A differenciálgeometria alapjai c. előadás Szerző: Dr. Nagy Gábor Péter http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg

1. A differenciálgeometria alapjai
matematika tanár szakos
el˝ adás és gyakorlat
o
Nagy Gábor Péter
Szegedi Tudományegyetem
Bolyai Intézet, Geometria Tanszék
2010/2011-os tanév I. féléve
1 / 120

2. Tagolás
1 I: El˝ ismeretek
o
Lineáris algebra
Differenciálszámítás
Valós függvénytan
2 II: Görbék
Sík- és térgörbék
Görbeelmélet
Példák görbékre
3 III: Felületek
Felületek megadása
Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Vektormez˝ k, deriválás
o
Felületek metrikája (mértana)
Theorema Egregium
4 IV: Névjegyzék
2 / 120

3. I: El˝ ismeretek
o
1 I: El˝ ismeretek
o
Lineáris algebra
Differenciálszámítás
Valós függvénytan
2 II: Görbék
Sík- és térgörbék
Görbeelmélet
Példák görbékre
3 III: Felületek
Felületek megadása
Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Vektormez˝ k, deriválás
o
Felületek metrikája (mértana)
Theorema Egregium
4 IV: Névjegyzék
3 / 120

4. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Vektorok, vektorterek
Skalár = valós szám
Vektor = vektortér eleme
Vektorok összege, skalárszorosa
Alappéldák
Szám n-esek: V = {(x1 , x2 )}, {(x1 , x2 , x3 )}, . . ..
M˝ veletek komponensenként.
u
Vektorérték˝ leképezések: V = {f : X → Rn }.
u
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
M˝ veletek pontonként:
u
(cf )(x) = cf (x).
Végtelen dimenziós, ha |X| = ∞!
4 / 120

5. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
Lineáris kombináció: c1 v1 + · · · + cn vn
Lineáris altér: zárt a lineáris kombinációra
Lineáris függ˝ ség:
o
Egyik kikombinálható a többib˝ l.
o
A nullvektor nem-triviálisan kikombinálható.
Definíció
A maximális lineárisan független vektorrendszert bázisnak nevezzük.
Kicserélési tétel Definíció
A V vektortér minden bázisa A V vektortér dimenziója a V
egyforma számosságú. bázisának számossága.
5 / 120

6. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Vektorok skalárszorzata
Két vektorból számot: ab
Geometriai definíció
ab = |a||b| cos γ
Analitikus definíció
(a1 , a2 , a3 )(b1 , b2 , b3 ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Alaptulajdonságok
Bilineáris, szimmetrikus, pozitív definit. 0 ha mer˝ legesek.
o
6 / 120

7. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Vektorok vektoriális szorzata
Két vektorból vektort (3-dimenzióban): a × b
Geometriai definíció
Hossza: |a × b| = |a||b| sin γ, iránya mer˝ leges a, b-re és jobb sodrású
o
rendszert alkotnak.
Analitikus definíció
 

 i j k 

a × b = det 
 a1 a2 a3 

 

 

b1 b2 b3

 

Alaptulajdonságok
Bilineáris, antiszimmetrikus, ⊥ a tényez˝ kre. 0 ha párhuzamosak.
o
7 / 120

8. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Vegyes szorzat
Definíció
abc = a(b × c) = (a × b)c (3 db 3-dimenziós vektorból számot)
Analitikus jelentés (kiszámítás)
Geometriai jelentés
 a1 a2 a3 
 
  A három vektor által kifeszített
abc = det 
 b1 b2 b3 

 

paralelepipedon térfogata.
 

c1 c2 c3

 

Alaptulajdonságok
Tényez˝ k felcserélésekor el˝ jelet vált (alternál). Minden tényez˝ jében
o o o
lineáris (trilineáris). 0 ha a tényez˝ k lineárisan függ˝ k.
o o
8 / 120

9. I: El˝ ismeretek
o Lineáris algebra
Lineáris leképezések
Definíció
Az f : V → W vektorterek közti leképezés lineáris, ha
Additív: f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ), és
Homogén: f (cv) = cf (v).
Speciális eset: V = Rn , W = Rm , f : Rn → Rm lineáris. Ekkor valamely
A = (aij ) m × n-es mátrixra
x1 y1   a11 a12 · · · a1n x1
      

 
 
   
 

x2 y2   a
  21 a22 · · · a2n x2


 

 

   

 



f :

→ =
   
. .   . . . .
  
   
 

. .   . . . .
    
. .   . . . .


 

 

   

 




 

 

  
 
  

 


xn ym am1 am2 · · · amn xn
      
9 / 120

10. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Egyváltozós, skalár érték˝ függvények deriváltja
u
Egyváltozós, valós érték˝ függvény: f : R → R
u
f (x)−f (y)
f (x) = limy→x x−y .
Az eredmény f : R → R egyváltozós függvény.
További jelölések: f (x), df (x), ∂f (x).
˙
dx
Geometriai jelentés: a grafikonhoz húzott érint˝ meredeksége.
o
f ≡ 0 ⇔ f ≡ konst. Középérték-tételek.
Deriválási szabályok
Additív: (f + g) = f + g .
Homogén: (cf ) = cf . (Azaz lineáris.)
Leibniz-szabály: (fg) = f g + fg .
Láncszabály: f (g(x)) = f (g(x))g (x).
10 / 120

11. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Egyváltozós, vektor érték˝ függvények deriváltja
u
Egyváltozós, vektor érték˝ függvények:
u
f : R → R3 , f(t) = (x(t), y(t), z(t)).
x(t), y(t), z(t) koordináta-függvények.
Deriválás komponensenként: f (t) = (x (t), y (t), z (t)).
Az eredmény ugyanilyen típusú függvény: f : R → R3 .
Linearitás OK.
Leibniz-szabály mind a skalár, mind pedig a vektoriális szorzatra
értelmes és OK:
(f(t)g(t)) = f (t)g(t) + f(t)g (t).
(f(t) × g(t)) = f (t) × g(t) + f(t) × g (t).
11 / 120

12. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Többváltozós, skalár érték˝ függvények parciális deriváltja
u
Többváltozós, skalár érték˝ függvények:
u
f : Rn → R, f : (x1 , . . . , xn ) → f (x1 , . . . , xn ).
xk szerinti, vagy k-dik változó szerinti paricális derivált
A többi változót „rögzítem”, egyváltozós függvényként tekintem.
Az eredmény többváltozós, skalárérték˝ függvény.
u
A mi jelölésünk: ∂k f (x1 , . . . , xn ).
∂f
Egyéb jelölések: fxk (x1 , . . . , xn ), fxk (x1 , . . . , xn ), ∂xk (x1 , . . . , xn ).
Alaptulajdonságok
Linearitás, Leibniz-szabály.
A magasabb fokú parciális deriváltak (jó esetben) felcserélhet˝ k.
o
12 / 120

13. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Többváltozós, vektor érték˝ függvények totális deriváltja
u
Oszlopvektorokkal kell számolni!
 f1 (x) 
 
 . 

 . , f1 , . . . , fm koordináta fv.-ek

n → Rm , f(x) = 

f:R  . 






 
fm (x)
 
Parciális der. komponensenként, a totális derivált egy mátrix:
A parciális derivált A totális derivált
 ∂k f1 (x)   ∂1 f1 (x) · · · ∂n f1 (x)
   

. . .. .
   
. .
 
.
 
∂k f(x) =  Df(x) = 
 
.
 
. . .

 

 
 



 
 
 

∂1 fm (x) · · · ∂n fm (x)
 
∂k fm (x)

 
  
Speciális eset: m = 1, azaz f skalár érték˝ . Ekkor Df sorvektor, ezt
u
nevezzük f gradiens-vektorának.
13 / 120

14. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Láncszabály többváltozós függvényekre
Láncszabály többváltozós függvényekre
Legyen g : Rn → Rm , f : Rm → R . Ekkor a h = f ◦ g : Rn → R összetett
függvény totális deriváltjára teljesül
Dh(x) = (Df(g(x))) (Dg(x)),
ahol az egyenl˝ ség jobb oldalán két mátrix szorzata áll.
o
Gondoljuk meg, hogy a mátrixok méretei valóban lehet˝ vé teszik a fenti
o
szorzás elvégzését.
14 / 120

15. I: El˝ ismeretek
o Differenciálszámítás
Láncszabály alkalmazása speciális esetre
Speciális eset: g : R → R2 , r : R2 → R3 és G = r ◦ g : R → R3 .
Ekkor
 ∂1 r1 (u, v) ∂2 r1 (u, v) 
 
g1 (t)  
 ∂1 r2 (u, v) ∂2 r2 (u, v) 
Dg(t) = , Dr(u, v) = 

 

g2 (t)  

∂1 r3 (u, v) ∂2 r3 (u, v)

 

és
G (t) = DG(t) = Dr(g(t))Dg(t)
 ∂1 r1 (g1 (t), g2 (t)) ∂2 r1 (g1 (t), g2 (t))
 
g1 (t)
 

=  ∂1 r2 (g1 (t), g2 (t)) ∂2 r2 (g1 (t), g2 (t))

 


g2 (t)

 

∂1 r3 (g1 (t), g2 (t)) ∂2 r3 (g1 (t), g2 (t))

 

g1 ∂1 r1 + g2 ∂r1 
 

 
 g ∂1 r2 + g ∂r2  = g ∂1 r + g ∂2 r.
=  1

 
1 2

2
 

g1 ∂1 r3 + g2 ∂r3

 

15 / 120

16. I: El˝ ismeretek
o Valós függvénytan
Egyváltozós végtelen hatványsorok
n
Polinom: i=0 ai t i = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn
Hatványsor: ∞
i=0 ai t i = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn + · · ·
t2 t3
Példák: et = 1 + t + 2! + 3! + ···
t3 t5 t7
sin t = t − 3! + 5! − 7! + · · ·
1
1−t =1+ t2 + t3 + t4 + · · ·
t2 t3
ln(1 + t) = t − 2 + 3 + ···
Problémák
Konvergencia: Milyen t-re értelmes?
Válasz: Kicsire.
Pontosabban: Konvergenciasugár...
16 / 120

17. I: El˝ ismeretek
o Valós függvénytan
Taylor-sorba fejtés
f (0) 2
Skalárérték˝ , 0 körül: f (t) = f (0) + f (0)t +
u 2! t + · · ·
Skalárérték˝ , x körül:
u f (x + t) = f (x) + f (x)t + f 2! t2 + · · ·
(x)
(0)
Vektorérték˝ , 0 körül:
u r(t) = r(0) + r (0)t + r 2! t2 + · · ·
Feltételek
Ne legyünk szégyenl˝ sek: f ill. r végtelen sokszor differenciálható.
o
A „· · · ” jelentése
A „· · · ” jelentése az, hogy kicsi. Nagyon kicsi, azaz t3 -el osztva sem lehet
nagyon nagy. Pontosabban: · · · = q(t)t3 , ahol |q(t)| korlátos 0 (vagy x) egy kis
környezetében.
17 / 120

18. I: El˝ ismeretek
o Valós függvénytan
Implicit függvény tétel
Implicit függvény tétel – kétváltozós eset
Tegyük fel, hogy az f (x, y) végtelen sokszor differenciálható függvényre
∂2 f (a, b) 0. Ekkor létezik g(x) végtelen sokszor differenciálható függvény,
melyre f (x, g(x)) ≡ 0.
Elsumákoltuk az értelmezési tartományokat. (Az (a, b) pont megfelel˝
o
környezete.)
A feltétel geometriai jelentése: az f (x, y) = 0 síkgörbének van érint˝ je
o
(a, b)-ben, és az nem függ˝ leges. (Van meredeksége.)
o
Az állítás jelentése: az f (x, y) = 0 görbe lokálisan y = g(x) alakra
hozható.
Többváltozós esetben x-et x = (x1 , . . . , xn ) helyettesíti.
18 / 120

19. I: El˝ ismeretek
o Valós függvénytan
Inverzfüggvény tétel
Inverzfüggvény tétel – egyváltozós eset
Tegyük fel, hogy az f (x) végtelen sokszor differenciálható függvényre
f (a) 0. Ekkor létezik g(x) végtelen sokszor differenciálható függvény,
melyre f (g(x)) ≡ x az a megfelel˝ környezetében.
o
Bizonyítás: Alkalmazzuk az implicit függvény tételt az F(x, y) = x − f (y)
függvényre.
A feltétel geometriai jelentése: a függvény grafikonjának érint˝ je nem
o
vízszintes.
Többváltozós, vektorérték˝ esetben az f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn
u
függvényt tekintjük, és a feltétel det(Df(a)) 0.
19 / 120

20. II: Görbék
1 I: El˝ ismeretek
o
Lineáris algebra
Differenciálszámítás
Valós függvénytan
2 II: Görbék
Sík- és térgörbék
Görbeelmélet
Példák görbékre
3 III: Felületek
Felületek megadása
Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Vektormez˝ k, deriválás
o
Felületek metrikája (mértana)
Theorema Egregium
4 IV: Névjegyzék
20 / 120

21. II: Görbék Sík- és térgörbék
Görbék megadása a síkon egyenlettel
Ponthalmaz megadása egyenlettel: Azon pontok halmaza, melyek
koordinátái kielégítik az adott egyenletet.
Görbék explicit megadása y = f (x) alakban történik. Más szóval, a görbe
az f (x) függvény grafikonja.
Görbék implicit megadása: F(x, y) = 0.
Példák
Explicit Implicit
Egyenes y =√ + b
mx ax + by + c = 0
(Fél)kör y = 1 − x2 x 2 + y2 − 1 = 0
21 / 120

22. II: Görbék Sík- és térgörbék
Görbék paraméteres megadása a térben (és a síkon)
Definíció
Legyen r : [a, b] → R3 differenciálható egyváltozós vektorérték˝ függvény.
u
Az r leképezés γ képhalmazát paraméterezett görbének nevezzük.
Amennyiben r bijektív [a, b] és γ között, akkor elemi görbeívr˝ l beszélünk.
o
r : t → r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )
koordináta
függvények
Megjegyzés: Síkgörbék esetében az utolsó koordináta z = 0, esetleg el is
hagyjuk: r(t) = (x(t), y(t)).
22 / 120

23. II: Görbék Sík- és térgörbék
Példák: egyenes, kör paraméterezései
A p0 , p1 pontokat összeköt˝ szakaszt az r : [0, 1] → R3 ,
o
r(t) = (1 − t)p0 + tp1 függvény paraméterezi.
Általában az egyeneseket
r(t) = (a1 t + a2 , b1 t + b2 )
alakú (els˝ fokú) leképezések paraméterezik.
o
Az O kp.-ú egységkört r(t) = (cos t, sin t) paraméterezi. (Nem elemi
görbeív.)
Az
1 − t2 2t2
r(t) = ,
2 1 + t2
1+t
függvény szintén (majdnem) az egységkört eredményezi.
23 / 120

24. II: Görbék Sík- és térgörbék
Görbék ekvivalens paraméterezései

Definíció a b
Az r : [a, b] → R3 , r
q : [c, d] → R3 ekvivalens 
paraméterezések, ha q
c d
r(t) = q(ϕ(t)) teljesül valamely
ϕ : [a, b] → [c, d] bijekcióra.
Állítás (kés˝ bbre)
o Definíció
A görbe ívhossza független a Egy fogalmat geometriainak
paraméterezést˝ l.
o nevezünk, ha nem függ a
paraméterezést˝ l.
o
24 / 120

25. II: Görbék Sík- és térgörbék
Érint˝ egyenes, érint˝ vektor
o o
Az érint˝ szemléletes definíciója
o
Az érint˝ a szel˝ határhelyzete.
o o
r(t) paraméterezett görbe, = r(t), Q = r(t + h) görbepontok.
P ¨
r(t + h) − r(t)
A PQ szel˝ irányvektora:
o .
h ©
Ennek határértéke Q → P, azaz h → 0 esetén
r(t + h) − r(t)
r (t) = lim .
h→0 h
Definíció
Az r (t) vektor a görbe P = r(t) pontbeli érint˝ vektora.
o
A P-n átmen˝ , r (t) irányvektorú egyenes P-beli érint˝ egyenese.
o o
25 / 120

26. II: Görbék Sík- és térgörbék
Ívhossz
Definíció (A paraméterezett görbe ívhossza.)
b
Az r : [a, b] → R3 görbe ívhossza az a
|r (t)|dt integrál értéke.
v t 
Motiváció: r(t) a pontszer˝u v
részecske helyvektora, r (t) a
sebességvektora. v(t) = |r (t)| a
sebesség nagysága. A megtett b
s=∫a v t dt
út, azaz az ívhossz, a t
sebességgörbe alatti terület. a b
Tétel
A görbe ívhossza a beírt töröttvonalak hosszának szuprémuma.
26 / 120

27. II: Görbék Sík- és térgörbék
Ívhossz szerinti paraméterezés definíciója
A PQ görbeív hossza r  b

t
s(t) =
ˆ |r (u)|du. Q =r t
a P=r  a
Nyilván s(0) = 0 és s (t) = |r (t)| 0
ˆ ˆ r
minden t ∈ [a, b] esetén. Azaz s(t)
ˆ
szigorúan monoton növ˝ , tehát
o a t b
invertálható. Jelölje
ˆ : [0, s(b)] → [a, b] az inverzet.
t ˆ
Definíció (Ívhossz szerinti paraméterezés)
A görbe r(s) = r(ˆ(s)) paraméterezését ívhossz szerinti vagy természetes
˜ t
paraméterezésnek nevezzük.
27 / 120

28. II: Görbék Sík- és térgörbék
Ívhossz szerinti paraméterezés tulajdonságai
1 1
s(ˆ(s)) ≡ s =⇒ ˆ (s) =
ˆt t =
s (ˆ(s)) |r (ˆ(s))|
ˆ t t
r (ˆ(s))
t
˜ (s) =
r , azaz |˜ (s)| ≡ 1.
r
ˆ(s))|
|r (t
CSALUNK: Az r(t) paraméterezés˝ görbe r(s) = r(ˆ(s)) ívhossz szerinti
u ˜ t
paraméterezését is r(s)-el jelöljük.
MEGÁLLAPODÁS: Az s paraméter mindig ívhossz szerinti
paraméterezést jelöl.
Az ívhossz szerinti paraméterezés geometriai fogalom, azaz független a
paraméterezést˝ l. (˜ = q).
o r ˜
Az ívhossz szerinti paraméterezés elméleti szempontból nagyon jelent˝ s,
o
viszont a görbék dönt˝ többségében a gyakorlatban nem használható.
o
28 / 120

29. II: Görbék Sík- és térgörbék
Példa ívhossz szerinti paraméterezésre
Példa: r(t) = (c cos t2 , c sin t2 ), t ∈ [0, ∞), c 0.
Ekkor r (t) = (−2ct sin t2 , 2ct cos t2 ) és
|r (t)| = 4c2 t2 (sin t2 )2 + 4c2 t2 (cos t2 )2 = 2ct.
Az ívhosszra
t t
s(t) =
ˆ |r (u)|du = 2cudu = [cu2 ]t = ct2 .
0
0 0
s
Ennek inverze ˆ(s) =
t c. Az ívhossz szerinti paraméterezés
s s
˜ (s) = r(ˆ(s)) = (c cos , c sin ).
r t
c c
29 / 120

30. II: Görbék Görbeelmélet
Simulósík, simulókör: definíció
Definíció: Simulósík a görbe P pontjában
Adott a görbe P = r(t) pontja és ennek környezetében a Q1 = r(t1 ), Q2 = r(t2 )
pontok. Legyen Σt1 ,t2 a PQ1 Q2 sík és t1 , t2 → t. Ekkor a Σt1 ,t2 síkok
határhelyzetét a görbe P-beli simulósíkjának nevezzük.
Definíció: Simulókör a görbe P pontjában
Adott a görbe P = r(t) pontja és ennek környezetében a Q1 = r(t1 ), Q2 = r(t2 )
pontok. Legyen Kt1 ,t2 a P, Q1 , Q2 pontokon átmen˝ kör és t1 , t2 → t. Ekkor a
o
Kt1 ,t2 körök határhelyzetét a görbe P-beli simulókörének nevezzük.
30 / 120

31. II: Görbék Görbeelmélet
Simulósík, simulókör: szemléltetés
31 / 120

32. II: Görbék Görbeelmélet
Simulósík számítása – segédtétel
Segédtétel
2r(t1 )×r(t2 )
Ha r(0) = 0 és t1 , t2 → 0, akkor t1 t2 (t2 −t1 ) → r (0) × r (0).
Bizonyítás. Taylor-sorba fejtve r(t)-t kapjuk, hogy
t2
r(t) = tr (0) + r (0) + t3 (. . .),
2
ahol (. . .) kicsi t-re korlátos. Elhagyva a 0 paramétert r , r -b˝ l:
o
2
t1 2
t2
3 3
r(t1 ) × r(t2 ) = (t1 r + r + t1 (. . .)) × (t2 r + r + t2 (. . .))
2 2
1
= t1 t2 (t2 − t1 )(r × r + (2t1 + 2t2 + t1 t2 )(. . .))
2
32 / 120

33. II: Görbék Görbeelmélet
Simulósík számítása
Állítás
A görbe P = r(t) pontjában a simulósík normálvektora r (t) × r (t).
Bizonyítás. Feltételezhetjük, hogy t = 0 és P = r(0) = 0. A Q1 = r(t1 ),
Q2 = r(t2 ) görbepontokra a PQ1 Q2 sík normálvektora
−−
−→ −− −→
PQ1 × PQ2 2r(t1 ) × r(t2 )
2 = ,
t1 t2 (t2 − t1 ) t1 t2 (t2 − t1 )
melynek határértéke a segédtétel szerint r (t) × r (t).
33 / 120

34. II: Görbék Görbeelmélet
Simulókör sugara
Segédtétel
|a||b||a−b|
Az 0, A(a), B(b) térbeli pontokon áthaladó kör sugara 2|a×b| .
Tétel
|r (t)|3
A görbe P = r(t) pontjában a simulókör sugara .
|r (t) × r (t)|
Bizonyítás. Feltesszük t = 0-t.
|r(t1 )||r(t2 )||r(t2 )−r(t1 )| |r(t1 )||r(t2 )||r(t2 )−r(t1 )| |t1 t2 (t2 −t1 )|
=
2|r(t1 ) × r(t2 )| |t1 ||t2 ||t2 −t1 | |2r(t1 )×r(t2 )|
3 1
→ |r (0)|
|r (0) × r (0)|
34 / 120

35. II: Görbék Görbeelmélet
A görbület
Definíció: Görbület
A görbe P = r(t) pontjában a simulókör sugarának reciprokát a görbe
görbületének nevezzük:
|r (t) × r (t)|
κ(P) = κ(t) = 3
.
|r (t)|
Állítás
A görbület független a paraméterezést˝ l.
o
Példák
Az r sugarú kör görbülete minden pontjában 1/r.
Az egyenest els˝ fokú függvénnyel paraméterezve r (t) ≡ 0, azaz κ ≡ 0
o
adódik.
35 / 120

36. II: Görbék Görbeelmélet
A görbület alaptulajdonságai
Állítás
1 Ívhossz szerinti paraméterezésnél κ(P) = κ(s) = |r (s)|.
2 Egy görbeív akkor és csak akkor egyenes szakasz, ha a görbülete
azonosan nulla.
Bizonyítás. Ívhossz szerinti paraméterezésben |r (s)| ≡ 1, azaz (r (s))2 ≡ 1.
Mindkét oldalt deriválva, a Leibniz-szabály szerint 2r (s)r (s) ≡ 0, azaz
minden s-re r (s) ⊥ r (s). Ekkor
|r (s) × r (s)| = |r (s)||r (s)| sin α = |r (s)|.
Ha κ ≡ 0, akkor r (s) ≡ 0, azaz r (s) konstans és r(s) els˝ fokú. Ez azt jelenti,
o
hogy a görbív egyenes szakasz.
36 / 120

37. II: Görbék Görbeelmélet
Érint˝ egységvektor, f˝ normális, binormális
o o
Definíció: Érint˝ egységvektor
o
Az r(t) görbe P = r(t) pontjában a t(P) = t(t) = |r (t) vektort a görbe P-beli
r
(t)|
érint˝ egységvektorának nevezzük. Ívhossz szerinti paraméterezésben
o
t(s) = r (s).
Definíció: F˝ normális
o
Az r(s) ívhossz szerint paraméterezett görbe P = r(s) pontbeli f˝ normálisa az
o
n(P) = n(s) = |r (s) vektor.
r
(s)|
Definíció: Binormális
A b(s) = t(s) × n(s) vektort a görbe P = r(s) pontbeli binormálisnak nevezzük.
37 / 120

38. II: Görbék Görbeelmélet
Kísér˝ triéder
o
Segédtétel (már láttuk)
Ha f(t) vektorérték˝ függvényre |f(t)| konstans, akkor f(t) ⊥ f (t).
u
Állítás
A görbe minden pontjában a t(P), n(P) és b(P) vektorok jobb sodrású
ortonormált bázist alkotnak.
Bizonyítás. Definíció szerint t, n egységvektorok. A segédtétel miatt t ⊥ n.
Ekkor b definíciójából adódik az állítás.
Definíció: Kisér˝ triéder
o
A t(P), n(P), b(P) hármast a görbe P-beli kisér˝ triéderének nevezzük.
o
38 / 120

39. II: Görbék Görbeelmélet
Térgörbe torziója
Ívhossz szerinti paraméterezésben vagyunk, és feltesszük, hogy r 0.
Leibniz-szabály szerint a b = t × n binormális deriváltja
b =t ×n+t×n =t×n ,
hiszen t n, ezért t × n. Ekkor b ⊥ t és a korábbi segédtétel szerint b ⊥ b,
azaz b n.
Definíció: Torzió
Azt a τ = τ(P) = τ(s) valós számot, melyre b (s) = −τ(s)n(s), a görben
P = r(s) pontbeli torziójának nevezzük.
39 / 120

40. II: Görbék Görbeelmélet
Mikor értelmezett a torzió?
Ha κ ≡ 0, azaz ha a görbe egyenes szakasz, akkor r = 0, ezért a görbe
n = |r | f˝ normálisa nincs értelmezve.
r
o
Ekkor viszont sem a binormális, sem pedig a görbe torziója nem
definiált.
Abban a speciális esetben, ha a görbe a rögzített Σ sík síkgörbéje, akkor
értelmezhetük a f˝ normálist mint a sík normális egységvektorát. Ekkor
o
értelmet nyer a kisér˝ triéder és a torzió τ ≡ 0.
o
40 / 120

41. II: Görbék Görbeelmélet
A torzió alaptulajdonságai
Állítás
Az r(t) görbe akkor és csak akkor síkgörbe, ha torziója azonosan 0.
Bizonyítás. Ha τ ≡ 0, akkor b ≡ 0, azaz a binormális konstans: b(s) = b0 .
Tekintsük az f (s) = b0 (r(s) − r(0)) függvény deriváltját:
f (s) = b0 r (s) = b(s)t(s) = 0.
Tehát f (s) konstans: f (s) = f (0) = 0. Ezért a görbe minden pontja benne van
az r(0)-on átmen˝ , b0 normálvektorú síkban.
o
Állítás
A torzió a binormális ívhossz szerinti szögsebessége.
41 / 120

42. II: Görbék Görbeelmélet
A torzió kiszámítása ívhossz szerinti paraméterezésben
Tétel
r (s)r (s)r (s)
Ívhossz szerinti paraméterezésnél τ(s) =
|r (s)|2
Bizonyítás.
1 0 = bn ⇒ 0 = b n + bn = −τn2 + bn ⇒ τ = bn
r r ×r
2 b=t×n=r × =
κ κ
 r = κn ⇒ r = κ n + κn



⇒ br = κ bn + κbn = κτ



3


 (r × r )r rr r
⇒ τ= =



κ 2 |r |2


42 / 120

43. II: Görbék Görbeelmélet
A torzió kiszámítása általános paraméterezésben
Tétel
r (t)r (t)r (t)
Általános paraméterezésben τ(t) = 2
.
|r (t) × r (t)|
˜
Bizonyítás. Az s(t) és r jelölést használjuk az ívhosszra és az aszerinti
ˆ
paraméterezésre. r(t) = r(ˆ(t))-re a láncszabályból:
˜s
r = rs
˜ˆ
r = r (ˆ )2 + r s
˜ s ˜ˆ
r = r (ˆ )3 + r α + r β
˜ s ˜ ˜
adódik valamely skalár érték˝ α, β függvényekre. A vegyesszorzat
u
tulajdonságait felhasználva kapjuk, hogy r r r = (˜ r r )(ˆ )6 . A κ
r˜ ˜ s
képletéb˝ l és s = |r |-b˝ l adódik az állítás.
o ˆ o
43 / 120

44. II: Görbék Görbeelmélet
A Frenet-formulák
Tétel – A Frenet-formulák
Ívhossz szerinti paraméterezésnél a kisér˝ triéder deriváltjára vonatkozóan az
o
alábbi összefüggések állnak fenn:
= κn

 t

= −κt +τb

 n


=

 b −τn
Bizonyítás. Az els˝ és a harmadik azonosságot láttuk a görbület illetve a
o
torzió definíciójánál. A középs˝ höz felírjuk: n = αt + βn + γb. Egyrészt
o
n n = 0, azaz β = 0. Másrészt
0 = (nt) = n t + nt = n t + κn2 = n t + κ ⇒ α = −κ
0 = (nb) = n b + nb = n b − τn2 = n b − τ ⇒ γ = τ.
44 / 120

45. II: Görbék Görbeelmélet
A görbeelmélet alaptétele
Tétel – A görbeelmélet alaptétele
Adott két görbe és feltesszük, hogy ívhossz szerinti paraméterezésben a két
görbe görbületeit és torzióit ugyanazok a jól meghatározott függvények írják
le. Ekkor a két görbe térbeli mozgással fedésbe hozható.
Legyen i = 1, 2, ri (s) a két görbe ívhossz szerinti paraméterezése, ti (s), ni (s),
bi (s) a két kísér˝ triéder. Mivel a kísér˝ triéderek jobb sodrású ONB-t
o o
alkotnak, ezért térbeli mozgással elérhetjük, hogy
r1 (0) = r2 (0), t1 (0) = t2 (0), n1 (0) = n2 (0), b1 (0) = b2 (0).
Definiáljuk az f (s) = t1 (s)t2 (s) + n1 (s)n2 (s) + b1 (s)b2 (s) skalár érték˝
u
függvényt, f (0) = 1 + 1 + 1 = 3.
45 / 120

46. II: Görbék Görbeelmélet
A görbeelmélet alaptétele (folyt.)
A Frenet-formulák alapján
f (s) = t1 t2 + t1 t2 + n1 n2 + n1 n2 + b1 b2 + b1 b2
= κn1 t2 + t1 (κn2 ) + (−κt1 + τb1 )n2 + n1 (−κt2 + τb2 )
−τn1 b2 − b1 (τn2 )
= 0,
tehát f (s) ≡ 3. Másrészr˝ l, mivel itt egységvektorokról van szó,
o
f (s) = cos α + cos β + cos γ = 3,
ahol α, β, γ a bezárt szögek. Ebb˝ l α = β = γ = 0, azaz t1 (s) = t2 (s),
o
n1 (s) = n2 (s), b1 (s) = b2 (s) minden s-re. Speciálisan, r1 (s) = r2 (s), azaz
r1 (s) − r2 (s) konstans. Mivel r1 (0) = r2 (0), így r1 (s) = r2 (s).
46 / 120

47. II: Görbék Példák görbékre
Láncgörbe: y = cosh(x)
Általános explicit alak:
a x
y = cosh .
2 a
Az ábrán a = 1.
ex +e−x
cosh(x) = 2 =
x2 x4
1 + 2! + 4! + · · ·
Két ponton felfüggesztett
zsinór egyensúlyi helyzete.
r(t) = (t, cosh(t))
r (t) = (1, sinh(t))
r (t) = (0, cosh(t)).
|r ×r | 1
κ= |r |3
= cosh(t)2
47 / 120

48. II: Görbék Példák görbékre
Vontatási görbe (traktrix)
Paraméteres alak: r(t) = (cos(t) + ln(tan(t/2)), sin(t)).
A „traktor” az x-tengelyen mozog, és egy 1 hosszú rúdon vontat egy
tárgyat.
A görbület κ = tan(t).
48 / 120

49. II: Görbék Példák görbékre
Lemniszkáta
Implicit alakja
(x2 + y2 )2 = (x2 − y2 ).
Polárkoordinátás alak:
R2 = cos(2ϕ).
El˝ áll, mint egy hiperbola inverz
o
képe.
Azon pontok halmaza,
melyeknek a két „fókusztól” vett
távolságainak szorzata állandó.
49 / 120

50. II: Görbék Példák görbékre
Archimédeszi spirál
Paraméteres alak:
r(t) = (at cos t, at sin t), a 0.
Az ábrán a = 1.
Polárkoordinátás alak: R = aϕ.
Az x-tengelyt egyenl˝ közönként
o
metszi.
50 / 120

51. II: Görbék Példák görbékre
Logaritmikus spirál
Paraméteres alak
r(t) = (ect+b cos t, ect+b sin t),
c 0.
Az ábrán c = 1, b = 0.
Polárkoordinátás alak: R = ecϕ+b .
A pontjaihoz húzott sugár és a
pontbeli érint˝ által bezárt szög
o
konstans.
51 / 120

52. II: Görbék Példák görbékre
Csavarvonal
Paraméteres alak: r(t) = (a cos t, a sin t, bt).
|a|
A görbület κ = a2 +b2
.
b
A torzió τ = a2 +b2 .
Fordítva, a görbületb˝ l és a torzióból a két
o
konstans kifejezhet˝ :
o
κ τ
|a| = κ2 +τ2 és b = κ2 +τ2 .
Állítás
Ha egy térgörbe torziója és görbülete konstans,
akkor az csavarvonal.
52 / 120

53. II: Görbék Példák görbékre
Viviani-görbe
Paraméteres alakja
r(t) = (1 + cos t, sin t, 2 sin(t/2)).
Az 0 középpontú 2 sugarú gömb
és az 0-t tartalamzó 1 sugarú
körhenger metszete.
Feladat: Határozzuk meg a
Viviani-görbe azon pontjait, ahol
a görbület illetve a torzió 0.
53 / 120

54. III: Felületek
1 I: El˝ ismeretek
o
Lineáris algebra
Differenciálszámítás
Valós függvénytan
2 II: Görbék
Sík- és térgörbék
Görbeelmélet
Példák görbékre
3 III: Felületek
Felületek megadása
Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Vektormez˝ k, deriválás
o
Felületek metrikája (mértana)
Theorema Egregium
4 IV: Névjegyzék
54 / 120

55. III: Felületek Felületek megadása
Felületek megadása egyenlettel
Explicit alakban: z = f (x, y). A felület az f (x, y) kétváltozós függvény
grafikonja.
Például z = mx + ny + b a sík általános explicit alakja.
Implicit alakban: F(x, y, z) = 0. A felületre azon pontok illeszkednek,
melyek koordinátái kielégítik az F = 0 egyenletet.
Például a sík általános implicit alakja ax + by + cz + d = 0, ahol (a, b, c) a
sík normálvektora.
Ha a fenti függvények differenciálhatók, akkor differenciálható vagy
sima felületr˝ l beszélünk.
o
A két alak ekvivalenciáját az implicit függvény tétel biztosítja.
55 / 120

56. III: Felületek Felületek megadása
Felületek paraméteres megadása
Paraméteres alakban: r(u, v) : T → R3 , ahol T ⊆ R2 paramétertartomány.
A felület az r(u, v) függvény képhalmaza. Ha r injektív, akkor elemi
felületdarabról beszélünk.
A paraméteres megadás és az explicit alakban történ˝ megadás
o
ekvivalenciáját az inverz függvény tétel biztosítja.
Az egyszer˝ ség kedvéért a továbbiakban a paramétertartomány
u
T = [a, b] × [c, d] téglalap.
r
d F
T
c
a b
56 / 120

57. III: Felületek Felületek megadása
Paraméteres felületek simasága
Definíció: Differenciálható felületek
Az r : T(⊆ R2 ) → R3 paraméterezéssel megadott elemi felületdarab
differenciálható vagy sima, ha r végtelen sokszor differenciálható és minden
(u, v) ∈ T-re az ∂1 r(u, v), ∂2 r(u, v) parciális deriváltak lineárisan függetlenek.
A felületek is többféleképpen paraméterezhet˝ k:
o
Az r : T(⊆ R2 ) → R3 és q : U(⊆ R2 ) → R3
paraméterezések ekvivalensek, ha a
ϕ = q−1 ◦ r : T → U leképezés végtelen sokszor
differenciálható bijekció.
A paraméteres és az explicit megadás egyenérték˝ ségét az inverz
u
függvénytétel garantálja.
57 / 120

58. III: Felületek Felületek megadása
Paramétervonalak
Definíció: Paramétervonalak
Adott (u, v) ∈ T esetén az r(t, v), r(u, t) görbéket a P = r(u, v) felületei ponton
áthaladó paramétervonalaknak nevezzük.
r r(u,t)
T
v = const (u,v) P=r(u,v)
r(t,v)
u = const F
58 / 120

59. III: Felületek Felületek megadása
Paramétervonalak alaptulajdonságai
A felület minden pontján pontosan két paramétervonal megy át. Más
szóval, a paramétervonalak két görbesereget alkotnak, melyek
egyszeresen lefedik a felületet.
A paramétervonalak P-beli érint˝ vektorai a ∂1 r(u, v), ∂2 r(u, v) parciális
o
deriváltak:
Legyen g(t) = r(t, v). Ekkor g(u) = r(u, v) = P és g (u) = ∂1 r(u, v).
Hasonlóan a másik paramétervonal esetén.
A simasági feltétel szerint a paramétervonalak P-beli érint˝ egyenesei
o
különböznek.
59 / 120

60. III: Felületek Felületek megadása
Forgásfelületek
Az z = f (x) explicit alakban megadott görbe z-tengely körüli
elforgatásával a z = f ( x2 + y2 ) felületet kapjuk.
Az F(x, z) = 0 implicit alakban megadott görbe z-tengely körüli
elforgatásával az F( x2 + y2 , z) görbét kapjuk.
Csakugyan, ezekben az esetekben a pont x-koordinátájának a szerepét
átveszi a pont z-tengelyt˝ l mért x2 + y2 távolsága.
o
Az xy-síkbeli r(t) = (x(t), y(t), 0) görbe x-tengely körüli elforgatottja a
q(u, v) = (x(u), y(u) cos(v), y(u) sin(v)) paraméteres felület.
Csakugyan, a P(x, y, z) pont x-tengely körüli ϕ szög˝ elforgatottja
u
P (x, y cos(ϕ) + z sin(ϕ), −y sin(ϕ) + z cos(ϕ)).
60 / 120

61. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Gömbfelület
Az xy-síkban a félkört (cos u, sin u, 0) paraméterezi, u ∈ [0, π].
Ennek x-tengely körüli körbeforgatása adja az
r(u, v) = (cos u, sin u cos v, sin u sin v) paraméterezést.
61 / 120

62. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Nyeregfelület I
Explicit alakja z = xy.
Tartalmaz egyeneseket!
Pontosabban: Minden
pontján át két egyenest
(alkotót) tartalmaz. Ezek
feszítik ki az adott pontbeli
érint˝ síkot.
o
Másodfokú felület, minden
síkmetszete kúpszelet
(esetleg elfajuló).
Paraméterezése
r(u, v) = (u, v, uv).
62 / 120

63. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Nyeregfelület II
Explicit alakja z = x2 − y2 .
Koordináta-
transzformációval az
el˝ z˝ b˝ l megkapható:
o o o
x = x + y, y = x − y, z = z.
Paraméterezése
r(u, v) = (u, v, u2 − v2 ).
63 / 120

64. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Egyköpeny˝ hiperboloid I
u
Hiperbolát (x2 − y2 = 1)
˝
forgatunk az ot nem metsz˝o
szimmetriatengelye körül.
Implicit alakja: x2 + y2 − z2 = 1.
Paraméteres alakja:
(cos u cosh v, sin u cosh v, sinh v).
64 / 120

65. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Egyköpeny˝ hiperboloid II
u
A z-tengely körül forgatunk egy
t˝ le kitér˝ egyenest.
o o
Szimmetria okokból két
egyenessereg van a felületben,
azaz minden ponton keresztül két
alkotó megy.
65 / 120

66. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Kétköpeny˝ hiperboloid
u
˝
Hiperbolát forgatjuk az ot metsz˝
o
szimmetriatengelye körül.
Implicit alakja: x2 − y2 − z2 = 1.
Paraméteres alakja:
(cosh u, sinh u cos v, sinh u sin v).
66 / 120

67. III: Felületek Felületek megadása
Példa – Pszeudoszféra
A vontatási görbét
forgatjuk az x-tengely
körül.
Látni fogjuk, hogy ez a
felület tekinthet˝ egy −1
o
sugarú gömbnek.
Paraméteres alakja: (cos u + ln(tan(u/2)), sin u cos v, sin u sin v).
67 / 120

68. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Felületi görbék
Definíció: Felületi görbe
Legyen g : [a, b] → T differenciálható leképezés. Ekkor a
G = r ◦ g : [a, b] → F leképezést paraméterezett felületi görbének nevezzük.
2
r ⊆ℝ3
T ⊆ℝ
g(t)=(u(t),v(t)) G(t)=r(u(t),v(t))
g
G=r°g
ℝ
68 / 120

69. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Érint˝ vektor
o
Legyen G(t) = r(g(t)) = r(u(t), v(t)) az F felület felületi görbéje, mely
átmegy a
P = r(u0 , v0 ) = r(u(t0 ), v(t0 )) = G(t0 )
ponton. Ekkor a láncszabály szerint a G(t) görbe P-beli érint˝ vektora
o
G (t0 ) = ∂1 r(u0 , v0 )u (t0 ) + ∂2 r(u0 , v0 )v (t0 ).
A felületi görbe érint˝ vektora tehát az r parciális derivált vektorainak lineáris
o
kombinációja. (Emlékeztet˝ ül: A parciális deriváltak a paramétervonalak
o
érint˝ vektorai.)
o
69 / 120

70. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Érint˝ sík
o
Észrevétel
Az F felület P = r(u, v) pontján átmen˝ felületi görbék P-beli érint˝ vektorai
o o
a ∂1 r(u, v), ∂2 r(u, v) parciális deriváltak lineáris kombinációi.
Definíció: Érint˝ sík (absztrakt)
o
Az F felület P = r(u, v) pontjában vett érint˝ síkja alatt a ∂1 r(u, v), ∂2 r(u, v)
o
vektorok által kifeszített 2-dimenziós vektorteret értjük. Jelölés:
TP F = ∂1 r(u, v), ∂2 r(u, v) .
Megjegyzés: A geometria érint˝ sík a TP F P-be vett eltoltja.
o
70 / 120

71. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Az érint˝ sík szemléltetése
o
G' ∂2r
∂1r
P
G(t) TP 
⊆ℝ 3
71 / 120

72. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Felületi normális
Definíció: Felületi normális
A TP F érint˝ sík
o
∂1 r(u, v) × ∂2 r(u, v)
m(P) = m(u, v) =
|∂1 r(u, v) × ∂2 r(u, v)|
normális egységvektorát a felület P pontbeli normálisának nevezzük.
m ∂2r
∂1r
⊆ℝ3
P
TP 
72 / 120

73. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
A felületen értelmezett függvények
A továbbiakban feltételezzük, hogy F ⊆ R3 elemi felületdarab, amit az
r : T(⊆ R2 ) → F függvény paraméterez.
Más szóval, r bijekció a T paramétertartomány és F között.
F -en értelmezett differenciálható függvények
Az f : F → R függvényt differenciálhatónak nevezzük, ha az
f ∗ = f ◦ r : T → R függvény differenciálható.
Jelölés: Az F -en értelmezett differenciálható függvényeket skalármez˝ knek
o
nevezzük. Az F -en értelmezett skalármez˝ k halmazát X(F )-el jelöljük.
o
Könny˝ meggondolni, hogy X(F ) kommutatív, egységelemes gy˝ r˝ , továbbá
u uu
vektortér R felett.
73 / 120

74. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Iránymenti derivált
Definíció: Iránymenti derivált
Legyen P ∈ F felületi pont, v ∈ TP F P-beli érint˝ vektor és f ∈ X(F )
o
függvény. Tekintsünk egy G : [a, b] → F felületi görbét, melyre G(t0 ) = P és
G (t0 ) = v és legyen ϕ(t) = f (G(t)). Ekkor ϕ : [a, b] → R. Definiáljuk az f v
irány szerinti deriváltját az dv f = ϕ (t0 ) egyenl˝ séggel.
o
v=G'(t0) ⊆ℝ3
P=G(t0)
f
G
ℝ
a t0 b =f ° G
74 / 120

75. III: Felületek Felületi görbék, érint˝ vektorok, érint˝ sík
o o
Iránymenti derivált alaptulajdonságai
Tétel: Az iránymenti derivált alaptulajdonságai
1 Megfelel˝ G-t mindig találni.
o
2 dv f nem függ G választásától.
3 dv lineáris v-ben: dv+w f = dv f + dw f és dcv f = c(dv f ).
4 dv : X(F ) → R leképezés az alábbi tulajdonságokkal:
dv (cf + g) = c(dv f ) + dv g (LINEARITÁS)
dv (fg) = (dv f )g(P) + f (P)(dv g) (LEIBNIZ)
5 Ha a P ∈ F pontra a δ : X(F ) → R leképezés eleget tesz az el˝ z˝ két
o o
feltételnek, akkor δ = dv valamely v ∈ TP F érint˝ vektorra.
o
6 (Ez lehet˝ vé teszi az érint˝ sík még absztraktabb definícióját.)
o o
75 / 120

76. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Vektormez˝ k a felületen
o
Definíció: Felületen értelmezett vektormez˝
o
Ha x, y, z ∈ X(F ), akkor a X : F → R3 , X(P) = (x(P), y(P), z(P)) leképezést
F -en értelmezett vektormez˝ nek nevezzük. Ha minden P ∈ F esetén
o
X(P) ∈ TP F , akkor érint˝ vektormez˝ r˝ l beszélünk.
o oo
Példák vektormez˝ kre
o
∂1 r×∂2 r
∂1 r, ∂2 r érint˝ vektormez˝ k. A felületi normális m =
o o |∂1 r×∂2 r| vektormez˝ .
o
Vigyázat: ∂1 r valójában nem F -en, hanem T-n értelmezett függvény. Ezt a
kett˝ t azonban a köztük fennálló r bijekcióval „azonosítjuk”.
o
76 / 120

77. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
∂1 r, mint a felület érint˝ vektormez˝ je
o o
77 / 120

78. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
A felület normálisainak vektormez˝ je
o
∂1 r × ∂2 r
m=
|∂1 r × ∂2 r|
78 / 120

79. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
M˝ veletek vektormez˝ kkel
u o
Legyen f skalármez˝ , X, Y pedig vektormez˝ k F -en. Ekkor a X + Y, f X
o o
szintén vektormez˝ k F -en:
o
(X + Y)(P) = X(P) + Y(P), (f X)(P) = f (P)X(P).
Hasonlóan, az érint˝ vektormez˝ k zártak az összeadásra és a
o o
skalármez˝ vel vett szorzásra.
o
Szintén pontonként értelmezzük vektormez˝ k skaláris és vektoriális
o
szorzatát.
Vektormez˝ irány szerinti deriváltját komponensenként számoljuk:
o
X = (x, y, z) esetén
dv X = (dv x, dv y, dv z).
79 / 120

80. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Vektormez˝ k a síkon – példa
o
R2 → R2 , (x, y) → (x cos a + y sin a, −x sin a + y cos a), a = 3π/5
80 / 120

81. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Vektormez˝ k a síkon – hármas természet
o
A sík (érint˝ ) vektormez˝ it 3-féle módon foghatjuk fel:
o o
1 Definíció szerint a vektormez˝ egy X : R2 → R2 differenciálható
o
leképezés.
2 A vektormez˝ a síkot egyszeresen lefed˝ görbesereg érint˝ inek halmaza.
o o o
Azaz, gα (t) : R → R2 (α ∈ R) görbesereg. Ekkor a gα görbe minden
P = gα (t) pontjában az érint˝ vektor megegyezik az X(P) értékkel.
o
Képletben:
gα (t) = X(gα (t)).
Más szóval, X meghatároz egy közönséges els˝ fokú
o
differenciálegyenletet:
u (t) = X(u(t)).
A gα megoldásgörbéket a vektormez˝ integrálgörbéinek nevezzük.
o
81 / 120

82. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Vektormez˝ k a síkon – hármas természet (folyt.)
o
3 Legyen X(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)) és defináljuk a δ : X(R2 ) → X(R2 )
leképezést: Az f : R2 → R valós érték˝ függvény képe
u
(δf )(x, y) = ξ(x, y)∂1 f (x, y) + η(x, y)∂2 f (x, y).
Ekkor δ LINEÁRIS és kielégíti a LEIBNIZ-SZABÁLYT.
Fordítva, ha egy δ rendelkezik ezzel a két tulajdonsággal, akkor az
X = (ξ, η) vektormez˝ b˝ l származtatható a fenti módon. Csakugyan,
o o
ξ(x, y) = δ(¯ ),
x η(x, y) = δ(¯ ),
y
ahol x(x, y) = x, y(x, y) = y.
¯ ¯
82 / 120

83. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Minden deriválás vektormez˝
o
Lemma
Legyen δ : X(R2 ) → X(R2 ) lineáris leképezés, mely kielégíti a
Leibniz-szabályt. Ekkor megfelel˝ ξ, η ∈ X(R2 ) függvényekkel
o
δf = ξ∂1 f + η∂2 f teljesül minden f ∈ X(R2 )-re.
Bizonyítás. A Leibniz-szabály szerint δ(1) = δ(1 · 1) = 2δ(1), azaz δ(1) = 0. A
lineritás miatt minden c ∈ R-re δ(c) = cδ(1) = 0. Legyen δ(x) = ξ, δ(y) = η.
Tekintsük a tetsz˝ leges f függvény Taylor-sorát az (a, b) pont körül:
o
f (x, y) = f (a, b) + (x − a)∂1 f (a, b) + (y − b)∂2 f (a, b) +
(x − a)2 g1 + (x − a)(y − b)g2 + (y − b)2 g3 ,
g1 , g2 , g3 ∈ X(R2 ). Erre alkalmazva δ-t, majd behelyettesítve x = a, y = b-t
adódik
f (a, b) = ξ(a, b)∂1 f (a, b) + η(a, b)∂2 f (a, b).
83 / 120

84. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Érint˝ vektormez˝ szerinti derivált
o o
Érint˝ vektormez˝ szerinti derivált
o o
Legyen X érint˝ vektormez˝ az F felületen. Ekkor az f ∈ X(F ) skalármez˝ X
o o o
szerinti dX f deriváltja szintén skalármez˝ lesz, melynek a P pontban felvett
o
értéke (dX f )(P) = dX(P) f .
Érint˝ vektormez˝ szerinti derivált tulajdonságai
o o
dX LEKÉPEZÉS X(F )-b˝ l önmagába, mely LINEÁRIS és teljesíti a
o
LEIBNIZ-SZABÁLYT.
Példa: X = ∂1 r, P = r(u, v)
d
(d∂1 r f )(P) = d∂1 r(P) f = d∂1 r(u,v) f = du f (r(u, v)) = ∂1 (f ◦ r)(u, v).
84 / 120

85. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Érint˝ vektormez˝ k és derivációk
o o
Definíció: Deriváció F -en
Azokat a δ : X(F ) → X(F ) lineáris leképezéseket, melyek teljesítik a
Leibniz-szabályt, derivációknak nevezzük.
Lemma
Minden δ derivációhoz létezik egy egyértelm˝ X érint˝ vektormez˝ , melyre
u o o
δ = dX .
Biz. Az f → f ∗ = f ◦ r leképezés X(F ) → X(T) bijekció, jelölje az inverzét
f → f∗ . A δ∗ : f → (δf∗ )∗ leképezés deriváció T-n és δf = (δ∗ f ∗ )∗ ,
(d∂i r f )∗ = ∂1 f ∗ teljesülnek. Legyen δ∗ = ξ∂1 + η∂2 .
δf = (δ∗ f ∗ )∗ = (ξ∂1 f ∗ + η∂2 f ∗ )∗ = ξ∗ d∂1 r f + η∗ ∂2 d∂2 r f ,
azaz δ = dX , ahol X = ξ∗ d∂1 r + η∗ ∂2 d∂2 r .
85 / 120

86. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Érint˝ vektormez˝ k Lie-zárójele
o o
Lemma
Legyenek X, Y érint˝ vektormez˝ k. Ekkor a
o o
δ = dX dY − dY dX : X(F ) → X(F ) leképezés deriváció F -en.
Definíció: Érint˝ vektormez˝ k Lie-zárójele
o o
Legyenek X, Y érint˝ vektormez˝ k. Azt az [X, Y] érint˝ vektormez˝ t, melyre
o o o o
d[X,Y] = dX dY − dY dX teljesül, az X és Y Lie-zárójelének nevezzük.
Állítás
A Lie-zárójel bilineáris, antiszimmetrikus ([X, Y] = −[Y, X]) és teljesíti az
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0 Jacobi azonosságot.
86 / 120

87. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Vektormez˝ k deriválása
o
Definíció: Vektormez˝ vektormez˝ szerinti deriváltja
o o
Legyen X érint˝ vektormez˝ F -en. Az Y = (y1 , y2 , y3 ) vektormez˝ X szerinti
o o o
deriváltja dX Y = (dX y1 , dX y2 , dX y3 ).
Állítás: Vektormez˝ szerinti deriválás alaptulajdonságai
o
1 dX lineáris X-ben, azaz minden X, Y érint˝ vektormez˝ re és f
o o
skalármez˝ re dX+Y = dX + dY és df X = fdX .
o
2 dX (f Y) = (dX f )Y + f (dX Y) (Leibniz-szabály függvénnyel való
szorzásra).
3 dX (YZ) = (dX Y)Z + Y(dX Z) (Leibniz-szabály skalárszorzatra).
87 / 120

88. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Kovariáns deriválás
Definíció: Kovariáns deriválás
Legyen v P-beli érint˝ vektor, Y érint˝ vektormez˝ . A v szerinti v Y kovariáns
o o o
derivált a dv Y iránymenti derivált mer˝ leges vetülete a TP F érint˝ síkra.
o o
X, Y érint˝ vektormez˝ k esetén ( X Y)(P) = X(P) Y.
o o
m
dXY ∂ 2r
∂1r
P ⊆ℝ3
X Y
TP
88 / 120

89. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
A kovariáns deriválás tulajdonságai
Állítás: A kovariáns deriválás tulajdonságai
Tetsz˝ leges X, Y, Z érint˝ vektormez˝ kre, f ∈ X(F ) skalármez˝ re és c ∈ R
o o o o
valós számra teljesülnek az alábbiak:
X+Y Z = XZ + YZ
f XZ = f( X Z)
X (Y + Z) = XY + XZ
X (cY) = c XY
X (f Y) = (dX f )Y + f XY
Biz. Azonnal adódik a definícióból, dX tulajdonságaiból és a mer˝ leges
o
vetítés linearitásából.
89 / 120

90. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
Christoffel-szimbólumok
Christoffel-szimbólumok
A Γk Christoffel-szimbólumok (i, j, k ∈ {1, 2}) olyan F -en értelmezett
ij
skalármez˝ k, melyek P-beli értékét az
o
( ∂i r ∂j r)(P) = Γ1 (P)∂1 r(P) + Γ2 (P)∂2 r(P)
ij ij
összefüggés határozza meg.
Mivel ( ∂i r ∂j r)(P) ∈ TP F és TP F = ∂1 r(P), ∂2 r(P) , ezért a Γk (P) valós
ij
számok egyértelm˝ en meghatározottak.
u
Legyen X = x1 ∂1 r + x2 ∂2 r, Y = y1 ∂1 r + y2 ∂2 r. Ekkor X Y-ra:
x1 ∂1 r+x2 ∂2 r (y1 ∂1 r + y2 ∂2 r) = xi yj ∂i r ∂j r + xi (d∂i r yk )∂k r
= (xi yj Γk + xi d∂i r yk )∂k r
ij
90 / 120

91. III: Felületek Vektormez˝ k, deriválás
o
A Christoffel-szimbólumok kiszámítása
A P = r(u, v) pontban (a szokásos „csalással”)
(d∂i r ∂j r)(P) = ∂i ∂j r(u, v).
Az ∂1 r, ∂2 r, m vektorok R3 bázisát adják, azaz bel˝ lük ∂i ∂j r lineárisan
o
kikombinálható:
∂i ∂j r = Γ1 ∂1 r + Γ2 ∂2 r + Mij m,
ij ij
hiszen az els˝ két komponens pont a TP F -be vett mer˝ leges vetület.
o o
(Γk = Γk (P) = Γk (u, v))
ij ij ij
Következmény
A Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak az alsó indexeikben: Γk = Γk .
ij ji
91 / 120

92. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Els˝ alapmennyiségek
o
Definíció: Els˝ (metrikus) alapforma
o
Adott az F ⊂ R3 felület. A P ∈ P pontbeli TP F érint˝ síkon értelmezett
o
gP : TP F × TP F → R, gP (u, v) = uv leképezést els˝ , vagy metrikus
o
alapformának nevezzük.
1 Mivel az els˝ alapforma a közönséges skalárszorzat megszorítása az
o
érint˝ síkra, ezért bilineáris, szimmetrikus és pozitív definit.
o
2 Adott r : T → F paraméterezésnél az érint˝ sík természetes bázisa
o
∂1 r, ∂2 r. Ebben a bázisban az alapformát az
gij (u, v) = gP (∂i r(u, v), ∂j r(u, v)) = ∂i r(u, v)∂j r(u, v)
együtthatókból alkotott mátrix fejezi ki. Ezeken nevezzük a felület els˝
o
alapmennyiségeinek.
92 / 120

93. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Ívhossz- és szögmérés
Tekintsük a G(t) = r(u1 (t), u2 (t)) felületi görbét, ahol g : [a, b] → T,
g(t) = (u1 (t), u2 (t)). Ekkor
G (t)2 = (∂1 r(u1 (t), u2 (t)u1 (t)) + ∂1 r(u1 (t), u2 (t)u1 (t)))2
= (∂1 r)2 (u1 )2 + 2(∂1 r∂2 r)(u1 u2 ) + (∂2 r)2 (u2 )2
= g11 (u1 )2 + 2g12 u1 u2 + g22 (u2 )2
A felületi görbe ívhossza
b b
|G (t)|dt = g11 (u1 )2 + 2g12 u1 u2 + g22 (u2 )2 dt
a a
Hasonlóan, érint˝ vektorok skalárszorzata, bezárt szöge az els˝
o o
alapmennyiségekb˝ l kiszámolhatók.
o
93 / 120

94. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Bels˝ , metrikus geometria
o
1 Az el˝ z˝ képlet lényege, hogy az els˝ alapmennyiségek ismeretében az
o o o
ívhossz a paramétertartományban meghatározható.
2 Fordítva, az ívhossz ismeretében a paraméterezéshez tartozó els˝
o
alapmennyiségek meghatározhatók.
3 Valójában az történik, hogy adott felületet a paraméterezést próbáljuk
meg úgy megválasztani, hogy az els˝ alapmennyiségek egyszer˝ alakot
o u
nyerjenek.
4 Például, a két paramétervonal akkor és csak akkor metszi egymást
mer˝ legesen a felület összes pontjában, ha g12 = 0. Továbbá, a
o
paramétervonalak akkor és csak akkor vannak ívhossz szerint
paraméterezve, ha g11 = g22 = 1.
94 / 120

95. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Területmérés a felületen
Az a, b vektorok által kifeszített paralelogramma területének négyzete
(a × b)2 = a2 b2 sin2 γ = a2 b2 (1 − cos2 γ)
(ab)2
= a2 b2 (1 − 2 2 ) = a2 b2 − (ab)2 .
a b
A felület P = r(u, v) pontjában a ∂1 r, ∂2 r által kifeszített paralelogramma
területnégyzete
(∂1 r × ∂2 r)2 = (∂1 r)2 (∂2 r)2 − (∂1 r∂2 r)2 = g11 g22 − g2 = det(gij ).
12
A felület méretét a paraméterezéshez tartozó elemi paralelogrammák
területösszegével közelítjük:
d b d b
|∂1 r × ∂2 r|dudv = det(gij (u, v))dudv.
c a c a
95 / 120

96. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Példa: az egység sugarú gömb
 r(u, v) = (cos u, sin u cos v, sin u sin v)


 ∂1 r(u, v) = (− sin u, cos u cos v, cos u sin v)

1


 ∂ r(u, v) = (0, − sin u sin v, sin u cos v)

2
2 g11 (u, v) = 1, azaz az r(t, v) paramétervonalak ívhossz szerint vannak
paraméterezve. (F˝ körök.)
o
3 g12 (u, v) = 0, azaz a paramétervonalak mer˝ legesek egymásra.
o
4 g22 (u, v) = sin2 u.
5 det(gij ) = sin2 u. A gömb felülete
2π π 2π
| sin u|dudv = 2dv = 4π.
0 0 0
96 / 120

97. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Bels˝ geometriai fogalmak
o
Azt az F felülethez tartozó fogalmat nevezzük bels˝ geometriainak, amit
o
a felületen „belülr˝ l”, a felület küls˝ , térbeli elhelyezkedésének ismerete
o o
nélkül, a „lapos matematikusok” is meg tudnak határozni.
Ilyen például a paraméterezés, mely nem más, mint egy
koordinátarendszer választása a felületen.
Ilyenek a felületi görbék és a felületen értelmezett függvények.
Minden méréssel kapcsolatos fogalom: ívhossz-, szög- és területmérés.
Speciálisan az els˝ alapmennyiségek és a geodetikus vonalak
o
bels˝ geometriai fogalmak.
o
Az iránymenti deriválttal való kapcsolatuk miatt az érint˝ vektorok és az
o
érint˝ sík is bels˝ geometria fogalmak.
o o
97 / 120

98. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
A Christoffel-szimbólumok és az els˝ alapmennyiségek
o
kapcsolata
Rögzített paraméterezésben teljesül:
∂k gij = (∂k ∂i r)(∂j r) + (∂i r)(∂k ∂j r)
= (Γ1 ∂1 r + Γ2 ∂2 r)(∂j r) + (∂i r)(Γ1 ∂1 r + Γ2 ∂2 r)
ki ki kj kj
= Γ1 g1j + Γ2 g2j + Γ1 g1i + Γ2 g2i
ki ki kj kj
Azaz, a Christoffel-szimbólumok kielégítenek egy inhomogén lineáris
egyenletrendszert, melynek együtthatói az els˝ alapmennyiségek. Az alsó
o
indexek szimmetriája miatt az egyenletrendszer 6 × 6-os. Az együtthatókból
alkotott mátrix determinánsa 16 det(gij )3 0, azaz az egyenletrendszer
egyértelm˝ en megoldható.
u
98 / 120

99. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
A Christoffel-szimbólumok és az els˝ alapmennyiségek
o
kapcsolata (folyt.)
Tétel
Rögzített paraméterezésben a Christoffel-szimbólumok kifejezhet˝ k az els˝
o o
alapmennyiségekb˝ l és azok els˝ parciális deriváltjaiból.
o o
Következmény
A Christoffel-szimbólumok bels˝ geometriai mennyiségek.
o
Következmény
A kovariáns deriválás bels˝ geometria fogalom.
o
99 / 120

100. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Megint felületi görbék és deriválás
Legyen G(t) felületi görbe. Mit értünk dG G alatt?
A görbe tetsz˝ leges P = G(t) pontjához hozzárendeljük a G (t) érint˝ vektor,
o o
elölje ezt a leképezéset G∗ :
G∗ : P → G∗ (P) = G∗ (G(t)) = G (t).
Ekkor
(dG G )(P) = (dG∗ G∗ )(P) = dG∗ (P) G∗ = dG (t) G∗ .
Ez utóbbi definíció szerint
d d
G∗ (G(t)) = G (t) = G (t).
dt dt
Más szóval, dG G a P = G(t) pontban egyszer˝ en G (t).
u
100 / 120

101. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Geodetikus görbület, normálgörbület
Tekintsük a γ felületi görbe ívhossz szerinti G(s) paraméterezését. Ekkor
κn = G = dG G , ahol κ(s) = κ(P) a görbe görbülete, n pedig a f˝ normálisa.
o
Ezt el˝ állíthatjuk
o
κn = κg ng + κn m
alakban, ahol
κg ng = G G
a dG G mer˝ leges vetülete a TP F érint˝ síkra, ng pedig egységvektor.
o o
Nyilván κ2 = κg + κn .
2 2
Definíció: Geodetikus görbület, normálgörbület
A κg = κg (P) értéket a felületi görbe P-beli geodetikus görbületének, a
κn = κn (P) értéket pedig a görbe P-beli normálgörbületének nevezzük.
101 / 120

102. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Geodetikus vonal
Definíció: Geodetikus vonal
A γ felületi görbét geodetikus vonalnak nevezzük, ha geodetikus görbülete
κg ≡ 0.
1 A geodetikus görbület és a geodetikus vonal bels˝ geometriai fogalmak.
o
2 Ha a γ felületi görbe egyenes szakasz, akkor κ ≡ 0, tehát κg ≡ 0 és γ
geodetikus vonal.
3 Ha γ nem egyenes szakasz és κg = 0, akkor a f˝ normálisa n = |G |
o G
párhuzamos a felület m normálisával, simulósíkja pedig mer˝ leges az
o
érint˝ síkra.
o
4 Bels˝ geometriai nyelven: A felületre rögzített pontszer˝ részecske
o u
egyenesvonalú egyenletes mozgása geodetikust ír le.
102 / 120

103. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
Geodetikusok differenciálegyenlete
Definíció szerint az ívhossz szerint paraméterezett G(s) görbe pontosan akkor
geodetikus, ha G G = 0.
Tétel: Geodetikusok differenciálegyenlete
A G(t) = r(g(t)) felületi görbe akkor és csak akkor ívhosszarányosan
paraméterezett geodetikus vonal, ha g(t) = (u1 (t), u2 (t)) koordinátafüggvényei
teljesítik az alábbi másodrend˝ differenciálegyenlet-rendszert:
u
2
uk (t) + ui (t)uj (t)Γk (u1 (t), u2 (t)) = 0,
ij k = 1, 2.
i,j=1
Megjegyzés. A Christoffel-szimbólumokat T-n értelmezett függvényeknek
tekintjük.
103 / 120

104. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
A geodetikus extremalitása, példák
Tétel: A geodetikusok extremalitása
A felület két pontját összeköt˝ legrövidebb görbe geodetikus.
o
˝
Megjegyzés. Az a kérdés, hogy két adott ponthoz hány oket összeköt˝
o
geodetikus van, komoly probléma, melyre nem térünk ki.
Példák: Geodetikusok a síkon és a gömbön
1 Síkon a geodetikusok pontosan az egyenes szakaszok. Természetesen, ha
a síknak egy résztartományát vizsgáljuk, akkor az összeköt˝
o
geodetikusok létezése megfelel a tartomány konvexitásának.
2 Gömbfelület esetén a geodetikusok pontosan a f˝ körök. Bizonyos
o
pontpárokat végtelen sok, a többit pontosan két geodetikus köt össze.
104 / 120

105. III: Felületek Felületek metrikája (mértana)
A gömbi háromszög területe
Lemma
Az α szög˝ gömbszelet
u
területe 2α. C
H + A = 2α
H + B = 2β  B
H + C = 2γ H
2H + 2A + 2B + 2C = 4π  
Állítás
Az α, β, γ szög˝ gömbi
u
háromszög területe A
α + β + γ − π.
105 / 120