x^2+ny^2の形で表せる素数の法則と類体論

x2 + ny2 の形で表せる素数
と類体論
辻順平@tsujimotter
2019/03/02 佐野さん3年間お疲れさまセミナー #mathmoring

mod p の整数論（2015/3/27）ガロア理論（2015/5/22）
プログラマのための数学勉強会
2

発表の⽬的
p = x2 + ny2 の形でかける素数の法則を
（できるだけ）⼀般の n に対して
3

参考⽂献
Primes of the Form x2 + ny2 の
「§5 Hilbert class Gield and p = x2 + ny2」を参照
4

今⽇の流れ（全60分）
•  Section 0: イントロ（10分）
•  Section 1: 基礎事項（代数体・イデアル）（10分）
•  Section 2: ヒルベルトの分岐理論（15分）
•  Section 3: ヒルベルトの類体論（25分）（← ⼀番話したいこと）
5

お願い
•  難しい部分もあるかと思いますが，「気持ち」だけでも感じ
とってもらえると
•  各セクションの合間に（時間があれば）軽い質問 OK
6

主題：p = x2 + ny2 とかける素数の法則
n を正の整数とする
「x, y ∈ ℤ が存在して p = x2 + ny2」が成り⽴つ素数 p の条件は？
7

p = x2 + y2 （n = 1 のとき）
•  2 = 12 + 12（かける）
•  3（かけない）
•  5 = 22 + 12（かける）
•  11（かけない）
•  13 = 32 + 22（かける）
•  17 = 42 + 12（かける）
•  19（かけない）
8

p = x2 + y2 （n = 1 のとき）
•  2 = 12 + 12（かける）
•  5 = 22 + 12（かける）
•  13 = 32 + 22（かける）
•  17 = 42 + 12（かける）
•  11（かけない）
•  19（かけない）
p ≡ 1 (mod 4)
or
p = 2
p ≡ 3 (mod 4)
9

p = x2 + y2 （n = 1 のとき）
2 ではない素数 p に対して次が成り⽴つ．
X, Y ∈ ℤ が存在して p = X2 + Y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 4)
10

p = x2 + 2y2 （n = 2 のとき）
2 ではない素数 p に対して次が成り⽴つ．
X, Y ∈ ℤ が存在して p = X2 + 2Y2 ⇔ p ≡ 1, 3 (mod 8)
11

⽅針
① 個別ケースの n について法則を与える
② ⼀般的な n に対して法則を与える（今⽇の⽅針）
12

今⽇の主定理
13
n を正の整数とし，次の条件を満たすとする：
n は平⽅因⼦を持たないかつ n ≡ 3 mod 4

このとき，次数 hℚ(√–n) のモニックかつ既約な多項式 fn(x) ∈ ℤ[x] が存在して，
n と fn(x) の判別式のどちらも割らない奇素数 p に対して次が成り⽴つ．
X, Y ∈ ℤ が存在し p = X2 + nY2 ⇔ (–n/p) = 1 かつ fn(x) ≡ 0 (mod p) が整数解を持つ

さらに，fn(x) は L = K(α) が K = Q(√–n) のヒルベルト類体であるような
実代数的整数 α の最⼩多項式としてとることができる．
主定理

主定理


14

主定理


15

主定理
16



⽅針
① 個別ケースの n について法則を与える
② できるだけ⼀般の n に対して法則を与える（今⽇の⽅針）
17
n: 平⽅因⼦を持たない正整数
本講演のルール

p = X2 + nY2
⾔い換え： p が ℤ[√–n] で相異なる「素数」の積に分解できる
18
いつ素数 p が分解されるか？
p が X2 + nY2 の形でかける
= (X + Y√–n)・(X – Y√–n)

ℤ[√–n]における「素因数分解」
•  単数の問題：
例 13 = (2 + 3√–1)・(2 – 3√–1) = (3 + 2√–1)・(3 – 2√–1)
•  ⼀意分解環とは限らない問題：
例 21 = 3・7 = (4 + √–5)・(4 – √–5)
(√–1)(2 – 3√–1) (–√–1)(2 – 3√–1)
{+1, –1, √–1, –√–1} は ℤ[√–1] における単数
21 に対する 2 通りの分解
=
=
19

Section 1: 基礎事項
•  代数体
•  イデアル
20

代数体とその整数環
•  代数体 K：ℂ の部分体で ℚ 上の有限次拡⼤体
•  K の整数環 OK：K における代数的整数全体のなす環
モニック多項式 f(x) ∈ ℤ[x] の根
21

例
•  例１（有理数体）： K = ℚ , OK = ℤ
•  例２（虚2次体）：

K = Q(
p
n)
OK =
(
Z[
p
n] (n 6⌘ 3 (mod 4))
Z
h
1+
p
n
2
i
(n ⌘ 3 (mod 4))
22

イデアル
•  整数環 OK のイデアル
α1, α2, … , αmを OK の元としたとき
a = α1OK + α2OK + … + αmOK
を OK のイデアルという．
特に
a = αOK
の形のイデアルを単項イデアルという（重要！）．
OK の部分集合で
α1の倍数と
α2の倍数と
・・・
の和として表せる元全体の集合
23

イデアルの積
a, b を OK のイデアルとする．
ab = {αβ | α ∈ a, β ∈ b}

24

イデアルの積
ab = {αβ | α ∈ a, β ∈ b}

特に
a = α1OK + … + αsOK ,

b = β1OK + … + βtOK としたとき

ab = α1β1OK + … + α1βtOK + … + αsβ1OK + … + αsβtOK

⽣成元をそれぞれぜんぶかけたもので⽣成される
25

イデアルの積
ab = {αβ | α ∈ a, β ∈ b}

特に
a = α1OK + … + αsOK ,

b = β1OK + … + βtOK としたとき

ab = α1β1OK + … + α1βtOK + … + αsβ1OK + … + αsβtOK

当然 a = αOK, b = αOK のとき，ab = αβOK
⽣成元をそれぞれぜんぶかけたもので⽣成される
単項イデアルのときは，⽣成元同⼠をかけるだけ（数同⼠の積のようにふるまう）
26

素イデアル
p が OK の素イデアル

⇔ 任意の a, b ∈ OK に対して，次が成り⽴つ：
ab ∈ p ⇒ a ∈ p または b ∈ p

27
def

素イデアル
p が OK の素イデアル

⇔ 任意の a, b ∈ OK に対して，次が成り⽴つ：
ab ∈ p ⇒ a ∈ p または b ∈ p

例：OK = ℤ のとき
p = 5ℤ とすると，p は ℤ の素イデアル
10 = 2・5 ∈ p ⇒ 2 ∈ p または 5 ∈ p
2500 = 100・25 ∈ p ⇒ 100 ∈ p または 25 ∈ p
28
def
素数 p の倍数 pℤ は素イデアル

素イデアル分解の⼀意性
O をデデキント環とする．
O の任意のイデアル a は，有限個の素イデアル p1, … , pg の積に分解できて，
その分解は⼀意的である．
今回扱う「代数体の整数環」はすべてデデキント環
a = pe1
1 · · · peg
g
定理1（素イデアル分解の⼀意性）
29

例：OK = ℤ[√–5] のとき

「a = 21OK の素イデアル分解」を考える

p1 = 3OK + (4+√–5)OK
p2 = 3OK + (4–√–5)OK
p3 = 7OK + (4+√–5)OK
p4 = 7OK + (4–√–5)OK

p1p2 = 4OK + 2(1+√–5)OK + 2(1–√–5)OK +6OK
= 2OK
p3p4 = 3OK
p1p3 = (1+√–5)OK
p2p4 = (1–√–5)OK

6OK = p1p2 p3p4（⼀意に素イデアル分解できる！）
OK の素イデアル（単項ではない）
30



p1 = 3OK + (4+√–5)OK
p2 = 3OK + (4–√–5)OK
p3 = 7OK + (4+√–5)OK
p4 = 7OK + (4–√–5)OK

p1p2 = 9OK + 3(4+√–5)OK + 3(4–√–5)OK +21OK
= 3OK
p3p4 = 7OK
p1p3 = (4+√–5)OK
p2p4 = (4–√–5)OK

6OK = p1p2 p3p4（⼀意に素イデアル分解できる！）
31



p1 = 3OK + (4+√–5)OK
p2 = 3OK + (4–√–5)OK
p3 = 7OK + (4+√–5)OK
p4 = 7OK + (4–√–5)OK

p1p2 = 9OK + 3(4+√–5)OK + 3(4–√–5)OK +21OK
= 3OK
p3p4 = 7OK
p1p3 = (4+√–5)OK
p2p4 = (4–√–5)OK

21OK = p1p2p3p4 （⼀意に素イデアル分解できる！）
32

剰余体
K を代数体，OK を K の整数環とする．
a を OK の 0 でないイデアルとする．このとき OK/a は有限集合．
特に a = p が 0 でない素イデアルのとき：
OK はデデキント環より p は極⼤イデアル．よって OK/p は有限体．
OK/p を p の剰余体という．
33
「mod p」で考える

これから考えたいこと
p を素数，整数環 ℤ と ℤ[√–n] を考える
ℤ の素イデアル p = pℤ を
ℤ[√–n] に「持ち上げて」その素イデアル分解を観察する

分解の条件は？＝＞ヒルベルトの理論
34

Section 2: ヒルベルトの理論
•  分岐・不分岐・完全分解
•  ガロア拡⼤における素イデアル分解法則
•  虚2次体の素イデアル分解法則
35

ヒルベルトの理論
K の素イデアル p を，K の有限次拡⼤体 L に持ち上げたときの
p の分解法則を記述する理論

注：
OK の 0 でない素イデアル p ⇝ K の素イデアル p
OL の 0 でない素イデアル P ⇝ L の素イデアル P
と呼ぶ

L/K としては特にガロア拡⼤の場合を扱うことが多い．

36

問題設定
K を代数体，L/K を有限次拡⼤体とする．
p を OK の素イデアルとすると，pOL は次のように素イデアル分解される：

Pi に対して剰余体 OL/Pi を考える．
OL/Pi は p の剰余体 OK/p の有限次拡⼤となっている．
拡⼤次数 fi = [OL/Pi : OK/p] を Pi の相対次数という．

e_i: 分岐指数，g: 分解指数pOL = Pe1
1 · · · Peg
g
37

K
L OL
OK p
P1, …, Pi, ..., Pg OL/P1, …, OL/Pi, ..., OL/Pg
OK/p
剰余体素イデアル整数環代数体
[L : K] f1 fi fg
e1 ei eg
38

[L : K] を L/K の拡⼤次数としたとき

が成り⽴つ．
特に，L/K がガロア拡⼤のとき，e = e1 = … = eg , f = f1 = ... = fg

定理2（基本等式）
39
[L : K] =
gX
i=1
eifi
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[L : K] = efg
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1つ以上の ei が ei ≧ 2 のとき： p は L で分岐する
すべての ei が ei = 1 のとき： p は L で不分岐
p が L で不分岐のとき
•  すべての fi が 1 のとき（g = n のとき） p は L で完全分解する
•  すべての fi が n のとき（g = 1 のとき） p は L で惰性する
定義3（分岐・不分岐・完全分解）
40

虚2次体 ℚ(√–1) のとき
K = ℚ ,
L = ℚ(√–1),
OK = ℤ ,
OL = ℤ[√–1] とする．

•  13OL = (3 + 2√–1)OL (3 – 2√–1)OL
（13 は L で完全分解する）
•  7OL は L の素イデアル

（7 は L で惰性する）
•  2OL = {(1+√–1)OL }2

（2 は L で分岐する）
41

K=ℚ
L=ℚ(√–1) OL=ℤ[√–1]
OK=ℤ 2OK
(1+√–1)OL
13OK
(3+2√–1)OL , (3–2√–1)OL
7OK
7OL
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
e（分岐指数）
f（相対次数）
g（分解指数）
完全分解惰性分岐
素イデアル分解の例

L/K をガロア拡⼤とし，α ∈ OL が存在して L = K(α) とかけるとする．
f(x) ∈ OK[x] を α のモニックな最⼩多項式とする．
OK の素イデアル p に対し f(x) が mod p で分離的であるとすると，次の (i) (ii) が成⽴：

(i) f(x) ≡ F1(x)‥‥Fg(x) (mod p)
（Fi(x) は mod p で互いに異なり既約）
であるとき，Pi = pOL + Fi(α)OL は L の素イデアルで，Pi は互いに異なり次が成⽴：
pOL = P1 ‥‥ Pg
(ii) f(x) ≡ 0 (mod p) が OK に解を持つ ⇔ p は L で完全分解
定理4（ガロア拡⼤の素イデアル分解）

α = √–1 より f(x) = x2 + 1

f(x) ≡ x2 + 1 (mod 3)

3OL は L の素イデアル
f(x) ≡ (x + 2)(x – 2) (mod 5)
5OL = (5OL + (2+√–1)OL)・(5OL + (2–√–1)OL)
f(x) ≡ x2 + 1 (mod 7)

f(x) ≡ x2 + 1 (mod 11)

f(x) ≡ (x + 5)(x – 5) (mod 13)
13OL = (13OL + (5+√–1)OL)・(13OL + (5–√–1)OL)
f(x) ≡ (x + 21)(x – 21) (mod 17)
17OL = (17OL + (21+√–1)OL)・(17OL + (21–√–1)OL)
例：K = ℚ, L = ℚ(√–1)
44

a を整数，p を奇素数とする．
(i) (a/p) = 1 ⇔ p が a を割らないかつ X2 ≡ a (mod p) なる整数 X が存在する
（f(X) = X2 – a が mod p で可約）
(ii) (a/p) = –1 ⇔ p が a を割らないかつ X2 ≡ a (mod p) なる整数 X が存在しない
（f(X) = X2 – a が mod p で既約）
(iii) (a/p) = 0 ⇔ p が a を割る
定義5（ルジャンドル記号）
45
def
def
def

奇素数を p とし，K = ℚ, L = ℚ(√–n) とする．
(i) (–n/p) = 1 のとき，pOL = pp’（p, p’ は共役で相異なる OL の素イデアル）
(ii) (–n/p) = –1 のとき，pOL は OL の素イデアル
(iii) (–n/p) = 0 のとき，pOL = p2（p は OL の素イデアル）
定理6（虚2次体の素イデアル分解法則）
46

定理6 (i) の証明
(i) (–n/p) = 1 のとき，pOL = pp’（p, p’ は共役で相異なる OL の素イデアル）

仮定より f(x) = x2 + n ≡ f1(x) f2(x) mod p（mod p で可約）
先の定理より p = pOL + f1(√–n)OL , p’ = pOL + f2(√–n)OL とすると
pOL = pp’

また，Gal(L/K)は {p, p’}に推移的に作⽤し，
Gal(L/K)の元は「恒等写像」と「√–nを–√–nに移す写像」より，p, p’ は共役で p ≠ p’
47

ここまででわかったこと
48
K = ℚ(√–n)とし，n ≡ 3 mod 4 とすると OK = ℤ[√–n]

n を割らない奇素数 p に対して次が成り⽴つ：
pOK = pp’, p ≠ p’ ⇔ (–n/p) = 1

K = ℚ(√–n)とし，n ≡ 3 mod 4 とすると OK = ℤ[√–n]

n を割らない奇素数 p に対して次が成り⽴つ：
pOK = pp’, p ≠ p’ ⇔ (–n/p) = 1
ここまででわかっていないこと
本当は p = X2 + nY2 とかける条件が知りたい！
49

Section 3: ヒルベルトの類体論
•  ヒルベルト類体
•  p = X2 + nY2 と表せる条件
50

Section 2 の問題の回収
n ≡ 3 (mod 4) について，K = ℚ(√–n)，OK = ℤ[√–n]

n を割らない奇素数 p に対して
p = X2 + nY2 ⇔ pOK = pp’ かつ p ≠ p’ は OK の単項イデアル

51

•  (⇒) の証明：
p = (X + Y√–n) (X – Y√–n) より
p = (X + Y√–n)OK , p’ = (X – Y√–n)OK とすればよい．
52

•  (⇒) の証明：
p = (X + Y√–n) (X – Y√–n) より
p = (X + Y√–n)OK , p’ = (X – Y√–n)OK とすればよい．
•  (⇐) の証明：
pOK = pp’ かつ p ≠ p’ は単項イデアルより
p = (X + Y√–n)OK , p’ = (X – Y√–n)OK とかける．
pOK = pp’ = (X2 + nY2)OK より，p = X2 + nY2
単項イデアルなので，イデアルから数の世界に戻せた 53

単項イデアル全体
OK のイデアル全体
OK の元全体
単数の分だけの「ずれ」
x2 + ny2 (x2 + ny2)OK–(x2 + ny2)
x + y√–n
x – y√–n
(x + y√–n)OK
(x – y√–n)OK
–(x + y√–n)
–(x – y√–n)
54

単項イデアル全体
OK のイデアル全体
OK の元全体
単数の分だけの「ずれ」
x2 + ny2 (x2 + ny2)OK–(x2 + ny2)
x + y√–n
x – y√–n
(x + y√–n)OK
(x – y√–n)OK
–(x + y√–n)
–(x – y√–n)
p
p’
単項ではない
イデアル
55

単項イデアル整域 (PID)
•  OK = ℤ[√–1], ℤ[√–2] は OK のすべてのイデアルが単項イデアル
p = X2 + Y2 ⇔ (–1/p) = 1
p = X2 + 2Y2 ⇔ (–2/p) = 1
•  OK = ℤ[√–5], ℤ[√–6] などの整数環はPIDではない（！）
p = X2 + 5Y2 ⇔ (–5/p) = 1 は成り⽴たない！
56

ℤ[√–n]; n ≡ 3 (mod 4) PIDかどうか
ℤ[√–1] PID
ℤ[√–2] PID
ℤ[√–5] PIDではない
そのほかすべて PIDではない
57

OK = ℤ[√–5]
•  41OK は p = (6 + √–5)OK , p’ = (6 – √–5)OK の積に分解する
（p, p’ は単項イデアル）
•  23OK は p = 23OK + (8 + √–5)OK , p’ = 23OK + (8 – √–5)OK
の積に分解する（p, p’ は単項イデアルではない）
58
この差を
どう区別するか？

ヒルベルト類体
•  L/K を有限次拡⼤とする．
K の素イデアルすべてが L で不分岐のとき L/K を不分岐拡⼤という．
•  K の最⼤不分岐アーベル拡⼤をヒルベルト類体という．
•  例：ℚ のヒルベルト類体は ℚ ⾃⾝
•  例：ℚ(√–5) のヒルベルト類体は ℚ(√–5, √5)
59

ヒルベルト類体の特徴
L を K のヒルベルト類体とするとき，次が成り⽴つ：
(i) K のすべての素イデアル p は L で不分岐
(ii) Cl(K) ≃ Gal(L/K) （拡⼤次数が類数 hK に⼀致）
60

イデアル類群
「OK の単項ではないイデアルがどの程度多いのか」を表す群

K の分数イデアル全体の集合 IK
K の単項分数イデアル全体の集合 PK
K のイデアル類群 Cl(K) = IK / PK

イメージ：
単項イデアル全体の⼤きさを 1 としたときの
イデアル全体の相対的な⼤きさ
61

イデアル類群の性質
•  K が代数体のとき Cl(K) は有限群
•  hK = |Cl(K)| を類数という
62

ヒルベルト類体の特徴
L を K のヒルベルト類体とするとき，次が成り⽴つ：
(i) K のすべての素イデアル p は L で不分岐
(ii) Cl(K) ≃ Gal(L/K) （拡⼤次数が類数 hK に⼀致）
(iii) K の素イデアル p が単項イデアル ⇔ p が L で完全分解する
63
p = X2 + nY2 と表せる条件を与える！

p = X2 + nY2 と表せる条件
p = X2 + nY2 と表せる
⇔ pOK = pp’ かつ p ≠ p’ は OK の単項イデアル
ただし，K = ℚ(√–n)

64

⇔ pOK = pp’ かつ p ≠ p’ は OK のイデアルで

K のヒルベルト類体 L で完全分解する

65
(iii)

⇔ pOK = pp’ かつ p ≠ p’ は OK のイデアルで

K のヒルベルト類体 L で完全分解する
⇔ p は K のヒルベルト類体 L で完全分解する
66
(iii)

K = ℚ(√-n) p
代数体
p’
ℚ
単項イデアルかどうかは不明
67
素イデアル
p
p は K で完全分解

K = ℚ(√-n)
L
p
P1 P2 P3 P4
素イデアル代数体
p’
ℚ p
p, p’ は単項イデアル
p, p’ は L で完全分解
K のヒルベルト類体
68
p は K で完全分解
(iii)

K を虚2次体，L を K の ℚ 上ガロアな有限次拡⼤体とする．
このとき，次の (i) (ii) が成り⽴つ：

(i) L = K(α) なる実代数的整数 α が存在する．
(ii) (i) の α に対して，f(x) ∈ ℤ[x] を α のモニックな最⼩多項式とする．
もし，素数 p が f(x) の判別式を割り切らないとすると，次が成り⽴つ：
p が L で完全分解する ⇔ (dK/p) = 1 かつ f(x) ≡ 0 (mod p) が整数解を持つ
命題7
ここで，dK は虚2次体 K の判別式
69

(ii) の後半部分の証明：
虚2次体の素イデアル分解法則より
(dK/p) = 1 ⇔ pOK = pp’, p ≠ p’
⇔ p は K で完全分解
ℚ
K OK
ℤ p
p p’
g = 2
完全分解2

(dK/p) = 1 ⇔ pOK = pp’, p ≠ p’
⇔ 剰余体の拡⼤次数 f = 1 ⇔ ℤ/pℤ ≃ OK/p ・・・(1)

ℚ
K
p
p
2
p’
ℤ/pℤ
OK/p OK/p’
f = 1
g = 2
完全分解
OK
ℤ

(dK/p) = 1 ⇔ pOK = pp’, p ≠ p’
⇔ 剰余体の拡⼤次数 f = 1 ⇔ ℤ/pℤ ≃ OK/p ・・・(1)

p が f(x) の判別式を割らない ⇒ f(x) は mod p で分離的 ⇔ f(x) は mod p で分離的・・・(2)
仮定

(dK/p) = 1 ⇔ pOK = pp’, p ≠ p’
⇔ 剰余体の拡⼤次数 f = 1 ⇔ ℤ/pℤ ≃ OK/p ・・・(1)

p が f(x) の判別式を割らない ⇒ f(x) は mod p で分離的 ⇔ f(x) は mod p で分離的・・・(2)

p が L で完全分解 ⇔ (dK/p) = 1 かつ f(x) ≡ 0 (mod p) が OK に解を持つ
（ ∵ (2) + 「ガロア拡⼤の素イデアル分解」より））
⇔ (dK/p) = 1 かつ f(x) ≡ 0 (mod p) が ℤ に解を持つ
（∵ (1) より）
仮定

74


主定理



主定理
拡⼤次数 [L : K] は K の類数に⼀致 L の⽣成元の最⼩多項式
p が L で完全分解p が K で完全分解
K = ℚ(√–n) の整数環が ℤ[√–n]
75

具体例： K = ℚ(√–5)
hK = |Cl(K)| = 2 （OK はPIDではない！）
このとき，K のヒルベルト類体 L は L = K(√5) と表せる
α = √5 の最⼩多項式は f5(x) = x2 – 5 ∈ ℤ[x]

5 ではない奇素数 p に対して次が成り⽴つ：
p = X2 + 5Y2 ⇔ (–5/p) = 1 かつ x2 ≡ 5 (mod p) が整数解を持つ
76

(ii) (5/p) = 1
p = X2 + 5Y2 ⇔ (–5/p) = 1 かつ x2 ≡ 5 (mod p) が整数解を持つ

(i) (–5/p) = (–1/p) (5/p) より
(5/p) = 1 かつ (–1/p) = 1 または (5/p) = –1 かつ (–1/p) = –1

よって (ii) より (5/p) = 1 かつ (–1/p) = 1
平⽅剰余の相互法則より p ≡ 1, 9 (mod 20)

p = X2 + 5Y2 ⇔ p ≡ 1, 9 (mod 20)

(i)

具体例： K = ℚ(√–14)
hK = |Cl(K)| = 4 （OK はPIDではない！）
このとき，K のヒルベルト類体 L は L = K(√2√2–1) と表せる
α = √2√2–1 の最⼩多項式は f14(x) = x4 – 2x2 – 7 = (x2+1)2 – 8 ∈ ℤ[x]

p = X2 + 14Y2 ⇔ (–14/p) = 1 かつ (x2+1)2 ≡ 8 (mod p) が整数解を持つ
78

残された問題
•  虚2次体 K のヒルベルト類体 L の求め⽅は？
虚数乗法論やモジュラー関数の理論を使う

•  ⼀般の正整数 n に対しては？
（ヒルベルト類体の代わりに）整環 O = ℤ[√–n] に対する環類体を使う
79
To be continued.

まとめ
「p = x2 + ny2 とかける素数の法則」（n ≡ 3 mod 4）
•  虚2次体 K = ℚ(√–n) の整数環が PID：

p = x2 + ny2 ⇔ (–n/p) = 1
•  より⼀般に：
p = x2 + ny2 ⇔ (–n/p) = 1 かつ fn(x) ≡ 0 (mod p)
80
K のヒルベルト類体での完全分解に関する条件

補⾜
定義：m が OK のイデアルのときの mod m

a, b ∈ OK に対して
a ≡ b (mod m) ⇔ a – b ∈ m
82
def

α1, α2, … , αmを K の元としたとき
a = α1OK + α2OK + … + αmOK
を K の分数イデアルという．（単項分数イデアルも同様）
•  α1, α2, … , αmが OK の元 ⇔ a は（整）イデアル
•  任意の分数イデアルは a は，整イデアル A と K の 0 でない元 α
が存在して a = αA とかける
定義（K の分数イデアル）
83

イデアル類群の定義
•  K の 0 でない分数イデアル全体（resp. 単項分数イデアル全体）
の集合を IK（resp. PK）とする
•  IK , PK は積に対してアーベル群をなす
•  a ∈ IK に対して a = αA とする
•  A A’ = βOK なる β ∈ K をとり，a–1 = (αβ)–1 A’
•  Cl(K) = IK / PK を K のイデアル類群という
84

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