2016/07/10 第15回数学カフェ【復習回】にて辻 (@tsujimotter) が発表したスライドです。 第15回数学カフェ【復習回】 http://eventdots.jp/event/591359/ tsujimotter の作品ページ（デモが見れます） http://tsujimotter.info/

1. @tsujimotter

3. • “ ”
•
•

4. ２
３
５
７
11
13
1+i 1-i
2+i 2-i
3+2i 3-2iイメージ

5. 質問タイム
質問タイム

6. お約束
以降， は素数を表す記号とするp

8. p = 2 or 1 + 4n () p = X2
+ Y2
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

9. ほんとに成り立つのか
13 = 22
+ 32
17 = 12
+ 42
29 = 22
+ 52
37 = 12
+ 62
41 = 42
+ 52
53 = 22
+ 72
57 = グロタンディーク
素数
5 = 12
+ 22

10. 大きな素数でも
2017 = 92
+ 442
20160709 = 27852
+ 35222

12. p = 3 or 1 + 3n () p = X2
+ 3Y2
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)

13. p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2
+ 7Y2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)

14. まとめると
p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2
+ 7Y2
p = 2 or 1 + 4n () p = X2
+ Y2
p = 3 or 1 + 3n () p = X2
+ 3Y2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

16. Primes of the form x2+ny2
http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/

18. 見方をかえる
p = X2
+ nY2
= (X + Y
p
-n)(X - Y
p
-n)
整数の世界で素数だったものが
√-n を加えた世界で分解してしまう

19. 整数に √-1 を加えた世界
5 は完全分解する 7 は惰性する （2 は分岐する）
整数の世界

20. • i を加えると別れてしまう
• i があると空中分解する
• i があっても惰性する
√-1 = i

21. 整数の世界
整数に √-1 を加えた世界

22. 整数の世界
整数に √-7 を加えた世界

24. Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
H
mod m で
分解法則が決まる
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔
p 2 H () p

25. 定義：２次体と円分体
Q
Q

26. 虚軸
実軸
円の５等分点
⇣5 = cos
✓
2⇡
5
◆
+ i sin
✓
2⇡
5
◆
⇣2
5
⇣3
5
⇣4
5
⇣5
5 = 1 （５乗すると１になる）
⇣5 = cos
✓
2⇡
5
◆
+ i sin
✓
2⇡
5
◆

27. a + b√-7
a
拡大次数
1 の軸
√-7 の軸
b
a
a+b√-7
a + b
p
-7

28. 二次体と円分体の拡大次数
[Q(√-1) : Q] のように書く

29. a + bζ+ cζ2 + dζ3 + …
a,b,…
m

30. ガウス和
虚軸
実軸
⇣5 = cos
✓
2⇡
5
◆
+ i sin
✓
2⇡
5
◆
⇣2
5
⇣3
5
⇣4
5
p
5 = ⇣5 - ⇣2
5 - ⇣3
5 + ⇣4
5
p
-p
p
p ⇣p
p
-7 = ⇣7 + ⇣2
7 + ⇣4
7 - ⇣3
7 - ⇣5
7 - ⇣6
7

31. 体の拡大の記法
Q
⇢⇢
K
Q(⇣m)
書き換え
Q
K
Q(⇣m)
[Q(⇣m) : K]
[K : Q]

32. Q(ζ4) = Q(√-1)
Q
体の塔
Q(ζ7 )
Q(√-7)
Q
体の塔
今回扱う「体の塔」たち

33. Q(ζm)
K
Q
体の塔
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
H
ガロア群
mod m の群の塔
p 2 H () p
mod m で
分解法則が決まる

35. a
α
β
b
K/Q

36. a
α
β
b
a
K/Q
α
β
b
グレー部分をかき混ぜる
白い部分は動かさない

37. 自己同型写像とは（補足）
f(↵ + ) = f(↵) + f( )
f(↵ ⇥ ) = f(↵) ⇥ f( )
×

38. 例：二次体 Q(√-1) のガロア群
a + b
p
-1

39. 例：二次体 Q(√-1) のガロア群
√-1
-√-1
√-1
-√-1
√-1 -√-1
√-1
-√-1
√-1
-√-1
この２つだけ

40. 例：円分体 Q(ζ7) のガロア群
a + b ⇣7 + c ⇣2
7 + d ⇣3
7 + e ⇣4
7 + f ⇣5
7 + g ⇣6
7

41. ζ7
ζ7
3
例：円分体 Q(ζ7) のガロア群
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4
ほか，全６つ
ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4

42. ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4
ガロア群の「掛け算」

43. ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4

44. ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4 ζ7
ζ7
3
ζ7
2
ζ7
5 ζ7
6
ζ7
4
(Z/7Z)⇥
= {1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7)}

45. (Z/mZ)⇥
Q(⇣m)
“m ”

46. 部分群
部分集合をとる
この集合も群をなす（「結合則」「単位元」「逆元」）

47. Q(ζ7)
Q
ガロア群
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
{ 1, 2, 4 (mod 7)}

48. Q(ζ7)
Q
固定する数
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔

49. Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)）
固定する数

50. Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
「拡大次数」と「群の割り算」が一致する
{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)）
固定する数

51. Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
「体が拡大」すると「群は縮小」する
固定する数

52. Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
H
mod m で
分解法則が決まる
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔

53. Q(ζ7)
Q(√-7)
Q
{ 1(mod 7) }
(Z/7Z)x
{1, 2, 4(mod 7)}
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod 7 の群の塔
「Q(√-7) における素数の分解法則」

54. まとめると
p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2
+ 7Y2
p = 2 or 1 + 4n () p = X2
+ Y2
p = 3 or 1 + 3n () p = X2
+ 3Y2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

57. p
p D
D
ここから始まる感動のストーリーを先取り

58. 体の塔
pOL = Pe1
1 Pe2
2 · · · P
eg
g
pOKK で素数
だったものが
・・・
素数じゃ
なくなる
（分解される）
L
K
※ L/K がガロア拡大のとき e1 = e2 = … = eg = e
拡大 L/K における分解法則

59. 体の塔
pOL = Pe1
1 Pe2
2 · · · P
eg
g
pOK
L
K
一般に，素数の分解は一意ではない※注意

60. L
KpOK
(P1P2 · · · Pg)e
D :
I : P1P2 · · · Pg
P1P2 · · · Pg
さらに細かくみる
e
f
g
[L:K]
[L : K] = e f g
ガロア群

61. 「分岐・不分岐・完全分解」の定義
ó
ó
ó
ópOK
(P1P2 · · · Pg)e
P1P2 · · · Pg
P1P2 · · · Pg
分岐
惰性
分解
L
K
e
f
g
[L:K]

62. L
KpOK
D
P1P2 · · · Pg
P1P2 · · · Pg
f
g
[L:K]
[L : K] = g
[L : K] = f g

63. “何も動かさない写像”
D

64. ∵ 同型定理

65. 体の塔
体の塔

66. [Q(⇣4)/Q]

67. pf
⌘ 1 (mod 4) f
31
⌘ 3 (mod 4),
32
= 9 ⌘ 1 (mod 4), f = 2
pf
⌘ 1 (mod 4) f f = 1
(A) p ⌘ 3 (mod 4)
(B) p ⌘ 1 (mod 4)
-! "p mod 4"
同型定理

68. (mod 4)
(mod 4)
g f = [Q(⇣4)/Q] f
[Q(⇣4)/Q]

69. Q(
p
-7)/Q

70. の場合を先に考えるQ(⇣7)/Q

71. Q(⇣7)/Q
g (= [Q(ζ7):Q] / f )f

72. さっきわかった
次はこっち

73. Q(⇣7)/Q
Q(
p
-7)/Q
= -
p
-7
√-7 を
-√-7 へ移す
写像
= (⇣3
7 + ⇣6
7 + ⇣5
7) - (⇣2
7 + ⇣1
7 + ⇣4
7)
(A) p ⌘ 3 (mod 7)
p
-7 = (⇣7 + ⇣2
7 + ⇣4
7) - (⇣3
7 + ⇣5
7 + ⇣6
7)

74. gf
Q(
p
-7)/Q

75. Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)x
H
mod m で
分解法則が決まる
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔

76. p
p D
D
ここから始まる感動のストーリーを先取り

77. pOK
(P1P2 · · · Pg)e
Q上の類体論のこころ
アーベル拡大
（クロネッカー・ウェーバー →）
「素イデアル分解法則」
が H によってかける
（mで割ったあまり）
（←同型定理）

78. K
Q (Z/mZ)×
H = {ほげ，ほげ}
類体とは
abel

79. まとめ
p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2
+ 7Y2
p = 2 or 1 + 4n () p = X2
+ Y2
p = 3 or 1 + 3n () p = X2
+ 3Y2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

81. •
• POD
•
•
•
• D. Cox Primes of the Form: x2+ny2 (2nd edition)

82. •
•
•

83. •
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf
•
http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers/Japanese/prime.pdf
• @alg_d
http://alg-d.com/math/hrizm8.pdf

85. p = 13
()
+2 3

86. +2 3
7
11
1 4+

87. 4 4

88. 4 4
1+4n 3+4n

89. (Z/4Z)⇥
= { 1 + 4Z, 3 + 4Z }
p 2 3 + 4Z = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, · · · }
p 2 1 + 4Z = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, · · · }
となるような素数 p
素数のクラス分け
となるような素数 p
クラス分けの集合

90. フェルマーゲーム
わたし
（3(mod 4) 担当）
みなさん
（1(mod 4) 担当）
1(mod 4) 型の素数と 3(mod 4) 型の素数を交互に言い合うゲーム