LİNEER CEBİR

4. MATRİSLERİN TANIMI MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
SATIR MATRİS TOPLAMA İŞLEMİNİN
ÖZELLİKLERİ
SÜTUN MATRİS
MATRİSİN SKALARLA
KARE MATRİS ÇARPIMI
SIFIR MATRİS MATRİSLERDE ÇARPMA
İŞLEMİ
KÖŞEGEN MATRİS VE
MATRİSLERDE ÇARPMA
SKALER MATRİS İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
BİRİM MATRİS BİR MATRİSİN ÇARPMA
İKİ MATRİSİN İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
EŞİTLİĞİ BİR MATRİSİN TRANSPOZU
(DEVRİĞİ)

5. TANIM: n,m Є N+ için, (i=1,2,3,....,m; j=1,2,3,....,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından
oluşturulan; a  11
a ... a
12 ... a
1j 1n 
a a22 ... a2 j ... a2 n 
 21 
 ... ... ... ... ... ... 
 
 ai1 ai 2 ... aij ... ain 
i satır
 ... ... ... ... ... ... 
 
am1
 am 2 ... amj ... amn 
j sütun
tablosuna mxn biçiminde(tipinde) bir matris denir.
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ij elemanındaki i sayısına
birinci indis, j sayısına ikinci indis denir.aij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile, j
sütununun kesim noktasında bulunur.Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca
A=[aij]mxn şeklinde gösterilir.Burada, m matrisinin satır sayısını,n de sütun sayısını
gösterir.
A matrisinin, ai1, ai2, ..., aij, ..., ain elemanlarına i. Satır elemanları;
a1j, a2j, ..., aij, ..., amj elenanlarına da j. sütun elemanları denir
MATRİSLER

6. Tanım:A=[aij]mxn matrisinin her satırına, satır matrisi(satır vektörü)
denir.
B1=[a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2=[a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
Bm=[am1 am2 ...amn] (m.satırmatrisi)
A matrisi satır matrisine bağlı olarak,
 1
B
 
B
A=[aij]mxn=  2 şeklinde gösterilir
 3
B
 
B
 4
MATRİSLER

7. Tanım:A=[aij]mxn matrisinin her sütununa, sütun matrisi(sütun
vektörü)denir
 a11  a12  a1n 
a  a  a  A1:birincisütun matrisi
A1 =  21  , A2 = 22  ,..., An =  2 n 
 ...   ...   ... 
      A2:ikinci sütun matrisi
am 2 
am1   an 
...
An:n. Sütun matrisi
A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A=[aij]mxn=[A1 A2 A3 ... An]
şeklinde gösterilir.
MATRİSLER

8. Tanım:Nxn tipindeki[aij]nxn matrisine, n.sırada kare matris denir.
Örneğin;
3 − 4 
1 5  Matrisi,2.sıradan bir kare matristir.
 
MATRİSLER

9. Tanım:Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O
harfi ile gösterilir
Örneğin;
 0 0 0 Matrisi. 2x3 tipinde sıfır matrisidir.
O=  
 0 0 0 2 X 3
Tanım:[aij]nxn kare matrisinde a11 , a22 , a33 , ... , ann elemanlarının
oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1 , a(n-1)2 , ... , a1n terimlerinin
oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.
 a11 a12 a13 
a a a 
 21 22 23 
 a31 a32 a33 
 
Yedek köşegen Asal köşegen
MATRİSLER

10. Tanım: A=[AİJ]nxn kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip matrise, köşegen
matris denir.
 3 0 0
 0 − 4 0
  matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.
 0 0 0
 
Tanım: A=[aij]nxn köşegen matrisinde a11=a22=...=ann=k ise,(kЄR) bu
matrise, skalar matris denir.
5 0
0 5 Matrisi, 2.sıradan bir skalar
 
matrisidir.
MATRİSLER

11. Tanım:Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır
olan kare matrise, birim matris denir.In şeklinde gösterilir.
1 0 0 0
0 1 0 0
I4 =   matrisi, 4.sıradan bir birim matrisidir.
0 0 1 0
 
0 0 0 1
Asal eksen
MATRİSLER

12. Tanım:asal köşegen üzerindeki elemanları eşit olan matrislere, eşit
matrisler denir.
 5 a 3a + 2b 4 x
Örnek: A =   ve B = olmak üzere, A=B
 a + 2b
b
5  y 2
 ise, x kaçtır?
y
 5a
3a + 2b 4 x
Çözüm:A=B A=  b  =
B = matrisinin eşitliğinden,
 a + 2b 5  y 2

5a=4, 5b=2, 3a+2b=x, a+2b=y olduğundan
5a=22 x
5 =5 den, a=2b olur. Bulunan değer de
a 2b
5b=2 52b=22 y
yerine yazılırsa;
x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b
= = = =2
y a + 2b 2b + 2b 4b
MATRİSLER

13. Tanım:A=[aij]mxn veB=[bij]mxn matrisleri verilmiş olsun.
A+B=[aij]+[bij]mxn=[aij+bij]mxn matrisine, A ve B matrislerinin
toplamı denir.
Örnek:  a 2 − 1 +  − 3b 1 2  =  − 11 3 1  olması için (a,b) ikilisi
 3 b − 4   1 2 a − 4   4 − 1 − 8
      ne olmalıdır?
Çözüm: Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak,
 a − 3b 3 1   − 11 3 1 
 4 2a + b − 8 =  4 − 1 − 8 elde edilir. Bu eşitlikten,
   
A-2b=-11
Denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse,
2a+b=-1 (a,b)=(-2,3) bulunur
MATRİSLER

14. 1.Değişme özelliği vardır.
A+B=B+A
2. Birleşme özelliği vardır.
A+(B+C)=(A+B)+C
3. Sıfır matris, etkisiz elemandır.
A+0=A
4.A=[aij]mxn matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
-A=[-aij]mxn matrisidir.
5. İki matris farkı;
A-B=A-(B)
MATRİSLER

15. C bir sayı olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir.
Tanım: k skalar sayısı ve a=[aij]mxn matrisi verilmiş olsun.
k.A=k[aij]mxn=[kaij]mxn matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin
çarpımı denir.
2 − 3
Örnek:  Matrisi v ek=2 saysı için, k.A matrisini bulalım.
 4 1 
 2 − 3  2.2 − 3.2  4 − 6
Çözüm: k .A = 2.  =  4.2 1.2  = 8 2 
4 1     
MATRİSLER

16. Tanım: A matrisi mxn türünde, B matrisi nxp türünde olsun. A.B matrisi
mxp türünde bir matristir. cij, A.B nin bir elemanı ise, bu eleman, A’nın
i. satır vektörü ile B’nin j.sütun vektörünün skaler çarpımına eşittir.
3 1  2 0 5
Örnek: A =   ve B =   ise A.B çarpımını bulunuz.
4 2 − 2 1 4
3 1  2 0 5
Çözüm:  4 2 . − 2 1 4
  2x2   2 x3
 2.3 + 1(− 2) 03 + 1.1 5.3 + 1.4  4 1 19 
= =
 4.2 + 2(− 2) 1.2 + 4.0 4.5 + 4.2 2 x 3
  4 2 28

MATRİSLER

17. 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur.
2. A ve B 0’a eşit olmadığı halde , A.B=0 olabilir.
3. A.0=0.A=0’dır. Buna göre sıfır matrisi yutan elemandır.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. A.I=I .A=A
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A.(B.C)=(A.B).C
6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği;
A = a ij
mxn
[ ]
, B = b jk nxp
[ ]
, C = c jk nxp
olmak üzere , A.(B + C) = A.B + A.C dir.
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği;
A ve B matrisleri mxn türünde , C matrisi nxp türünde iseler
(A+B).C=A.C+B.C olur.
7. A ve B birer matris , k bir sayı ise ; k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir.
8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.
MATRİSLER

18. Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B
kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri
1. k ∈ R - 0{ } olmak üzere , n. Sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine
göre tersi varsa,
1
( k.A) -1 = . A -1
k
−1 −1
2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A ve B ise;
( A.B)-1 =B − .A -1
1
a b 1 d − b
A = A −1 = − c  dır.
d
3. ise,
c  ad − bc  a 
Eğer ad-bc=0 ise, A −1 yoktur.
MATRİSLER

19. Tanım: A = [a ] matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline
[a ]
ij mxn
getirmekle
elde edilen ji matrisine A matrisinin devriği denir ve A T veya A d ile gösterilir.
nxm
− 3 2 
 − 3 4 5
A= A T = A d =  4 − 1
 2 − 1 6

 
5 6
 
Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;
2. (A + B) = A + B 3. (k.A) = k.A
T T T T
1. (A T ) T =A
Teorem: [ ]
A = a ij mxn ve B = [b ]jk nxp
matrisleri için, (A.B) T = BT .A T dir.
Teorem: A tersi olan bir matris ise, (A T ) −1 = (A −1 ) T dir.
Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal
T
1. A =A ise, A matrisine simetrik matris denir.
2. A T =-A ise A matrisine antisimetrik matris denir.
3. A T = A −1 ise A matrisine ortogonal matris denir.
MATRİSLER

21. DETERMİNANTIN TANIMI
MİNÖR VE KOFAKTÖR ÇARPIMI (EŞ ÇARPAN)
DETERMİNANT FONKSİYONU
DETERMİNANT ÖZELLİKLERİ
EK MATRİS
EK MATRİSİN ÖZELLİKLERİ
A-1 MATRİSİN EK MATRİS YARDIMIYLA BULUNUŞU

22. Bu kısımda, elemanları gerçek sayı olan kare matrislere ait determinant kavramını
vereceğiz.
A kare matris olmak üzere, A matrisinin determinantı | A| veya det(A) biçiminde
gösterilir. A matrisi nxn biçiminde ise, A’nın determinantı n. mertebedendir, denir.
[ ]
Tanım:1x1 biçimindeki A = a11 matrisinin determinantı, A = 11 dir. a
Örneğin; A=[7] matrisi için A = 7 dir.
 a11 a12 
Tanım: 2x2 biçimindeki A =   matrisinin determinantı
a 21 a 22 
A = a11 a12 = a11 . a 22 −a12 . a 21
a 21 a 22
 11
a a 12 a 13

 
Tanım: 3x3 biçimindeki A = a 21
 a 22 a 23  matrisinin determinantı;
a a a 
 31 33 
a 11 a a
12 13
32
A =a 21 a a =(a . a . a +a . a . a +a . a . a
22 23 11 22 33 21 32 13 31 22 31
)
a 31 a a
32 33
−(a13 . a 22 . a 31 +a 23 . a 32 . a11 +a 33 . a12 . a 21) dir.
DETERMİNANTLAR

23. Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan
matrisin determinantına, a ij elemanının Minör’ü denir ve M ij ile gösterilir.
A ij = (−1) i + j .M ij
a11 a 12 a 
13
 
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3 olsun. A = a 21 a 22 a ∈ M 3
23
a a a 
 31 32 
33
olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ile tanımlı D : M 3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.
3001 3003
Örnek: A = determinantını hesaplayalım.
2997 2999
3001 3003 a + 1 a + 3
Çözüm: 3000=a dersek, A = = olur. Buna göre, açılımını
2997 2999 a − 3 a − 1
A =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8
DETERMİNANTLAR

24. Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun.
 11
a a 12 a 1n

 
a
 21 a 22 a 2n 
∈ n olmak üzere
M
a a a 
 n1 n2 nn 
det(A) = A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ile tanımlı D : M → R
3
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= A ifadesine de A matrisinin
determinantı denir.
− 1 0 2 0
1 −1 0 1
Örnek: A = değerini bulalım.
0 1 2 1
− 1 3 2 4
−1 0 1 1 −1 1
Çözüm: A =− .( − ) 2 . 1
1 1 2 1 + .( − ) 4 . 0
2 1 1 1
3 2 4 − 1 3 4
A =-1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) ⇒ A = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur.
DETERMİNANTLAR

25. 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise, A = A dir.
T
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin
determinantının değeri sıfırdır.
2a 2b 2c
A = a b c a, b, c ∈R - {0} determinantı verilmiş olsun. Bu
1 1 1
determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak
orantılı olduğu için, A = 0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise,
determinantın değeri sıfırdır.
4 -2 0
A =4 -1 0 =0 dır.
3 4 0
DETERMİNANTLAR

26. 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise
determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters
işaretlisine eşittir.
a 11 a 12 a 13
A = 0 a 22 a 23
= a11 . a 22 . a 33 (Asal köşegen altındaki
0 0 a 33
elemanlar sıfırdır.)
5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant
işaret değiştirir.
a b c d
=6 ise = −6 dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.)
c d a b
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de
k katına çıkar.
a b ka kb
A= ise k. A = olur.
c d c d
DETERMİNANTLAR

27. 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k
katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni
determinantın değeri değişmez.
a b a b dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
=
c d c + ka d + kb eklenmiştir.)
8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin
toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı
biçiminde yazılabilir.
a +x b +y c +z
1 1 1
Determinantı aynı sıradan iki
A= a b 2c 2 2 determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;
a b 3c 3 3
a b c x y z
1 1 1
A=a b c +a b c olur.
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
DETERMİNANTLAR

28. 9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir
başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı
çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.
10. N. Mertebeden A ve B matrisleri A.B = A . B dir.
için,
a b x y
A= = 4 ve B = =7 ⇒ A.B = A . B = 4.7 = 28
c d z t
DETERMİNANTLAR

29. Tanım: n. mertebeden A =aij ] *n kare matrisi verilmiş
[ n
olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; [A ] matrisine, A
ij
T
matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir
a11 a a 

A = a 21
12
Matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma
13

22 a a 23
göre matriste her elemanın yerine
a a a 
 31 32 33 
kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin
transpozu alınır.
T
 11
A A12 A13    11
A A21 A31
  
A = A21
 A22 A23 = A12
 A22 A32 
A A32 A33  A A23 A33
 31   13 
a b  d − b
A =  matrisi için ek matris , Ek(A) = − c a 
c d   
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.
DETERMİNANTLAR

30. A.Ek(A)=Ek(A).A= A .I
a b 
Yukarıdaki özelliği, A=   Matrisi için gösterelim:
c d 
 a b   d − b  ad − bc − ab + ab   ad − bc 0 
 c d  . − c a  =  cd − cd − bd + ad  =  0 
− bc + ad 
     
1 0
=(ad-bc)   = A .I 2 ' dıı
0 1
DETERMİNANTLAR

31. A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:
Teorem: A matrisi A ≠ 0 olan bir matris olmak üzere,
A = Ek ( A)
−1
A
dır.
İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile
çarpalım:
A − 1 . A.Ek ( A) = A − 1 . A .Ι ⇒ Ek ( A) = A − 1 . A .Ι ⇒ Ek ( A) = A . A − 1 .Ι ⇒ Ek ( A) = A . A − 1
Ek ( A)
A −1 =
A
DETERMİNANTLAR

32.  1 0 2
Örnek: A =  2 − 1 3
  matrisinin tersini bulalım.
 4 1 8
 
Ek ( A)
Çözüm:
−1
A = olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.
det( A)
1 0 2 - 11 2 2 
det( A) = 2 − 1 3 = 1 ≠ 0 olduğlduğu , A -1 var dıır Ek(A) =  - 4 0 1 
 
4 1 8  6 - 1 - 1
 
- 11 2 2 
Ek(A) 
olarak bulunur. O halde, A -1 = =  - 4 0 1  olur.

det(A)
 6 - 1 - 1
 
a b
Sonuç :   matrisinde , det(A) = ad - bc ≠ 0 ise ;
c d
Ek(A) 1 d −b
A -1 = = − dır.
det(A) ad - bc  c a 
DETERMİNANTLAR