Cinemática de la Partícula

1. UNIDAD II: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. DURACIÓN 2 SEMANAS.
CONTENIDO.
La Cinemática: es la rama de la física que se encarga del estudio de los movimientos de los
cuerpos (objetos) sin tomar en cuenta las causas o efectos que lo producen; Aquí el movimiento
del cuerpo como se analiza como una partícula, no hay que hacer consideraciones de rotación y de
vibraciones.
1.1. Definición en tres dimensiones, posición.
Vector Posición: Cualquier objeto cuya posición pueda describirse localizando un solo punto
puede denominarse partícula; no interesa su tamaño ni estructura interna. Esta partícula puede
moverse dentro de nuestro universo físico en una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una
recta, un plano o en el espacio. Podemos describir la posición de una partícula confinada a un plano
mediante sus coordenadas cartesianas (rx ;ry), o mediante un vector "r" cuyo origen está en el
centro de coordenadas. Pero puede descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una
sobre un eje.
Llamaremos a la componente sobre las abscisas y a la componente sobre las ordenadas. El
vector posición se relaciona con sus componentes a través de las funciones trigonométricas del
ángulo.
De esa manera tenemos:

2. Si operamos matemáticamente resolviendo estas cuentas veremos que el módulo de cada
componente es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra:
Un vector puede nombrarse indicando el módulo de sus componentes señalando sobre que eje
estas se hallan. Para eso se utiliza a los versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo
módulo siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el eje y hallaremos al
versor "j". Podemos describir al vector posición así:
En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P1 y P2) de un objeto que cae en tiro oblicuo. Los
vectores posición de cada punto
tienen sus respectivas coordenadas cartesianas: ; .
En tres dimensiones, la posición es: + z p. k
res el desplazamiento desde P1 hasta P2. Hallamos su módulo simplemente restando los dos
vectores:
En tres dimensiones:
+ r.z
1.2. Desplazamiento: el desplazamiento de un objeto es el vector cuya magnitud es la distancia
más corta entre las posiciones inicial y final del movimiento, cuya dirección apunta de la posición
inicial a la posición final (se representa por un vector de posición el cual determina la distancia
recorrida y la dirección seguida por el cuerpo. Se designa con la letra (r o x). De la figura tenemos
que:
Δr = Δx = x – xo II.1

3. Fig. II.1. El desplazamiento Δx es un vector que apunta de la posición inicial a la final. La magnitud del desplazamiento
es la distancia más corta entre las dos posiciones.
La ecuación expresada anteriormente para el desplazamiento , es en caso de un movimiento
unidireccional ( una dirección), pero para el caso en el plano x-y,Puede expresarse en función de
sus componentes como:
r = ix + jy donde podemos obtener su módulo y ángulo de la misma manera para la forma
analítica dada en vectores, ósea:
r = r = √ x2
+ y2
; el ángulo:Tan σ = x / y
En el punto visto anteriormente, también se expresó el concepto de desplazamiento según la
figura mostrada. (Ver punto 1.1).
Tabla II.1. Unidades.
Sistema
Unidad Mks o SI Inglés o Británico de
Ingeniería
cgs
Desplazamiento Metro ( m) Pie ( ft), pulgadas (in) Centímetro (cm.)
1.3. Velocidad media e instantánea.
Velocidad:está determinada por la variación del vector de posición respecto a la variación del
tiempo. Es una cantidad vectorial y se representa por la letra (v). En algunas circunstancias es
más fácil interpretar rapidez o velocidad como el cociente entre el camino recorrido y el tiempo
empleado en recorrerlo.
Velocidad Media: es el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo durante
el cual ocurre dicho desplazamiento. Se denota como ( v) y viene dada por:
V = desplazamiento / tiempo transcurrido = x – xo/ t - to = Δx/ Δt
La velocidad media es un vector que apunta en la misma dirección del desplazamiento, por lo
tanto si este apunta en dirección positiva entonces la velocidad media también y si apunta en
dirección negativa la velocidad media, igualmente es negativa.
Velocidad Instantánea: Esto equivale a calcular el valor límite de la fracción que aparece
cuando el denominador t tiende a cero.

4. Pero ésta es la definición de la derivada de X con respecto al tiempo V = dX/dt. Se obtiene la
velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.
1.4. Aceleración media e instantánea.
Aceleración Media: se define como cambio de velocidad durante un intervalo de tiempo
transcurrido. Es un vector que se denota con (a), y apunta en la misma dirección que el cambio
de velocidad (Δv).
a = cambio en velocidad / tiempo transcurrido = v – vo/ t - to = Δv / Δt
Aceleración Instantánea: Es el valor límite de la aceleración promedio cuando el intervalo t es
muy pequeño. Esto es:
De modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la aceleración instantánea observando el
pequeño cambio de la velocidad dv que tiene lugar en el intervalo muy pequeño de tiempo, dt.
1.5. Movimiento Rectilíneo: la trayectoria de un móvil es la figura formada por los distintos
puntos que va ocupando a medida que transcurre el tiempo, si la trayectoria es una línea recta,
entonces el movimiento es rectilíneo. Si es una curva, curvilíneo; aquí el movimiento toma el
nombre de la curva que describe: si es una circunferencia, movimiento circular; si es una
parábola, parabólico; estos último movimientos los estudiaremos mas adelante. Citaremos dos
tipos de movimientos rectilíneos:
Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U)
Este tipo de movimiento es aquel en el cual la velocidad (o rapidez) es constante, es decir, no
existe aceleración. La única ecuación que gobierna este movimiento es:
X = xo + vo t II.2

5. Visite la página:
http://www.walter-fendt.de/ph11s/acceleration_s.htm
Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A.)
Es aquel en el cual la aceleración es constante, es decir, el móvil sometido a este tipo de
movimiento aumenta su velocidad en la misma cantidad en cada unidad de tiempo. Esto debido a
la acción de una fuerza constante. Las ecuaciones para este movimiento son:
V = vo + a t II.3.a
X = xo + ½ ( vo+ v ) t II.3.b
X = xo + vot + ½ at2
II.3.c
V2
= vo + 2a (x – xo ) II.3.d
Nota: estas cuatro ecuaciones definen el movimiento rectilíneo acelerado, bien sea en los ejes x , y
o en el plano ( x-y), tan solo debes cambiar las nomenclaturas y los subíndices; es decir si el
movimiento es en el eje y por ejemplo donde va x, cambias todas por y.
Ver cap.4. Movimiento en un plano. Resnick. Holliday. Física.
Parte I. editorial C.E.C.S.A.
Caída Libre: El movimiento ideal en el que se desprecia tanto
la resistencia del aire como el pequeño cambio de la aceleración
con la altura, se llama “caída libre”. La aceleración de un cuerpo
que cae libremente se llama aceleración debida a la gravedad y se
le denota con el símbolo g. Cerca de la superficie de la tierra, su
magnitud es aproximadamente 32.2 pies/seg2
, 9.8 m/seg2
, o 980
cm./seg2
, y está dirigida hacia el centro de la tierra.
Ecuaciones del Movimiento en la Caída Libre: Movimiento
en el eje y. Vy
= Vyo + ayt
Y = ½(Vyo+ Vy)t
Y = Vyot + ½(ayt2
)
Vy2
=V2
yo + 2ayY ; En problemas de caída libre: ay = -g.
1.6. Velocidad Relativa: la velocidad de un objeto es relativa para el observador que efectúa la
medición. La velocidad relativa se puede aplicar en movimientos de una o dos dimensiones.
Consideremos dos objetos A y B y un observador O, utilizando referencia los ejes XYZ (Fig.I.
4).Entonces:
- Velocidades de A y B respecto de O son:
VA = drA /dt,VB = drB /dt II.3

6. - Las velocidades de B con respecto de A y de A con respecto a B son:
VBA = drBA /dt , VAB = drAB /dtII.4
Donde: rBA = AB = rB- rA , rAB = BA = rA– rBII.5
Nótese que, considerando:rAB= - rBAy VBA = - VAB ; es decir la velocidad de B con respecto a A es
igual y opuesta a la velocidad de A con respecto a B.
- Con la primera derivada de las ecuaciones II.5, se obtiene:
VBA = VB – VA , VAB = VA – VB II.6
- Derivando las anteriores, obtenemos las aceleraciones de B y de A con respecto a O:
aBA= aB – aA , aAB = aA – aBII.7
Tarea: Hacer las demostraciones de las ecuaciones II.6 y II.7.
1.8. Movimiento curvilíneo: se conoce también como movimiento combinado o en dos
dimensiones, siendo más común el ejemplo de lanzamiento de proyectiles. Es
Movimiento uniformemente variado a lo largo del eje (y) y movimiento rectilíneo con
velocidad constante a lo largo del eje (x).
Deducción de Ecuaciones:
En el eje (y) la aceleración es constante:
En el eje (x) la velocidad es constante:
ax= 0
Vectorialmente:
V = Vxi + Vyj
Pero:
Vx = Vox = Vo.Cos
Vy = Voy – gt Vy = Vo.Sen j – gtj
V = Vo.Cos i + (Vo.Sen - gt)j
Otra forma de calcular V
= arctan (Vy/Vx)
Vy = Voy – gt, si t es tmax Vy = 0

7. 0 = Voy – gtmax Tmáx = Voy/g ; Tmáx = Vo.Sen /g
Tiempo de Vuelo: (Tv)
Tv = 2Tmáx; Tv = 2Voy/g 2Vo.Sen /g
Altura Máxima: Hmáx = V2
o.Sen2
/2g
Alcance Horizontal: (R): R = X = Vox.tv
R = V2
o2.Sen /g; si 45º Rmáx.
Ecuación de la Trayectoria
Y = Tan .X – (g/2V2
o.Cos2
).X2
Y = AX – BX
2
Resumen:Ecuaciones para ejes (x, y):
Eje x:
V = constante a = 0
X = xxo + vxo t
Nota: la distancia horizontal x es conocida también como el alcance horizontal (R).
Eje y:
- vy= vyo – gt
- y = yo + ½ (vyo+ vy)t
- y = yo + vyot – ½ gt2
- vy
2
= vyo
2
– 2g (y – yo)
Tarea: Demostrar las ecuaciones de movimiento en dos dimensiones, recordar que son las
mismas para movimiento rectilíneo uniforme y el rectilíneo variado.
Unidades:
Sistema
Unidad Mks o SI Inglés o Británico de
Ingeniería
cgs
Velocidad m / s ft/ s cm / s
Aceleración m / s2
ft/ s2
cm / s2
1.9. Aceleración normal y tangencial:
Supongamos que el cuerpo describe un movimiento curvo ( fig.II.6) con velocidad v tangente a
la trayectoria y aceleración a dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria y la podemos
descomponer en una componente tangencial (a T ) tangente a la trayectoria(paralela a la dirección
tangencial ) y una normal (a N ) Dirigida hacia el centro del radio de curvatura ( paralela a línea
normal).

8. Fig.II.6. Aceleración normal y tangencial en el movimiento curvilíneo.
Si trazamos en A un vector unitario tangente a la curva, tenemos:
a = dv / dt =d / dt( uTv) = uT dv / dt + duT / dt v como la dirección de uTvaría en la curva
entonces:
uT=ux cos ф + uysen ф , uN=ux cos (ф + Π/2 ) + uysen ф = - ux sen ф + uycos ф
Derivando duT/ dt = uNdф / dt , esto indica que es normal a la curva. Ahora:
dф / dt = dф / ds . ds / dt = v dф / ds ; donde ds es el pequeño arco donde se mueve la partícula
en el tiempo dt, llamado el centro o radio de curvatura. Lo denotamos con la letra ρ.
ds = ρ dф ò dф / ds = 1/ ρ así dф / dt = v / ρ
entonces: duT/ dt = uNv / ρ introduciendo el resultado en a:
a = uTdu / dt + uNv2
/ ρ donde el primer término es la aceleración tangencial ( aT) el segundo
la aceleración normal (aN).
aT= dv / dt ; aN= v2
/ ρ II.8
La magnitud de la aceleración es: a = √ a2
T + a2
N
1.10. Velocidad Angular y Aceleración Angular: velocidad angular se define como la variación
del ángulo descrito entre el tiempo en que se produce e igualmente la aceleración angular relación
entre el cambio de velocidad y el tiempo trascurrido.
- La velocidad angular viene dada por: v = w R II. 9
R = radio (ver fig. II.6)

9. Fig. II.6. Movimiento circular.
La relación vectorial: v = w x r II.10
- La aceleración angular es: cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo, la
aceleración angular viene dada por el vector:
σ = dw / dt II.11
Relación con las tangencial y normal:
aT = R σ , aN = w2
R II.12
Expresiones vectoriales:
σ = wx v ò σ = wx (w x v )II.13
Unidades: la velocidad angular se expresa en radianes por segundos (rad/ s) y la aceleración en
radianes por segundos al cuadrado (rad/ s2
).
Tarea: Hacer las demostraciones de las ecuaciones de ambos movimientos.
1.11. Movimiento circular uniforme y variable:
Movimiento circular uniforme (aceleración normal): es el movimiento de un
objeto que se desplaza a velocidad constante (uniforme) a lo largo de la trayectoria
circular. Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio
r con velocidad constante v.

10. La partícula se encuentra en la posición A en el instantet - t/2, y su velocidad (tangente a la
trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instantet + t/2 y su
velocidad es v2.
Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el
punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia
v = v2-v1.
Componente normal:
( v) n = v2·sen -v1·sen(- ) = 2v·sen
Componente tangencial:
( v) t = v2·cos -v1·cos (- ) = 0
Por tanto el vector v esparalelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.
Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2 con velocidad v constante.
El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,
La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el
intervalo de tiempo t 0, o bien cuando 0. En este límite, sen / 1 y por tanto, la componente
normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es:

11. II.14
Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, aT= 0.
Algunas veces es más conveniente explicar el movimiento circular uniforme al especificar el
periodo del movimiento, en vez de la velocidad; el periodo T es el tiempo que se necesita para que
el objeto dé una vuelta a la circunferencia, es decir una revolución completa. Relación entre T y v:
v = 2 Π r / T ; circunferencia: 2 Π r II.15
Movimiento circular no uniforme (Aceleración tangencial y normal): tomando la figura anterior.
Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instantet - t1y lleva una velocidad v1
(tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instantet - t2llevando una
velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.
Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia v = v2 - v1.
Componente normal
( v) n= v2·sen - v1·sen (- ) = 2(v2+v1)·sen
Componente tangencial
( v) t = v2·cos - v1·cos (- ) = (v2-v1)cos
Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia vy por tanto la aceleración no
tienen en general, dirección radial; La partícula recorre el arco AB de ángulo 2 empleando un
tiempo t = t 1+ t2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es
La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto:
En el límite cuando el intervalo de tiempo t 0, o bien cuando 0, se cumple que, sen /
1,cos 1.La velocidad media<v> ves la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P,
y también la velocidad promedio (v1+v2)/2 v.
De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el
apartado anterior. En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal

12. en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar
dicho cambio.
Las componentes de la aceleración son:
II.16
Tabla II.2. Unidades.
Sistema
Unidad Mks o SI Inglés o Británico de
Ingeniería
cgs
Aceleración normal y
tangencial.
m / s2
ft / s2
o in / s2
cm / s2
Taller de Cinemática de la Partícula:
1.- Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad vo = 100 m/s. Medio segundo
después, con la misma arma, se dispara un segundo proyectil en la misma dirección. Determinar:
a) La altura a la que se encuentran ambos proyectiles.
b) La velocidad de cada uno al encontrarse.
c) El tiempo transcurrido desde el primer disparo hasta el choque. Se desprecian los
rozamientos.
Solución: h = 510 m; v1 = - 2,41 m/s ; v2 = 2,49 m/s
2.- Sobre una placa elástica caen libremente dos bolas de acero. La primera cae desde una altura
h1 = 44 cm. y la segunda, transcurrido un lapso de tiempo t después de la primera, siendo la altura
h2 = 11 cm. Al pasar cierto tiempo, las velocidades de las bolas coinciden tanto por su valor como
por la dirección. Determinar el lapso de tiempo, durante el cual las velocidades de ambas bolas
serán iguales. Las bolas no chocan.
Solución: t= 0,3 s
3.- Un paracaidista salta de un avión y cae 50 m, sin rozamiento del aire. Abre el paracaídas en ese
punto y el aire lo frena con aceleración de 2 m/s2
, llegando al suelo con una velocidad de 3 m/s.
Determinar, si el avión iba a 600 Km./h: a) el tiempo que estuvo en el aire el paracaidista; b) la
altura de la que se tiró.
Solución: t = 17,32 s; h = 292 m.
4.- El vector de posición de una partícula P es: r = 3t i - t2
j + 8 k en unidades SI. Hallar: a) la
velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) las componentes intrínsecas
de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 s.
Solución: v = 240 m/s ; at = 1,6 m/s2
; an = 1,2 m/s2
; R = 20,8 m

13. 4.- Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s2
durante un minuto. En
ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula libre. Tomando go como
constante, calcular: a) la altura máxima alcanzada; b) el tiempo que está el cohete en el aire.
Solución: hm = 109,5 Km.; t = 331 s.
5.- La posición de un objeto está relacionada con el tiempo por la ecuación: x = A·t2
– B·t + C,
siendo A = 8 m/s2
; B = 6 m/s y C = 4 m. Determinar: a) ¿es uniformemente acelerado el
movimiento?, ¿por qué?; b) la velocidad del móvil al cabo de 1 s.
Solución: a = 16 m/s2
; v = 10 m/s
6.- Se lanza una pelota con velocidad inicial v de componentes: vx = 20 m/s, y vy = 16 m/s.
Calcular: a) el tiempo que está subiendo; b) la altura que alcanza; c) la distancia a que se debe
encontrar otro jugador de la misma talla para devolver la pelota.
Solución: t = 1,6 s ; y = 13 m ; x = 65 m.
7.- En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de
200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la distancia mínima entre los adversarios situados en
plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada.
Solución: Rx = 101 m
8.- Un sólido parte sin velocidad inicial del punto más alto de un plano inclinado de 1 m de longitud
que forma un ángulo de 30º con la horizontal; se prescinde de rozamientos. Al abandonar el plano
inclinado se mueve en caída libre. Calcular el instante en que su velocidad forma un ángulo de 60º
con la horizontal, a contar desde el punto de partida.
Solución: t = 0,96 s
8.- El famoso cañón Berta (de la 1ª Guerra Mundial) tenía un alcance máximo de 100 Km.
Despreciando la resistencia del aire, calcular: a) la velocidad del proyectil al salir por la boca del
cañón; b) la altura máxima del proyectil en tiro vertical.
Solución: v = 990 m/s ; h = 50 km.
9.- Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 km/h, formando un ángulo de
45º con la horizontal. Cuando está a una altura de 400 m sobre el suelo suelta una bomba.
Calcular; a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) la velocidad con que llega; c) el punto en que
cae (distancia a la vertical del avión en el instante de lanzamiento).
Solución: t = 2,66 s ; v = 213 m/s; x = 365,75 m.
10.- Un jugador lanza una pelota formando un ángulo de 37º con la horizontal y con velocidad
inicial de 14,5 m/s. Un segundo jugador que está a 30,5 m de distancia del primero en la dirección
del lanzamiento inicia una carrera para encontrar la pelota, en el instante de ser lanzada. Hallar la
velocidad con que debe correr para coger la pelota antes de que caiga al suelo.
Solución: v = 5,6 m/s

14. 11.- Una partícula lleva la velocidad de 6 m/s en un instante dado y su aceleración es de 8 m/s2
. Si
sus vectores representativos forman un ángulo de 60º, calcular: a) las componentes tangencial y
normal de la aceleración; b) el radio de curvatura en ese instante.
Solución: at = 4 m/s2
; an = 6,93 m/s ; R = 5,19 m
12.- La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas por minuto
en 5 s. Calcular: a) la aceleración angular del movimiento; b) el número de vueltas que da en esos
5 s; c) el tiempo que tarda en detenerse, a partir de ese instante.
Solución: a = - 2,1 rad/s2
; n = 70,8 vueltas ; t = 40 s
13.- Una partícula describe una trayectoria circular según la ecuación: w = 3 t2
- 2t + 4, siendo w la
velocidad angular en rad/s, y t el tiempo en segundos. Para t = 2 s. ha recorrido un ángulo de 12
rad. Hallar el ángulo para t = 4 s.
Solución :j = 64 radianes
14.- Una partícula describe la trayectoria dada por las ecuaciones: x = t ; y = t2
en unidades SI.
Cuando pasa la partícula por la posición (1,1) determinar su velocidad y aceleración, así como las
componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura.
Solución: v = 2,24 m/s ; a = 2 m/s2
; at = 1,79 m/s2
; an = 0,89 m/s2
15.- Un avión en vuelo horizontal a la altura de 300 m y velocidad de 72 m/s desea batir un barco
que se desplaza a 24 m/s en la misma dirección y sentido que el avión. Determinar a qué distancia,
desde la vertical del avión, debe soltar la bomba para lograr el impacto; ¿cuál sería esa distancia si
el barco se moviera en sentido contrario hacia el avión?
Solución: x1 = 376 m; x2 = 751 m
16.- Un globo se eleva verticalmente con velocidad de 4,9 m/s y abandona un peso en el instante
en que el globo está a 19,2 m del suelo. Calcular: a) la posición y la velocidad del peso al cabo de
1/4 s; 1/2 s; 1 s y 2 s; b) el tiempo que tarda en llegar al suelo; e) la velocidad del peso en ese
punto.
Solución: h1 = 0,92 m ; h2 = 1,125 m ; h3 = 0 m ; h4 = - 9,8 m ; v1 = 2,45 m/s ; v2 = 0; v3
= - 4,9 m/s ; v4 = - 14,7 m/s ; t = 2,54 s ; v = 20 m/s.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
FISICA GENERAL I. R.SERWAY. EDITORIAL MC. GRAW-HILL. MÉXICO. 1992
FISICA GENERAL I. RESNICK-HALLIDAY.EDITORIAL CECSA. MÉXICO. 1981
FISICA GENERAL. SEARS Y ZEMANSKY. EDITORIAL AGUILAR. MADRID. 1981

15. FISICA, FUNDAMENTOS Y APLICACIONES I. R.H. EISBERG. EDITORIAL MCGRAW-HILL.
MÉXICO. 1990
FISICA GENERAL I. GIANCOLI DOUGLAS. EDITORIAL PRENTICE HALL. MÉXICO. 1988
FISICA I. ALONSO-FINN. EDITORIAL FONDO EDUCATIVO INTEROAMERICANO S.A. MÉXICO
1976.
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. MAIZTEGUI, ALBERTO y SABATO, JORGE. EDITORIAL
HAPELUSZ. BUENOS AIRES- ARGENTINA. 1973.