1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 03 JANVIER
LES CUBES DU SAPIN
Avant Noël, Clément a rendu visite à son ami Fabrice et n'a pas
manqué de le féliciter pour la décoration de son sapin.
Fabrice lui a alors fait remarquer ses petits "cubes de Noël".
Clément lui dit : " Tes cubes sont toujours de trois couleurs, chaque face
portant une unique couleur et je compte que tu as utilisé quatre couleurs en
tout, c'est bien ça ?"
Fabrice a alors ajouté : "Oui tu as raison! En fait, j'ai construit tous les cubes
différents avec ces propriétés et mes quatre couleurs de peinture, puis je les ai
tous mis dans mon arbre de Noël".
Clément a conclu ainsi : " Alors je sais combien de cubes se trouvent dans ton sapin!".
Et vous, savez vous combien de cubes décorent le sapin de Fabrice ?

2. Correction de l'énigme les cubes de Sapin :
Les trois couleurs choisies sont notées A, B et C sur les cubes dessinés…
Il y a plusieurs façons de décomposer six en somme de trois entiers :
Décomposition 1 : 6 = 2+2+2 (Chaque couleur est présente sur deux faces)
- Soit les faces de la même couleur sont toujours opposées.
On ne dispose que d'une seule façon de construire le cube avec les trois couleurs déjà choisies.
Ensuite choisir trois couleurs parmi quatre revient à en écarter une, donc il y a quatre choix possibles des
trois couleurs.
Donc 4 cubes colorés pour cette configuration.
- Soit deux faces exactement de la même couleur (A ou B ou C) sont opposées (les autres étant
consécutives).
On dispose toujours de quatre choix des trois couleurs pour colorer le cube.
Puis on a trois choix différents pour colorer ce cube (correspondant au choix de la couleur des deux faces
opposées de même couleur).
Donc 12 (= 4 × 3) cubes colorés pour cette configuration.
- Soit deux faces de la même couleur sont toujours consécutives.
On dispose toujours de quatre choix des trois couleurs pour colorer le cube.
Puis on a deux façons de colorer ce cube avec trois couleurs déjà choisies.
Donc 8 (= 4 × 3) cubes colorés pour cette configuration.
Décomposition 2 : 6 = 1+2+3 (une couleur sur une face, une couleur sur deux faces, une couleur sur trois faces)
- Soit les trois faces de la même couleur ont un coin en commun.
On dispose de quatre choix de couleurs pour la couleur présente sur trois faces.
Puis on dispose de trois choix de couleurs pour la couleur présente sur deux faces.
Puis on dispose encore de deux choix de couleurs pour la couleur présente sur la dernière face.
Donc 24 (= 4 × 3 × 2) cubes colorés pour cette configuration.
- Soit les trois faces de la même couleur n'ont pas un coin en commun.
Les deux faces de même couleur peuvent être opposées ou consécutives (2 situations)
On dispose de quatre choix de couleurs pour la couleur présente sur trois faces.
Puis on dispose de trois choix de couleurs pour la couleur présente sur deux faces.
Puis on dispose encore de deux choix de couleurs pour la couleur présente sur la dernière face.
Donc 48 (= 2 × 4 × 3 × 2) cubes colorés pour cette configuration.
Décomposition 3 : 6 = 1+1+4 (une couleur sur une face, une couleur sur une face, une couleur sur quatre faces)
- Soit les deux couleurs isolées sont sur des faces opposées.
On dispose de quatre choix de couleurs pour la couleur présente sur quatre faces.
Ensuite choisir deux couleurs parmi les trois restantes revient à en écarter une, donc il y a trois choix
possibles des deux couleurs.
Donc 12 (= 4 × 3) cubes colorés pour cette configuration.
Soit les deux couleurs isolées sont sur des faces consécutives.
On dispose de quatre choix de couleurs pour la couleur présente sur quatre faces.
Ensuite choisir deux couleurs parmi les trois restantes revient à en écarter une, donc il y a trois choix
possibles des deux couleurs.
Donc 12 (= 4 × 3) cubes colorés pour cette configuration.
Bilan : On compte le nombre total de cubes.
4 + 12 + 8 + 24 + 48 + 12 + 12 = 120
Le sapin de Fabrice est décoré avec 120 cubes !