1. Enigme n°2 (Le champ de Loïc) (Réponse à rendre au plus tard le lundi 03/12 à 9h)
Loïc est le propriétaire d'un grand champ triangulaire où il laisse courir ses chevaux.
Fabrice, qui est de passage, lui en demande les dimensions et la longueur de la clôture qui
l'entoure.
Loïc répond : " Mon champ mesure très exactement 2 649 108 dm² et l'une de ses
hauteurs est de 2013 dm."
Fabrice : " Mais il y a toute une famille de triangles qui ont cette hauteur et cette aire."
Loïc : "Oui, mais heureusement pour moi, la longueur de la clôture est la plus petite
que l'on peut obtenir pour un tel triangle."
Fabrice : "OK, là je peux calculer la longueur de ta clôture !".
Et vous, sauriez-vous trouver la longueur de la clôture du champ de Loïc ?
CORRECTION :
base  hauteur base  2013
La base associée à la hauteur connue mesure 2632 dm. En effet Aire  2 649108   .
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Si l'on nomme cette base [AB] et S le troisième sommet, alors S est sur la parallèle à (AB) distante de (AB) de 2013 dm.
Le but est de trouver S sur cette droite parallèle de sorte que le périmètre SA + SB + AB soit minimal.
(sachant que AB est une constante indépendante de la position de S).
On place le symétrique B' de B par rapport à cette
parallèle.
Alors SA + SB = SA + SB', somme qui est minimale
lorsque A, S et B' sont alignés…
Ce qui signifie que SAB est un triangle isocèle en S.
Reste à déterminer le périmètre du triangle SAB :
Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle SHA nous renseigne sur le côté SA :
SA2  SH 2  HA2  20132  13162  5 784 025 donc SA  5 784 025  2405 dm .
Le périmètre du champ de Loïc est donc de : SA  AB  BS  2405  2632  2405  7442 dm .
La clôture de Loïc mesure donc 744,2 mètres.