Detyra të zgjidhura

1. SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE
 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
Bashkësinë e ekuacioneve të formës ......... 1
.......................................
...
ku R, R 1,2,..., ; 1,2,..., ,ndërs
n
n
m m mn m
ij i
a x a x a x b
a x a x a x b
m
a x a x a x b
a b i m j n
    
    


    
    1 2a , ,..., të panjohurat quhen sistem i
ekuacioneve lineare me të panjohura. Numri quhet koeficientë, ndërsa quhet gjymtyrë
e lira të sistemit.
n
ij i
x x x
n a b
Ekzistojnë disa metoda për zgjidhjen e sistemeve tëekuacioneve lineare:
1. Metoda e zëvendësimit
Zgjidhet njëra nga të panjohurat prej cilit do ekuacion të sistemit dhe
zëvendësohet në ekuacionet tjera dhe me atë rast numri i të panjohurave
zvogëlohet për një. Duke vazhduar këtë mënyrë, problemin e kthejmë deri
te zgjidhja e një ekuacioni linear me një të panjohur.
2. Metoda e eliminimit
Duke shfrytëz
   
uar vetinë se bashkësia e zgjidhjeve e një sistemi nuk ndryshon
nëqoftë se disa apo të gjitha ekuacioneve të tij shumëzohen pjesëtohen
me shprehje të ndryshme nga zeroja dhe u shtohet ndonjë
ekuacioni
 
 
 
tjetër, bëhet reduktimi i numrit të të panjohurave.
3. Metoda e përcaktorëve formulat e Kramerit -
Nëse , dhe atëherë sistemi 1 mundë të zgjidhet me formulat
e Kramerit Cramer , ,...,yx
m n
DD
x y n
D D

  nD
D


2. Detyra të zgjidhura :

 
2 3 7
1
3 2 7
:
3 7 22 3 7 3 7 2 3 7 2 3 7 2
3 2 7 2 73 2 7 3 2 7 3 14 4 7 7 7 14
1
3 7 2 3 7 2 3 3 7 6 3 1
3
7 21 3 3 3
3
x y
x y
Zgjidhje
y xx y y x y x y x
x xx y x y x x x
y x y y y y
x x x x
x
 

 
           
       
              

            
        
        

 
2 3 4
2
5 2 5
:
4 34 3
4 3
22 3 4 2 4 3 2
2
5 4 35 2 5 5 2 5 4 3
2 5 2 20 15 4 105 2 5
22
10
4 3 4
4 3 11
2 2
11 10 10
11
x y
x y
Zgjidhje
yy x yx
x y x y x
yx y x y y
y y yy
y
xx x
y
y
 

 
           
                          
  
       
   
     

30 14
711 11
2 2 11
10 10
11 11
x
y y
 
 
  
 
 
    
 

 
 
3 2 9
3
2 3
:
3 2 9 3 2 2 3 93 2 9 3 4 6 9 7 9 6
3 2 12 3 2 3 2 32 3
15 15 15
7 15 7 7 7
2 3 15 30 9
2 3 3
7 7 7
x y
x y
Zgjidhje
x y x xx y x x x
y xx y y x y xy x
x x x
x
y x
y y y
 

 
              
        
            
  
       
      
         
    

3. 
 
 
 
2 10
4
3
:
2 3 102 10 2 10 6 2 10 6 10 10 6
3 3 3 3 33
44 1 4
3 4 73
x y
x y
Zgjidhje
y yx y x y y y y y
x y x y x y x y x yx y
yy y
x xx y
 

 
                  
          
              
        
    
      

 
 
3 5
5
2 5 9
:
3 55 3 13 5 3 5 3 5
2 5 3 5 92 5 9 2 15 25 9 17 25 92 5 9
3 5
3 5 3 5 3 2 5 6 5
34
17 9 25 17 34 2
17
x y
x y
Zgjidhje
y xy xx y y x y x
x xx y x x xx y
y x
y x y x y y
x x xx
 

 
              
        
             
 
          
       
     
1
2 2
y
x x
 
 
  

2 4
6
3 6
:
2 4 2
2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 1
26
3 6 2 2 2 2
23
x y
y
Zgjidhje
x y
x y x x x xx
y y y y yy
y
 


  
            
           
          

     
     
     
     
3 5 1 8
7
2 3 5 7 10 12 1
:
3 5 1 8 5 3 15 8 8
10 14 15 21 10 10 12 122 3 5 7 10 12 1
3 2 7 3 9 6 21 3
8 6 18 4 3 3 94 3 9 2
x y x y
x y x y
Zgjidhje
x y x y xy x y xy x y
xy x y xy x yx y x y
x y x y x
x y yx y
    

    
           
  
           
          
   
        
3 3
3 3 1
x x
y y
  
  
    

4. 
  
  
 
2 3 2
8
2 3
:
2 3 2 3 2 6 2 3 2 6 2 3 2 4
2 3 2 3 2 32 3
4 24 2
4 2
33 4 2 3
3
2 4 24 22 3
2 32 3
3 3
x y xy
x y
Zgjidhje
x y xy xy x y xy x y x y
x y x y x yx y
yy xxy
x y x
yyx y
y yx y
   

 
               
     
         
      
                     
3 3
4 2
4 2 4 2 4 2
3
3 3 3
1
8 4 3 9 7 9 8 7 1
7
1
104 2
7
7
3
1
1
7
7
y
y y y x
x x x
y y y y y
x
x
y
y




 


           
       
            

    
  
  
  


 
6 3
9
2 5 13
:
3 3
6 3 6 3 6 6
3 2 32 5 13 2 5 13
2 5 13 5 13
6 6
3
3 3 3
6
6 6
3
5 13 3 3 15 39 14 39 3
3
x y
x y
Zgjidhje
y y
x x
x y x y
y yx y x y
y y
y
x y y
x x x
y
y y y y
 

  
  
        
      
                     

        
     
             
 
3
6
6
42
14 42
14
3 33 6
1
6 66
3
3 33
y
y x
y y
y
xx xx
y
y yy

   
  
     
  
    
      
        

5. 
 
 
 
1
3 6
10
1
6 3
:
1 16 6 6 2 1 2 2 2 12 2 13 6 3 6
1 221 2
6 66
6 36 3
3 3
4 2 2 1 4 1 4 4 4
2 2 3
2
4
x y
x y
Zgjidhje
x y x y
x y y yx y
x y x yx yx y x y
y y
y y y
x y x y
x x



 

                
        
           
 

         
     
       

5
4



 


 
2 5
11
4
:
2 4 52 5 2 5 8 2 5 3 3 1
4 4 4 4 34
x y
x y
Zgjidhje
y yx y x y y y y y
x y x y x y x y xx y
 

 
                
         
             

  
  
  
  
 
5 3 2
12
1 3 2
:
5 3 2 3 5 3 5 173 5 15 2 3 5 17
3 3 2 3 51 3 2 3 5
42 7
3 15 25 17 12 42 12 2
3 5 3 5 7
3 5
2
x y xy
x y xy
Zgjidhje
x y xy x xxy x y xy x y
xy x y xy x yx y xy y x
x
x x x
y x y x
y
   

   
                
      
             
 
     
   
       
7
2
11
2
x
y
 
  
 
  
  

 
 
3 2 2 3
13
2
:
3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3
2 2 22
x y x y
y
Zgjidhje
x y x y x y x y x y x y x
y y yy
   


              
     
     

6. 
   
   
3 6 10 6 3 12
4
4 7
14
4 5 7 5 4 5
2
2 3
:
3 6 10 6 3 12
4 28
7 3 6 10 4 6 3 12 112 21 42 70 34 12 48 1124 7
12 15 21 103 4 5 7 2 5 4 5 124 5 7 5 4 5
2 6
2 3
x y x y
x y x y
Zgjidhje
x y x y
x y x y x y x y
x y xx y x yx y x y
   
 

     

    
               
  
               

 
 
8 10 12
10 610 6
545 54 90 :9 5 6 10 5 10 6 5
2 6 102 7 19 2 7 19 10 62 7 19 7 19 52 7 19
55
10 6 10 6
5 5
2 6 10 35 95 12 20 35 95
y
yy xx
x y x y x y
yx y x y yx y yy
y y
x x
y y y y


 
           
                             
  
   
  
         
10 6
10 6 10 6
5
5 5
115
23 95 20 23 115
23
10 6 5 40
8
5 5
5
5 5
y
y y x
x x
y y y
xx x
y
y y

       
     
             
  
   
    
   

   
   
3 6 4 3 2 1
6
7 4
15
4 2 4 4 5
8
3 2
:
3 6 4 3 2 1
6 28
4 3 6 4 7 3 2 1 168 12 24 16 21 14 7 1687 4
14 4 8 3 12 15 482 7 2 4 3 4 5 484 2 4 4 5
8 6
3 2
x y x y
x y x y
Zgjidhje
x y x y
x y x y x y x y
x y x yx y x yx y x y
   
 

     

    
               
    
                 

145 10145 10
33 10 145 33 145 10 3333
145 1011 8 71 11 8 71 145 10
8 71 311 8 71
333
145 10 145 10 145 10
33 33 33
10 155 24 213 34 213 155 34 68
yy
xx
x y x y
yx y x y y
yy
y y y
x x x
y y y y
        
       
            
  
    
   
   
       
145 10
33
68
34
145 10 2 165
5
33 33
2
2 2
y
x
y
xx x
y
y y

 
  
   
  
   
    
   

7. 
   
7 7 4 4 5
8
16 3 2
2
:
7 7 4 4 5
8 6 2 7 7 4 3 4 5 48 14 14 8 3 4 15 48
3 2
22
2
11 8 71 11 8 2 71 11 16 71 11 55 5
2 2 2 2 2
x y x y
y
Zgjidhje
x y x y
x y x y x y x y
yy
y
x y x x x x
y y y y y
   
 

 
    
               
    
  
            
        
        

   
   
   
   
 
 
 
3 1 5 2 30
17
2 2 3 3 6
:
3 1 5 2 30 3 3 5 10 30 3 3 5 10 30 3 5 37
2 4 3 9 6 2 3 6 13 2 3 72 2 3 3 6
1
3 5 37 193 3 7 5 37
2
1
13 7
3 72
2
x y
x y
Zgjidhje
x y x y x y x y
x y x y x yx y
x y yy y
x y
x y
   

   
               
      
               

       
   
     
   
95 5
5
1 1
43 7 3 5 7
2 2
y
y
xx y x
 
 
   
       

 
 
3
18
3 2 5 3
:
3 3 3 3 3 3
3 2 5 3 3 6 5 3 3 5 3 6 3 5 3 9 3 9 15 8
x
y x
Zgjidhje
x x x x x x
y x y x y x y y y


  
         
         
                   

 
2 3 1
19
3 2 8
:
1 3
1 3 1 3
2 3 1 2 1 3 2
2 2
3 2 8 3 2 8 1 3
3 9 4 16 13 16 33 2 8
2
1 3
1 3 1
22
2
13 1
1
13
x y
x y
Zgjidhje
y
y yx
x y x y x x
x y x y y
y y yy
y
x
xx
y
y y
 

 

            
        
                 

    
    
     

8. 
 
3 2
20
2 1
:
3 2 1 23 2 6 3 2 5 5 1 1
2 1 2 1 2 1 4 1 32 1
x y
x y
Zgjidhje
y yx y y y y y y
x y x y x y x xx y
 

  
             
         
              

  
     
   
1 3 4
21 2
2
3 2 6
:
1 3 4
1 3 4 3 3 4
2
2 4 3 3 122 6 2 2 3 12
3 2 6
3 4 3 3 7 3 7
2 3 3 12 4 4 8
x y xy
x x y y x
Zgjidhje
x y xy
x y xy xy x y xy
x x y y x
x x y y xx x y y x
x y x y x y
x x x y y y y
   

   
  

   
         
      
                

       
   
          
3 2 7 3 9 3
2 2 2 2
x x x
y y y
      
     
      

  
  
     
     
2 3 4 1
3 2 6 1
22
7 5 14 1
3 2 3
:
2 3 4 1
3 2 6 1
2 3 6 1 4 1 3 23 2 6 1
7 5 2 3 14 1 37 5 14 1
3 2 3
3 2 3
12 2 18 3 12 8 3 2
14 21 10 15 14 4
x x
y y
x x
y y
Zgjidhje
x x
y y
x y x yy y
x y x yx x
y y
y y
xy x y xy x y
xy x y xy
 
  

  
  
  
   
      
  
          
  
      

    
 
10 15 5 :5 2 3 1 2 1 3
2 3 7 3 4 7 3 421 9 12 :3
1 31 3
1 3 1 3
22
2 2
7 3 11 3
7 3 4 3 4 2 21 7 6 8 15 15
2 2
x y x y x y
x y x y x yx y
yy xx y y
x x
yy
y y y y y
          
      
              
             
                                  
1 3 1 2
1
2 2
1
1 1
xx x
y
y y
   
     
    
   

9. 
 
 
 
 
 
2
2
3 2
23
1
3 2
2
:
2
2 6
2 2 12 3 4 2 12 3 11 2 0 11 23 2
6 6 4 1 10 6 1 10 6 16 4 11
3 2 2
2
22
1111
10 22
10 6 1
11
x y x
x
x y x
Zgjidhje
x y x
x
x y x x x y x x x y x y
x y x x y x yx y x
x y x
yy xx
yy
y

 

   

 
              
        
               

 
 
   

11
12
2 2 46
23
11 11 11
11
6 1 11 20 66 11 46 11 11
11 46
46
y y x
x x x
y y y y y
y
                  
       
                  


3 5
24
2 10
:
3 5 3 5 3 5 3 3 5 5 9 4
2 10 5 15 3 3 3 3
2 2
25
4
2 2 2 5 2 5 4 5 1
4 3 6 2 2 2
x y
x y
Zgjidhje
x y x y x y y y y
x y x x x x x
x y
x y
Zgjidhje
x y x y x y y y
x y x x x x
 

 
                 
          
           
 

 
            
        
         

 
 
:
4 34 3 1 4 3 4 3 4 3
5 4 3 35 3 0 6 65 3
4 6
4 3
2
3 24 3 3 24 27
6 6
6
3
6 6
5
Zgjidhje
x yx y x y x y x y
x y x yx y x y xx y
y y y y
x x x x
x y
x y
                   
         
              
            
      
   
 









10. 
 
2 2 2
27
5 7 31
2 2 2 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 14 62 10 10 10 14 62 10 24 725 7 31 2
10 10 10 10 30 10 10 20 2
3 3
:
3 3
x y
x y
x y x y x y x y
x y x x y y yx y
x y
Zgjidhje
x x x
y y y y
  

 
                
      
             
            
      
      

5 0
28 4
31
5 0 5 5 5
4 4 4 4
31 5 31 6 31 6 31 4
5 5 5 5 25
4 4 5 4 4
7
:
35 5 5
x y
y z
x y z
x y x y x y x y
y z y z y z y z
x y z y y z y z y y z z
x y x y x x
y z y z z
Z
z
y y y
gjidhje
 

 
   
       
   
              
                  
      
  
             
      
25 25
5 1 1
5 5 5
x x
z z
y y y
   
  
        
      

4 0
29 10 5 0
15
4 0 4 0 4 0
:
4 3 0
10 5 0 10 4 5 0 14 6 0 14 3 6 0
15 4 15 5 15 3
12 0
42 6 0
3
x y z
x y z
x y z
x y z x y z x y z y z
x y z x x
Zgjidhj
y y z z x y y
x y z x x y y z z x x
y z
y
x
e
  

  
   
               
   
                    
                
   

   
 
12 12 7 12
6 42 7 7
3 3 3
12 7 5
7 7
3 3
y z y z z
y y y
x x x
z z
y y
x x
            
  
         
      
     
 
    
   

11. 
   
   
3
0
2 3
3 3
30 2
3 4
3 13
5 4 10 20
3
0 6
2 3 3 2 3 0 3 3 6 2 0
3 3
2 12 4 3 3 2 24 4 12 6 3 24
3 4
4 5 6 134 5 6 13
3 13
20
5 4 1
:
0 20
x y z x
x y x z
x y z
x y z x
x y z x x y z z
x y x z
x y y z x y y z
x y zx y z
x
Zgjidhje
y z
 
 

 
 


  

  
  
       
  
             
      
   

3 6 0 43 6 0 4 12 24 04 12 24 0
4 18 3 24 4 18 3 24 6 27 244 18 3 24
4 5 6 13 4 5 6 13 4 5 6 134 5 6 13
4 12 24 0
6 27 24 7
7
x y zx y z x y zx y z
x y z x y z y zx y z
x y z x y z x y zx y z
x y z
y z





              
                      
                
  
   

4 12 24 0 4 12 24 0
42 189 16842 189 168
369 24642 180 7830 13 6
2
4 12 24 0
3 4 12 16 0 4 12 16
2
42 189 168 42 126 168 42 168 126
3
2 2
2
3
3
x y z x y z
y zy z
zy zy z
x y
x y x y
y y y
z z
z
       
  
       
          

    
     

          
 
   
 

4 16 12
42 42
2
3 3
4 16 12 4 4 1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y
y
z
x x x
y y y
z z z
 
   
 
   
 
  
 
  
     
  
       
  
    
  

12. 
       
     
31 Të zgjidhet sistemi:
3 2
2 2 5
- 0
:
; ;
3 1 1
2 1 2 1 2 2
2 2 1 3 -1 1 3 2 1- -1 1 -1 2 1-1 1 1 2 -1 -1 2
-1 1 1 1 1 -1
1 -1 1
3 2 1 -1 2-1 -2- 2 9-1- 4 5
2 1 1
2 1
5 2 1 2
0 -1 1
yx z
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje
DD D
Rregullat e Kramerit x y z
D D D
D
D
x
   

   
  
  
          
    
 
:
       
     
     
     
  
5 1 5 2
-1 1 2 2 1- -1 1 -1 5 1-0 1 1 5 -1 -0 2
-1 1 0 1 0 -1
2 2 1 -1 5 1 -5 6-5-5 6-10 -4
3 2 1
5 1 2 1 2 5
2 5 1 3 - 2 1 3 5 1-0 1 - 2 2 1-1 1 1 2 0-1 5
0 1 1 1 1 0
1 0 1
3 5-0 - 2 2-1 1 0-5 15- 2-5 15-7 8
3 1 2
2 5 2 5 2 2
2 2 5 3 -1 2 3 2 0- -1 5
-1 0 1 0 1 -1
1 -1 0
y
z
D
D
        
     
           
    
         
     
-1 2 0-1 5 2 2 -1 -1 2
3 0 5 -1 0-5 2 -2- 2 15 5-8 20-8 12
4
- -1
4
8
2
4
12
3
4
x
y
z
D
x
D
D
y
D
D
z
D
    
      
  
  
  

13. 
     
   
31 2
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
32 Të zgjidhet sistemi:
2 3 11
2 5 3
3 2 -1
:
; ;
1 2 3
1 5 2 5 2 1
2 1 5 1 -2 3 1 1-10 -2 2-15 3 4-3
2 1 3 1 3 2
3 2 1
1 -9 -2 -13 3 1 -9 26 3 -9 29 -20
11
xx x
x
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje
DD D
Rregullat e Kramerit x y z
D D D
D
D
   

   
   
  
     
        

:
     
 
       
         
2
3
2 3
1 5 3 5 3 1
3 1 5 11 -2 3 11 1-10 -2 3 5 3 6 1
2 1 -1 1 -1 2
-1 2 1
11 -9 -2 8 3 7 -99-16 21 -94
1 11 3
3 5 2 5 2 3
2 3 5 1 -11 3 1 3-5 -1 -11 2-5 3 3 2 -1 -3 3
-1 1 3 1 3 -1
3 -1 1
1 3 5 -11 2-15 3 -2-9 8-11 -13 3 -11 8 11 13-3 11 8 143-33 118
1 2 1
x
x
D
D
      
      
       
           
      
   
/:2
1 /:2
/:2
2 /:2
/:2
3 /:2
1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 -2 11 1 -1-6 -2 -2-9 11 4-3
2 -1 3 -1 3 2
3 2 -1
1 -7 -2 -11 11 1 -7 2 11 11 -7 22 11 26
-94 47
-
20 10
118 59
20 10
26 13
20 10
x
x
x
    
          
 
 
 

14. 
     
33 Të zgjidhet sistemi:
3 1 5
2 2 2
2 - 6
1 5
1
3 3
:
3 1 5
2
3 2 52 2 2
2 - 6 2 - 6
5 31 5
1 3
3 3
3 2 1
1 1 2 1 2 1
2 1 1 3 2 1 3 0 5 2 0 1 1 10 1
5 0 1 0 1 5
1 5 0
15 2 11
x y z
x y z
x y
Zgjidhje
x y z
x y z
x y z x y z
x y
x y
D

   

  

  


         
     
       

 
           
     15 13 2
5 2 1
1 1 6 1 6 1
6 1 1 5 2 1 25 6 27 4
5 0 3 0 3 5
3 5 0
3 5 1
6 1 2 1 2 6
2 6 1 3 5 1 5 6 6 9 2
3 0 1 0 1 3
1 3 0
3 1 2
2 5 2 5 2 2
2 2 5 3 1 2 9 12 5 0 5-90 12 2
1 0 1 0 1 1
1 -1 0
4
2
2
2
1
2
2
1
2
x
y
z
x
y
z
D
D
D
D
x
D
D
y
D
D
z
D
   
 
           
 

        
 

          
 

  

   


  


15. 
   
   
 
   
             
 
             
      
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
34
2 2
:
2
2 2 4 3
2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
4 2 2 4 4 2 2
x
a b x a b y a b
a b x a b y a b
Zgjidhje
a b a b
D a b a b a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
D a b a b a b a b a b a b a ab ba b
a b a b
a b a b a ab b a ab ab b a ab
    

    
 
              
 
 
                 
 
           
 
 
 
             
     
 
 
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 2 2 2 3 3 3
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 3 3
3
3
3
y
x
y
b
a ab b a ab b a ab a a b
a b a b
D a b a b a b a b a b a b a ab ba b
a b a b
a ab ba b a ab ba b a ab b a ab b b ab b a b
a a bD a
x
D a ba b
D b
y
D
 
         
 
                 
 
                  

  

 
 
 
2
3
a b b
a ba b




   
   
     
  
     
2 2 2
2 2 2
2 2
1 2 1 2
35
3 3 1 1
:
1 2 1
1 3 1 3 2 1
3 3 1
3 2 1 2 5 3 3 1 1 2
2 2 1
2 3 1 1 2 1
1 3 1
6 2 3 2 2 1 6 5 1
5 6 1 5 5 1 5
x
m x m y m
m x m y m
Zgjidhej
m m
D m m m m
m m
m m m m m m m m
m m
D m m m m
m m
m m m m m m m m
m m m m m m m
    

    
 
       
 
           
 
       
 
           
              
     
  
  
  
  
  
2 2 2
1 1 1 5 1
1 2
1 1 3 2
3 1
2 1 2 6 3 2 3 5 1 2 5
1 5 1 5 1
1 2 2
1 2 5 2 5
1 2 2
y
x
y
m m m
m m
D m m m m
m m
m m m m m m m m m
m mD m
x
D m m m
D m m m
y
D m m m
     
 
       
 
            
  
  
  
  
  
  