Chinese (zh-tw) Haskell Fundamentals

1. 函數程式語
言： Haskell
基礎
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
函數程式語言： Haskell 基礎
有型態的
Lambda
Calculus
(Typed) 黃耀賢
Haskell 基礎
(Basics)
小結
(Subtitle)
edward@tc.program.com.tw
參考文獻 微程式技術研討會
(Bibliography)
October 22, 2008
1 / 30

2. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Outline
黃耀賢
起頭
(Beginning)
1 起頭 (Beginning)
Lambda
Calculus
有型態的
Lambda
2 Lambda Calculus
Calculus
(Typed)
Haskell 基礎 3 有型態的 Lambda Calculus (Typed)
(Basics)
小結
(Subtitle) 4 Haskell 基礎 (Basics)
參考文獻
(Bibliography)
5 小結 (Subtitle)
6 參考文獻 (Bibliography)
2 / 30

3. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Leibniz 的理想
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
1 通用語言：創造一種語言，使能描述各種問題。
有型態的
Lambda Frege 和 Russell 等數學家，以初階述語邏輯所描述的集
Calculus
(Typed) 合論形式解決。
Haskell 基礎
(Basics)
2 決策問題：找到一種決策法，將所有以通用語言描述的
小結 問題解決。
(Subtitle)
為一哲學問題：「能夠以通用語言解答所有難題嗎？」，號稱為
參考文獻
(Bibliography) Entscheidungsproblem /Entquot;S2IdUNspô6bl@m/ (德語，意為「決策問
題」)。
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4. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Entscheidungsproblem 求解
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
同時由 Church 與 Turing 各自證為否定。為了證明，需要下
有型態的
Lambda 列工具
Calculus
(Typed) • Lambda calculus：Alonzo Church 在 1936 年發明的正式
Haskell 基礎 系統，並定義可執行函數的標記法。
(Basics)
小結 • Turing machines：Alan Turing 在 1936 年 7 月發明的機
(Subtitle)
器類型，並定義可執行函數的標記法。
參考文獻
(Bibliography) 同年，Turing 證明二種模型有同樣強度，是由於定義了相同的可執
行函數。
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5. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Turing machines 的發展
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
有型態的
Lambda
Calculus
(Typed)
Haskell 基礎
(Basics)
小結
(Subtitle)
Figure: Turing Machine 的藝術式圖現。1
參考文獻
(Bibliography)
• Von Neumann 計算機以 Turing machine 概念為基礎。
• 命令程式語言，包括組合語言、 Fortran 、 Pascal 等等
都根據 Turing machine 接受指令的方式而出現。
1
圖摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Turing machine gallery
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6. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Lambda calculus 的發展
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus • Alonzo Church 在 1936 年提出 lambda calculus 正式系
有型態的
Lambda 統，並定義可執行函數的標記法。
Calculus
(Typed) • Haskell Brookes Curry 和 Alonzo Church 先後在 1934 年
Haskell 基礎 和 1940 年介紹有型態的 lambda calculus 。
(Basics)
小結 • 函數程式語言，包括 Miranda 、 ML 、 Haskell 等等都
(Subtitle)
根據 lambda calculus 而出現。
參考文獻
(Bibliography) • Lisp 是較早期的例子，但混雜一些其他概念。
• Reduction machines 由函數程式的執行而出現。
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7. 函數程式語
言： Haskell
基礎 算式的構成
黃耀賢
起頭
(Beginning)
• Lambda calculus 的算式都表達為函數，由 Lambda
Lambda Term (lambda 詞彙) 構成。
Calculus
• 任意變數就是 lambda term 。
有型態的
Lambda 例如： x
Calculus
(Typed) x′
Haskell 基礎
(Basics)
• 一些 lambda term 放在一起，也是 lambda term。
小結 例如： x x ′
(Subtitle)
(x x ′ ) y z
參考文獻
(Bibliography) • 以“λ 變 數 . lambda term”格式構成的詞彙，也是
lambda term。
例如： λx. x (lambda abstraction ， lambda 抽象
化)
λx y . x y
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8. 函數程式語
言： Haskell
基礎 算式的性質
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda • 範圍： “λ x. M”格式的 lambda term ，存在於 M 中的 x
Calculus
都是「受限制的」(bound)。例如：
有型態的
Lambda x ((λx. x + 1)y ) z ′
Calculus
(Typed) x 是受 限 制 的 變 數 。
受
Haskell 基礎
(Basics)
• 不受限制的變數稱為自 由 變 數 (free variable)。
自
小結 • 封 閉 的 lambda 詞 彙 ：若一則 lambda 詞彙中沒有自由
(Subtitle)
參考文獻
變數（意思是所有的變數都受限制），是封閉 lambda
(Bibliography) 詞彙(closed λ term)。
• 不是封閉 lambda 詞彙的，是開 放 的 lambda 詞 彙 (open
開
λ term)。
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9. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Combinator
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus • 如果一則 lambda 詞彙是封閉的，就是一個 combinator
有型態的
Lambda
。
Calculus
(Typed) • Identity combinator I ≡ λx. x。
Haskell 基礎 • K ≡ λxy . x。
(Basics)
小結 • K∗ ≡ λxy . y 。
(Subtitle)
參考文獻
• S ≡ λxyz. x z (y z)。
(Bibliography)
• Fixpoint combinator Y ≡ λf . (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) 使
∀F . F (Y F ) = Y F 。
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10. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Reduction (簡化、約化)
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
• 令E 為構成一函數程式的式子，E 可以有一些改寫規則。
有型態的
Lambda Reduction 是將P，E 的一部份，根據改寫規則取代為另
Calculus
(Typed) 一個式子P ′ ，簡列為：
Haskell 基礎
(Basics) E [P] → E [P ′ ]
小結
(Subtitle) • 可 化 簡 的 式 子 ： λ 開頭的式子和其他參數放在一起，如
參考文獻 (λv .M)N，就可以化簡。
(Bibliography)
• 例如： (λxy . s x y ) u v −→ s x y [x := u, y := v ] ≡ s u v
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11. 函數程式語
言： Haskell
基礎 完全化約 (Full Reduction)
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
• 完 全 化 約 (full reduction)任何可化簡的式子可在任何時
有型態的 候化簡。
Lambda
Calculus • 例如：
(Typed)
Haskell 基礎
(Basics)
小結 id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
(Subtitle)
參考文獻
→ id(λz.z)
(Bibliography)
→ λz.z
→
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12. 函數程式語
言： Haskell
基礎 一般化約 (Normal Order Strategy
黃耀賢
Reduction)
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
• 一 般 化 約 (normal order strategy)最外邊、最左邊的可
有型態的
Lambda
Calculus
化簡式先化簡。
(Typed)
• 例如：
Haskell 基礎
(Basics)
小結
(Subtitle)
id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
參考文獻
(Bibliography) → λz.id z
→ λz.z
→
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13. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Call By Name
黃耀賢
起頭
(Beginning) • Call by name較嚴格，不容許在抽象化的 lambda 詞
Lambda 彙(即 λ 開頭的 lambda 詞彙)中做化約。
Calculus
有型態的
• 例如：
Lambda
Calculus
(Typed)
Haskell 基礎 id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
(Basics)
小結 → λz.id z
(Subtitle)
→
參考文獻
(Bibliography)
• Call by name又稱為 lazy evaluation。
• Haskell採用優化的 lazy evaluation，所有相同的 lambda
詞彙，第一個已經化簡的就儲存起來，後續的詞彙直接
參考第一個化簡的結果，而節省重複的化簡動作。
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14. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Call By Value
黃耀賢
起頭
(Beginning) • Call by value由最外邊的可化約式，並要先將參數化
Lambda
Calculus
約。
有型態的 • 例如：
Lambda
Calculus
(Typed)
Haskell 基礎
(Basics) id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
小結
(Subtitle)
→ λz.id z
參考文獻 →
(Bibliography)
• Call by value又稱為 strict evaluation。
• (λbfg . if b then f else g ) b f g 的化約不能做
call-by-value ，必須做 call-by-name 。
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15. 函數程式語
言： Haskell
基礎 建立數字計算系統
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus 1 定義 true ≡ K 和 false ≡ K∗ 。
有型態的
Lambda
2 定義選擇結構 [M, N] ≡ λz. z M N ，其中 z M N 表示
Calculus
(Typed)
if B then M else N。於是，
Haskell 基礎
[M, N] true = M
(Basics) [M, N] false = N
小結
(Subtitle) Proof.
參考文獻
(Bibliography)
[M, N] true ≡ (λz. z M N) (λxy . x)
= z M N[z := (λxy . x)] ≡ (λxy . x) M N
= x[x := M, y := N] ≡ M
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16. 函數程式語
言： Haskell
基礎 建立數字計算系統(續)
黃耀賢
起頭
(Beginning) 3 遞迴定義數字，將每個自然數 n 的數字定義為 n ：
Lambda
Calculus
0 =I
有型態的 n + 1 = [false, n ]
Lambda
Calculus 4 定義零和前後關係：
(Typed)
S+ n = n + 1
Haskell 基礎
(Basics) P− n + 1 = n
小結
(Subtitle)
Zero 0 = true
參考文獻
Zero n + 1 = false
(Bibliography)
Proof.
S+ ≡ λx. [false, x]
P− ≡ λx. x false
Zero ≡ λx. x true
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17. 函數程式語
言： Haskell
基礎 建立數字計算系統(續)
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
• 想定義加法運算如
有型態的
Lambda Add(0, y) = y
Calculus
(Typed) Add(x+1, y) = 1+Add(x, y)
Haskell 基礎 • 意思和這個 lambda 詞彙相同：
(Basics)
小結
Add x y = if Zero x then y else S+ (Add (P− x) y )
(Subtitle)
• 用 Y combinator 製作遞迴：
參考文獻
(Bibliography)
Add ≡ Y(λaxy . if Zero x then y else S+ (a (P− x) y ))
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18. 函數程式語
言： Haskell
基礎 簡單型態系統
黃耀賢
起頭 • 型態系統由 H. B. Curry 在 1934 年介紹，之後 1958 年
(Beginning)
和 1972 年做了一些改變，用自然的方式推導 lambda
Lambda
Calculus term 的型態。
有型態的
Lambda
• T 為型態的集合。
Calculus
(Typed) • 任何 lambda term M 都可以被指派為一個型態 σ ，只要
Haskell 基礎 σ ∈ T。
(Basics)
小結
• 函數套用：
(Subtitle) M:σ→τ N :σ
參考文獻
(Bibliography)
MN :τ
• 函數抽象化：
x:σ
.
.
.
M:τ
λx. M : σ → τ
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19. 函數程式語
言： Haskell
基礎 Haskell 簡介
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
有型態的 1 發明於 1987 年，以 Haskell Brookes Curry 為名。
Lambda
Calculus 2 Haskell 98 標準之後，舊版語言已拋棄。
(Typed)
Haskell 基礎 3 Haskell 是有 型 態 的函 數 式 程式語言。
有 函
(Basics)
小結
4 以 standard prelude 為預設標準函式庫。
(Subtitle)
5 有關資訊請參考 http://haskell.org 。2
參考文獻
(Bibliography)
2
http://haskell.org/ghc 為 GHC (一種 Haskell 98 的實作) 發佈的
網站，提供了 Windows 、 Linux 、 Solaris 和 Mac OS 版本的安裝程式。
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20. 函數程式語
言： Haskell
基礎 資料值 (Value) 和型態
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus • Haskell 預設下列資料型態：
有型態的 • 5 :: Integer
Lambda
Calculus • ’K’ :: Char
(Typed) • False :: Bool
Haskell 基礎 • [3,2,1] :: [Integer]
(Basics)
• (’b’, True) :: (Char, Bool)
小結
(Subtitle) • id :: a -> a
參考文獻 id x = x
(Bibliography)
• 測 定 型 態 (Typing)：“:: Type ” 是「有· · · 型態」的意
思，會做型態的建立和檢查。
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21. 函數程式語
言： Haskell
基礎 基本型態
黃耀賢
• Bool
起頭
(Beginning) • Char：用單引號圍起的字母。
Lambda • String：即一列 Char 資料，用雙引號圍起的許多字
Calculus
有型態的
母。 ”Hello” 就是 [’H’,’e’,’l’,’l’,’o’] 。
Lambda
Calculus
• Int：固定精確度的整數，值介 −231 ∼ 231 − 1 之間。
(Typed)
• Integer：任意精確度的整數。
Haskell 基礎
(Basics) • Float：單精確度的浮點數。
小結
(Subtitle)
• List 型態：用方括號包含型態標記為指定型態，構成 list
參考文獻 型態。 [Int] 是整數型態的 list 型態。
(Bibliography)
• Tuple 型態：用圓括號包含逗點分隔的多個型態，構成
tuple 型態。 (Int, Int) 是一對整數型態的 tuple 型
態。
• 函數型態：用 -> 箭頭連接多個型態，構成函數型態。
Int -> Int 是從一個整數型態對應到另一個整數型態
的函數型態。
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22. 函數程式語
言： Haskell
基礎 自訂型態
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus • 語法：
有型態的
Lambda
Calculus
data Type-constructor = Data-constructor s
(Typed)
• 定義「顏色」型態：
Haskell 基礎
(Basics) data Color = Red | Orange | Yellow
小結
(Subtitle)
| Green | Blue | Indigo | Violet
參考文獻 • 定義「點」型態：只有一個 data constructor ，必須參考
(Bibliography)
其他型態來建立型態。
data Point a = Pt a a
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23. 函數程式語
言： Haskell
基礎 「樹」資料結構
黃耀賢
起頭
(Beginning) • data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)
Lambda
Calculus • flatten :: Tree a -> [a]
有型態的 flatten (Leaf x) = [x]
Lambda
Calculus flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y
(Typed)
• 練習：
Haskell 基礎
(Basics) 1 將上述「樹」展平程式打字輸入在文字檔 test.hs ，存檔。
小結 2 確定 GHC 已安裝。
(Subtitle) 3 在命令列模式視窗中，切換到 test.hs 所存放位置，執行 ghci
參考文獻 。
(Bibliography)
4 在 GHCi 環境輸入 :l test.hs 載入程式。若回應錯誤訊息請
檢查程式碼。
5 在 GHCi 環境輸入 flatten (Branch (Branch (Leaf ’a’)
(Leaf ’b’)) (Leaf ’c’)) 並觀察結果。
6 在 GHCi 環境輸入 :q 關閉 GHCi 環境。
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24. 函數程式語
言： Haskell
基礎 效能瓶頸
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
• (++) :: [a] -> [a] -> [a]
有型態的
Lambda []++ys = ys
Calculus
(Typed) (x:xs)++ys = x:(xs++ys)
Haskell 基礎 • data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)
(Basics)
小結 • flatten :: Tree a -> [a]
(Subtitle)
flatten (Leaf x) = [x]
參考文獻
(Bibliography) flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y
• 計算複雜度是 O 2 。
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25. 函數程式語
言： Haskell
基礎 減少 ++ 的計算量
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda • 利用累 積 變 數 (accumulating argument)減少 ++ 的計
累
Calculus
有型態的
算量。
Lambda
Calculus • 令 flatten′ t acc = flatten t ++ acc ，
(Typed)
Haskell 基礎
• flatten′ (Leaf x) acc
(Basics) = { 由 flatten′ 的定義， }
小結
(Subtitle)
flatten (Leaf x) ++ acc
參考文獻
= { 套用 flatten }
(Bibliography)
[x] ++ acc
= { 套用 ++ }
x:acc
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26. 函數程式語
言： Haskell
基礎 減少 ++ 的計算量(續)
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda • flatten′ (Tree x y) acc
Calculus
= { 由 flatten′ 的定義 }
有型態的
Lambda flatten (Tree x y) ++ acc
Calculus
(Typed) = { 套用 flatten }
Haskell 基礎 (flatten x ++ flatten y) ++ acc
(Basics)
= { 由 ++ 的結合律 }
小結
(Subtitle) flatten x ++ (flatten y ++ acc)
參考文獻 = { 將 x 歸納 }
(Bibliography)
flatten′ x (flatten y ++ acc)
= { 將 y 歸納 }
flatten′ x (flatten′ y acc)
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27. 函數程式語
言： Haskell
基礎 減少 ++ 的計算量(末)
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
有型態的
Lambda
Calculus • 於是，
(Typed)
Haskell 基礎
flatten′ :: Tree a -> [a] -> [a]
(Basics)
flatten′ (Leaf x) acc = x:acc
小結
(Subtitle)
flatten′ (Tree x y) acc = flatten′ x (flatten′ y acc)
參考文獻
(Bibliography)
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28. 函數程式語
言： Haskell
基礎 小結和摘要
黃耀賢
起頭
(Beginning)
本次討論，我們知道了：
Lambda • 函數語言的源頭是 lambda calculus ，相對於命令式語言
Calculus
的源頭是 Turing machines.
有型態的
Lambda
Calculus
• Lambda calculus 定義了詞彙的構成與化簡規則。藉此可
(Typed)
以建立數學計算系統。
Haskell 基礎
(Basics) • Lambda 詞彙可以附加型態，並有合理的型態推導規
小結 則。
(Subtitle)
參考文獻 • Lambda calculus 的化簡有幾種策略，包括完全化簡、一
(Bibliography)
般化簡、 call-by-name 和 call-by-value 。
• Haskell 是有型態的函數語言。從基本的資料值開始，每
個詞彙都可以合理地推導型態。
• Haskell 容許以關鍵字 data 自訂型態。
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29. 函數程式語
言： Haskell
基礎 將來的內容
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda 將來會談論的項目有：
Calculus
• 運算元。
有型態的
Lambda
Calculus
• 類別。
(Typed)
• Haskell 的標準函式庫 (standard prelude) 。
Haskell 基礎
(Basics)
• 以 lambda 詞彙方式撰寫 Haskell 程式。
小結
(Subtitle) • 以數學方式撰寫 Haskell 程式。
參考文獻
(Bibliography)
• 區域變數。
• 高階函數。
• 輸入和輸出。
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30. 函數程式語
言： Haskell
基礎 參考文獻
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
1 Benjamin C. Pierce. Types and Programming Language. MIT, 2002.
有型態的 2 Graham Hutton. Programming in Haskell. Cambridge, 2007.
Lambda
Calculus 3 Henk Barendregt and Erik Barendsen. Introduction to Lambda
(Typed) Calculus. [Online] Available:
Haskell 基礎 ftp://ftp.cs.kun.nl/pub/CompMath.Found/lambda.pdf (Oct, 2008).
(Basics)
4 Hal Daum´ III. Yet another Haskell tutorial. [Online] Available:
e
小結
(Subtitle) http://www.cs.utah.edu/ hal/docs/daume02yaht.pdf (Oct, 2008).
參考文獻 5 Paul Hudak, John Peterson, and Joseph Fasel. A gentle introduction
(Bibliography)
to Haskell: Version 98. [Online] Available:
http://www.haskell.org/tutorial/ (Oct, 2008).
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