LİNEER CEBİR

1. Ödevin Konusu : Matrisler
Yararlanılan Kaynaklar : Tümay Set 5
Öysm Çözümlü Soru Bankası
Öğretmenin Adı:

2. MATRİSLER
• Tanım: a) 34
a11 a12 …a1n A= 20
A= a21 a22 …a2n 56
……………….
Yukarıdaki matriste 3 satır ve 2
am1 am2… amn
sütun olduğundan A matrisi 3x2
türünden bir matristir.
Biçiminde bir cismin b) 2 1x1 , 3,4,7 1x3 , 0, -5 1x2
elemanlarının sıralı bir tablosuna
mxn türünde bir matris denir.m
sayısına matrisin satır sayısı n c) 6 1x1 , 2 2x1 , 0
sayısına ise matrisin sütun sayısı 7 0
denir.m satırlı ve n sütunlu bir
-3 3x1
matrise mxn boyutlu ya da mxn
türünde bir matris adı verilir. birer sütun matrisidir.

3. ÖRNEK:
A = a ij matrisi aij = (-1)i+j .ij biçiminde tanımlanıyor.A matrisini
3x2
bulunuz.
ÇÖZÜM:
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
a11 = (-1)1+1 1.1=1 a12 =(-1)1+2.1.2 = -2
a21 =(-1)2+1.2.1=-2 a22 =(-1)2+2.2.2 = 4
A31 =(-1)3+1.3.1=3 a32 =(-1)3+2.3.2 = -6
1 -2
A= -2 4 3x2
3 -6
KARE MATRİS:

4. 3 4 matrisi 2x2 türünde bir matristir.
5 6
SIFIR MATRİSİ:
Tüm elemanları 0 olan matristir.
MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ:
A= aij mxn ve B = bij mxn olsun.
İ ve j nin her değeri için aij = bij oluyorsa A ile B matrisleri eşittir . Yani ;
aij = bij A=B’ dir.
ÖRNEK:
2x+1 6 = 9 6 olması için x+y+z=?
y-2 7 3 3z -2
2x+1= 9 x=4
y-2 =3 y=5 x+y+z =12 bulunur.
3z- 2=7 z=3
BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI:
Bir matrisi bir sayı ile çarpmak demek onun her elemanını o sayı ile çarpmak
demektir.
A = 3 4 -2 matrisi için 3a, a/2 matrislerini bulnuz.
6 0 8

5. 3A = 3 3 4 -2 = 9 12 -6
6 0 -8 18 0 -24
A/2 = ½ 3 4 -2 = 3/2 2 -1
6 0 -8 3 0 -4
MATRİSLERİN TOPLAMI:
A ve B aynı türden olan iki matris olsun.A +B , Aile B’ nin karşılıklı elemanları
toplanarak elde edilen matristir.
A –B = A+(-B)’ dir.
ÖRNEK:
3 4 2 -1
A= 1 -2 ve B = 0 4 ve A+2B ve A-B matrislerini bulnuz.
0 5 5 2
ÇÖZÜM:
3 4 2 -1 3 4 4 -2 7 2
A+ 2B = 1 -2 +2 0 4 = 1 -2 + 0 8 = 1 6
0 5 5 2 0 5 10 4 10 9

6. 3 4 2 -1 3 4 -2 1 1 5
A -B = 1 -2 - 0 4 = 1 -2 + 0 -4 = 1 -6
0 5 5 2 0 5 5 -2 -5 3
MATRİSLERİN ÇARPIMI:
A matrisi mxn türünde ; B matrisi nxp türünde olsun.A.B matrisi mxp türünde bir
matristir.cij , A.B’ nin bir elemanı ise, bu eleman A’nın i. satır vektörü ile B ‘ nin j.
sütun vektörünün skaler çarpımına eşittir.
UYARI:
A ve B matrisleri verilsin.A.B çarpımının yapılabilmesi için A’nın sütun sayısı B’
nin satır sayısına eşit olması gerekir.Buna göre;
A mxn .B nxp = c mxp olur.
ÖRNEK: 3 1
A= 1 2 0 ve B = 4 2 ise A.B matrisini bulunuz.
3 4 -2 -2 3
1 2 0 3 1 a .
3 4 -2 . 4 2 = . .

7. a =1.3 + 2.4 + 0. (-2) = 11
1 2 0 3 1 . b
3 4 -2 . 4 2 = . .
-2 3
b = 1.1 + 2.2 + 3.0 = 1+4 = 5
1 2 0 3 1 . .
3 4 -2 . 4 2 = c .
-2 3
c = 3.3+ 4.4+ (-2).(-2) =9 +16+4 = 29
1 2 0 3 1 . .
3 4 -2 . 4 2 = . d
-2 3
d = 3.1+ 4.2+ (-2).3 = 3+8-6 =5
A.B = a b = 11 5
c d 29 5

8. ÖRNEK:
A = 2 -4 ise A.A = A2 matrisini bulunuz.
3 -1
ÇÖZÜM :
A2 = A.A = 2 -4 . 2 -4 2.2 -4.3 2 (-4) + (-4). (-1)
3 -1 3 -1 3.2 + (-1)3 3 .(-4) +(-1).(-1)
4 -12 -8 +4 = -8 -4
6 -3 -12 +1 3 -11
ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:
A , B ve C matrislerinin birbirleriyle çarpımları tanımlı ve kЄR olsun.
1) (kA).B = A.(kB) =k.(A.B)
2) (A+B).C =A.C + B.C
3) C.(A+B) = C.A + C.B
4) A.(B.C) = (AB) .C
1 0 …. 0
5) nxn türündeki In = 0 1 …. 0

9. (Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri 0 ‘dır.) matrisi nxn türündeki matrislerde
çarpma işleminin birim elemanıdır.
Yani Anxn Inxn = Inxn A nxn = A nxn’dir.
ÖRNEK :
A= -1 3 ise; A50 matrisini bulunuz.
0 1
A2 = -1 3 . -1 3 = 1 0 = I 2X2
0 1 0 1 0 1
A50 =(A2 )25 = (I2X2)25 = 1 0 olur.
01
ÖRNEK:
A= -2 3 ise A37 matrisini bulunuz.
-1 2
A2 = A.A = -2 3 . -2 3 = 1 0 = I 2X2
-1 2 -1 2 0 1

10. A37 = (A2)18.A = ( I2X2)18.A = I 2X2.A = A = -2 3
-1 2
ÖRNEK:
A= 1 2 ise A30 matrisini bulunuz.
0 1
A2 = 1 2 . 1 2 = 1 4 = 1 2.2
0 1 0 1 0 1 0 1
A3 = 1 4 . 1 2 = 1 6 = 1 2.3
0 1 0 1 0 1 0 1
A4 = 1 6 . 1 2 = 1 8 = 1 2.4
0 1 01 0 1 0 1
A30 = 1 2.30 = 1 60 bulunur.
0 1 0 1

11. BİR MATRİSİN DEVRİĞİ ( TRANSPOZU )
A = aij mxnmatrisinin aynı indisli satırlarıyla sütunlarının yer değiştirmesiyle oluşturulan aji nxm
matrisine A matrisinin devriği denir ve A T ile ya da AD ile gösterilir.
Örnek:
5 7
A = 0 -8 ise AT = 5 0 3
3 4 7 -8 4
ÖZELLİKLERİ:
1. A ve B mxn türünde iki matris ise
(A+B) = AT + BT
T
2. A bir matris kЄR ise (kA)T = k AT
3. A, mxn türünde, B nxp türünde iki matris ise
(A.B)T = BT.AT
4. (AT)T = A’ dır
ÖRNEK:
A = 2 3 -1 A. AT matrisini bulunuz.
4 0 5
ÇÖZÜM:

12. 2 4
AT = 3 0 ‘dir.
-1 5
2 3 -1 2 4
A.AT = 4 0 5 3 0
-1 5
4+9+1 8+0-5 = 14 3
8+0-5 16+0+25 3 41
ÖRNEK:
A ve B iki matris olmak üzere A = B + B T ise AT matrisi nedir?
A = (B+BT) ise AT = (B+BT)T = BT+ B = A bulunur.

13. DETERMİNANTLAR:
TANIM :
A bir kare matris olsun. A’nın determinantı deta ya da A ile gösterilir ve aşağıdaki
şekilde tanımlanır.
i. A = a11 1x1 şeklinde bir matris ise;
A = a11 = a11
ii. A = a11 a12 şeklinde bir matris ise;
a21 a22 2x2
A = a11.a22- a12. a21
iii. A, nxn türünde bir matris olsun.A’nın i. Satırı ve j. Sütunu silinerek elde edilen
matrisi Mij ile gösterelim. mij determinantına aij elemanının minörü, Aij = (-1) i+j
Mij ‘ye aij’ nin eş çarpanı (kofaktörü) denir.
Bir determinantın değeri herhangi bir satır (veya sütun) elemanları ile o satırdaki
(veya sütundaki) elemanların kofaktörleri çarpımının toplamına eşittir.
A = A11a11+A12a12+…+a1nA1n (1. satıra göre açılımı)
A = A21a21 + A22a22+…+a2nA2n (2. satıra göre açılımı)
A = A11a11+a21A21+a31A31+…+am1Am1 (1. sütuna göre)

14. iv. türündeki reel matrisler kümesinden R ye, A D(A)= A şeklinde tanımlanan
D fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir.
Örnek:
5 =? -2 =? 4 2 =? -3 4 =?
7 8 5 -8
5 = 5 -2 = -2 4.8-2.7=32-14=18 -3.-8 – 4.5 = 24-20=4
ÖRNEK:
x-2 3 = 8 denklemini çözünüz.
x 5
ÇÖZÜM:
x-2 3 =8 5(x-2)-3x = 8
x 5
5x-10-3x = 8 2x = 18 x=9
ÖRNEK:
5678 5679 matrisinin determinantının değeri nedir?
5676 5677

15. A=5678 olsun.
5678 5679 = a+2 a+3
5676 5677 a a+1
(a+1)(a+2)-a(a+3)
A2+3a+2-a2-3a = 2 bulunur.
A = 5 7 -8 matrisinin a22 elemanı ile a13 elemanının minörlerini yazınız.
2 0 4
6 9 3
ÇÖZÜM:
A matrisinin 2. satır ve 2. sütun elemanlarının atılması ile elde edilen matrisin
determinantı a22minörüdür. Buna göre 5 7 -8
2 0 4
6 9 3
M22 = 5 -8 = 5.3 -6 (-8) = 63
6 3

16. Aynı şekilde 5 7 -8
M13 = 2 0 2.9 – 6.0 = 18 2 0 4
6 9 6 9 3
=2.9-6.0 = 18 bulunur.
ÖRNEK:
3 2 4
A = -5 3 -2 matrisinin a32 elemanına ait kofaktör (eş çarpan) nedir?
4 -3 5
ÇÖZÜM: 3 2 4
A32 = (-1)3+2 M32 = - 3 4 -5 3 -2
-5 -2 4 -3 5
= - (-6+20) = -14
SARRUS KURALI:
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23 matrisinin determinantı alt tarafa ilk iki satır yazılarak

17. ya da sağ tarafa ilk iki sütun yazılarak aşağıda gösterildigi şekilde hesaplanabilir.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
- a31 a32 a33 +
- a11 a12 a13+
- a21 a22 a23+
A = (a11a22a33 + a21 a32 a13 + a31a12a23)
-(a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21)
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
- a31 a32 a33 a31 a32 +
- +
- +
A = (a11 a22 a33 +a12 a23 a31+a13 a21 a32)
-(a13 a22 a31 +a11 a23 a32 +a12 a21 a33)

18. NOT :Sarrus kuralı yalnız 3x3 türündeki matrislerin determinantları hesaplanırken
kullanılır.
ÖRNEK:
3 2 5
A= 0 -4 1 matrisinin determinantını bulunuz.
2 3 4
ÇÖZÜM:
3 2 5
0 -4 1
- 2 3 4 +
- 3 2 5 +
- 0 -4 1 +
A = 3(-4).4 + 0.3.5 +2.2.1 - 5 (-4).2 + 1.3.3+4.2.0
= (-48+4) – (-40+ 9) = -44 + 31 = -13 bulunur.

19. DETERMİNATIN ÖZELLİKLERİ:
1. Bir determinantın bir satırındaki ya da bir sütunundaki terimlerin türü 0
ise determinantın değeri 0 dır.
4 3 7 3 0 2
0 0 0 = 0, 1 0 -7 =0
5 2 8 3 0 5
2. Bir determinantın iki satırındaki ya da iki sütunundaki terimler orantılı
ise determinantın değeri 0 dır.Örneğin,
2 3 4
0 1 -2 determinantında 1. satır ile
4 6 8
3. satır ( 2/4= 3/6=4/8=1/2) orantılı olduğundan determinant 0 a eşittir.
3. Bir determinantın bir köşegeninin üstündeki ya da altındaki tüm
elemanlar 0 ise determinant köşegen üzerindekielemanların çarpımına
ya da çarpımın ters işaretlisine eşittir.Örneğin ,

20. 3 4 2 3 0 0
0 3 1 = 4 3 0 = 3.3.5 =45
0 0 5 2 1 5
2 1 3 2 4 1
4 2 0 = 1 2 0 = -( 3.2.1) = -6
1 0 0 3 0 0
4. Bir determinantın iki satırı ya ada iki sütunu yer değiştirirse determinant işaret
değiştirir.Örneğin,
a1 a2 a3 a2 a1 a3
b1 b2 b3 = - b2 b1 b3 ‘tür.
c1 c2 c3 c 2 c1 c3
5. Bir determinantın bir satırı ya da sütunu bir k sayısı ile çarpılırsa determinant k
ile çarpılmış olur.
a1 a2 a3 ka1 ka2 ka3
b1 b2 b3 = m ise b1 b2 b3 = km olur.
c1 c2 c3 c 1 c2 c 3
Є
SONUÇ: A, nxn türünde bir matris ve k R ise kA = kn A
6.Bir determinantın herhangi bir satırı ( veya sütunu) bir sayı ile çarpılıp diğer bir
satıra (veya sütuna ) karşılıklı olarak eklenirse determinantın değeri
değişmez.Örneğin,

21. Örneğin,
a1 a2 a3 a1+kb1 a2+kb2 a3+kb3
b1 b2 b3 = b1 b2 b3
c1 c2 c3 c1 c2 c3
7.A ve B nxn türünde iki matris ise
A.B = A . B ve An = A n
8. A = AT ‘dir.
9. Bir determinanta bir satırın elemanları başka bir satırın elemanlarının eş
çarpanları ile karşılıklı olarak çarpılır ve toplanırsa bu toplam 0 olur.(aynı özellik
sütun için de doğrudur.) Örneğin,
a11 a12 a13
10. A= a22 a22 a23 ise a11A31 +a12A32 +a13A33 = 0 dır.
a33 a32 a33
a1+x b1+y c1+z
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1 c1 x y z
a2 b2 c2 + a2 b2 c2 dır.

22. ÖRNEK:
2 1 0 4 2 0
3 1 -2 = A ise 6 2 -4 determinantının değeri kaçtır.
5 4 -1 10 8 -2
ÇÖZÜM:
Bir determinantın bir satırı 2 ile çarpılırsa determinant 2 ile çarpılmış olur.
Bu determinantın her satırı 2 ile çarpıldığına göre determinant 2.2.2 = 8 ile çarpılmış
olur.
ÖRNEK:
A= 2 5 olduğuna göre A4 matrisinin determinantı kaçtır.
3 7
ÇÖZÜM:
A = 2 5 = 14 -15 = -1
3 7
A4 = A 4
= (-1)4 = 1

23. EK ( ADJOİNT) MATRİS:
Karesel A matrisinin aij terimlerinin yerine Aij eş çarpanlarının yazılmasıyla
oluşan Aij matrisinin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek (A) ile
gösterililr.
ÖRNEK:
3 4 2
A= 0 5 -1 matrisinin ek matrisini bulunuz.
2 3 7
ÇÖZÜM:
A11 = (-1)1+1 5 -1 = 35+3 = 38
3 7
A12 = (-1)1+2 0 -1 = - (0+2) = -2
2 7
A13 = (-1)1+3 0 5 = 0 -10 =-10
2 3
A21 = (-1)2+1 4 2 = -(28 -6) = -22

24. A22 = (-1)2+2 3 2 = 21 -4 = 17
2 7
A23 = (-1)2+3 3 4 = -(9-8) = -1
2 3
A31 = (-1)3+1 4 2 =-4 -10 =-14
5 -1
A32 = (-1)3+2 3 2 = -(-3-0) = 3
0 -1
A33 =(-1)3+3 3 4 = 15- 0 = 15
0 5
A11 A12 A13 38 -2 -10
Ek(A)= A21 A22 A23 = -22 17 -1
A31 A32 A33 -14 3 15
38 -22 -14
= -2 17 3 olur.

25. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ:
mxn türünden bir matris A olsun. A.B=B.A = In koşulunu sağlayan nxn türünde
bir B matris varsa , B matrisine A nın çarpma işlemine göre tersi denir ve
B = A-1 ile gösterilir. A .A-1 = A-1.A = I dır.
ÖZELLİKLER:
1. A ≠ 0 ise A-1= 1/ A Ek (A)
2. A (EkA) =(EkA). A = A In
3. A-1 = 1/ A
4. (A-1) -1 = A
5. (AT) -1 = (A -1 )T
6. (AB) -1= B-1.A-1
NOT :
1. Bir A kare matrisini tersinin olabilmesi için A ≠ 0 olmalıdır .
2. Bir A kare matrisinin tersi (varsa ) tektir.
3. A kare matris ve A ≠ 0 ise A matrisine regular (tekli olmayan ) matris denir. A =
0 ise A matrisine singuler (tekil ) matris denir.

26. ÖRNEK:
A= 2 3 matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulunuz.
-1 -2
ÇÖZÜM:
A-1 = a b olsun. A.A -1 = I olması gerekir.
c d
2 3 . a b = 1 0
-1 -2 c d 0 1
ise 2a+3c 2b+3d = 1 0
-a-2c -b-2d 0 1
İse 2a+3c =1 2b+3d =0
-a-2c = 0 -b -2d =1
2a+3c= 1 2b+3d =0
+ -2a-4c=0 + -2b-4d =2
-c=1 , c=-1 , a=2 -d=2 , d=-2, b= 3 A -1 = 2 3

27. BİR MATRİSİN RANKI:
A, mxn tüünde bir matris olsun.A nın determinantları sıfırdan farklı olan kare
matrislerden en büyük mertebeli olanın mertebesine , A nın rankı denir ve rank A
ile gösterilir.
ÖRNEK:
3 4
A= 5 6 matrisinin 2x2 türündeki bütün kare alt matrislerini yazınız.
0 2
ÇÖZÜM:
3 4 3 4 5 6
5 6 0 2 0 2
ÖRNEK:
3 4
2 0 matrisinin rankını bulunuz.
5 -2

28. A matrisi 3x2 türünden olduğundan A nın karesel alt matrisleri en çok 2x2
türünden olabilir.Bu nedenle rank(A) en fazla 2 olabilir.2x2 boyutlu 3 4
2 0
Alt matrisinin determinantı 3 4 = 0 -8 =-8 ≠0 olduğundan rank(A)= 2 dir.
2 0
LİNEER DENKLEM SİSTAMLERİ:
Bilimeyen x1, x2, …xn ve katsayıları gerçel sayılar olan ,
a11x1 + a12x2 +…a1nxn = b1
A21x1 + a22x2 +…a20nxn = b2
……………………….
am1x1 + am2x2 +…amnxn =bm
Denklemlerinden oluşşan sisteme n bilinmeyen lineer denklem sistemi
denir.Matrislerde çarpma işleminin tanımından ,
a11 a12 … a1n x1
a21 a22 ... a2n x= x2

29. b1
B= b2 olmak üzere
bm
Yukarıdaki sistem A.X = B şeklinde yazılabilir.Burada A ya katsayılar matrisi
denir.
m = n ise A bir kare matris olur..Bu durumda A -1 varsa,
AX = B ise A -1.(A.X) =A -1.B
ise (A -1)X =A -1.B
ise In.X = A-1.B
ise X=A -1.B bulunur.
ÖRNEK:
3x+2y-z = 5 denklem sistemini matrisler yardımıyla çözünüz.
X-3y+2z = 6

30. ÇÖZÜM: x
Katsayılar matrisi A = 3 2 -1 bilinmeyeler matrisi X = y
1 -3 2 z
Ve sabit terimler matrisi B = 5 olsun.Buna göre verilen sistemler A.X=B ya
6
da 3 2 -1 x 5
1 -3 2 . y = 6
z
Biçiminde yazılır.
GRAMER KURALI:
Bilinmeyen sayısı ile denklem sayısısnın eşit olduğu lineer denklem
sistemlerinin pratik çözümlerini veren gramer kuralını inceleyelim.
a11 a12 .. A1n
a21 a22 …a2n dir.
an1 an2 …ann

31. 1. ∆ ≠ 0 ise tek çözüm vardır.
x1 = ∆1 / x 2 = ∆2 / ∆ , … Xn = ∆n / ∆ dır.
2. ∆ = 0 ve ∆ 1, ∆2,…= ∆n lerden en az biri sıfırdan farklı ise sistemin
∆
çözümü yoktur.
3. ∆ = ∆1 = ∆2 … = ∆n = 0 ise sistemi sonsuz çözümü vardır.
ÖRNEK:
3x-2y = 5 sisteminin çözümünü bulunuz.
2x +5y = 1
ÇÖZÜM:
∆ = 3 -2 = 15 - (-4) =19
2 5

32. ∆1 = 5 -2 = 25 – (-4) =19
1 5
∆2 = 3 5 = 3-10 = -7
2 1
X= ∆1/ ∆= 27/19 ve y = ∆2 / ∆ = -7/19 bulunur.