Soumettre la recherche
Mettre en ligne
Математик индукц
•
2 j'aime
•
1,339 vues
Март
Suivre
Дараалал ба цуваа цуврал хичээлийн 3 12-р ангийн сонгон судлах агуулга
Lire moins
Lire la suite
Formation
Signaler
Partager
Signaler
Partager
1 sur 19
Recommandé
прогресс
прогресс
ynjinlkham
Комплекс тоо цуврал хичээл-1
Комплекс тоо цуврал хичээл-1
Март
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Март
Presentation1
Presentation1
Horloo Ebika
урвуу пропорциональ хамаарал
урвуу пропорциональ хамаарал
Ganbold Amgalan
процент сэдвийг заах арга зүй
процент сэдвийг заах арга зүй
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
дараалал
дараалал
Huslen Zaya
бутархай
бутархай
munguu213
Recommandé
прогресс
прогресс
ynjinlkham
Комплекс тоо цуврал хичээл-1
Комплекс тоо цуврал хичээл-1
Март
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Март
Presentation1
Presentation1
Horloo Ebika
урвуу пропорциональ хамаарал
урвуу пропорциональ хамаарал
Ganbold Amgalan
процент сэдвийг заах арга зүй
процент сэдвийг заах арга зүй
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
дараалал
дараалал
Huslen Zaya
бутархай
бутархай
munguu213
Lekts01
Lekts01
Ankhaa
Trigonometr
Trigonometr
Enkhbaatar.Ch
энгийн бутархай
энгийн бутархай
superzpv
тооны хуваагдах шинж Slideshare
тооны хуваагдах шинж Slideshare
Meteor Garden
Пропорц
Пропорц
khsumy
4 анги
4 анги
byambaa79
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
Munhbayr Sukhbaatar
Basic of statistics
Basic of statistics
Davaasuren Davaadorj
гадаргуугын талбай
гадаргуугын талбай
OyuOyu-Erdene
огторгуйн геометр
огторгуйн геометр
dorjmaa
магадлалын онол
магадлалын онол
Tsagaanaa Sambuu
математик ( пирамид )
математик ( пирамид )
Khishighuu Myanganbuu
хичээл№30
хичээл№30
delgerya
Konus
Konus
Munguuzb
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
Enkhbaatar.Ch
олонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүд
Shaagaa Shs
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
nandia
конус
конус
boloroo99
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
shand1_zoko
Энгийн бутархай
Энгийн бутархай
Khishighuu Myanganbuu
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
mathsjournal
nth Derivatives.pptx
nth Derivatives.pptx
SoyaMathew1
Contenu connexe
Tendances
Lekts01
Lekts01
Ankhaa
Trigonometr
Trigonometr
Enkhbaatar.Ch
энгийн бутархай
энгийн бутархай
superzpv
тооны хуваагдах шинж Slideshare
тооны хуваагдах шинж Slideshare
Meteor Garden
Пропорц
Пропорц
khsumy
4 анги
4 анги
byambaa79
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
Munhbayr Sukhbaatar
Basic of statistics
Basic of statistics
Davaasuren Davaadorj
гадаргуугын талбай
гадаргуугын талбай
OyuOyu-Erdene
огторгуйн геометр
огторгуйн геометр
dorjmaa
магадлалын онол
магадлалын онол
Tsagaanaa Sambuu
математик ( пирамид )
математик ( пирамид )
Khishighuu Myanganbuu
хичээл№30
хичээл№30
delgerya
Konus
Konus
Munguuzb
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
Enkhbaatar.Ch
олонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүд
Shaagaa Shs
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
nandia
конус
конус
boloroo99
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
shand1_zoko
Энгийн бутархай
Энгийн бутархай
Khishighuu Myanganbuu
Tendances
(20)
Lekts01
Lekts01
Trigonometr
Trigonometr
энгийн бутархай
энгийн бутархай
тооны хуваагдах шинж Slideshare
тооны хуваагдах шинж Slideshare
Пропорц
Пропорц
4 анги
4 анги
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
Basic of statistics
Basic of statistics
гадаргуугын талбай
гадаргуугын талбай
огторгуйн геометр
огторгуйн геометр
магадлалын онол
магадлалын онол
математик ( пирамид )
математик ( пирамид )
хичээл№30
хичээл№30
Konus
Konus
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
Бүхэл тооны үйлдэл 6-7-р анги
олонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүд
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
10 анги тригонометрийн функц нийлбэр ялгаварын томъёо
конус
конус
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
Arifmetik progressiin ehnii n gishuunii niilber
Энгийн бутархай
Энгийн бутархай
Similaire à Математик индукц
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
mathsjournal
nth Derivatives.pptx
nth Derivatives.pptx
SoyaMathew1
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
Rai University
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
Rai University
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
Gogely The Great
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
ArafathAliMathsTeach
Hermes
Hermes
SantiagoHernandez475902
Annie
Annie
jennytuazon01630
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
Muhammad Nur Chalim
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
AngieMichailidou
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
MohammedKhodary4
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau
01. integral fungsi aljabar
01. integral fungsi aljabar
Hirwanto Iwan
Chapter 1 review topic in algebra 1
Chapter 1 review topic in algebra 1
jennytuazon01630
Algebra 6
Algebra 6
Mang Oha
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
anasKhalaf4
E content on algebra & trignomentry
E content on algebra & trignomentry
V.M. Raut Shri Shivaji Science College, Amravati
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
immochacha
Interpolation In Numerical Methods.
Interpolation In Numerical Methods.
Abu Kaisar
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
anasKhalaf4
Similaire à Математик индукц
(20)
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
nth Derivatives.pptx
nth Derivatives.pptx
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
Hermes
Hermes
Annie
Annie
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
01. integral fungsi aljabar
01. integral fungsi aljabar
Chapter 1 review topic in algebra 1
Chapter 1 review topic in algebra 1
Algebra 6
Algebra 6
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
E content on algebra & trignomentry
E content on algebra & trignomentry
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
Interpolation In Numerical Methods.
Interpolation In Numerical Methods.
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
Dernier
Paris 2024 Olympic Geographies - an activity
Paris 2024 Olympic Geographies - an activity
GeoBlogs
Grant Readiness 101 TechSoup and Remy Consulting
Grant Readiness 101 TechSoup and Remy Consulting
TechSoup
Unit-IV- Pharma. Marketing Channels.pptx
Unit-IV- Pharma. Marketing Channels.pptx
VishalSingh1417
Disha NEET Physics Guide for classes 11 and 12.pdf
Disha NEET Physics Guide for classes 11 and 12.pdf
chloefrazer622
Key note speaker Neum_Admir Softic_ENG.pdf
Key note speaker Neum_Admir Softic_ENG.pdf
Admir Softic
Russian Escort Service in Delhi 11k Hotel Foreigner Russian Call Girls in Delhi
Russian Escort Service in Delhi 11k Hotel Foreigner Russian Call Girls in Delhi
kauryashika82
1029-Danh muc Sach Giao Khoa khoi 6.pdf
1029-Danh muc Sach Giao Khoa khoi 6.pdf
QucHHunhnh
APM Welcome, APM North West Network Conference, Synergies Across Sectors
APM Welcome, APM North West Network Conference, Synergies Across Sectors
Association for Project Management
Advanced Views - Calendar View in Odoo 17
Advanced Views - Calendar View in Odoo 17
Celine George
Mattingly "AI & Prompt Design: The Basics of Prompt Design"
Mattingly "AI & Prompt Design: The Basics of Prompt Design"
National Information Standards Organization (NISO)
A Critique of the Proposed National Education Policy Reform
A Critique of the Proposed National Education Policy Reform
Chameera Dedduwage
Student login on Anyboli platform.helpin
Student login on Anyboli platform.helpin
RaunakKeshri1
Advance Mobile Application Development class 07
Advance Mobile Application Development class 07
Dr. Mazin Mohamed alkathiri
INDIA QUIZ 2024 RLAC DELHI UNIVERSITY.pptx
INDIA QUIZ 2024 RLAC DELHI UNIVERSITY.pptx
RAM LAL ANAND COLLEGE, DELHI UNIVERSITY.
Class 11th Physics NEET formula sheet pdf
Class 11th Physics NEET formula sheet pdf
AyushMahapatra5
Measures of Central Tendency: Mean, Median and Mode
Measures of Central Tendency: Mean, Median and Mode
Thiyagu K
fourth grading exam for kindergarten in writing
fourth grading exam for kindergarten in writing
TeacherCyreneCayanan
Presentation by Andreas Schleicher Tackling the School Absenteeism Crisis 30 ...
Presentation by Andreas Schleicher Tackling the School Absenteeism Crisis 30 ...
EduSkills OECD
Web & Social Media Analytics Previous Year Question Paper.pdf
Web & Social Media Analytics Previous Year Question Paper.pdf
Jayanti Pande
Interactive Powerpoint_How to Master effective communication
Interactive Powerpoint_How to Master effective communication
nomboosow
Dernier
(20)
Paris 2024 Olympic Geographies - an activity
Paris 2024 Olympic Geographies - an activity
Grant Readiness 101 TechSoup and Remy Consulting
Grant Readiness 101 TechSoup and Remy Consulting
Unit-IV- Pharma. Marketing Channels.pptx
Unit-IV- Pharma. Marketing Channels.pptx
Disha NEET Physics Guide for classes 11 and 12.pdf
Disha NEET Physics Guide for classes 11 and 12.pdf
Key note speaker Neum_Admir Softic_ENG.pdf
Key note speaker Neum_Admir Softic_ENG.pdf
Russian Escort Service in Delhi 11k Hotel Foreigner Russian Call Girls in Delhi
Russian Escort Service in Delhi 11k Hotel Foreigner Russian Call Girls in Delhi
1029-Danh muc Sach Giao Khoa khoi 6.pdf
1029-Danh muc Sach Giao Khoa khoi 6.pdf
APM Welcome, APM North West Network Conference, Synergies Across Sectors
APM Welcome, APM North West Network Conference, Synergies Across Sectors
Advanced Views - Calendar View in Odoo 17
Advanced Views - Calendar View in Odoo 17
Mattingly "AI & Prompt Design: The Basics of Prompt Design"
Mattingly "AI & Prompt Design: The Basics of Prompt Design"
A Critique of the Proposed National Education Policy Reform
A Critique of the Proposed National Education Policy Reform
Student login on Anyboli platform.helpin
Student login on Anyboli platform.helpin
Advance Mobile Application Development class 07
Advance Mobile Application Development class 07
INDIA QUIZ 2024 RLAC DELHI UNIVERSITY.pptx
INDIA QUIZ 2024 RLAC DELHI UNIVERSITY.pptx
Class 11th Physics NEET formula sheet pdf
Class 11th Physics NEET formula sheet pdf
Measures of Central Tendency: Mean, Median and Mode
Measures of Central Tendency: Mean, Median and Mode
fourth grading exam for kindergarten in writing
fourth grading exam for kindergarten in writing
Presentation by Andreas Schleicher Tackling the School Absenteeism Crisis 30 ...
Presentation by Andreas Schleicher Tackling the School Absenteeism Crisis 30 ...
Web & Social Media Analytics Previous Year Question Paper.pdf
Web & Social Media Analytics Previous Year Question Paper.pdf
Interactive Powerpoint_How to Master effective communication
Interactive Powerpoint_How to Master effective communication
Математик индукц
1.
2.
Jens Martensson 2 Тодорхойлолт:
3.
Jens Martensson • Юмсын
ерөнхий шинж чанарыг илэрхийлж, натурал тоогоор дугаарлагдсан 𝐴(𝑛) өгүүлбэрүүдийн дараалал авч үзье. Энэ дарааллын бүх өгүүлбэр үнэн байх эсэхийг яаж батлах вэ? • Натурал тоо төгсгөлгүй олон учир 𝐴(𝑛) өгүүлбэрүүдийг нэг бүрчлэн шалгах боломжгүй. Харин дараах сэтгэмжийг хэрэглэе. Хэрэв 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , … , 𝐴(𝑛) өгүүлбэр үнэн гэдгээс 𝐴(𝑛 + 1)өгүүлбэр мөрдөн гарч байвал 𝐴(𝑛) өгүүлбэр бүх натурал 𝑛-ийн хувьд үнэн байна. Үүнийг математик индукцийн зарчим гэр ба энэ зарчимд тулгуурлан батлах аргыг математик индукцийн арга гэнэ. 3 Математик индукцийн арга: Математик индукцийн арга № Нэр Үйл ажиллагаа Тайлбар 1 Индукцийн суурь 𝐴(1) үгүүлбэр үнэн эсэхийг шалгана. 𝑛 нь заавал 1-с эхлэх албагүй, харин заавал ямар нэгэн дугаараас эхлэх хэрэгтэй. 2 Индукцийн таамаглал 𝐴(𝑛) өгүүлбэрийг үнэн гэж үзнэ. 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , … , 𝐴(𝑛)-ийг бүгдийг үнэн гэж үзээд баталгааны явцад зарчмыг хэрэглэхгүй үлдээж болно. 3 Индукцийн шилжилт 𝐴(𝑛 + 1) өгүүлбэр үнэн болохыг батална. Индукцийн суурь ба таамаглалаа хэрэглэнэ.
4.
Jens Martensson • Дурын
𝒏 ∈ ℕ хувьд 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟖 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 болохыг батал Баталгаа: 𝑺𝒏 = 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟖 + ⋯ + 𝟐𝒏 1)𝑛 = 1 үед 𝑆1 = 2 × 1 = 1 × (1 + 1) буюу 2 = 2 тул үнэн 2)𝑛 = 𝑘 үед 𝑆𝑘 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 үнэн гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 𝑆𝑘+1 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 1 + 1 гэж баталъя. 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + 𝑎𝑘+1 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 Энд 𝑆𝑘= 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 үнэн, 𝑎𝑘+1 = 2 𝑘 + 1 гэж үзсэн тул 𝑆𝑘 + 𝑎𝑘+1 = 𝑘 𝑘 + 1 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 болох ба тэнцэтгэлийн зүүн талаас 𝑘 + 1 ерөнхий үржэгдэхүүн гаргавал k 𝑘 + 1 + 2 𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) гарч тэнцэтгэлийн баруун талтай тэнцэж батлагдав. Эндээс математик индукцийн зарчмаар дурын 𝑛 ∈ ℕ хувьд 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1 болох нь батлагдав. Жишээ-1: Тоон дарааллын нийлбэрийг батлах: 4
5.
Jens Martensson 5
6.
Jens Martensson Дурын натурал
𝒏-ийн хувьд тэнцэтгэл 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟑) = 𝒏 𝟑(𝟐𝒏+𝟑) биелнэ гэж батал Баталгаа: 1) 𝑛 = 1 байхад шалгая. 𝑆1 = 1 (2𝑛+1)(2𝑛+3) = 1 (2×1+1)(2×1+3) = 1 3∙5 тул тэнцүүгийн тэмдэгийн зүүн талын нийлбэр ганц нэмэгдэхүүнээс тогтох 1 3∙5 тоо байна. Харин баруун талын илэрхийлэл 𝑛 3(2𝑛+3) = 1 3(2×1+3) = 1 3∙5 адилхан илэрхийлэл гарч байгаа болохоор утга нь тэнцүү байна. 2) 𝑛 = 𝑘 утгад 𝑺𝒌 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) адитгал биелнэ гэж үзье. 3) 𝑛 = 𝑘 + 1 солиход гарах 𝑺𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐(𝒌+𝟏)+𝟏)(𝟐(𝒌+𝟏)+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐(𝒌+𝟏)+𝟑) тэнцэтгэл биелнэ гэдгийг баталъя. 𝑺𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝟓 + 𝟏 𝟓 ∙ 𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌 + 𝟏)(𝟐𝒌 + 𝟑) + 𝟏 (𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟑) = 𝒌 + 𝟏 𝟑(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟑) 𝑺𝒌+𝟏 = 𝑺𝒌 + 𝒂𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) энд 𝑺𝒌 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) ашиглавал 𝑺𝒌 + 𝒂𝒌+𝟏 = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) энэ тэнцэтгэл биелэхийг баталхад хангалттай Жишээ-2: 6
7.
Jens Martensson 𝑺𝒌 +
𝒂𝒌+𝟏 = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) Тэнцэтгэлийн зүүн талын илэрхийлэлд ижил хуваарь өгөөд нэмбэл 𝒌 𝟑(𝟐𝒌 + 𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌 + 𝟑)(𝟐𝒌 + 𝟓) = 𝑘 2𝑘 + 5 + 3 3(2𝑘 + 3)(2𝑘 + 5) = 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 3(2𝑘 + 3)(2𝑘 + 5) 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болговол 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 = (2k + 3)(k + 1) 2𝑘2+5𝑘+3 3(2𝑘+3)(2𝑘+5) = (2𝑘+3)(𝑘+1) 3(2𝑘+3)(2𝑘+5) = (𝑘+1) 3(2𝑘+5) гарч тэнцэтгэлийн баруун талтай тэнцэж байгаа тул 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) батлагдав. Энд: 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) 7
8.
Jens Martensson 8
9.
Jens Martensson 9
10.
Jens Martensson • Аливаа
натурал 𝑛-ийн хувьд 8𝑛 + 6 нь 7-д хуваагдахыг батал: Баталгаа: Батлах өгүүлбэрийг 𝑨(𝒏) гэе. 1)𝑛 = 1 үед 𝐴 1 = 81 + 6 = 14 = 7 × 2 тул үнэн. 2)𝑛 = 𝑘 үед 𝐴 𝑘 = 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдан гэж үзье. 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед A k + 1 = 8𝑘+1 + 6 нь 7д хуваагдахыг батлая. 8𝑘+1 + 6 = 8𝑘 × 8 + 6 + 8 × 6 − 8 × 6 = 8 8𝑘 + 6 − 42 болох ба 𝐴 𝑘 = 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдан гэж үзсэн тул 8 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдана.Мөн 42 нь 7-д хуваагдана. Нийлбэрийн хуваагдах шинж ёсоор 8𝑘+1 + 6 нь 7д хуваагдах нь батлагдав. Иймд математик индукцийн зарчмаар 𝑛 ∈ ℕ үед 8𝑛 + 6 нь 7-д хуваагдана. Жишээ-3: Тооны хуваагдлыг батлах: 10
11.
Jens Martensson 11
12.
Jens Martensson 1)𝑛 =
1 үед 7 ∙ 52×1−1 + 23×1+1 = 7 × 5 + 16 = 35 + 16 = 51 тоо 17-д хуваагдана. 2)𝑛 = 𝑘 үед 7 ∙ 52𝑘−1 + 23𝑘+1 тоо 17-д хуваагдана гэж үзье 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 7 ∙ 52 𝑘+1 −1 + 23 𝑘+1 +1 = 7 ∙ 52𝑘+1 + 23𝑘+4 тоо 17-д хуваагдана гэдгийг баталъя. 7 ∙ 52𝑘+1 + 23𝑘+4 = 7 ∙ 52 ∙ 52𝑘−1 + 23 ∙ 23𝑘+1 = 7 ∙ 25 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 + 8 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 7 × 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ (7 ∙ 52𝑘−1 + 23𝑘+1 ) нэмэгдэхүүн тус бүр 17-д хуваагдах тул нийлбэр 17-д хуваагдана. Жишэээ-4: Дурын натурал 𝒏-ийн хувьд 𝟕 ∙ 𝟓𝟐𝒏−𝟏 + 𝟐𝟑𝒏+𝟏 тоо 17-д хуваагдана гэж батал: 12
13.
Jens Martensson 13
14.
Jens Martensson • Аливаа
𝟓 ≤ 𝒏 ∈ ℕ-ийн хувьд 𝟐𝒏 ≥ 𝒏𝟐 + 𝒏 + 𝟐 тэнцэтгэл биш биелэхийг батал. Индукцийн суурь заавал 𝑛 = 1 байх албагүй. Ямар нэг өгөгдсөн натурал тооноос эхлэж болно. Энэ жишээнд индукцийн суурь нь 𝑛 = 5 байна. 1)𝑛 = 5 үед 25 = 32, 52 + 5 + 2 = 32, 25 = 52 + 5 + 2 тул тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрч үнэн байна. 2)𝑛 = 𝑘 үед 2𝑘 ≥ 𝑘2 + 𝑘 + 2 тэнцэтгэл биш биелдэг гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 2𝑘+1 ≥ 𝑘 + 1 2 + 𝑘 + 1 + 2 гэж баталъя. 𝑛 = 𝑘 тохиолдлын тэнцэтгэл бишийг 2-оор үржүүлбэл 2𝑘+1 = 2 ∙ 2𝑘 ≥ 2(𝑘2 + 𝑘 + 2) болно. Эндээс 𝑘 ≥ 5 үед 2 𝑘2 + 𝑘 + 2 ≥ 𝑘 + 1 2 + 𝑘 + 1 + 2 = 𝑘2 + 3𝑘 + 4 тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батлахад хангалттай. Ялгаврыг нь авч үзвэл: 2 𝑘2 + 𝑘 + 2 − 𝑘2 + 3𝑘 + 4 = 𝑘2 − 𝑘 = 𝑘 𝑘 − 1 ≥ 0 үнэн. Жишээ-5: Тэнцэтгэл биш батлах: 14
15.
Jens Martensson • Бодолт: 1)𝑛
= 1 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 41 + 15 ∙ 1 − 1 = 18 тул 9-д хуваагдана. 2)𝑛 = 𝑘 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 4𝑘 + 15𝑘 − 1 нь 9-д хуваагдана гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 4𝑘+1 + 15 𝑘 + 1 − 1 = 4 ∙ 4𝑘 + 15𝑘 + 14 = 4 ∙ 4𝑘 + 4 ∙ 15𝑘 − 3 ∙ 15𝑘 − 4 + 18 = 4 4𝑘 + 15𝑘 − 1 − 45𝑘 + 18 = 4 4𝑘 + 15𝑘 − 1 + 9(2 − 5𝑘) нэмэгдэхүүн тус бүр нь 9д хуваагдаж байвал нийлбэр нь 9-д хуваагдана. 4)𝑎 = 1, 𝑏 = 8, 𝑐 = 4, 𝑑 = 9, 𝑒 = 5, 𝑓 = 2 Жишээ бодлого 2016 он 15
16.
16
17.
Jens Martensson Дасгал бодлого:
ЭЕШ 2016 он 17
18.
Jens Martensson 1) 𝒏
∈ ℕ бол 𝟏 ∙ 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟑 + ⋯ + 𝒏 ∙ 𝒏 + 𝟏 = 𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐) 𝟑 батал 2) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 ∙ 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟕 + ⋯ + 𝒏 ∙ 𝟑𝒏 + 𝟏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 батал 3) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟔𝟎 + ⋯ + 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝟏 𝟔 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝟑𝒏 − 𝟏) батал 4) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 𝟒∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟔 + ⋯ + 𝟏 𝒏+𝟑 𝒏+𝟒 = 𝒏 𝟒 𝒏+𝟒 батал 5) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟔 𝟓∙𝟕 + 𝟐𝟎 𝟕∙𝟗 + ⋯ + 𝟐𝒏−𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟑) ∙ 𝟐𝒏−𝟏 = 𝟐𝒏 𝟐𝒏+𝟑 − 𝟏 𝟑 батал 6) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒏𝟐 = 𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏) 𝟔 батал 7) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝒏𝟑 + 𝟓𝒏 нь 6-д хуваагдахыг батал 8) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏𝟒𝒏 − 𝟏 нь 13-д хуваагдахыг батал 9) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝒏𝟑 + 𝟏𝟏𝒏 нь 6-д хуваагдахыг батал 10)𝒏 ∈ ℕ бол 𝟓𝒏+𝟐 + 𝟔𝟐𝒏+𝟏 нь 31-д хуваагдахыг батал Дасгал бодлого: 18
19.
Jens Martensson 19 Анхаарал тавьсанд баярлалаа