Matematike 1, ushtrime matematikore.

1. Ushtrime nga Matematika
Asistente:
Xhevahire Tërnava
Punuar gjatë 2005
tetor, 2007(rishikim)

2. Matricat
A =
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22
a23
…a2n
am1 am2 am3 …amn
a23
Tregon rreshtin
Tregon kolonën
A
B
X
…
K
J
I
H
G
F
E
D
C
Y
Z
Rreshtat e matricës
Kolonat e matricës
Matrica është një bashkësi e
elementeve të renditura në rreshta dhe
shtylla (kolona)

3. Mbledhja e dy matricave
A=
2 -1
3 4
B=
-3 -2
3 0
2 -1
3 4
-3 -2
3 0
A + B= =
=
-1 -3
6 4
+
2+(-3) -1+(-2)
3+3 4+0
Kujdes! –Mund ti
mbledhim vetëm
matricat e rendit të
njëjtë!
I mbledhim numrat me
ngjyrë të njejtë!

4. Zbritja e dy matricave
A=
2 -1
3 4
B=
-3 -2
3 0
A - B=
2 -1
3 4
-
-3 -2
3 0
=
2-(-3) -1-(-2)
3-3 4-0
=
5 1
0 4
=
Kujdes! –Mund ti
zbresim vetëm
matricat e rendit të
njëjtë!
I zbresim numrat me
ngjyrë të njëjtë

5. Trego se cilat shumëzime
janë të mundshme
1 3 4
1 5 6
*
1 -4 12
2 7 4
3 0 -5
=
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse elementet e një
rreshti nga matrica e parë
janë të barabarta me me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente
i ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa
elemente i ka matrica
e dytë ne kolonë.
Mund ti
shumëzojmë ato dy
matrica!

6. Trego se cilat shumëzime
janë të mundshme
1 3 4
1 5 6
*
1 -4 12
2 7 4
=
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse numri i elementeve të
një rreshti nga matrica e
parë janë të ndryshëm me me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente
i ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa
elemente i ka matrica
e dytë ne kolonë.
S’mund ti
shumëzojmë ato dy
matrica!


7. Shumëzimi i dy matricave
A=
2 -1
3 4
B=
-3 -2
3 0
A * B=
2 -1
3 4
*
-3 -2
3 0
=
2*(-3) + (-1)*3 2*(-2) + (-1)*0
3*(-3) + 4*3 3*(-2) + 4*0
=
=
- 6- 3 - 4- 0
- 9+12 - 6+0
=
-9 -4
3 -6
I shumëzojmë numrat me
ngjyrë të njëjtë

8. Shumëzimi i matricës me një
skalar
A=
2 -1
3 4
Si skalar le të jetë numri 5
5*A=
2 -1
3 4
=5* =
10 -5
15 20
5*(-1)5*2
5*3 5*4
A* 5=
Është njësoj!
D.m.th., numri 5 i
shumzëzon të gjithë
anëtarët e matricës!

9. Plotësimi i matricës me
anëtarë
A=
a21=a12=
a13=
a11=
a22=
a23=
a31=a32=
a33=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
6 3 0
1 8 -2
-1 10 2
Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me
numra hapësirat e zbrazta, të
ngjyrosura me të verdhë!
Forma e përgjithshme e
matricës së rendit të tretë!
Shembull:

10. Njehsoni katrorin e matricës
A=
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
2
=
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
* =
= =
-2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1)
1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1)
5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1)
=
7 6 6
12 19 6
-15 15 1
2

11. ??

12. Gjeni të panjohurat!
Duke u nisur nga kushti që dy matricat e
mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden
të panjohurat x dhe a.
x -2
-1 2a
=
3 -2
-1 2
Për të qenë matricat e barabarta
duhet që numrat me ngjyra të
njëjta të jenë të barabartë
x=3
2a=2 a=2/2 a=1
2=2
-1=-1

13. Definimi i përcaktorëve
2 -1 3
5 6 11
A=
Matrica s’është katrore.
S’ka përcaktor.
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
A=
Matrica është katrore.
Mund t’ia gjejmë përcaktorin.
|A| =
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
=
Dmth. Ekziston një
numër që e përcakton
tërë matricën katrore.
|A| Ose detA
Janë dy mënyrat e shënimit të
përcaktorit/determinantës
2X3
3X3

14. Përcaktorët e rendit të dytë
|A|=
- 2 1
0 - 3
+
-
= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6
Ky është numri që e përcakton apo
determinon matricën katrore
|B|=
x a
2 - 3
+
-
= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a

15. Përcaktorët e rendit të tretë
|A|= =
Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të
dytë të zgjidhet përcaktori
- 2*
0 -1
5 2
a21
Meqë 2+1=3 dmth numër
tek atëherë para 2 e kemi
– (minus)
+(-1)*
1 -1
7 2
+0*
1 -1
7 2
=
=
a22 a23
-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5
1 0 -1
2 -1 0
7 5 2

16. Metoda e Sarusit dhe e
trekëndëshit
A=
2 3 0
3 -1 7
0 1 4
2 3
3 -1
0 1
=
+
-

17. x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6
+
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
I/(-3)
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
x2 + 7x3 - x4 = -3
-2x1 - 2x2 + 4x3 - 2x4= -4
2x1 - x2+ 5x3 - 3x4 = 5
I/(-2)
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6I/(-3)
3x1 +3x2 - x3 - 3x4 = 0
5x3 - 6x4 = 6
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e dytë mu eliminu variabla x1
Ekuacionin e parë e
përshkruajmë
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x1
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e katërtë mu eliminu variabla x1
I
II
III
IV
Metoda e Gaussit

18. 3x2 +21x3 - 3x4 = -9II/ 3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
30x3 - 8x4 = -8
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
Ekuacionin e parë e
përshkruajmëEkuacionin e dytë e
përshkruajmë
Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x2
Ekuacionin e katërtë nuk ka
fare variabël x2 prandaj veç e
përshkruajmë
5x3 - 6x4 = 6

19. x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e parë e
përshkruajmëEkuacionin e dytë e
përshkruajmëEkuacionin e tretë e
përshkruajmë
Ekuacionin e tretë ose të katërtë e
shumëzojmë me një numër në mënyrë
që kur ti mbledhim në mes vete mu
eliminu variabla x3
30x3 - 8x4 = -8
-30x3 +36x4 = 36IV/(- 6)
28x4 = 28x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
28x4 = 28

20. x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
28x4 = 28
28x4 = 28IV
x4 = 28/28 = 1
x4 = 1
III 30x3 -8x4 = -8
30x3 = -8 + 8x4
30x3 = -8 + 8*1
30x3 = -8 + 8
30x3 = 0
x3 = 0/30=0
II x2 = -3 -7x3 + x4
x2 = -3 -7*0 + 1
x2 = -2
I x1= 2 - x2 + 2x3 - x4
x1= 2 –(-2)+ 2*0 - 1
x1= 2 +2 - 1
x1= 3
x3 = 0
I
II
III
IV
Fillojmë prej ekuacionit
të IV

21. Sistemet homogjene
Të zgjidhet sistemi homogjen
x + 2y + z = 0
3x - 5y + 3z = 0
2x + 7y – z = 0
Meqë të gjitha kufizat e lira të sistemit (dmth,
pjesa pas barazimit) janë të barabarta me 0
(zero), për këtë arsye sistemi quhet
homogjen!
Rasti kur D ≠ 0
D=
1 2 1
3 -5 3
2 7 -1
1 2
3 -5
2 7
=
+
-
5+12+21+10-21+6= 33
D = 33 ≠ 0Meqë
Sistemi ka vetëm zgjidhje triviale x=0, y=0 dhe z=0.

22. Rasti kur D = 0
3x + y + 2z = 0
x + 2y + 3z = 0
4x + 3y + 5z = 0
D=
3 1 2
1 2 3
4 3 5
3 1
1 2
4 3
=
+
-
30+12+6-16-27-5=0
D = 0Meqë
Sistemi ka edhe zgjidhje tjera përveç zgjidhjes
triviale x=0, y=0 dhe z=0.
x + 2y = - 3z
3x + y = - 2z
D=
3 1
1 2
= 5 Dx=
-2z 1
-3z 2
= -z
Dy=
3 -2z
1 -3z
= -7z
X=
Dx
D
-z
5
= Y=
Dy
D
-7z
5
=
E gjejmë determinanten e
sistemit dhe e shqyrtojmë
se me sa është baraz!

23. Ekuacionet matricore
Të zgjidhet ekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X: 2X+5E = 3A
A=
3 2 0
0 1 -2
1 4 -1
E=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2X = 3A - 5E =
3*
3 2 0
0 1 -2
2 4 -1
- 5*
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
9 4 0
0 3 -6
6 12 -3
-
5 0 0
0 5 0
0 0 5
=
4 4 0
0 -2 -6
6 12 -8
=
I zbresim numrat me
ngjyrë të njëjtë nga të
dy matricat.
2X =
4 4 0
0 -2 -6
6 12 -8
Duhet ta gjejmë veç
matricën X sa është.
X =
4 4 0
0 -2 -6
6 12 -8
=
4/2 4/2 0/2
0/2 -2/2 -6/2
6/2 12/2 -8/2
=
2 2 0
0 -1 -3
3 6 -4
1
2

24. Të zgjidhet ekuacioni matricor
x² -2 2
1 -1 1
4 2 1
= 2
x² -2 2
1 -1 1
4 2 1
=
x² -2
1 -1
4 2
2
Përcaktorin e zgjedhim duke
përdorur metodën e Sarusit ( duke i
shtuar dy kolonat e para
- x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2
-3x²+ 6 = 2
-3x² = 2 - 6
- 3x² = - 3
x² = 1
x = ±√ 1
x = ± 1
Katrori kur të del në anën tjetër të
barazimit bëhet rrënjë katrore!

26. Në qoftë se f(x)= 2x - 3
4 + x
të njehsohet f(-2), f(0) dhe f(3).
f(-2)= 2(-2) - 3
4 + (-2) =
- 4 - 3
4 - 2 =
-7
2
f(0)= 2*0 - 3
4 + 0 =
0 - 3
4 + 0 =
-3
4
f(3)= 2*3 - 3
4 + 3 =
6 - 3
4 + 3 =
3
7
Zgjidhje: 2x - 3
4 + x
f(x)=
Ku kemi x
zëvendësojmë -2
Ku kemi x
zëvendësojmë 0
Ku kemi x
zëvendësojmë 3

27. Funksionet
Te paraqitet grafikisht funksionit linear:
f(x)= 2x+3
Si ta gjej grafikun e
këtij funksioni se?
E kam një ide!Së pari e bëjmë
paraqitjen tabelare
x - 2 -1 0 1 2
y
f(-2)= 2(-2) +3 = -4+3= -1
f(x)= 2x+3
-1
Ku kemi x zëvendësojmë -2
Ku kemi x zëvendësojmë -1
f(-1)= 2(-1) +3 = -2+3= 1 1
Vlerat e x-it i marrim
të çfarëdoshme!
f(0)= 2(0) +3 = 0+3= 33
Ku kemi x zëvendësojmë 0
f(1)= 2 *1 +3 = 2+3= 55
Ku kemi x zëvendësojmë 1
f(2)= 2*2 +3 = 4+3= 77
Ku kemi x zëvendësojmë 2
Ehh, tash e bëjmë
paraqitjen grafike

28. Funksionet
Te paraqitet grafikisht funksioni: f(x)= 2x+3
Ehh, tash e bëjmë
paraqitjen grafike
x - 2 -1 0 1 2
y -1 1 3 5 7
f(x)=
2x+3
I bashkojmë pikat e gjetura në
tabelë dhe lakorja qe i lidhë ato
pika është grafiku i funksionit
Funksioni linear e
ka grafikun drejtëz!

29. Të konstruktohet grafiku i funksionit kuadratik:
Vëmendje! Së pari i gjejmë zerot e funksionit
kuadratik e pastaj edhe pikën e kulmit.
Zgjidhje:
Zerot e funksion-it janë pikat ku
lakorja e prek boshtin x. I gjejmë me
anë të formulës x1/2
x =
-b
2a Me anë të kësaj e gjejmë
pikën e kulmit të funksionit!
=
-(-3)
2*1
=
3
2
Tash e gjejmë sa është vlera e
funksionit në x=3/2
Prej nga e formojmë tabelën:
x 2 1 3/2
y 0 0 -1/4
Janë zerot e
funksionit!
Është kulmi
i lakores
Tash e vizatojmë lakoren e funksionit
kuadratik e cila është parabolë
0232
=+− xx
a
acbb
x
2
42
2/1
−±−
=
12
214)3()3( 2
2/1
⋅
⋅⋅−−±−−
=x
2
13
2
13
2
893
2/1
±
=
±
=
−±
=x
2
2
4
2
13
2/1 ==
+
=x
1
2
2
2
13
2/1 ==
−
=x
2
2
3
3
2
3
)(
2
+





−





=xf
4
1
4
8189
2
2
9
4
9
)( −=
+−
=+−=xf
23)( 2
+−= xxxf

30. x 2 1 3/2
y 0 0 -1/4
Ja se si duket grafiku i funksionit kuadratik
3/2
-1/4
“Kulmi” i
parabolës
Vlerat nga tabela i
paraqesim me radhë në
sistem koordinativ!
23)( 2
+−= xxxf

31. Diçka për funksionin kuadratik…
• Kur a>0 funksioni ka formën:
• Kur a<0 funksioni ka formën:
• Kur x1 dhe x2 janë vlera reale atëherë funksioni ka zero (d.m.th. grafiku e prekë
boshtin x)
• Kur x1 dhe x2 janë vlera komplekse, funksioni s’ka zero (d.m.th. grafiku se prekë
boshtin x)
• Kur x1 dhe x2 janë të barabarta atëherë grafiku e prek boshtin x në një pikë dhe
poashtu ka kulm në po atë pikë!
Grafiku i funksionit kuadratik
gjithmonë është parabolë

32. Të gjendet zona e përkufizimit të funksionit:
Zgjidhje:
Duhet ti gjejmë vlerat e x-it për
të cilat vlera, emruesi i thysës
bëhet zero!
Pra,
0 1 2 3-1-2
x=0
Për x=0 funksioni s’ka kuptim!
Prej nga; zona e përkufizimit të funksionit është:
- ∞ + ∞
Dmth pika 0 nuk përfshihet!
x
x
xf
2
3
)(
−
=
)0,(−∞∈x ∪ ),0( +∞
02 =x
0
2
0
==x

34. Të njehsohet limiti i funksionit )573(lim 2
2
+−
→
xx
x
Zgjidhje:
)573(lim 2
2
+−
→
xx
x
Ku kemi x
zëvendësojmë 2
52723 2
+•−•= 351412 =+−=
Pra, 3 është limiti i
funksionit në pikën x=2
Të njehsohet limiti i funksionit
2
57
lim 2
3
1 +
+−
→ x
xx
x
Zgjidhje:
2
57
lim 2
3
1 +
+−
→ x
xx
x
21
5171
2
3
+
+⋅−
=
3
1−
=
Ku kemi x
zëvendësojmë 1
Pra, -1/3 është limiti i
funksionit në pikën x=1

35. Të gjenden asimptotat e funksionit:
2
)(
2
−
=
x
x
xf
Zgjidhje:
Asimptota horizonatale:
Lxf
x
=
±∞→
)(lim
=
−±∞→ 2
lim
2
x
x
x
=
−
±∞→
xx
x
x
x
x 2
lim
2
=
−
±∞→
x
x
x 2
1
lim ∞=
∞
=
−
∞
101 Meqë limiti është ∞, kjo do
të thotë se funksioni nuk
ka asimptotë horizontale!
Asimptota vertikale: ±∞=
→
)(lim
0
xf
xx
=
−→ 2
lim
2
0 x
x
xx
=
−→ 2
lim
2
2 x
x
x
∞==
− 0
4
22
22
Meqë limiti është ∞, kjo do të
thotë se funksioni ka
asimptotë vertikale në pikën
x=2
L është numër!
Pjestojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
X0 është pika ku funksioni
s’është i përkufizuar!
Ku kemi x zëvendësojmë 2
=0

36. Asimptota e pjerrët:
lkxy +=
x
xf
k
x
)(
lim
±∞→
= [ ]kxxfl
x
−=
±∞→
)(lim
=−=
±∞→ x
x
x
k
x
2lim
2
=
−±∞→ xx
x
x 2
lim 2
2
22
2
2
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
−
±∞→
=
−
=
±∞→
x
x 2
1
1
lim 1
1
1
= k=1
=−
−
=
±∞→
]1
2
[lim
2
x
x
x
l
x
=
−
+−
±∞→ 2
2
lim
22
x
xxx
x
=
−±∞→ 2
2
lim
x
x
x
=
−
±∞→
xx
x
x
x
x 2
2
lim 2
1
2
= l=2
lkxy += 2+= x
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Është asimptotë e pjerrtë
Paraqitja grafike e asimptotave:

37. 
Njehsoni asimptotat e grafikut të funksionit:
4
1
)(
−
=
x
xf
Asimptota horizonatale:
Asimptota vertikale:
Lxf
x
=
±∞→
)(lim
±∞=
→
)(lim
0
xf
xx
=
−±∞→ 4
1
lim
xx
=
−
=
− ±∞→±∞→
xx
x
x
x
x
x
xx 4
1
lim
4
1
lim 0
1
0
4
1
1
lim ==
−
±∞→
x
x
x
0x
0x është pika ku funksioni s’është i përkufizuar
Konkretisht:
40 =x
040 =−x
4
1
lim
4 −→ xx
∞==
−
=
0
1
44
1
d.m.th., y=0
është asimptotë
horizontale
Pra, vërtetuam se
drejtëza x=4 është
asimptotë vertikale
Asimptota e pjerrët: Nuk ka asimptotë të
pjerrët meqë ka
asimptotë horizontale!

38. Asimptota horizontale: S’ka!
Asimptota vertikale: x=2
Asimptota e pjerrtë: y=x-2
x=2
x - 2 -1 0 1 2
y = x -2 -4 -3 -2 -1 0
y=x-2

39. Njehsoni derivatin e funksionit 3257)( 23
−+−= xxxxf
=′ )(xf
=−+⋅−⋅ −−−
322537 111213
xxx
=′−+− )3257( 23
xxx
=−+− 021021 2
xx
Gjithmonë fuqinë për 1 e
zbresim!
Derivati shënohet me presje (‘)
21021 2
+− xx
X në fuqinë 0
është =1
Derivati i çdo
numri është 0
=0

40. Njehsoni derivatin e funksionit )57)(32()( 2
−+= xxxf
( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=
′
⋅ Kur kemi shumëzim të dy funksioneve,
derivatin e njehsojmë me anë të kësaj formule
=′ )(xf )32[( +x )32( ′+= x +− )57( 2
x )57( 2
′−x)32( +x
xxx 14)32()57(2 2
++−= xxx 42281014 22
++−= 104242 2
−+= xx
])57( 2
′−x
=0 =0

41. 2
v
vuvu
v
u ′⋅−⋅′
=
′






Njehsoni derivatin e funksionit 43
32
)(
+
−
=
x
x
xf
( ) =
+
′+−−+
′
−
2
)42(
)43)(32()43(32
x
xxxx=
′






+
−
=′
43
32
)(
x
x
xf
=
+
−−+
2
)42(
3)32()43(2
x
xx
=
+
+−+
2
)42(
9686
x
xx
2
)42(
17
+x
=0 =0

42. Të gjenden intervalet e monotonisë së funksionit
x
x
y
12
+
=
Së pari gjejmë derivatin e parë
′





 +
=′
x
x
y
12
( ) ( )







 ′⋅+−⋅
′
+
= 2
22
11
x
xxxx
2
2
12
x
xxx −−⋅
= 2
22
12
x
xx −−
= 2
2
1
x
x −
=
Gjejmë zerot e derivatit të parë
0=′y
0
1
2
2
=
−
x
x
012
=−x
12
=x
1±=x
u’ v u v’-
v²
=0
=1
Kur vetëm A=0!0=
B
A

43. Formojmë tabelën me zero të f’(x) dhe pika ku
s’është i përkufizuar funksioni
x
f’(x)
f(x)
+
4
3
4
14
)2(
1)2(
)2( 2
2
+=
−
=
−
−−
=−′f
-
-3
1
3
4
1
4
41
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
−=
−
=
−
=
−
=
−
=′f
3
1
3
4
1
4
41
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
−=
−
=
−
=
−
=
−
−−
=−′f
4
3
4
14
)2(
1)2(
)2( 2
2
+=
−
=
−
=′f +
E shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë!
0)( >′ xf
0)( =′ xf
0)( <′ xf
2
1
2
1
11
1
1)1(
)1(
2
−=
−
=
−
+
=
−
+−
=−f
2
1
2
1
11
1
11
)1(
2
==
+
=
+
=f
-2
2
Funksioni s’është i
përkufizuar për x=0
-2ështënëmes(-∞,-1)
-1/2ështënëmes
(-1,0)
1/2
ështënëmes
(0,1)
2
ështënëmes
(1,+∞)
(-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
Funksioni është
rritës
Funksioni është
zvogëlues
Funksioni është
konstant
0 0
x= -1 është zero e f’(x)x=1 është zero e f’(x)

44. Pikat ekstreme të funksionit
x (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) -2 2
Janë pikat ekstreme të funksionit!Max (-1, -2) Min (1, 2)
Le ti paraqesim grafikisht!
Max
Min
x=0 dhe y=x
janë asimptota!

45. ??