unidad numero 8

1. Ecuación de la circunferencia
La circunferencia mostrada tiene centro (h,k) y el
punto (X,y) pertenece a la circunferencia. Al
aplicar la fórmula de la distancia, se tiene que la
distancia del punto al centro es r. Es decir que:
UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA
ANALITICA.
3. La circunferencia .
Definición. La circunferencia es el conjunto infinito de puntos que están a
igual distancia de otro llamado CENTRO.
La distancia de un punto de la circunferencia al centro se conoce como RADIO (r).
Lo anterior significa que si a y b son 2 puntos de la circunferencia, y la distancia de a a
b es el diámetro, entonces el centro está en el punto medio de a y b. El diámetro es la
mayor distancia entre 2 puntos de la circunferencia. Además, el radio es la mitad del
diámetro.
Actividad 8.Los puntos que se dan en cada caso pertenecen a una circunferencia
y están a un diámetro de separación. Tú deberás encontrar las coordenadas del centro
y la magnitud del radio.
1. (2,4) y (8,6) Centro: _______ r _____ 2. (2,6) y (8,10) Centro: _______
r _____
3. (4,2) y (12,10) Centro: _______ r _____ 4. (-4,8) y (8,8) Centro: _______ r
_____
5. (-5,8) y (9,8) Centro: _______ r _____ 6. (2,8) y (10,2) Centro: _______
r _____
7. (-4,10) y (10,2) Centro: _______ r _____ 8. (-4,10) y (12,2) Centro: _______
r _____
Radio
Diámetro
a b
Esta es una circunferencia centrada en el
origen del plano cartesiano.
Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia.
Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos o la ecuación de una circunferencia.
k
(X,y)
r

2. Desarrollando los cuadrados, obtenemos: X2
+ y2
– 2Xh – 2yk + h2
+ k2
= r2
Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el origen del plano
cartesiano. Calculemos su ecuación.
.
Como el centro es el origen, entonces h = k = 0, y la ecuación es:
(X – h)2
+ (y – k)2
= r2
 (X – 0)2
+ (y – 0)2
= 22
 X2
+ y
2
= 4
Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el punto (2,-4). Calculemos
su Ecuación.
Como el centro es el punto (2,-4), entonces h = 2 y k = -4 La ecuación es:
(X – h)2
+ (y – k)
2
= r2
 (X – 2)2
+ (y – (-4))
2
= 2
2
 (X – 2)2
+ (y + 4)
2
= 4
Ejemplo. Determinemos el centro y el radio de la circunferencia X2
+ 4y + y2
- 6X –
12 = 0
En este caso, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos.
X2
- 6X ___ + y2
+ 4y ___ = 12
En los espacios en blanco colocaremos el número que hace falta para que el trinomio
sea un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo? El coeficiente del factor lineal lo dividimos
entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2)
2
= 9 y (4/2)
2
= 4 Para no alterar la igualdad,
estos valores los sumamos en el otro miembro. La ecuación queda así:
X2
- 6X + 9 + y2
+ 4y + 4 = 12 + 9 + 4
(X2
- 6X + 9) + (y2
+ 4y + 4) = 25
(X - 3)2
+ (y + 2)2
= 25
(X – h)2
+ (y – k)2
=
r2
 Esta es la ecuación canónica
de la circunferencia
Solución.
Solución.
Solución.

3. (X - 3)
2
+ (y – (-2))
2
= 25
Por lo tanto, el centro es (3,-2) y el radio es 5.
Actividad 9.En cada caso se te da el radio y un punto; determina la ecuación de la
circunferencia. 1. 4 y (2,5) __________________ 2. 5 y (3,-2)
__________________
3. 6 y (-2,5) __________________ 4. 7 y (-3,-2) __________________
5. 6 y (2,5) __________________ 6. 5 y (-3,-2) __________________
7. 4 y (2,7) __________________ 8. 5 y (-3,-5) __________________
9. 4 y (2,-5) __________________ 10. 5 y (-3,-7) __________________
Actividad 10. En cada caso, calcula el centro y el radio de la circunferencia.
1. X2
- 2X + y2
+ 6y = 15 _______ ___ 2. X2
+ 6X + y2
+ 10y = -33 _______
___
3. X2
+ y2
- 10X + 6y + 30 = 0 _______ ___ 4. X2
+ y2
- 10X - 4y + 28 = 0
_______ ___
5. X2
+ y2
+ 12X - 12y + 63 = 0 _______ ___ 6. X2
+ y2
+ 2X + 6y = 54 _______
___
7. X2
+ y2
- 4X - 4y + 4 = 0 _______ ___ 8. y2
+ X2
- 14X + 6y = -49 _______
___
9. y2
+ X2
+ 6X - 18y = -86 _______ ___ 10. y2
+ X2
- 10X + 2y = -1 _______
___
. Para cada par de circunferencias, comprobar que son
tangentes. 1. y2
+ X2
- X - 4y = 8 y y2
+ X2
- 24X - 4y = -112
2. y2
+ X2
+ 8X - 16y = 0 y y2
+ X2
- 16X - 6y = -24
3. y2
+ X2
- 4X - 16y = -59 y y2
+ X2
- 20X - 16y = -139
4. y2
+ X2
- 4X - 16y = -52 y y2
+ X2
- 24X - 16y = -172
5. y2
+ X2
+ 10X - 10y = -1 y y2
+ X2
- 22X - 10y = -65
6. y2
+ X2
+ 10X - 4y = 20 y y2
+ X2
- 22X - 4y = -44
7. y2
+ X2
+ 8X + 12y = -48 y y2
+ X2
- 16X + 12y = 0
8. y2
+ X2
+ 8X + 12y = -51 y y2
+ X2
- 16X + 12y = 21
9. y2
+ X2
+ 8X + 12y = -43 y y2
+ X2
- 16X + 12y = -19
10. y2
+ X2
+ 10X - 4y = -13 y y2
+ X2
- 10X - 4y = 7
discusión 10.

4. Encontrar la ecuación de la circunferencia que es
tangente a los lados del cuadrado formado por las rectas dadas: 1. y = 5, y = -5; X =
-4, X = 6 2. y = 6, y = -6; X = -5, X = 7 3. y = 7, y = -7; X = -6, X = 8 4. y = 8, y = -
8; X = -7, X = 9 5. y = 9, y = -9; X = -8, X = 10 6. y = 8, y = 0; X = -2, X = 6 7. y
= 9, y = -1; X = -3, X = 7 8. y = 10, y = -2; X = -4, X = 8
4. La parábola .
Definición. La parábola es el conjunto infinito de los puntos del plano que se
encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija
llamada directriz.
La gráfica muestra una parábola con todos sus componentes. Hagamos algunos
análisis.
1. Cualquier punto (X, y) de la parábola, está a igual distancia del foco que de la
directriz. Esto de acuerdo a la definición.
2. P es el parámetro. La distancia del vértice al foco es igual que la distancia del
vértice a la directriz. Esa distancia es P.
3. La parábola dibujada está abierta hacia arriba. El vértice es el punto más bajo si la
parábola se abre hacia arriba; y será el punto más alto, si se abre hacia abajo. De
(X,y)
P
Directriz y = k - p
Vértice (h,k)
h
k
Eje de la parábola
P
Foco (hk+p)
(X,k-P)
discusión 10b.
La circunferencia tiene
radio de 3 cm y centro en
(4, 3) La recta tiene un
ángulo de 45° y pasa por
el origen.
Calcular los puntos en los
que la recta corta a la
circunferencia.
El gráfico está a escala.
discusión 10c.
Objetivos conceptuales. Definir el concepto de parábola.
Objetivos procedimentales. Dada la ecuación de una parábola, calcular el vértice, el foco, la directriz y trazar la gráfica.
Calcular la ecuación de una parábola si se conocen algunos de sus elementos.

5. igual forma, será el punto más a la izquierda, si la parábola se abre hacia la derecha; y
será el punto más a la derecha, si se abre hacia la izquierda.
4. La directriz es una recta horizontal. Estará abajo, si la parábola se abre hacia
arriba; y estará arriba, si se abre hacia abajo. También estará a la derecha, si se abre
hacia la izquierda, y viceversa. En estos 2 casos, la directriz será una vertical
Ecuación de la parábola
La distancia de un punto (X,y) al foco de la parábola = la distancia de (X,y) a (X, k-P)
(X - h)2
+ (y – k – p)2
= (X – X)2
+ (y – k + P)2
 Elevemos al cuadrado
(X - h)2
+ (y – k – p)2
= (y – k + P)2
 Desarrollemos los cuadrados que tienen P.
Obtenemos.
(X - h)2
y2
+ k2
+ P2
+ 2kP – 2yk – 2yp = y2
+ k2
+ P2
- 2kP – 2yk + 2yp 
Suprimamos términos
(X - h)
2
+ 2kP – 2yp = 2yp - 2kP
(X - h)
2
= 2yp - 2kP - 2kP + 2yp
(X - h)2
= 2yp + 2yp - 2kP - 2kP
(X - h)2
= 4yp - 4kP
(X - h)2
= 4P (y - k)
La ecuación anterior es para la parábola abierta hacia arriba. Si la parábola se abre
hacia abajo, tendremos -4P. Si la parábola se abre hacia la derecha, tendremos 4P,
pero (X - h) cambia por (y - k) y (y - k) cambia por (x - h) Todo esto se resume en
la tabla siguiente.
(X - h)2
= 4P (y - k) (X - h)2
= -4P (y -
k)

6. Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (y - 3)2
= 16 (X - 6).
Observamos que en (y - 3)2
= 16 (X - 6), y – k está al cuadrado. Esto nos indica que
la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Pero también se observa
que 4P tiene signo POSITIVO: +16. Por lo tanto la parábola se abre hacia la derecha.
Además su vértice es (6,3)
Calculemos P: 4P = 16  P = 16/4 = 4
La directriz es la recta vertical que está a 4 unidades a la izquierda del vértice.
Significa que 4 unidades a la derecha, está el foco. Como el vértice es (6,3), la directriz
es X = 6 – 4 = 2 Y el foco es (6 + 4,3) = (10,3)
La gráfica es la siguiente:
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (X + 3)2
= 8(y - 5)
.
(y - k)2
= 4P (X - h) (y - k)2
= -4P (X -
h)
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X = 2
Foco (10,3)
Solución.
Solución.

7. La parábola se abre hacia arriba. El vértice es (-3,5) La distancia del foco al vértice, P,
es:
4P = 8  P = 2 La directriz es y = 5 – 2 = 3  y = 3
El foco está en (-3,5+2) = (-3,7) La gráfica es la siguiente:
Ejemplo. Una parábola tiene su vértice en (8,-2) y su foco en (8,-3) Determinar su
ecuación.
El foco, que es (8,-3) está una unidad abajo del vértice, que es (8,-2). Esto nos indica
que la parábola se abre hacia abajo. Además, P = 1. Por lo tanto, la directriz, que está
una unidad abajo del vértice, es y = -1.
La parábola es:
(X - h)2
= -4P (y - k)
(X - 8)2
= -4(1) (y – (-2))
(X - 8)2
= -4 (y + 2)
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de la parábola
y2
– 6y + 12X - 15 = 0
Debemos completar el cuadrado.
y
2
– 6y + 12X - 15 = 0
y2
– 6y + (3)2
+ 12X - 15 = 0 + 9
(y - 3)2
= - 12X + 9 + 15 = - 12X + 24
-3
(-3,7)
(-3,5)
5
7
y =
3
Solución.
Solución.

8. (y - 3)
2
= - 12(X – 2)
La parábola se abre hacia la izquierda.
El vértice es (2,3) 4P = 12  P = 12/4 = 3 La directriz está 3 unidades a la derecha
del vértice. La directriz es X = 2 + 3 = 5
El foco está 3 unidades a la izquierda del vértice: (2-3,3) = (-1,3)
La gráfica es
la siguiente:
X = 5
Ejemplo. Calculemos la ecuación de la parábola cuyo vértice es (7,4) y cuya directriz
es X = 9.
X = 9
Se aprecia que la directriz está a la derecha del vértice. Esto significa que la parábola
se abre hacia la izquierda. Además, la distancia del vértice a la directriz es 2 unidades:
9 – 7 = 2. Es decir que P = 2. La ecuación de la parábola es:
(y - k)2
= -4P (X - h)  (y - 4)2
= -8 (X - 7)
Actividad 11. En cada caso, determina el vértice, la directriz, el foco y la gráfica.
(2,3)(-1,3)
7
4
9
Solución.

9. 1. (X - 5)
2
= 8 (y - 3) ______ _______ _______
2. (X - 5)2
= -8 (y - 3) ______ _______ _______
3. (X - 8)2
= 8 (y - 5) ______ _______ _______
4. (X - 8)2
= -8 (y - 5) ______ _______ _______
5. (X + 3)2
= 4 (y - 5) ______ _______ _______
6. (X + 3)2
= -4 (y - 5) ______ _______ _______
7. (X + 5)2
= -8 (y + 3) ______ _______ _______
8. (y - 5)
2
= 12 (X - 2) ______ _______ _______
9. (y - 5)2
= -12 (X - 2) ______ _______ _______
10. (y + 6)2
= 12 (X + 4) ______ _______ _______
11. (y + 6)2
= -12 (X + 4) ______ _______ _______
12. X2
– 10X – 8y + 49 = 0 ______ _______ _______
13. X2
– 16X – 8y + 104 = 0 ______ _______ _______
14. y2
+ 12y – 12X = 12 ______ _______ _______
Actividad 12. En cada caso, encuentra la ecuación de la parábola.
1. El vértice es (8,5) y el foco es (8,7) _________________
2. El vértice es (-4,-6) y el foco es (-1,-6) _________________
3. El vértice es (-3,5) y el foco es (-3,4) _________________
4. El vértice es (-3,-4) y el foco es (0,-4) _________________
Actividad 13. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________
2. El vértice es (8,5) y la directriz es y = 3 _________________
3. El vértice es (-3,5) y la directriz es y = 4 _________________
4. El vértice es (-5,-3) y la directriz es y = -1 _________________
5. El vértice es (2,5) y la directriz es X = 5 _________________
6. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________
Actividad 14. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es el origen, y la directriz es y = 2

10. 2. El vértice es (0,3), y la directriz es y = 6
3. El vértice es (3,0), y la directriz es X = -2
Encuentren 10 puntos que pertenezcan a la parábola
cuyo vértice es (-3,0) y cuya directriz es X = -1.
discusión 6.