40000 60000
24000
1
60000 40000
x y
x
x y y

 
 



 


  


On trouve au final un maximum de 48000 km : il suffit par exemple que Loïc
intervertisse une fois ces deux trains de pneus au bout de 24000 km.