Ce document traite de l'algorithme de Dijkstra pour trouver le plus court chemin dans un graphe pondéré. Il explique les concepts de graphe, les propriétés des chemins les plus courts, ainsi que l'implémentation et la complexité de l'algorithme. L'algorithme fonctionne en utilisant une approche gloutonne, en choisissant à chaque étape la solution locale optimale pour atteindre la solution globale.

1. 1
CSI2510
Structures de données et
algorithmes
Plus court chemin
1

2. Graphe pondéré
Les poids des arêtes d’un graphe représentent des
distances, des coûts, etc.
Exemple d’un graphe pondéré non-orienté:
Dans un graphe des route aériennes, le poids d'une
arête représente la distance en miles entre les
aéroports de chaque extrémité
ORD
PVD
MIA
DFW
SFO
LAX
LGA
HNL
2
CSI2510 -- PCC

3. Plus court chemin
Étant donné un graphe pondéré et deux sommets u
et v, nous voulons trouver un chemin de poids total
minimal entre u et v
Applications
 Les réservations de vol
 Directions de conduite
 Routage des paquets d‘Internet
Exemple:
 Plus court chemin entre Providence et Honolulu
ORD
PVD
MIA
DFW
SFO
LAX
LGA
HNL
3
CSI2510 -- PCC

4. Propriétés
Propriété 1:
Un sous-chemin d’un plus court chemin est aussi un plus court
chemin
Propriété 2:
L’ensemble des plus courts chemins d’un sommet à tous les
autres sommets forme un arbre
Exemple:
Un arbre des plus courts chemins de Providence
ORD
PVD
MIA
DFW
SFO
LAX
LGA
HNL
4
CSI2510 -- PCC

5. Algorithme de Dijkstra
La distance entre un sommet v à un autre sommet
s est la longueur du plus court chemin entre s et v
L’algorithme de Dijkstra calcule la distance entre
un sommet donnée s de départ et tous les autres
sommets
Suppositions:
 Le graphe est connexe
 Les arêtes sont non-orientées
 Les poids des arêtes sont non-négatifs
5
CSI2510 -- PCC

6. L’algorithme conserve l’ensemble des sommets pour lesquels la
distance a été calculée, appelé nuage (cloud) C
On fait grossir un “nuage” de sommets, contenant au départ s et
couvrant éventuellement tous les sommets
Pour chaque sommet v nous emmagasinons d(v) = La plus courte
distance entre v et s dans le sous-graphe constitué du nuage et de ses
sommets adjacents.
Exemple
CSI2510 -- PCC
Algorithme de Dijkstra
6
C
B
A
E
D
F
0
4
2
8
 
4
8
7 1
2 5
2
3 9

7. Pour chaque étape:
Nous ajoutons au nuage le sommet extérieur u qui
a la plus petite étiquette de distance
Nous mettons à jour les étiquettes des sommets
adjacents à u
Dans l’exemple …
C
B
A
E
D
F
0
4
8
7 1
2 5
2
3 9
4
2
8
 
5 - chemin plus court!
8
C
B
A
E
D
F
0
8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
4
2


7
CSI2510 -- PCC
Algorithme de Dijkstra
11 - chemin plus court!
3 --> chemin
plus court!

8. Mise à jour = la relaxation des arêtes
Considérer une arête
e = (u,z) telle que:
 u est le sommet le plus
récemment ajouté au nuage
 z n’est pas dans le nuage
La relaxation d’une arête e
consiste a mettre à jour la
distance d(z) comme suit:
d(z) = 75
d(u) = 50
z
s
u
d(z) = 60
d(u) = 50
z
s
u
d(z)  min( d(z), d(u) + poids(e) )
8
CSI2510 -- PCC
Algorithme de Dijkstra

9. Exemple
C
B
A
E
D
F
0
4
2
8
 
4
8
7 1
2 5
2
3 9
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 11
4
8
7 1
2 5
2
3 9
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
C
B
A
E
D
F
0
3
2
7
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
9
CSI2510 -- PCC

10. Exemple (suite)
C
B
A
E
D
F
0
3
2
7
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
C
B
A
E
D
F
0
3
2
7
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
10
CSI2510 -- PCC

11. Algorithme de Dijkstra
Nous emmagasinons les sommets, qui ne sont
pas dans le nuage, dans une file de priorité Q.
élément: un sommet v
clé: D[v] la distance du sommet
11
CSI2510 -- PCC

12. Algorithm ShortestPath(G, v):
Entrés : Un graphe pondéré G et un sommet particulier v de G.
Sortie : Une étiquette D[u], pour chaque sommet u de G, telle que
D[u] est la longueur d'un plus court chemin de v à u dans G.
initialise D[v]  0 et D[u]  ∞ pour chaque sommet v  u
Soit Q une file à priorité qui contient tous les sommets de G
utilisant les étiquettes de D comme clés.
while Q   do {insérer u dans le nuage C}
u  Q.removeMinElement()
pour chaque sommet z adjacent à u tel que z est dans Q faire
{exécuter l'opération de relaxation sur l’arête (u, z) }
Si D[u] + w((u, z)) < D[z] alors
D[z] D[u] + w((u, z))
changer la valeur de la clé de z dans Q à D[z]
Retourner l’étiquette D[u] de chaque sommet u.
12
CSI2510 -- PCC
Algorithme de Dijkstra

13. Même exemple, avec un tas
C
B
A
E
D
F
0
4
2
8
 
4
8
7 1
2 5
2
3 9
(A,C) 2
(A,D) 4
(A,B) 8
A B C D E F
0 8 2 4  
D
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 11
4
8
7 1
2 5
2
3 9
RemoveMin()
et mise-a-jour
13
CSI2510 -- PCC

14. C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 11
4
8
7 1
2 5
2
3 9
(A,B) 8
RemoveMin()
(A,D) 4
Relaxation:
Mise-a-jour: (C,D) 3
(C,F) 11
(C,E) 5
(C,B) 9 NON (9>8)
YES (3 < 4)
YES (5 < )
YES (11 < )
D
A B C D E F
0 8 2 4  
14
CSI2510 -- PCC

15. (C,D) 3
(C,F) 11
(C,E) 5
(A,B) 8
(A,D) 4
D
A B C D E F
0 8 2 4  
au lieu de 4
au lieu de 
au lieu de 
Remplacer (A,D) 4 avec (C,D) 3
Insert (C,E) 5
Insert (C,F) 11
15
CSI2510 -- PCC
Mise à jour signifie: enlever les anciennes clés
et remplacer par les nouvelles

16. (C,D) 3
(C,F) 11
(C,E) 5
(A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3  
au lieu de 4
au lieu de 
au lieu de 
Remplacer (A,D) 4 avec (C,D) 3
Insert (C,E) 5
Insert (C,F) 11
(C,D) 3
Quand on doit remplacer, il faut
aussi réarranger le heap
(pas montré dans cet exemple)
Mise à jour signifie: enlever les anciennes clés
et remplacer par les nouvelles
16
CSI2510 -- PCC

17. (C,D) 3
(C,F) 11
(C,E) 5
(A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3 5 
au lieu de 4
au lieu de 
au lieu de 
Remplacer (A,D) 4 avec (C,D) 3
Insert (C,E) 5
Insert (C,F) 11
(C,D) 3
(C,E) 5
17
CSI2510 -- PCC
Mise à jour signifie: enlever les anciennes clés
et remplacer par les nouvelles

18. (C,D) 3
(C,F) 11
(C,E) 5
(A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3 5 11
Instead of 4
Instead of 
Instead of 
Remplacer (A,D) 4 avec (C,D) 3
Insert (C,E) 5
Insert (C,F) 11
(C,D) 3
(C,E) 5
(C,F) 11
18
CSI2510 -- PCC
Mise à jour signifie: enlever les anciennes clés
et remplacer par les nouvelles

19. (A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3 5 11
(C,D) 3
(C,E) 5
(C,F) 11
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
RemoveMin()
Mis-a-jour
19
CSI2510 -- PCC

20. (A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3 5 11
(C,E) 5
(C,F) 11
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
RemoveMin()
Mise à jour (D,F) 8 ? Yes 8 < 11
Remplacer (C,F) 11
avec (D,F) 8
20
CSI2510 -- PCC

21. (A,B) 8
D
A B C D E F
0 8 2 3 5 8
(C,E) 5
(D,F) 8
C
B
A
E
D
F
0
3
2
8
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
RemoveMin()
Mise à jour (D,F) 8 ? Yes 8 < 11
Remplacer (C,F) 11
avec (D,F) 8
21
CSI2510 -- PCC

22. Pourquoi l‘algorithme de Dijkstra fonctionne?
L’algorithme de Dijkstra utilise un algorithme glouton.
C’est-à-dire un algorithme qui effectue à chaque étape
le choix optimal local dans l’espoir d’arriver à la
solution optimale globale.
C
B
A
E
D
F
0
3
2
7
5 8
4
8
7 1
2 5
2
3 9
 Supposons qu'il n'a pas trouvé toutes les
plus courtes distances. Soit F le premier
mauvais sommet que l'algorithme a traité.
 Quand le nœud précédent, D, sur le vrai
plus court chemin a été considéré, sa
distance était correcte.
 Mais l’arête (D,F) a été relaxée à ce
moment-là!
 Ainsi, aussi longtemps que d(F)>d(D) la
distance de F ne peut pas être fausse.
C'est-à-dire, il n'y a pas de mauvais
sommet.
22
CSI2510 -- PCC

23. Le temps d’exécution
Si nous représentons G avec une liste d’adjacence, alors nous pouvons parcourir tous les
sommets adjacents à u pendant un temps proportionnel à deg(u)
La file de priorité Q
Avec heap.
while Q   do {insérer u dans le nuage C}
A chaque itération:
- Extraction des sommets avec la distance la plus petite: O(log n).
- Mises à jour des clés: O(log n) pour chaque mise à jour (remplacer une clé et insérer
dans le monceau)=>Apres chaque extraction (deg(u) mises à jour): O(deg(u) log n)
En total: uG (1 + deg(u)) log n = O((n+2m) log n) = O(m*log n)
Meilleur cas: O(n log n)
Pire cas: O(n2 log n)
23
CSI2510 -- PCC

24. Avec une séquence non-triée:
O(n) quand on extrait les éléments minimaux
mais des mises à jour des clés plus rapides en O(1).
Il y a n-1 extractions d’ordre n et m mises à jour
d’ordre constant.
Le temps d’exécution est O(n2+m) = O(n2 )
O(m log n) O(n2 )
Monceau Séquence
En conclusion:
24
CSI2510 -- PCC
Le temps d’exécution