基本統計量について
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もともとは職場の新しい同僚向けに作成したものです。Rでのデモつき。
![2010.04 作成
基本統計量について
データの解析を行う際は、データの持つ多くの情報を少ないいくつかの指標
に要約する必要があり、これらの指標を要約統計量、基本統計量、あるいは代
表値と呼ぶ。
※ 基本統計量の訳は”summary statistics”で、“basic statistics”は基礎統計学を指す。
○ 正規分布に従う単変量データの場合・・・
平均 、分散 V または標準偏差 s（この二つの要素が正規分布を規定する）
例) 標本平均 、標本分散 V、標本標準偏差 s
, ,
○ 正規分布からのずれを示す統計量
五数要約 [参考 1] モーメント, 積率
・最大値 一次のモーメント： 平均
・最小値 二次のモーメント： 分散、標準偏差
・中央値 三次のモーメント： 歪度
・上ヒンジ値 四次のモーメント： 尖度
・下ヒンジ値
※ ヒンジの代わりに四分位値（Q1 及び Q3）を使う場合もある。
高次のモーメント
・ 歪度（ゆがみ） ： 標準化偏差 の 3 乗平均
・ 尖度（とがり） ：標準化偏差 の 4 乗平均から 3 を引いたもの
※ n が小さいときは歪度や尖度は不安定なので、数値で判断するよりはヒスト
グラムを見たほうが良い。
○ 正規分布に従う p 次元の多変量データの場合・・・
平均値ベクトル（個々の変量の平均値をならべて p 個の要素を持つベクトル
にしたもの）と分散共分散行列 （p×p の正方行列で、対角成分は各変量の分散、
それ以外は変量間の関係性を示す共分散）](https://image.slidesharecdn.com/slideshare-121222093621-phpapp01/85/-1-320.jpg)
![[参考 2] ヒンジ値と四分位値の違い ※ 便宜上同じものとして取り扱われることも多い
データを昇順に並べたとき、 小さいほうからデータ全体の 1/4 が含まれるよう
な順位のデータ値を第 1 四分位（下側四分位） 、3/4 が含まれるような順位のデ
ータ値を第 3 四分位（上側四分位）という。第 2 四分位は中央値に等しい。
一方、中央値よりも上の値の中央値・中央値よりも下の値の中央値を、それ
ぞれ上側ヒンジ及び下側ヒンジと呼ぶ。
例) 次のような 1 から 10 までの数値が一つずつ含まれるデータを考えてみる。
（幅 2） （幅 2） （幅 2） （幅 2）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.25 5.5 7.75
中央値
（幅 2.25） （幅 2.25） （幅 2.25） （幅 2.25）
このデータの場合、中央値は 5.5、下側ヒンジは 3、上側ヒンジは 8 だが、下側
四分位は 3.25、上側四分位は 7.75 となる。
これを統計ソフト R で実際に計算してみる。コマンドラインは以下のとおり。
dat1 <- 1:10 # 1～10 までの整数値を持つデータを作成
dat1 # 作成したデータの中身を表示
fivenum(dat1) # 5 数要約（最小値、下ヒンジ、中央値、上ヒンジ、最大値）
quantile(dat1) # 四分位（最小値、第 1 四分位、中央値、第 3 四分位、最大値）
もう一つの例として、0～10 までのデータを作成し、同じようにヒンジや四分位
を計算。
dat2 <- 0:10 # 0～10 までの整数値を持つデータを作成
dat2 # 作成したデータの中身を表示
fivenum(dat2) # 5 数要約
quantile(dat2) # 四分位
コンソール出力は、以下のとおり。0～10 までの整数データの場合は、ヒンジ
と四分位が一致することがわかる。
> dat1 <- 1:10
> dat1
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
> fivenum(dat1)
[1] 1.0 3.0 5.5 8.0 10.0
> quantile(dat1)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. 2010.04 作成 基本統計量について データの解析を行う際は、データの持つ多くの情報を少ないいくつかの指標 に要約する必要があり、これらの指標を要約統計量、基本統計量、あるいは代 表値と呼ぶ。 ※ 基本統計量の訳は”summary statistics”で、“basic statistics”は基礎統計学を指す。 ○ 正規分布に従う単変量データの場合・・・ 平均 、分散 V または標準偏差 s（この二つの要素が正規分布を規定する） 例) 標本平均 、標本分散 V、標本標準偏差 s , , ○ 正規分布からのずれを示す統計量 五数要約 [参考 1] モーメント, 積率 ・最大値 一次のモーメント： 平均 ・最小値 二次のモーメント： 分散、標準偏差 ・中央値 三次のモーメント： 歪度 ・上ヒンジ値 四次のモーメント： 尖度 ・下ヒンジ値 ※ ヒンジの代わりに四分位値（Q1 及び Q3）を使う場合もある。 高次のモーメント ・ 歪度（ゆがみ） ： 標準化偏差 の 3 乗平均 ・ 尖度（とがり） ：標準化偏差 の 4 乗平均から 3 を引いたもの ※ n が小さいときは歪度や尖度は不安定なので、数値で判断するよりはヒスト グラムを見たほうが良い。 ○ 正規分布に従う p 次元の多変量データの場合・・・ 平均値ベクトル（個々の変量の平均値をならべて p 個の要素を持つベクトル にしたもの）と分散共分散行列 （p×p の正方行列で、対角成分は各変量の分散、 それ以外は変量間の関係性を示す共分散）
- 2. [参考 2] ヒンジ値と四分位値の違い ※ 便宜上同じものとして取り扱われることも多い データを昇順に並べたとき、 小さいほうからデータ全体の 1/4 が含まれるよう な順位のデータ値を第 1 四分位（下側四分位） 、3/4 が含まれるような順位のデ ータ値を第 3 四分位（上側四分位）という。第 2 四分位は中央値に等しい。 一方、中央値よりも上の値の中央値・中央値よりも下の値の中央値を、それ ぞれ上側ヒンジ及び下側ヒンジと呼ぶ。 例) 次のような 1 から 10 までの数値が一つずつ含まれるデータを考えてみる。 （幅 2） （幅 2） （幅 2） （幅 2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.25 5.5 7.75 中央値 （幅 2.25） （幅 2.25） （幅 2.25） （幅 2.25） このデータの場合、中央値は 5.5、下側ヒンジは 3、上側ヒンジは 8 だが、下側 四分位は 3.25、上側四分位は 7.75 となる。 これを統計ソフト R で実際に計算してみる。コマンドラインは以下のとおり。 dat1 <- 1:10 # 1～10 までの整数値を持つデータを作成 dat1 # 作成したデータの中身を表示 fivenum(dat1) # 5 数要約（最小値、下ヒンジ、中央値、上ヒンジ、最大値） quantile(dat1) # 四分位（最小値、第 1 四分位、中央値、第 3 四分位、最大値） もう一つの例として、0～10 までのデータを作成し、同じようにヒンジや四分位 を計算。 dat2 <- 0:10 # 0～10 までの整数値を持つデータを作成 dat2 # 作成したデータの中身を表示 fivenum(dat2) # 5 数要約 quantile(dat2) # 四分位 コンソール出力は、以下のとおり。0～10 までの整数データの場合は、ヒンジ と四分位が一致することがわかる。 > dat1 <- 1:10 > dat1 [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > fivenum(dat1) [1] 1.0 3.0 5.5 8.0 10.0 > quantile(dat1)
- 3. 箱ひげ図は、以下のように四分位値を採用する場合もヒンジ値を使う場合も あるが、R の場合はヒンジ値を用いている。 箱ひげ図描画用のコマンド par(mfrow=c(2,1)) # グラフィック画面を二分割 boxplot(dat1, horizontal=TRUE) # dat1 を横書きの箱ひげ図に boxplot(dat1, horizontal=TRUE) # dat2
- 4. 用語集 平均 mean 分散 variance 標準偏差 standard deviation 変動係数 coefficient of variation モーメント、積率 moment 歪度（ひずみ） skewness 尖度（とがり） kurtosis 五数要約 five-number summary 中央値 median 四分位値 fourth ※quantile は分位数 最小値 minimum 最大値 maximum 標準化 standardization