Estudio sobre las significaciones de la multiplicación en diferentes conjuntos de números en un contexto de geometrización

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Étude des significationsde la multiplication pour diﬀérents ensembles de nombres dans un contexte de géométrisation Raquel Barrera L.D.A.R. – Université Paris Diderot (Paris ) Thèse dirigée par MM. Alain Kuzniak et Laurent Vivier Seminario PROME en linea Lundi  Juillet  1/1

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Plan de laprésentation • Fondements de la recherche et composantes de la problématique • estions de recherche • Méthodologie de la première partie de la recherche • Résultats de la première partie • Méthodologie de la deuxième partie de la recherche • Cadre théorique • Phase expérimentale : description et un aperçu des résultats • Conclusions • Perspectives 2/1

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Fondements de larecherche • La disparition croissante de la géométrie des programmes oﬀiciels • La complexité des objets mathématiques arithmétiques et algébriques et le besoin d’intermédiaires pour accéder à leurs significations • Le rôle de la géométrie comme un médiateur dans le processus d’apprentissage • La complexité de la multiplication et l’intérêt de rendre compte de ses significations à travers la géométrie 3/1

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Composantes de laproblématique • La multiplication, un objet mathématique complexe • Les significations de la multiplication • Le processus de géométrisation Objectif transversal de la thèse : rendre compte de la présence de la géométrie dans la construction du sens de la multiplication pour diﬀérents ensembles de nombres. estion de départ : quel type de géométrisation de la multiplication trouve-t-on quand on se place dans diﬀérents ensembles de nombres et de quelle signification de la multiplication rend-elle compte ? 4/1

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estions de recherche •Un traitement géométrique de la multiplication par les transformations permerait-il l’établissement d’un lien entre ses significations pour différents ensembles de nombres ? • Les élèves peuvent-ils établir des liens entre multiplication et géométrie ? Si oui, lesquels ? • Peut-on identifier et différencier des interactions entre les plans cognitif et épistémologique de l’Espace de Travail Mathématique personnel des élèves rendant compte d’une compréhension géométrique de la multiplication pour différents ensembles de nombres ? 5/1

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Méthodologie de lapremière partie de la recherche • Une étude de travaux historico-épistémologiques et didactiques • Une analyse des programmes oﬀiciels du secondaire : où des nouveaux nombres s’intègrent à l’enseignement des mathématiques 6/1

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Résultats de l’étudede travaux historico-épistémologiques et didactiques • Le cœur de la relation entre le géométrique et le numérique : le théorème de Thalès • Parallélisme de droites et proportions • Proportions et géométrie • Multiplication et géométrie 7/1

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Résultats de l’étudede travaux historico-épistémologiques et didactiques • Le constat que la multiplication pour diﬀérents ensembles de nombres correspond à une transformation dans le plan • Multiplication de nombres rationnels : agrandissements et réductions (Brousseau, 1986) • Multiplication de nombres relatifs : combinaison de l’idée de grandeur absolue et direction (Argand, 1806) • Multiplication de nombres complexes : liée à la représentation des quantités imaginaires par des vecteurs (Wessel, 1797) 8/1

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Résultats de l’étudede travaux historico-épistémologiques et didactiques • Le constat que la multiplication pour diﬀérents ensembles de nombres correspond à une transformation dans le plan • Multiplication de nombres rationnels : agrandissements et réductions (Brousseau, 1986) • Multiplication de nombres relatifs : combinaison de l’idée de grandeur absolue et direction (Argand, 1806) • Multiplication de nombres complexes : liée à la représentation des quantités imaginaires par des vecteurs (Wessel, 1797) 8/1

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Résultats de l’étudede travaux historico-épistémologiques et didactiques • Le lien entre la multiplication de nombres complexes, la multiplication de Descartes et le théorème de Thalès 9/1

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Résultats de l’étudede travaux historico-épistémologiques et didactiques • Le lien entre la multiplication de nombres complexes, la multiplication de Descartes et le théorème de Thalès Figure : Parallèle entre la multiplication de Descartes et le produit de segments de droites de Wessel 9/1

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Résultats de l’analysedes programmes oﬀiciels du secondaire • La richesse de notre objet mathématique : la construction du sens d’autres objets mathématiques • L’importance de la compréhension et l’appropriation de connaissances • La place de l’expérimentation d’une séquence d’apprentissage 10/1

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Résultats de l’analysedes programmes oﬀiciels du secondaire • La richesse de notre objet mathématique : la construction du sens d’autres objets mathématiques • L’importance de la compréhension et l’appropriation de connaissances • La place de l’expérimentation d’une séquence d’apprentissage 10/1

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Méthodologie de ladeuxième partie de la recherche • Une intégration théorique : cadre théorique • Une phase expérimentale adaptée à nos intentions didactiques • Élaboration de séances expérimentales au collège et au lycée • Analyse des productions écrites des élèves : recherche et analyse de parcours d’individus • Analyse d’un extrait de vidéo 11/1

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Notre approche théoriqueprincipale : l’Espace de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, 2004, 2012) • Deux plans : épistémologique et cognitif • Trois genèses : sémiotique, instrumentale et discursive • Deux origines : épistémologique ou cognitive • Un milieu pour l’action de médiateurs permeant la mise en relation entre les deux plans de l’ETM • Un milieu où se produisent des changements entre diﬀérents registres de représentations sémiotiques 12/1

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Notre approche théoriqueprincipale : l’Espace de Travail Mathématique Visualisation Preuve Construction Representamen Artefacts Référentiel Plan cognitif Plan Épistémologique Genèse sémiotique Genèse instrumentale Genèse discursive 13/1

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Les fondements d’uneintégration théorique • Une hypothèse : • Les médiateurs permeent la mise en relation des deux plans de l’ETM • Des signes • Des médiateurs culturels (la construction sociale de connaissances mathématiques) • La flexibilité de l’ETM 14/1

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Les fondements d’uneintégration théorique • Une hypothèse : • Les médiateurs permeent la mise en relation des deux plans de l’ETM • Des signes • Des médiateurs culturels (la construction sociale de connaissances mathématiques) • La flexibilité de l’ETM 14/1

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Nos approches théoriquescomplémentaires • La Théorie de la Médiation Sémiotique (Bartolini Bussi & Marioi, 2008) • Le langage, l’usage de signes, les signes-artefacts et des outils technologiques ou historiques • Les dynamiques sociales • Des réflexions théoriques se référant à la construction sociale de connaissances (Radford, 2000, 2004 ; Sfard, 2008) • Les registres de représentations sémiotiques (Duval, 1993-2008) • Les jeux de cadres (Douady, 1986) 15/1

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Schéma articulant lesnotions principales de nos cadres théoriques Plan cognitif Métaphores Visualisation Plan Épistémologique Culture mathématique Espace réel et local Genèse cognitive Genèse épistémologique ETM (côté gauche) Médiation sémiotique Apprentissage collaboratif Action du signe-‐‑artefact 16/1

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Un retour ànotre deuxième question de recherche Peut-on identifier et différencier des interactions entre les plans cognitif et épistémologique de l’Espace de Travail Mathématique personnel des élèves rendant compte d’une compréhension géométrique de la multiplication pour différents ensembles de nombres ? • Séances expérimentales : recherche et analyse de parcours d’individus dans un ETM grâce à la détermination et la différenciation de leurs interactions entre les deux plans de l’ETM 17/1

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Un retour ànotre deuxième question de recherche Peut-on identifier et différencier des interactions entre les plans cognitif et épistémologique de l’Espace de Travail Mathématique personnel des élèves rendant compte d’une compréhension géométrique de la multiplication pour différents ensembles de nombres ? • Séances expérimentales : recherche et analyse de parcours d’individus dans un ETM grâce à la détermination et la différenciation de leurs interactions entre les deux plans de l’ETM 17/1

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Conception de deuxséances expérimentales au secondaire où des nouveaux nombres s’intègrent à l’enseignement de mathématiques • Expérimentations en classe de atrième (nombres relatifs) • Changement de certaines variables • Une nouvelle situation • Expérimentations en classe de Terminale S (nombres complexes) : séances expérimentales • Analyse comparative des comportements de diﬀérents individus à l’intérieur d’un ETM • L’entrée dans l’ETM et les interactions entre ses composantes • L’émergence d’une genèse sémiotique et la mise en évidence de l’action d’un signe-artefact • La compréhension géométrique de la multiplication 18/1

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Une expérimentation diagnostique: mise en place d’un questionnaire en quatre classes de Terminale S Travail individuel : intégration partielle de nos approches théoriques Objectif : • Déterminer les possibilités des élèves d’établir des correspondances entre les représentations d’un objet mathématique dans diﬀérents cadres mathématiques • Analyse globale de la tâche • Analyse de l’énoncé et de la figure • Analyse des procédures de résolution • Analyse des réponses des élèves : • Processus cognitifs et procédures • Paradigme géométrique réorganisant l’ETM • Connaissances mathématiques, traitement et conversion d’objets mathématiques 19/1

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Le questionnaire :composition • Justification du produit de Descartes • Construction géométrique d’un produit analogue au produit de Descartes avec un facteur inférieur à l’unité • Étude d’une situation d’homothétie du type −→ BD = k × −→ BA avec k entier positif ou négatif • Construction géométrique d’un produit analogue au produit de Descartes avec un facteur négatif • L’établissement des relations entre les aﬀixes de deux nombres complexes • Détermination d’un produit résultant de la multiplication par i • Construction géométrique de la multiplication de nombres complexes • Signification géométrique de la multiplication de deux longueurs 20/1

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Le questionnaire :résultats • La complexité de la tâche • Certaines réponses aendues eﬀectivement obtenues • L’influence de la multiplication de Descartes • La médiation du théorème de Thalès • L’ambiguïté de plusieurs réponses : les diﬀicultés d’analyser seulement des traces écrites Intégration de deux éléments clés dans la composition de nos séances d’apprentissage : le travail collaboratif (accès au discours oral des élèves) et un outil médiateur, l’icône du théorème de Thalès ou notre signe-artefact 21/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Travail en groupes (individus : des entités) : intégration totale de nos approches théoriques Objectif : • Déterminer et comparer les interactions produites entre les composantes de l’ETM approprié par les élèves Méthodologie spécifique d’analyse des séances (1/2) : • Élaboration d’une séquence d’apprentissage pour l’analyse des productions écrites des élèves • Recherche de parcours : méthodologie expérimentale d’analyse mixte (didactique et statistique) • Identification de parcours rendant compte de l’entrée dans l’ETM et des genèses prédominantes • Détermination de l’évolution de notre signe médiateur (ou signe-artefact) : la représentation géométrique du produit de Descartes 22/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Méthodologie spécifique d’analyse des séances (2/2) : • Analyse d’un extrait de vidéo : interactions à l’intérieur d’un groupe d’élèves répondant à une question de la séquence (sur la construction géométrique du produit de deux nombres complexes) • Des informations sur le potentiel sémiotique du signe-artefact grâce aux échanges propres au travail collaboratif dans un processus de construction sociale de connaissances • La compréhension de significations géométriques de la multiplication 23/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Première question Soit par exemple AB l’unité et qu’il faille multiplier BD par BC ; je n’ai qu’à joindre les points A et C, puis tirer la parallèle à CA, et BE est le produit de cee multiplication. (Descartes, 1637) • Lire le texte de Descartes, puis observer la configuration « Figure A » pour répondre à la question suivante : • Nous proposons AB = 1 cm. BE est-il bien le produit annoncé par Descartes ? ’en pensez-vous ? 24/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Deuxième question • Sachant que BA = 1 cm, placer D entre B et A • Construire E pour que BE donne le produit de la multiplication de BD par BC • Décrire votre construction et expliquer pour quoi elle peut être considérée comme analogue à la multiplication de Descartes 25/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Troisième question • Projeter orthogonalement les points C et E sur l’axe des abscisses. Pouvez-vous justifier que l’abscisse du point E est le produit des abscisses des points D et C ? Comment ? • Si, de manière plus générale, l’abscisse du point C est xC > 0 et l’abscisse du point D est xD < 0, décrire la représentation géométrique du point E sur (BC) d’abscisse xE = xCxD 26/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S atrième question (Partie A) • Pouvez-vous aﬀirmer que dans cee représentation géométrique, la multiplication de z et z′ donne toujours le produit z′′ (aﬀixe du point E et du vecteur −→ BE) ? • Avez-vous établi des liens entre ∥ −→ BC∥, ∥ −→ BD∥ et ∥ −→ BE∥ ? Et entre AOC, AOD et AOE ? els liens établiriez-vous entre ces éléments pour expliquer la représentation géométrique de deux nombres complexes ? 27/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S atrième question (partie B) • En prenant en compte vos réponses dans les questions précédentes construire la représentation géométrique du produit de z et z′ • Décrire votre construction 28/1

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Les séances expérimentalesen classe de Terminale S Cinquième question • En vous appuyant sur le travail que vous avez fait dans cee séance et sur vos connaissances antérieures, quelle signification géométrique pouvez-vous donner à la multiplication ? 29/1

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Analyse des parcoursdes individus Des réponses clés pour déterminer et comparer les interactions produites entre les composantes de l’ETM approprié par les élèves • Les réponses à la dernière question de la séquence • « En vous appuyant sur le travail que vous avez fait dans cee séance et sur vos connaissances antérieures, quelle signification géométrique pouvez-vous donner à la multiplication ? » • Les réponses à la question portant sur la représentation géométrique de la multiplication de deux nombres complexes • Les liens établis entre la signification donnée au produit complexe et la multiplication • entre un entier positif et une fraction positive inférieure à l’unité • entre un entier positif et un entier négatif 30/1

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Un exemple synthétiqueet comparatif de deux des parcours étudiés : groupe 9 et groupe 14 Réponse à la dernière question de la séquence ou la signification du produit en géométrie 31/1

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Un exemple synthétiqueet comparatif de deux des parcours étudiés : groupe 9 et groupe 14 Réponse à la dernière question de la séquence ou la signification du produit en géométrie Figure : Groupe 9 ; pas de réponse du groupe 14 31/1

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Réponse à laquestion portant sur le produit d’un entier positif et d’une fraction positive inférieure à l’unité Figure : Groupe 9 ; pas de réponse du groupe 14 33/1

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Réponse à laquestion portant sur l’interprétation de la représentation géométrique du produit de deux nombres complexes Figure : groupe 14 (à gauche) ; groupe 9 (à droite) 34/1

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Réponse à laquestion portant sur la construction géométrique du produit de deux nombres complexes Figure : groupe 14 (à gauche) ; groupe 9 (à droite) 35/1

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elques résultats del’analyse d’un extrait de vidéo : groupe 2 Des interactions produites en répondant à la question portant sur la construction géométrique du produit de deux nombres complexes • Raachement aux techniques, modèle • Diﬀicultés pour le changement de registre de représentation • Évolution du signe-artefact dans le discours d’un des élèves, explicitation d’une évolution de connaissances • Impossibilité de développer le discours : travail local du groupe • Des indices d’une compréhension mais il n’y pas d’explicitation du produit comme une transformation 36/1

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elques résultats del’analyse d’un extrait de vidéo : groupe 2 Des interactions produites en répondant à la question portant sur la construction géométrique du produit de deux nombres complexes • Raachement aux techniques, modèle • Diﬀicultés pour le changement de registre de représentation • Évolution du signe-artefact dans le discours d’un des élèves, explicitation d’une évolution de connaissances • Impossibilité de développer le discours : travail local du groupe • Des indices d’une compréhension mais il n’y pas d’explicitation du produit comme une transformation 36/1

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Conclusions de lapremière partie de la recherche Première question de recherche : Un traitement géométrique de la multiplication par les transformations permerait-il l’établissement d’un lien entre ses significations pour diﬀérents ensembles de nombres ? • La constatation de la possibilité de donner du sens à la multiplication par les transformations pour diﬀérents ensembles de nombres « Si les points d’une droite sont des nombres, on doit pouvoir comprendre géométriquement la signification des opérations élémentaires entre nombres : l’addition et la multiplication. La clé de cee compréhension est dans l’idée de transformation. » (Leys, Ghys, Alvarez) 37/1

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Conclusions de lapremière partie de la recherche Première question de recherche : Un traitement géométrique de la multiplication par les transformations permerait-il l’établissement d’un lien entre ses significations pour diﬀérents ensembles de nombres ? • La constatation de la possibilité de donner du sens à la multiplication par les transformations pour diﬀérents ensembles de nombres « Si les points d’une droite sont des nombres, on doit pouvoir comprendre géométriquement la signification des opérations élémentaires entre nombres : l’addition et la multiplication. La clé de cee compréhension est dans l’idée de transformation. » (Leys, Ghys, Alvarez) 37/1

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Conclusions de nosanalyses didactiques (1/3) Deuxième question de recherche : Peut-on identifier et différencier des interactions entre les plans cognitif et épistémologique de l’Espace de Travail Mathématique personnel des élèves rendant compte d’une compréhension géométrique de la multiplication pour différents ensembles de nombres ? • La détermination et la différentiation des interactions entre les deux plans de l’ETM : • Des parcours rendant compte ou non des significations géométriques de la multiplication acquises par les élèves • Des parcours rendant compte de la compréhension géométrique de la multiplication n’ayant pas des trajectoires identiques 38/1

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Conclusions de nosanalyses didactiques (2/3) • La richesse et diversité des Espaces de Travail Mathématique de la classe • La constatation des eﬀets produits par la médiation sémiotique dans la construction du sens géométrique de la multiplication • L’intérêt de donner du sens au travail mathématique grâce au changement de registres de représentations sémiotiques et de la visualisation 39/1

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Conclusions de nosanalyses didactiques (2/3) • La richesse et diversité des Espaces de Travail Mathématique de la classe • La constatation des eﬀets produits par la médiation sémiotique dans la construction du sens géométrique de la multiplication • L’intérêt de donner du sens au travail mathématique grâce au changement de registres de représentations sémiotiques et de la visualisation 39/1

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Conclusions de nosanalyses didactiques (3/3) • La complexité de l’interprétation du travail mathématique des élèves : une restructuration du milieu social d’apprentissage qui permee des rétroactions suﬀisantes • Favoriser la prise en compte des réflexions des élèves pour déterminer la compréhension des objets mathématiques • Déterminer le rôle plus actif de l’enseignant dans un processus de médiation pour l’acquisition du sens des connaissances mathématiques par les élèves 40/1

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Conclusions de nosanalyses didactiques (3/3) • La complexité de l’interprétation du travail mathématique des élèves : une restructuration du milieu social d’apprentissage qui permee des rétroactions suﬀisantes • Favoriser la prise en compte des réflexions des élèves pour déterminer la compréhension des objets mathématiques • Déterminer le rôle plus actif de l’enseignant dans un processus de médiation pour l’acquisition du sens des connaissances mathématiques par les élèves 40/1

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Perspectives de recherche(1/2) • La restructuration de notre situation expérimentale en classe de TS visant la construction d’une ingénierie didactique pour l’apprentissage ou le réinvestissement de la multiplication pour diﬀérents ensembles de nombres • Le cas de notre situation en classe de atrième : la création ou l’incorporation de nouveaux outils méthodologiques et théoriques pour l’analyse des ETM où la construction de connaissances se produit grâce à la médiation culturelle de l’enseignant et le travail collaboratif entre élèves • Pouvons-nous étudier indépendamment l’espace de travail mathématique de l’enseignant et celui des élèves ? • Comment l’enseignant pourrait-il organiser et unifier la diversité d’espaces de travail mathématique de la classe ? 41/1

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Perspectives de recherche(2/2) • Le développement, dans le cadre de la formation initiale et continue des professeurs des écoles, d’un travail collaboratif entre le chercheur et l’enseignant • Intégrer dans des classes ordinaires des ressources didactiques spécifiques portant sur un traitement non traditionnel d’un objet mathématique et aussi sur une autre façon d’interpréter l’enseignement des mathématiques • La mise en relation de diﬀérents cadres mathématiques • La prise en compte d’une phase de recherche « réelle » à l’intérieur d’un travail collaboratif entre élèves et sous le guide de l’enseignant (porteur du cœur des mathématiques mais aussi médiateur entre les connaissances et le travail mathématique des élèves) • La conception d’autres situations d’apprentissage visant la mise en relation entre géométrie et calcul à un niveau plus élémentaire de l’enseignement obligatoire 42/1

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Je vous remerciede votre aention. 43/1

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