デジコミュ秋田2015 にて tsujimotter が発表した資料です。 デジコミュ秋田2015 http://www.digicommu-akita.net

1. 折り紙と数学の意外な関係
日曜数学者
辻順平 (tsujimotter)
http://tsujimotter.info
2015/11/14 sat. デジコミュ秋田

2. ハッシュタグ
#dcakita
2

3. 自己紹介
3

4. 辻 順平 (tsujimotter)
静岡県出身
-> 札幌（大学・大学院９年間）
-> つくば（２年）
専門はコンピュータサイエンス（博士（情報科学））
でも数学が大好き（日曜数学者）
4

5. 日曜数学とは
本職とは別に
趣味で数学を愉しむ行為のこと
• 好きなトピックを好きなだけ堪能できる
• 自身の専門分野を数学に生かす
5

6. 3Dプリンタ
「触れるゼータ関数」として DMM.make にて販売中
（価格 4,001 円 (素数) ∼298,999 円(素数) ）
ゼータ関数の3Dプロットの
STLファイル
プログラミング x 数学
触れるゼータ関数

7. 7
プログラミング x 数学
数学的なトピックを扱ったブラウザゲーム

8. 今回紹介するデモアプリも
すべてこちらのページに置いてあります。
tsujimotter のポートフォリオ
http://tsujimotter.info
8

9. 第８回ニコニコ学会β 数学セッション
ニコニコ生放送タイムシフトにてご覧ください http://live.nicovideo.jp/watch/lv217015496#2:00:00

10. 日曜数学会
（専門性は問わず）数学が好きな人が集まって，数学の楽しさを共有する会
（2015年6月, 8月, 10月開催）
ニコニコ動画で「日曜数学会」でタグ検索10

11. ノラヤサイエンスバー＠仙台
2015/07/11
11
photo

12. tsujimotter のノートブック
辻が興味を持った
数学的なトピックについて
熱く語って語りまくるブログ
http://tsujimotter.hatenablog.com
12

13. 数学について語るのが大好き
とにもかくにも
13

14. 今日のテーマ
折り紙の数学
14

15. トピックス
1. 折り紙を使って数の計算ができる
2. 折り紙公理
3. 正七角形を作ってみよう
15
[手を動かす時間]
[手を動かす時間]
[お話を聞く時間]

16. 折り紙を使って
数の計算ができる
16
トピック１
[手を動かす時間]

17. 題材：
正六角形
17

18. 折り紙でつくる雪の結晶
18
基本図形：正六角形

19. 19

20. 20

21. 21

22. この線がポイント
22

23. 1
23

24. 1
1
2
24

25. 1
1
1
2
25

26. 1
1
2
60
p
3
1
2
p
3
2
26

27. 折り紙を使って
数の計算ができた
1
1
2
p
3
2
27

28. 折り紙の数学
「折り紙でどんな数の計算ができるか」が理解できれば
「折り紙でどんな図形を作れるか」も理解できる
折り紙 ＝ 数の計算 と捉える

29. 折り紙で正六角形を作るためには
一辺の長さが “１” の円
60
29

30. 60
一辺の長さが “１” の円
30
ここの長さが折れればよい
（正六角形の場合: ½）

31. 60
一辺の長さが “１” の円
31
ここの長さが折れればよい
（正六角形の場合: ½）

32. 60
一般の正 n 角形に対して
の部分の長さを折ることができれば，
正 n 角形自身も折ることができる
360
n
32

33. 折り紙操作によって
どのような数を計算
できるのか？
ギモン
33

34. 「折り紙によってできること
を数学的に定式化しよう」
＝折り紙公理 [藤田 (1991)・羽鳥 (2001)]
34

35. 折り紙公理
折り紙によって可能な７つの基本操作
35
トピック２
[お話を聞く時間]

36. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
36

37. １
２つの平行でない直線から，
ただ１つの交点を折ることができる
交点
37
折り目＝直線

38. ２
２つの平行な直線から，
これらと平行で等距離にある直線を
折ることができる
平行で等距離にある
直線
38

39. ５
異なる２点から，
垂直二等分線を折ることができる
垂直二等分線
39

40. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによっても作図可能
40

41. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによって作図不能
（折り紙固有の操作）
41

42. 放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
42
折り紙によってできること
その１
その２
その３

43. 放物線の接線が
書ける
ん、どうやって？
折り紙では
43

44. 折り紙で放物線の接線が書ける
折り合わせる
放物線
デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/
接線
デモアプリあり
点
直線

45. 放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
45
折り紙によってできること
その１
その２
その３

46. 三次方程式って何だっけ？
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
一般には・・・
x3
- 2 = 0
2x3
+ 3x + 6 = 0
46

47. 三次方程式が解ける
いったいどうやって？
折り紙では
47

48. ７
48
異なる２点と異なる２直線からそれぞれ作られる
２つの放物線の共通接線を折ることができる
点
点
直線
直線
２つの放物線の
共通接線

49. 折り紙と三次方程式
折り重ねる
デモアプリあり
デモアプリ：http://tsujimotter.info/origami/cubic.html
傾き t が三次方程式の解
at3
+ bt2
- ct - d = 0
(b, a)
(-d, -c)
x = d
y = -a

50. 放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
50
折り紙によってできること
その１
その２
その３

51. 正七角形が折れる！
折り紙では
51

52. 60
一般の正 n 角形に対して
の部分の長さを折ることができれば，
正 n 角形自身も折ることができる
360
n
52

53. 一辺の長さが “１” の円
360
7
正七角形の場合：
53

54. 一辺の長さが “１” の円
360
7
正七角形の場合：
54
x = -
1
6
+
3
q
7
2 (1 + 3
p
-3)
6
+
3
q
7
2 (1 - 3
p
-3)
6

55. x = -
1
6
+
3
q
7
2 (1 + 3
p
-3)
6
+
3
q
7
2 (1 - 3
p
-3)
6
は三次方程式 t3
+ t2
- 2t - 1 = 0t = 2x の解
t = 2x とおくと
55

56. 正六角形の作図には や が必要
折り紙では や が計算できる
折り紙では正六角形が折れる！
1
2
p
3
2
1
2
p
3
2
＋
56

57. 正七角形の作図には が必要
折り紙では「三次方程式の解」が計算できる
＋
折り紙では正七角形が折れる！
x = -
1
6
+
3
q
7
2 (1 + 3
p
-3)
6
+
3
q
7
2 (1 - 3
p
-3)
6
三次方程式の解
57

58. 放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
58
折り紙によってできること
その１
その２
その３
ほんとに折れるの？

59. やってみましょう！
59

60. 正七角形を
折ってみよう
60
トピック３
[手を動かす時間]

61. 以下のページからダウンロードできます
http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101 61

62. 最終目標
α. 「斜めの線」
β. 「三本線」
γ. 「クロスの線」 62

63. 63

64. 64

65. 65

66. 66

67. 67

68. できあがり！！！
68

69. ところで
69

70. どこで三次方程式
でてきたん？
70

71. 折り重ねる
(b, a)
(-d, -c)
傾きが三次方程式の解
at3
+ bt2
- ct - d = 0
x = d
y = -a
a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・

72. 72こたえ：手順４の操作

73. まとめ
• 折り紙は数の計算ができる
• 計算できる数を考えることにより，折り紙の可能性
を数学的に理解できる
• 正七角形はたしかに折れる
73

74. 数学的知識は
新しいものの見方を提供してくれる
世界が広がる
74

75. 参考文献
• ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出版（2002
年）定価：2,800円
• トーマス・ハル 著 羽鳥公士郎 訳 「ドクター・ハルの折り紙数学教
室」日本評論社（2015年）定価：3,800 円
• 大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社 BLUE
BACKS（1993年）定価：780 円
• tsujimotter のノートブック, http://tsujimotter.hatenablog.com
75