Seminario DT Esposito - IIS G. Peano 10/11/2016

Problem solving nella didattica
delle discipline scientifiche
Marsico Nuovo, 10 novembre 2016
D.T. Massimo Esposito - D.G. per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione

Problem solving
 Perché ne parliamo
 Da dove vengono le idee
 A chi parliamo
 Come ne parliamo
 ….

Problemi da affrontare…
 L’utilizzo del termine «competenze» proviene dall’ambito linguistico
 Dibattito forte su cosa si intenda per competenze in matematica
 Parliamo di competenze per cercare di mettere a fuoco le criticità più evidenti che
riscontriamo nell’apprendimento della matematica
 Eppure…Perché diamo per scontato che per acquisire una competenza linguistica
NON BASTA conoscere vocabolario e sintassi ma bisogna immergersi nel
contesto linguistico (nel contesto in cui la lingua SERVE…), e invece per la
matematica ci aspettiamo che avvenga un apprendimento dando solo vocabolario
e sintassi («Prof, a che serve?»)…?

 Le criticità più evidenti che riscontriamo nell’apprendimento della matematica
 FRAGILE: se ci si confronta con una situazione non rigidamente «scolastica» in senso
tradizionale, spesso manca la capacità di «mobilitare» le conoscenze e le abilità
 VOLATILE: nel passaggio da un segmento scolastico all’altro, sembra che gran parte di
quanto è stato acquisito si «perda»
 INGABBIATO: non viene trasferita al mondo esterno alla scuola (OCSE PIAAC)
 FRAMMENTATO: Capitoli diversi, momenti diversi, verifiche diverse, voti diversi!
 Cercano di memorizzare teoremi e procedure, conoscenza che si sbriciola
 Conoscenza «inerte», non viene mobilitata quando servirebbe (competenza)
 Cosa succederebbe se facessimo verifiche senza preavviso?

Si avvicina alla valutazione di una competenza…manca il contesto,
ma richiede di mettere in campo conoscenze e abilità, e può essere
affrontato mobilitando DIVERSE conoscenze o abilità, richiede
una decisione, una strategia, è presente un aspetto metacognitivo.

 Abilità sintattiche
 Abilità simboliche
 Abilità quantitative

N.A. A B C D
Credits: Prof. Giorgio Bolondi

 Caccia alla formula, al teorema, alla proprietà giusta (scambio
somma-prodotto)…non hanno tirato a caso!
 La risposta più scelta dai ragazzi che hanno «studiato di più» è la
più lontana dalla competenza: perdita del significato, della
capacità di «mettere in contesto», in questo caso un contesto
puramente matematico, le conoscenze e abilità
 Se l’apprendimento consiste nel «cercare» di memorizzare
conoscenze e «pratiche» (esercizi!)…con il tempo va in frantumi
 Cosa resterà quando saranno adulti (PIAAC)? Non in termini di
STRUMENTI (non si insegna matematica per 1500 ore per fornire
strumenti…), ma in termini di capacità di pensare, affrontare
problemi, argomentare?

Riflessione sulle metodologie…
Fonte: Rapporto
OCSE-TALIS
2013

 Perché ci sia apprendimento, è necessario un collegamento COSTANTE
con i problemi, che non vuol dire SOLTANTO applicazioni: anche problemi
INTERNI alla disciplina.
 E’ la riflessione sui problemi che alimenta il progresso della matematica e
delle scienze. Anziché partire dal problema, e combattere con il problema,
e mostrare come lo sforzo per risolvere un problema porta a sviluppi
teorici e tecnici, noi facciamo dottrina, partiamo da un “in verità vi dico”
che non coinvolge, non affascina, non lascia tracce.
 La maggior parte degli allievi non vede l’ora che finisca l’ora di
matematica, così si può tornare alla vita vera.

 L’apprendimento della matematica è un fenomeno scolastico: a
differenza di quello linguistico è molto meno legato al contesto di
provenienza. Se a casa si parla una lingua italiana ricca e corretta,
l’alunno se ne avvantaggia; viceversa, a casa non si parla di matematica
di solito…
 Il rapporto dei ragazzi con la matematica è spesso caratterizzato da
stress, negatività, frustrazione.
Perché?
 Ma la domanda che noi docenti dovremmo farci, in realtà, è:
Perché non dovrebbe?

 Da bambini, gli insegniamo a fare le divisioni con il resto…

 Poi, quando hanno imparato, gli diciamo che devono usare le la virgola e
i decimali…

 Poi, quando hanno imparato, gli diciamo che devono usare le frazioni!
 Riusciamo a dirgli perché? Non sempre…!

 Chiediamo ai ragazzi di memorizzare procedure
 Improvvisamente, quello che era vero l’anno scorso, o due mesi fa, non va
più bene
 Li valutiamo sulla capacità di richiamare dalla memoria
 Enfatizziamo l’importanza di un lessico corretto e di un rigore formale, di cui
non capiscono l’utilità
 Ai primi inevitabili errori, molti si sentono inadeguati, “negati per la
matematica”, perdono fiducia
 Non avendo altre risorse che la memoria, non potendo collegare la procedura
da applicare a un valore o a un’esperienza che riconoscono…
 …si sentono disarmati, sfiduciati, sviluppano“paura della matematica”
Perché non dovrebbe?

 Il nostro cervello ha un meccanismo di gestione della paura, governato
dall’amigdala, che:
 Reagisce molto più rapidamente della corteccia prefrontale, dove
operano le funzioni logiche superiori e la memorizzazione cosciente
 Inibisce il flusso di informazioni verso la corteccia
 Attiva un meccanismo di “freeze – fight – flight”, gestito dalla parte
più primitiva del cervello, che mette in atto le strategie istintive e
“automatiche” di fronte al pericolo
 L’amigdala è una sorta di “grilletto neurale”, che scatta quando, in base
alla comparazione con le esperienze passate, uno stimolo viene ritenuto
“pericoloso”

 L’idea di base del PS è che il lavoro dell’insegnante consiste nel far sì che
i ragazzi FACCIANO matematica, GUIDANDOLI attraverso un percorso
che parta da una situazione problematica, e non che ascoltino
l’insegnante PARLARE di matematica («Prof, a che serve?»).
 Quando il lavoro di costruzione del concetto A PARTIRE DA UN
PROBLEMA è stato fatto, quando si è
 Argomentato, discusso
 Immaginato
 Provato
 Sbagliato,
 allora va anche bene FARE GLI ESERCIZI, per rafforzare la tecnica. I
ragazzi che hanno risposto in quel modo al test INVALSI non hanno fatto
troppo pochi esercizi sulle potenze, ne hanno fatti TROPPI!

 Il lavoro dell’insegnante, il ruolo dell’insegnante è ancora più importante in
una didattica attiva: non è una radio, è un “facilitatore”, “collegatore”,
“guida”, “regista”, valutatore
 Il fine ultimo non è l'acquisizione totale di specifici contenuti prestrutturati
e dati una volta per tutte (il «programma»! I «corsi di recupero»!)…nella
società di Google e Wikipedia possiamo ancora insegnare come se il
problema fosse l’accesso ai contenuti?
 A cosa dobbiamo preparare i nostri studenti? Al lavoro? All’Università? Li
dobbiamo preparare a essere cittadini di un mondo in cui il
quantitativo di conoscenza totale RADDOPPIA ogni 5/6 anni. Servono
abilità cognitive, capacità di trovare, organizzare, adoperare la
conoscenza. Qualunque cosa facciano DOPO
 Il sapere che conta è quello che aiuterà ad acquisire altro sapere

 Dare enfasi alla costruzione della conoscenza piuttosto che alla sua
riproduzione
 Proporre compiti autentici (contestualizzare piuttosto che astrarre)
 Offrire ambienti di apprendimento derivati dal mondo reale, basati su casi,
piuttosto che sequenze istruttive predeterminate
 Offrire rappresentazioni multiple della realtà
 Abituare alla riflessione autonoma su quello che si è fatto e su COME lo
si è fatto e sul PERCHE’ si è scelta una strada anziché un’altra.
Atteggiamento alla base di qualunque competenza
 Favorire la costruzione cooperativa della conoscenza, attraverso la
collaborazione e il confronto con altri: abituare ad ascoltare i PARI e ad
argomentare con i PARI

Idee alla base del Problem Solving
 «Vogliamo ordinare la pizze per la classe, dal momento che 2 pizze bastano per
3 persone, e noi siamo 28, quante pizze dobbiamo ordinare? Una pizza costa
3,5 euro, quanto dobbiamo dare a testa?».
 Lasciare che gli studenti usino le LORO strategie:
 Alcuni useranno tabelle, alcuni grafici, alcuni useranno parole, alcuni si
lanceranno a fare calcoli: entreranno in contatto a modo loro con i concetti
di resto (alla cassa della pizzeria i decimali non servono a niente…), di
decimali (per calcolare il totale di euro che raccolgono, le frazioni non
servono a niente…), di frazione (perché se non usano le frazioni per
dividere la pizza che avanza sono costretti a buttarla via o a litigare!)
I problemi sono strumenti per insegnare il contenuto matematico. L’insegnante
pone il problema all’inizio dell’Unità didattica, e il problema la attraversa tutta. La
maggior parte dei concetti e dei metodi matematici può essere insegnata a partire da
problemi

 Sollecitarli e osservarli e interagire MENTRE lavorano
 Lasciarli provare, lasciarli sbagliare, lasciarli discutere
 Discutere le diverse strategie, confrontarle, trovare pro e contro
 Infine FORMALIZZARE e SIMBOLIZZARE, fare ESERCIZI
I problemi sono strumenti per insegnare il contenuto matematico. L’insegnante
pone il problema all’inizio dell’Unità didattica, e il problema la attraversa tutta. La
maggior parte dei concetti e dei metodi matematici può essere insegnata a partire da
problemi

Insegnare Problem Solving?
 NON SI INSEGNA PROBLEM SOLVING
 Si insegna conoscenza DICHIARATIVA (cosa, dove, quando,
perché)
 Si insegna conoscenza PROCEDURALE (come)
 Ma…
chi ha detto che deve essere TRASMESSA la
conoscenza dichiarativa PRIMA, quella procedurale
DOPO, poi viene il momento della VERIFICA?
Ci aspettiamo che questo produca
apprendimento?

 Le conoscenze dichiarative e procedurali si fissano se vengono
RICHIESTE per risolvere un PROBLEMA, se vengono percepite
come NECESSARIE, se vengono COSTRUITE direttamente
nell’ambito di attività di PS
 Le abilità di PS non possono essere SUPERIORI alla
conoscenza dichiarativa MA la conoscenza dichiarativa deve
essere insegnata “costringendo” lo studente a organizzarla in
funzione della soluzione di problemi
 La generalizzazione, l’astrazione e il rigore del formalismo
matematico sono punti di ARRIVO, non di PARTENZA
 Se si discute di matematica, il rigore nell’uso dei termini
matematici emerge come una NECESSITÀ, serve a capirsi
 Lo studente deve “sentire” che sta imparando a usare concetti e
metodi ALLO SCOPO di poter affrontare problemi, e non che
sta “facendo i problemi” per imparare i metodi!

 Didattica trasmissiva: semplicemente, da sola non basta più. E’
cambiato tutto, i ragazzi, il modo di accedere al mondo, la
disponibilità di informazioni, di strumenti di comunicazione e di
calcolo, non possiamo pensare di insegnare “come abbiamo
sempre fatto”. Il fattore di progresso non è la LIM o il tablet, è
l’insegnante.
 Serve «trasmettere», ma non SOLO e non necessariamente
PRIMA:
 Si perdono i ragazzi che non sono inclini all’approccio
teorico-deduttivo
 Si perde la connessione con il significato dei simboli
 Si perdono le relazioni quantitative
 Alla fine si convincono che QUESTA è la matematica…

 L’insegnante incoraggia gli studenti a ragionare a modo loro per
risolvere un problema…
 …a fare congetture…
 …a giustificare soluzioni…
 …stimare, valutare, classificare, ipotizzare, trovare relazioni,
esprimere giudizi…
 …a vedere il problema da prospettive differenti, confrontandosi
con gli altri…
 …a collegare la matematica col mondo…
 …ad argomentare per far valere le proprie idee…
 …a riflettere sulla propria strategia (metacognizione), ed
eventualmente a modificarla..

L’insegnante crea un ambiente favorevole all’apprendimento:
Un ambiente in cui è consentito sbagliare
 Molto spesso gli errori ci parlano di concetti che non si sono
«fissati»,…
 …perché non se ne è discusso, ma si è solo ascoltato (forse!)
 …perché si è imparato a memoria,
 …perché non si è fatta una domanda in più, per timore di dire una
sciocchezza,
 …perché tanto «sono negato per la matematica»
 …..
IMPARARE DAGLI INFORMATICI!

«In un esercizio, l’errore è semplicemente l’indicatore di un fallimento, la
prova di aver fatto qualcosa che non andava.
Affrontando un problema più complesso, invece, si prova una situazione
nuova, senza una procedura da seguire. Così l’errore è messo nel conto,
e se da un lato è percepito come inevitabile, dall’altro si pensa già a
come superarlo. Questo assegna responsabilità ai ragazzi e li aiuta a
crescere.»
Rosetta Zan
IMPARARE DAGLI INFORMATICI!

• “la divisione rende i numeri più piccoli”
• “più cifre ha un numero, più è grande”
• “se un poligono ha un’area maggiore di un altro, anche il
perimetro è maggiore”
• “eguale equivale a “fa””
• “elevare a potenza rende il numero più grande”
• “una funzione crescente tende a infinito”
• “una funzione decrescente tende a 0”
• “il limite è uguale al valore della funzione nel punto”
• “l’integrale definito corrisponde a un’area e quindi è positivo”

Situazione problematica
Esplorare, sviluppare,
applicare un concetto
(matematico, fisico,
economico)  teaching
THROUGH PS
Competenze DISCIPLINARI
Sviluppare processi e
strategie di PS  teaching
ABOUT PS
Competenze TRASVERSALI

 Domande-guida per l’insegnante che sceglie il problema da proporre:
 Il contesto del problema è significativo per QUESTI studenti?
 Quali sono le domande più significative che posso adoperare per
stimolare riflessione e discussione?
 Su cosa voglio che discutano, sui concetti, sui metodi o sui
processi?
 Quali sono le idee sbagliate che possono essere corrette dal
problema?
 Quali passaggi possono essere diventare «blocchi»?
 Come valuto l’apprendimento? Cosa osservo?

 È fondamentale osservare gli studenti MENTRE lavorano al
problema, usando ENTRAMBE le lenti:
 THROUGH:
 «Secondo te, che caratteristiche ha questa figura / funzione /
espressione…»
 «Questa figura / funzione / espressione è uguale a / diversa
da…»
 ABOUT:
 «Perché hai scelto di…»
 «C’è un altro modo?»
 «Cosa succede se…?»

 L’approccio dell’insegnante NON E’ PIU’ «GUARDATE COME
FACCIO IO»
 L’insegnante pone il problema in modo «sfidante», non dice agli studenti
COSA DEVONO fare, perché dalla presentazione del problema agli
studenti è chiarissimo COSA E’ NECESSARIO fare (ordinare le pizze…)
 Gli studenti usano diverse rappresentazioni (da CONFRONTARE!) per
capire come descrivere e risolvere il problema, faranno errori diversi
 Può capitare che l’insegnante non abbia sempre pronta la risposta e la
soluzione: VA BENE. E’ educativo vedere che anche l’insegnante
LOTTA con il problema, e vedere COME lotta. Pensare a voce alta!
 Il docente NON E’ PIU’ la fonte da cui viene “riversato” il sapere, ma la
guida nella costruzione del sapere

 TRASFERIBILITA’:
 Gli studenti che imparano ascoltando l’esposizione della «dottrina»
sanno usare quello che imparano SOLO in quel contesto in cui è
stato mostrato, o in un contesto analogo
 Meno il “mondo reale” è contesto di apprendimento, più grande
è il salto che si richiede agli studenti, meno è probabile che essi
riescano a farlo

Il docente nel Problem Solving
 PROPONE PROBLEMI
 SUPPORTA GLI STUDENTI NEL LAVORO SUL PROBLEMA
 INCORAGGIA/ACCETTA/DISCUTE LE STRATEGIE DEGLI
STUDENTI
 STIMOLA CON DOMANDE/PROMPTS
 RAGIONA AD ALTA VOCE
 OSSERVA E VALUTA IL PROCESSO, NON SOLO IL RISULTATO
 GESTISCE I BLOCCHI

 PROPORRE PROBLEMI:
 Non banali
 Legati a concetti/metodi/strumenti importanti
 Contesto significativo
 Che abbiano più soluzioni
 Che si prestino a strategie diverse
 Che richiedano di prendere decisioni
 Che richiedano di fare ipotesi / congetture / semplificazioni (fisica,
scienze, economia)
 Con tempo a disposizione ragionevole

 Incrementando progressivamente il livello (da ben strutturato a poco
strutturato)
 Il processo è importante ALMENO quanto la soluzione
 Stimolare la riflessione critica sulla SOLUZIONE: E’ RAGIONEVOLE?
 Presentarli in forme diverse (testuale, tabellare, grafica, etc.)
 Incoraggiare LA COLLABORAZIONE e VALUTARLA
 Collegare ad altri problemi: «dove l’abbiamo già visto?»
 Invitare esterni che parlino della matematica nel loro lavoro

INVECE DI CHIEDERE… CHIEDIAMO…
12 x 8 =…. Il risultato è 96. Quali potrebbero
essere i fattori?
Quanti lati ha un triangolo? Ordina queste figure (poligoni).
Spiegami la regola che hai seguito
Qual è l’area del tuo banco? Descrivi 5 oggetti che hanno una
superficie di area 1m2 circa
Guarda questi grafici. Quanti ragazzi
hanno un animale domestico? Quanti
hanno fratelli e sorelle?
(dopo aver tolto i titoli dai grafici) Qual
è il grafico degli animali domestici e
quale quello dei fratelli e sorelle?
Perché pensi questo?

 Quando si lavora su conoscenza dichiarativa (knowledge), adoperando
problemi ben strutturati, è meglio usare la didattica deduttiva, partire da
una lezione frontale.
 Per incoraggiare la costruzione di modelli mentali, ci si sposta su
problemi poco strutturati, dove funziona meglio l’approccio induttivo.
 E’ il lavoro su problemi non ben strutturati che fa crescere le
competenze, non quello «a cui i ragazzi sono abituati»…la competenza
non si acquisisce con l’addestramento!

 Domande guida problemi non ben strutturati:
 «Quali altri dati ci vorrebbero?»
 «Quali dati sono inutili?»
 «A quali domande si può rispondere con questi dati?»
 «Quali ipotesi possiamo fare?»
 Il lavoro sui problemi non ben strutturati necessariamente implica
un’attività di «Teaching ABOUT PS»
 GRADUALITA’:
 Partire da problemi ben strutturati, ma non fermarsi lì: sono quelli che
hanno minore trasferibilità
 Il FOGLIO ELETTRONICO E’ UNO STRUMENTO
CONSIGLIATISSIMO PER SVILUPPARE LA CAPACITA’ DI
COSTRUIRE MODELLI MENTALID.T. Massimo Esposito - D.G. per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione

Completa in modo da
ottenere un quadrato
magico di somma 21
7
4 5
IL QUASI QUADRATO MAGICO (Fonte: M@t.abel)
Dai numeri ai simboli

4 3 8
9 5 1
2 7 6
«Si tratta di un quadrato che contiene numeri interi progressivi, uno in ogni casella, tale che la somma dei
numeri delle due diagonali e dei numeri di tutte le linee orizzontali o verticali (la ‘costante’ del quadrato’)
sia uguale.»
QUADRATO MAGICO:
QUADRATO 3x3
COSTANTE: 15
NON «definiamo», non «enunciamo»:
descriviamo un oggetto usando numeri, non
simboli. Se a questo punto usiamo già i
simboli, non se ne capisce la ragione!

Completa in modo da ottenere
un quadrato magico di
somma 6 (è necessario
introdurre i numeri negativi!)2
1 5
IL QUASI QUADRATO MAGICO
Dai numeri ai simboli PROPORRE PROBLEMI:

Completa in modo da ottenere
un quadrato magico di
somma 8
4
2 2
IL QUASI QUADRATO MAGICO

Domanda: perché gli altri quadrati magici erano possibili e questo no?
Ad un certo punto, uno studente (o l’insegnante? In quale momento?) suggerisce di utilizzare
l’algebra
LA COSTRUZIONE DELL’ULTIMO QUASI QUADRATO MAGICO E’ IMPOSSIBILE
 Gli studenti iniziano a fare congetture sulle ragioni che rendono impossibile la
costruzione del quadrato.
 Inizialmente, gli studenti individuano una causa dell’impossibilità nel fatto che la
somma richiesta (8) è esattamente quel che si ottiene sommando i tre numeri dati.
 Si producono altre congetture, esempi e controesempi…

 Normalmente «addestriamo» i nostri studenti a compiere manipolazioni
algebriche…
 …ma essi non colgono l’utilità dei simboli come mezzo per studiare la
struttura di un problema, non hanno sviluppato il symbol sense in modo
completo
 Sono evidenze di symbol sense il ricorso ai simboli nei casi appropriati ed
anche il riconoscimento del significato di una soluzione simbolica
 Inoltre, fa parte del symbol sense la capacità di apprezzare il potere dei
simboli
 Mettiamo in evidenza come l’astratto dei simboli corrisponda a un
«multiconcreto» (B. De Finetti)

b
a c
Somma= SS-a-b
Alcuni studenti scelgono di esprimere il contenuto della cella con una nuova variabile, d.
S-b-c
b+c-a b+a-c
L’espressione della somma per la riga centrale è 3b, quindi non contiene S.
Gli studenti hanno difficoltà a realizzare che la condizione 3b=S esprime la condizione
richiesta (e dunque che scegliendo S=8 il quadrato è impossibile)
LA RISOLUZIONE PER VIA ALGEBRICA
 Il docente nel Problem Solving

4 3 8
9 5 1
2 7 6
«Abbiamo verificato che in un quadrato magico di 9 caselle, se x è il numero contenuto nella casella
centrale, la costante del quadrato è uguale a 3x»
QUADRATO MAGICO:
QUADRATO 3x3
SOMMA: 15
A questo punto l’uso dei simboli non sembra
«cadere dal cielo»…
POSSIBILE APERTURA PER IL SECONDO
BIENNIO:
determinare la costante di un quadrato
magico di ordine n

Si consideri un rettangolo qualunque. Cosa succede alla sua area, se una delle sue
dimensioni è diminuita del 10% e l’altra è aumentata del 10%?
b
a
L’AREA DEL RETTANGOLO
MISCONCETTI:
Alcuni studenti rispondono subito che non c’è variazione dell’area, per un ragionamento
basato sull’idea di “compensazione” tra aumento e diminuzione.
Altri studenti rispondono che la variazione dipende da quale delle due dimensioni è
aumentata e quale è diminuita.

L’area diminuisce dell’1%.
Perché?
Il ricorso ai simboli fa davvero comprendere le ragioni per cui l’area
diminuisce dell’1%, in un modo altrimenti inaccessibile!
𝑥 −
1
10
𝑥 ∙ 𝑥 +
1
10
𝑥 = 𝑥2 −
1
100
𝑥2
𝑥 −
𝑝
10
𝑥 ∙ 𝑥 +
𝑝
10
𝑥 = 𝑥2 −
𝑝2
100
𝑥2

Per quali valori di a la coppia di equazioni
𝑥2 − 𝑦2 = 0
(𝑥 − 𝑎)2+𝑦2 = 1
ha 0, 1, 2, 3, 4 soluzioni?
Fonte: Schoenfeld - Problem Solving
Usare rappresentazioni
diverse

La forma algebrica dell’enunciato invita ad utilizzare l’algebra per risolvere il problema.
Molti studenti si lanciano nella manipolazione simbolica (symbol pushing) senza riflettere
preventivamente sul fatto che la manipolazione può essere laboriosa e può indurre in
errore.
Occorre un atteggiamento (componente essenziale della competenza!) che porti ad
evitare la cieca manipolazione, ad acquisire il senso dell’efficienza della soluzione…
(“così è troppo complicato, proviamo a usare un altro metodo!”), con la consapevolezza
che di solito ci sono più possibili strategie risolutive.
diverse

Il problema proposto può essere affrontato adoperando la rappresentazione
geometrica:
𝑥2
− 𝑦2
= 0 rappresenta le bisettrici del I e III e del II e IV quadrante
(𝑥 − 𝑎)2
+𝑦2
= 1 rappresenta il fascio di cerchi di raggio 1 e centro
sull’asse delle ascisse
diverse

|x-2|>|x-6|
La risoluzione della disequazione per via algebrica è altamente tecnica ed è molto probabile
commettere errori.
Anziché eseguire cieche manipolazioni (symbol pushing), è meglio ricondursi al significato:
|x-2| è la distanza di un generico numero da 2, quindi il problema chiede di trovare quei
numeri la cui distanza da 2 è maggiore della distanza da 6. (INTERPRETAZIONE
GEOMETRICA)
Il problema si può dunque risolvere ragionando sulla retta dei numeri o sul piano cartesiano.
diverse

3𝑥 + 5 = 4𝑥
Anche un esempio così banale di equazione può essere utile per riflettere sul
significato dei simboli, anziché dedicarsi alla meccanica del «trasporta a destra» e
«trasporta a sinistra» a cui la soluzione di un’equazione molto spesso si
riduce…con i probabili errori nei segni!
Per ottenere 4𝑥 da 3𝑥 occorre aggiungere 𝑥, quindi l’addendo di 3𝑥, 5, deve
essere il valore di 𝑥.
Leggere invece di manipolare…
Dal punto di vista matematico il suo approccio non differisce da quello standard,
ma dal punto di vista psicologico c’è una differenza importante: sviluppiamo
symbol sense.
diverse

Leggere invece di manipolare…
Il numeratore è sempre metà del denominatore, per cui l’equazione non può avere soluzioni.
A questo punto proponiamo: “OK, ma se io la risolvessi lo stesso?”. In che modo l’algebra esprime
l’assenza di soluzioni?. Gli studenti manipolano e trovano x=-3/2…
Discussione della soluzione trovata!
2
64
32



x
x
diverse

Un grissino di lunghezza b viene spezzato in tre punti a caso. Qual è la
probabilità che i tre pezzi formino un triangolo?
Fonte: UMI – Matematica 2003

GRISSINI E TRIANGOLI
(Matematica 2003-argomentare, congetturare, dimostrare)
Primo passo: come devono essere x e y perché la divisione in tre pezzi sia
possibile (Casi possibili)?
Secondo passo: come si fa a sapere se i tre pezzi formano un triangolo (Casi
favorevoli)?
Terzo passo: come si calcola la probabilità?
Idea di probabilità:
possibiliCasi
favorevoliCasi
P 

Primo passo: come devono essere x e y perché la divisione in tre pezzi sia
possibile (Casi possibili)?
È il più intuitivo…il punto di arrivo è: ogni pezzo deve avere lunghezza >0
favorevoli)?








byx0y-x-b
0y
0x

favorevoli)?
L’ostacolo concettuale è l’idea che nessuno dei tre pezzi può essere maggiore
della metà del grissino… disuguaglianza triangolare












2
b
yx
b
yxb
b
y
b
x
2
2
2

Giunti a questo punto, si è ancora lontanissimi dall’essere in grado di
compiere il
possibiliCasi
favorevoliCasi
P 
Chi è arrivato a questo punto descrivendo “a parole” il primo e il secondo
passo è bloccato. Chi ha simbolizzato, ha a disposizione altri strumenti per
risolvere il problema…è questo il valore

possibiliCasi
favorevoliCasi
P 
Se fosse in gioco 1 variabile, proveremmo una rappresentazione sulla retta.
Poiché le variabili in gioco sono 2, proviamo a rappresentare la situazione su
un piano

Casi possibili:
Esempio con b=6








byx0y-x-b
0y
0x

Casi favorevoli:
Esempio con b=6












2
b
yx
b
yxb
b
y
b
x
2
2
2

La probabilità cercata è data dal rapporto tra l’area del
triangolo rettangolo blu che ha i cateti di lunghezza b e
l’area del triangolo rettangolo arancione che ha i cateti di
lunghezza b/2
La risposta si VEDE…p=1/4
Non era assolutamente prevedibile, non è
banale da calcolare per via algebrica, è
praticamente impossibile arrivarci senza una
rappresentazione simbolica

ESTENSIONE SECONDO BIENNIO:
probabilità che i tre pezzi formino un triangolo equilatero?
Casi favorevoli: 1 solo, quello con
Esempio con b=6
3
b
yx 
…che corrisponde a un punto del
piano, che ha area 0, allora la
probabilità è 0!
Ma questo non vuol dire che non
si possa verificare…

Il problema dell’incontro
Anna E Bruno si danno appuntamento in Piazza Castello tra le 16 e le 17.
Concordano che il primo che arriva aspetta 10 minuti e poi va via. Qual è la probabilità
che Anna e Bruno si incontrino?

 «Un signore va a lavorare in bicicletta. Di solito percorre i 3 km di distanza alla
velocità media di 15 km/h, ma oggi dopo 1 km ha bucato una ruota, e dovendo
proseguire a piedi e portare con sé la bicicletta ha impiegato 20 minuti più del
solito. Giunto al lavoro, ha fatto riparare la bicicletta e al termine della giornata è
tornato normalmente a casa in bicicletta.
 Quanti km ha percorso in bici in più rispetto a quelli percorsi a piedi?
 Per rispondere alla precedente domanda, quali dati sono inutili?
 Con i dati disponibili, è possibile rispondere alle seguenti domande?
 Quanto tempo impiega normalmente a fare la strada in bicicletta?
 Per quanto tempo ha dovuto spingere la bicicletta?
 A quale velocità media ha camminato?
 Quanto tempo è durata la riparazione?»
Credits: “The Art of Problem Solving: A Resource
for the Mathematics Teacher”.
Posamentier, Schulz, 1996

 Si può affrontare a partire dalle equazioni del moto…
𝑠 𝑡 = 𝑣 ∙ 𝑡 + 𝑠0
 Si può affrontare costruendo una tabella…
 Si può affrontare per via grafica…
In bicicletta 1 km 15 km/h
? + 20 min
A piedi 2 km ?
In bicicletta 3 km 15 km/h ?

 «Antonio e Bruno corrono a partire dai due estremi A e B di una pista rettilinea.
Corrono a velocità costanti e si incrociano a 800 m dall’estremità più vicina. Poi
continuano a correre, arrivati alla fine della pista tornano indietro, e si incrociano di
nuovo a 400 m dall’altra estremità. Quanto è lunga la pista ?»
 Problema moderatamente strutturato: non viene specificato se le velocità sono
uguali o diverse: è necessario fare ipotesi aggiuntive
 Si può affrontare a partire dalle equazioni del moto, per via matematica
 In questo caso:
 Nell’ipotesi «velocità uguali», non esiste soluzione
 Nell’ipotesi «velocità diverse», ci sono 2 equazioni e 3 incognite…ma si
può risolvere con una TECNICA (che verrà percepita come
NECESSARIA!)

 Si può affrontare a partire dal una rappresentazione grafica:
 In questo caso:
 Nell’ipotesi «velocità uguali», è immediatamente evidente che non esiste
soluzione
 Nell’ipotesi «velocità diverse»…che distanza (quante PISTE) hanno
percorso in TOTALE Antonio e Bruno quando si incontrano in M1? E
quando si incontrano in M2? Quindi…

 «Un dentista ha 6 pazienti in anticamera, A, B, C, D, E e F. Conoscendo le loro
necessità, sa che gli serviranno 15 minuti per trattare il paziente A, 30 minuti per B,
10 minuti per C e D, 20 minuti per E e 5 minuti per F. Il dentista vuole che il tempo
totale di attesa dei pazienti sia il minimo possibile. In che ordine dovrebbe
riceverli?»
 In presenza di problemi basati su liste, ci sarà sicuramente chi prova a procedere
per tentativi o provando tutte le combinazioni. In questo caso, è una buona
strategia? (teaching ABOUT PS). Diventa NECESSARIO il calcolo combinatorio…
 Si può affrontare a partire dalla successione dei tempi e sommando…
 Non è banale distinguere il tempo TOTALE di attesa dei pazienti (che cambia a
seconda dell’ordine) e il tempo TOTALE di lavoro del dentista (che invece non
cambia): bisogna costruire un modello mentale
Credits: “The Art of Problem Solving: A Resource for the
Mathematics Teacher”. Posamentier, Schulz, 1996

 « E’ possibile tracciare una retta che non incontra NESSUN punto avente coordinate
intere? E’ possibile tracciare una retta che incontra UN SOLO punto avente
coordinate intere?»

 In presenza di problemi che si prestano a una rappresentazione geometrica, ci sarà
sicuramente chi prova la risoluzione per via grafica. In questo caso, è una buona
strategia? (teaching ABOUT PS). Diventa NECESSARIO ragionare in astratto, con
gli STRUMENTI della geometria analitica
 Si può affrontare a partire dal CONCETTO di pendenza…
 …e si incontra il CONCETTO di numero irrazionale!
 Molto interessante l’estensione del problema rappresentata dalla seconda
domanda, che riporta al CONCETTO di frazioni equivalenti

 L’azienda ABC ipotizza che la sua funzione di domanda sia:
Dove:
Q = Domanda
P = Prezzo del prodotto di ABC
A = Spese pubblicitarie
R = Reddito disponibile pro capite
P* = Prezzo del prodotto di un’altra azienda, XYZ
 A ogni gruppo viene fornito un set diverso di coefficienti C1…C4

 What if…
 il reddito disponibile R aumenta/diminuisce di €…?
 di quanto l’azienda ABC deve variare il prezzo per compensare la variazione di
reddito?
 se un’unità di prodotto costa 10€ e il prezzo di vendita è 15€, un aumento di
10.000€ delle spese pubblicitarie che effetto avrà sul profitto?
 che rapporto c’è tra i prodotti delle aziende ABC e XYZ?
 …
 Ogni gruppo lavora su un’azienda diversa, in una situazione di mercato diversa, poi
si confrontano le strategie e i risultati
 Si può affrontare per via analitica, tabellare, grafica
 EMERGONO i concetti di effetto marginale, elasticità, unità di misura

 Un soldato scrive una lettera a casa da una trincea della Prima Guerra Mondiale
 Contestualizzazione storica
 Contestualizzazione geografica
 Registro linguistico
 Empatia
 …

 Il lievito è vivo?
 Riconoscimento delle caratteristiche peculiari di un essere vivente
 Ricerca di segnali chimici, morfologici, fisiologici
 Flussi di materia: produzione di CO2, di alcol etilico
 Flussi di energia
 Osservazione al microscopio
 Prove con terreni di coltura diversi
 …
Credits: “Problem Solving per l'Orientamento Formativo disciplinare”
Ufficio Scolastico Regionale Friuli Venezia-Giulia

 “Il finanziamento della spesa pubblica per mezzo dell’accrescimento della quantità
di moneta ha qualcosa di magico: come fare qualcosa con niente. Per fare un
esempio, immaginiamo che la pubblica amministrazione costruisca una strada,
pagando le spese con l’emissione di banconote. Nessuno ha pagato imposte
maggiori. Eppure adesso c’è una strada che prima non c’era. Chi ha pagato?”
(Milton & Rose Friedman)
 La moneta
 Domanda e offerta di moneta
 La spesa pubblica
 Inflazione e deflazione
 …

 “Il forno a microonde è costruito in modo da non far propagare le microonde
nell’ambiente, per non nuocere alla salute di chi lo usa; infatti, ad esempio, si
spegne automaticamente quando si apre lo sportello. Come mai le microonde non
escono attraverso la grata frontale?”
 Frequenza e lunghezza d’onda
 Propagazione
 Diffrazione
 …

 “In un recipiente abbiamo 50 mL di Nitrato di potassio, in un altro 50 mL di cloruro di
sodio. Sulla base del grafico, progettare un esperimento per distinguerli”
 Solubilità
 Temperatura
 Peso e Volume
 Lettura e comprensione di un
grafico
 Proporzionalità

 “È vero che una persona è più alta da sdraiata che in piedi? Come faresti le
operazioni di misura necessarie per verificarlo?”
 Errore di misura
 Media
 Variabilità
 Risoluzione
 Cifre significative
Credits: Progetto LS-OSA
http://ls-osa.uniroma3.it

Dal contesto alla matematica…
Dalla matematica al contesto…

 SUPPORTARE GLI STUDENTI NEL LAVORO SUL PROBLEMA:
 Non dominare l’esperienza di apprendimento:
 Impostare un ragionamento…
 …stabilire connessioni…
 …acquisire padronanza dei concetti e dei metodi…
 …SONO CONQUISTE DELL’ALUNNO, il docente crea la situazione di
apprendimento e supporta nel processo
 Pressione forte degli alunni per “avere la soluzione”: criticità che coinvolge 
autostima, perseveranza, creatività
 Il docente:
 FA DOMANDE, NON DA’ RISPOSTE:
“from a teacher who answers the questions, to a teacher who questions the answers”

 Il docente:
 Stimola, provoca, discute
 Si fa spiegare dagli alunni le strategie e le idee
 Stabilisce una cultura d’aula secondo la quale:
 BISOGNA fare domande
 SI POSSONO fare errori
 TUTTI devono contribuire
 E’ NORMALE “bloccarsi”
 SI PUO’ discutere con i compagni
 SI DEVE condividere la discussione con il docente
 Vengono VALUTATE anche la pro-attività, la capacità di collaborare, di
prendere rischi, la perseveranza, la curiosità

 Criticità:
 Abitudine alla passività: “perché non facciamo lezione come al solito?”
 Spiegare BENE il funzionamento della “lezione”
 Dare istruzioni SCRITTE e CHIARE
 Trasparenza: COSA, QUANDO, COME viene valutato
 Padronanza: ci si può mostrare incerti nella soluzione di un problema, fa
parte del lavoro di problem solving; NON CI SI PUO’ mostrare incerti nella
CONDUZIONE dell’aula, bisogna vincere negli studenti la paura della
novità
 Sottolineare l’importanza delle capacità di ASCOLTO e di ARGOMENTAZIONE,
che vanno VALUTATE

 Idee guida per il docente: CHI PARLA?
 L’insegnante dovrebbe parlare al massimo per il 30% del tempo, bisogna dare
agli alunni il tempo di discutere, bloccarsi, sbagliare, capire cosa non funziona
 Dare 5 minuti per esplorare il problema e immaginare come partire, poi
discutere brevemente con la classe, poi inizia il lavoro, singolo o in piccoli
gruppi (formati PRIMA di proporre il problema)
 Quando uno studente interviene, LASCIARE CHE GLI ALTRI commentino,
chiariscano, domandino PRIMA DI RISPONDERE
 PIUTTOSTO CHE PARLARE, MEGLIO CHIEDERE a uno studente di spiegare
alla classe COSA PENSA di quello che un altro ha detto, ASCOLTARE quello
che gli altri hanno da dire, commenti e domande

 Idee guida per il docente: COME PORRE DOMANDE?
 Le domande vanno PROGETTATE insieme alla lezione:
 di difficoltà progressiva
 aperte
 non retoriche
 non “indovina cosa penso?”
 non rivolte a pochi alunni

 Idee guida per il docente: ASCOLTIAMO LE RISPOSTE
 Rispondono in pochi? Sempre gli stessi?
 Evidenziare i termini tecnici usati bene e quelli usati male
 Individuare termini e modi di dire ricorrenti e chiedere di spiegarli
 NON completare
 NON correggere immediatamente
 NON aiutare
 RIPETERE le loro stesse parole: “stai dicendo che…?”
 NON FARE IPOTESI su quello che stanno cercando di dire
 CAPIRE quello che DAVVERO vogliono dire
 Il SUPPORTO allo studente si dà CHIEDENDOGLI di ripetere, spiegare,
dire DIVERSAMENTE
NON SI DEVE
GIOCARE A
“cosa il prof
vuole che io
risponda?”

 Idee guida per il docente: COSA FARE CON LE RISPOSTE ?
 Innanzitutto, STARE ZITTO: se lo studente vuole aggiungere altro, deve poterlo
fare
 accettare OGNI risposta con un “grazie”, meglio se seguito da una «follow-up
question»:
 Sei sicuro?
 Convincimi!
 Come sei arrivato a questo?
 Io avrei scelto quest’altro … abbiamo entrambi ragione?
 E cosa succederebbe se …

 Idee guida per il docente: COME USARE L’AULA ?
 L’organizzazione dello spazio-classe già dichiara che tipo di didattica si pensa
di fare
 La qualità della discussione dipende molto dall’organizzazione fisica del layout:
non si può fare una buona discussione guardando le schiene dei compagni
 Usare la lavagna/LIM per:
 Stimolare i ragionamenti
 Sintetizzare la discussione
 Rendere visibili i pensieri, anche quelli sbagliati
 …NON PER MOSTRARE QUELLO CHE IL DOCENTE SA

 Idee guida per LO STUDENTE:
 Non avere fretta: non conta finire presto
 Non essere passivo: se in gruppo, contribuisci al lavoro: la valutazione del
gruppo influisce su quella individuale e viceversa
 In gruppo, parlare uno alla volta
 Ascolta e chiedi spiegazioni fin quando non pensi di aver capito
 Assicurati che gli altri ascoltino quando parli
 Se non sei d’accordo con quello che un altro ha detto, chiedigli di fare un
esempio, quindi esponi il tuo punto di vista o il tuo esempio
 Rispetta le opinioni e le idee degli altri
 Non aver paura di sbagliare (come gli informatici…)

 INCORAGGIARE/ACCETTARE LE STRATEGIE DEGLI STUDENTI:
 Far parlare gli studenti, ascoltare le loro idee e le loro soluzioni, valorizzarli come
«apprenditori», non secchi da riempire
 Ascoltando le idee e le strategie dei PARI imparano ad ARGOMENTARE e
RIFLETTONO SULLE LORO, perché le considerano COMPARABILI, non è
«dottrina»
 CAPIRE richiede attività, adattamento, persistenza: si devono confrontare, con il
supporto del docente, con un compito che NON sanno risolvere subito perché non è
meccanico e ripetitivo
 Valorizzare gli errori
 Mostrare il valore delle idee diverse
 Percorsi e soluzioni multiple: far loro spiegare cosa, come, perché hanno fatto

 INCORAGGIARE/ACCETTARE LE STRATEGIE DEGLI STUDENTI:
 Discutere efficacia ed eleganza delle soluzioni
 Far discutere agli alunni il significato del testo del problema
 Aiutare gli alunni con domande di stimolo o di indirizzo, SENZA ABBASSARE IL
LIVELLO DELLA RICHIESTA
 Dare tempo per la presentazione dei lavori e dei risultati
 Dare risalto alla diversità delle strategie e degli strumenti
 Aiutare gli studenti a essere indipendenti, originali, a prendere rischi, accogliendo
positivamente tutti i contributi
 Gestire i «blocchi», associando, anche momentaneamente, gli alunni in difficoltà
con altri più a loro agio con il problema in esame (non necessariamente i più
«bravi»)

 STIMOLARE CON DOMANDE/PROMPTS:
 E’ uno strumento fondamentale, da usare con attenzione, il cui uso va calibrato:
 far “dire” allo studente cosa sta facendo; è importante lo sforzo di trovare le
parole per descrivere la strategia e le idee
 aiutare lo studente a fare collegamenti, previsioni, a riflettere su quello che sta
facendo
 lo scopo NON E’ tentare la risposta giusta (evitare domande sì/no)
 la risposta è rivolta alla classe, non al docente
 non dire che una domanda è «facile» o «difficile»
 controllare il linguaggio del corpo
 concedere tempo

 Possiamo classificarle per STADIO della lezione, LIVELLO di ragionamento
matematico, COMPETENZE stimolate; è interessante una riflessione sull’intensità
con cui le si usa (molto / occasionalmente / mai), su quali si potrebbero usare di più
/ di meno, su quali si potrebbero aggiungere / eliminare.
 STADIO della lezione:
 Iniziale
 Cosa abbiamo già fatto che era simile a questo?
 Come potremmo mettere in ordine/organizzare…?
 In quante maniere possiamo…?
 Cosa succede quando…?
 Come possiamo usare…?
 Quanti … diversi possiamo trovare?

 All’inizio del lavoro sul problema
 Cosa è uguale / differente?
 Possiamo raggruppare…in qualche modo?
 Riusciamo a vedere uno schema?
 Come può lo schema aiutarci a trovare una risposta?
 Cosa verrà dopo? Perché?
 Proviamo a scrivere / disegnare quello che abbiamo capito?
 Cosa accade se facciamo…?
 Quando si è fatta un po’ di strada nel lavoro sul problema
 Cosa hai scoperto?
 Come hai trovato questo?

 Perché pensi questo?
 Perché hai deciso di procedere così?
 Discussione finale
 Chi ha dato questa stessa risposta/spiegazione/schema?
 Chi ha una soluzione diversa?
 Avete tutti la stessa soluzione?
 Perché/perché no?
 Abbiamo trovato tutte le possibilità?
 Come facciamo a sapere che…?
 Qualcuno ha pensato a un modo diverso in cui si potrebbe…?
 Pensate che abbiamo trovato la migliore possibile soluzione?

 LIVELLO DI RAGIONAMENTO:
 Mnemonico (richiama)
 Cosa abbiamo già imparato che potrebbe aiutarci a risolvere questo
problema?
 Traslativo (cambia forma all’informazione)
 Proviamo a scrivere/disegnare quello che abbiamo capito?
 C’è una maniera di scrivere quello che abbiamo fatto che ci fa vedere uno
schema?
 Interpretativo (scopre relazioni)
 Cosa è uguale?
 Cosa è differente?
 Possiamo raggruppare…in qualche modo?
 Riusciamo a vedere uno schema?

 Applicativo (risolve, usa generalizzazioni)
 Come può lo schema aiutarci a trovare una risposta?
 Cosa verrà dopo? Perché?
 Analitico (risolve, manifesta consapevolezza)
 Cosa hai scoperto?
 Come hai trovato questo?
 Sintetico (risolve, usa pensiero creativo)
 Cosa accade se facciamo…?

 Chi ha una soluzione diversa?
 Avete tutti la stessa soluzione?
 Perché/perché no?
 Valutativo (dà un giudizio di valore)
 Abbiamo trovato tutte le possibilità?
 Come facciamo a sapere che…?
 Qualcuno ha pensato a un modo diverso in cui si potrebbe…?
 Pensate che abbiamo trovato la migliore possibile soluzione?

 COMPETENZE MATEMATICHE:
 Esemplificare, individuare
 Descrivi/disegna/dimostra/mostra/scegli uno di…
 Ce n’è un altro?
 A cosa somiglia?
 Dammi un altro esempio di…frazione / equazione / numero / poligono
 E’ … un esempio di … ?
 Perché … è un esempio di … ?
 Puoi trovarne uno che non … ?
 Ce ne sono altri che sono speciali?

 Completare, cancellare, correggere
 Cosa deve essere aggiunto/cancellato/cambiato per
permettere/consentire/contraddire … ?
 Cosa può essere aggiunto/cancellato/cambiato senza influenzare … ?
 Cosa c’è di sbagliato in … ?
 Che cosa dobbiamo cambiare perché succeda che … ?
 Confrontare, ordinare, organizzare
 Cosa c’è di analogo con … ?
 Cosa c’è di diverso da … ?
 Ordina o organizza questi per …
 È o non è?

 Cambiare, invertire
 Cosa succede se cambiamo … ?
 Di quale altra domanda questa è una risposta?
 Ripeti in un altro modo
 Qual è il più veloce/facile?
 Generalizzare, fare congetture
 Di cosa è un esempio questo?
 In generale, cosa succede?
 Puoi dire perché è speciale?
 Cosa è accaduto qui? E qui? Vedi uno schema?

 Questo succede sempre/mai/talvolta?
 Descrivi tutte le possibilità nel modo più breve possibile
 Cosa possiamo cambiare e cosa deve rimanere uguale perché … sia ancora
vero?
 Spiegare, giustificare, verificare, convincere, respingere
 Spiega perché…
 Fornisci un motivo per cui … (usando/non usando … )
 Come possiamo essere sicuri che … ?
 Cosa c’è di sbagliato in … ?
 E’ mai falso che … ? (E’ sempre vero che … ?)
 Come … viene usato in … ?
 Spiega il ruolo/uso di …

 RAGIONARE AD ALTA VOCE (THINKING OUT LOUD):
 Non aver paura di sperimentare, anche di sbagliare talvolta. Far vedere lo SFORZO
per risolvere un problema. INCORAGGIARE a cercare le PROPRIE strategie /
procedure risolutive
 L’insegnante pensa ad alta voce mentre affronta il problema, ad esempio dicendolo a
parole sue, o rappresentandolo in modo visuale o per analogia, si pone delle domande,
tipo: “cosa devo fare come primo passo?”, “cosa mi ricorda questo?”, “se i numeri
fossero più piccoli, sarebbe più facile?”
 Può succedere che si cambi strategia, che si imbocchino vicoli ciechi, va bene: fa parte
del PS, ed è bene che gli studenti vedano il docente “combattere” con il problema, i
cambi di direzione e di strategia fanno parte dell’attività di PS, che non si può
progettare o prevedere completamente, ma bisogna affrontare con persistenza ed
elasticità, e riflessione ad ogni passo
 Gli studenti tendono invece impulsivamente ad adottare la prima strategia che gli viene
in mente. Ragionare ad alta voce serve inoltre per mostrare l’uso appropriato del
linguaggio matematico

 OSSERVARE E VALUTARE IL PROCESSO:
 L’osservazione del lavoro degli studenti coinvolge alcuni aspetti fondamentali:
 Cognitivi
 Ripescare, organizzare, usare concetti, tecniche e procedure che GIA’
conoscono
 Identificare concetti, tecniche e procedure che NON conoscono e che
servirebbero
 Aggiungere alle conoscenze il senso comune e il ragionamento
 Emozionali
 Atteggiamento positivo, fiducia che nel tempo cresce
 Percezione che la matematica fornisce strumenti utili per risolvere il problema
 Perseveranza, sfida

 Assunzione di “rischi”, sapendo che la classe è un ambiente sicuro, in cui
nessuna idea viene ridicolizzata, tutte le strategie meritano di essere discusse
 Consapevolezza dell’importanza degli errori
 Metacognitivi
 Pensare a quello che si sta facendo
 Capacità di riconoscere la ragionevolezza di una soluzione
 Strategie per le situazioni in cui non si sa cosa fare (gestione del “blocco”)
 Monitoraggio del processo di PS

 Flessibilità
 Consapevolezza del fatto che una strategia non è l’unica strategia e che può
essere cambiata in corso d’opera
 Consapevolezza del fatto che di solito ci sono più strade per arrivare a una
soluzione
 Apertura verso le idee degli altri
 Volontà di tentare altre strade
 Consapevolezza del fatto che si può interpretare un problema in modi diversi
IMPORTANTE: USARE UNA RUBRICA DI VALUTAZIONE CONDIVISA

Struttura di una lezione PS
• Preparazione all’apprendimento
Introduzione
• Facilitazione dell’apprendimento
Lavoro sul problema
• Estensione e consolidamento
dell’apprendimento
Riflessione e connessioni

 INTRODUZIONE:
 Il docente:
 Espone brevemente (audio/video, lavagna, LIM) i termini del problema
 Accoglie le domande degli studenti
 Discute e rende chiaro il compito
 Fornisce materiali
 Chiede agli studenti di lavorare da soli o in piccoli gruppi (GIA’ FORMATI)
 Ricorda agli studenti che possono usare QUALSIASI tipo di materiale e/o
rappresentazione preferiscano
 Dà agli studenti un tempo per svolgere una prima parte del lavoro, prima di
discuterne

 INTRODUZIONE:
 Il docente:
 Comunica agli studenti che raccoglierà informazioni per la valutazione
attraverso l’osservazione e il dialogo stimolato (con domande PREPARATE!)
 Chiede agli studenti in difficoltà di descrivere il problema con parole proprie
 Chiede agli studenti di registrare, oltre ai risultati, anche una traccia di quello
che fanno, delle SCELTE OPERATE
 Ribadisce le regole di comportamento e i criteri di valutazione sia nel lavoro
individuale che in quello per piccoli gruppi

 INTRODUZIONE:
 Checklist del docente:
 Materiale per introdurre il problema
 Possibili soluzioni diverse, strategie diverse
 Concetti matematici presenti o collegati
 Domande e prompt da usare
 Elementi da osservare per diagnostica e valutazione (del problema e degli
studenti)
 Come costituire gli eventuali gruppi
 Come distribuire il materiale

 INTRODUZIONE:
 lo studente:
 Partecipa alle discussioni
 Propone strategie
 Discute con il docente e con i compagni
 Realizza connessioni e riflette
 E’ disponibile ad aiutare i compagni in difficoltà

 LAVORO SUL PROBLEMA:
 Il docente:
 Dialoga con gli studenti, fa domande e stimola riflessioni (probing)
 Chiarisce aspetti del problema, indirizza
 Risponde alle domande SENZA COMPIERE PASSI AVANTI NELLA
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA AL POSTO DEGLI STUDENTI
 Incoraggia gli studenti a usare rappresentazioni grafiche, tabellari, etc.
 Incoraggia gli studenti a chiarire le idee o a fare domande ai compagni
 Può interrompere il lavoro per discutere con l’intero gruppo-classe qualora si
presentino questioni rilevanti

 Il docente:
 Dimostra apprezzamento per tutte le strategie
 Personalizza i compiti: introduce estensioni e approfondimenti per chi è più
avanti, dà più frequenti prompt a chi è in difficoltà
 Riconosce tutti i contributi
 Dà agli studenti un preavviso 5-10 minuti prima del passaggio alla fase
successiva

 Difficoltà, convinzioni errate, fraintendimenti che possono essere evidenziati
dal problema
 Indicatori di comprensione
 Strumenti di raccolta di informazioni per la valutazione (appunti, checklist,
materiali restituiti, etc.)
 Eventuali estensioni/approfondimenti consentiti dal problema

 lo studente:
 Rappresenta le sue idee attraverso testo, grafici, simboli, disegni
 Partecipa attivamente se in gruppo, interagisce con i compagni
 Spiega il lavoro che sta facendo al docente e/o ai compagni
 Documenta il suo lavoro e il percorso seguito
 Esplora in prima persona concetti e strategie, prova metodi, ricerca
informazioni (libro di testo, appunti, internet)

 RIFLESSIONE E CONNESSIONI:
 Il docente:
 Condivide e analizza soluzioni e strategie con il gruppo-classe
 Incoraggia gli studenti a spiegare alla classe la strategia, il ragionamento, i
concetti, le procedure
 Enfatizza gli aspetti matematici
 Valuta conoscenze e abilità (concetti, metodi, lessico, argomentazione,
documentazione)
 Incoraggia il confronto tra studenti che hanno adottato strategie diverse
 Evidenzia convinzioni errate e fraintendimenti, chiarisce e sistematizza
 Effettua collegamenti con problemi analoghi, o che si prestano a strategie
analoghe e/o invita gli studenti a crearli e proporli
 Conclude riassumendo i concetti più importanti emersi dall’esperienza

 RIFLESSIONE E CONNESSIONI:
 Criteri per individuare gli studenti che discutono con la classe le
strategie adottate, i concetti matematici, le rappresentazioni adoperate,
i metodi
 Domande e prompt da adoperare durante la discussione
 Problemi analoghi (per concetto, metodo, strategia)
 Eventuali materiali/attività di rinforzo e sistematizzazione

Esempi di attività e materiali
 CLASSIFICAZIONE DI OGGETTI MATEMATICI (proprietà, linguaggio, definizioni):
 Chi è l’intruso?

 CLASSIFICAZIONE DI OGGETTI MATEMATICI:
 Tabelle a doppia entrata

 INTERPRETAZIONE DI RAPPRESENTAZIONI MUILTIPLE (collegamenti, modelli
mentali, proprietà):
 Card matching

 VALUTAZIONE DI PROPOSIZIONI (argomentare, giustificare, esemplificare):
 Decision cards

 VALUTAZIONE DI PROPOSIZIONI:
 Decision cards

Aiuto! Non so come…
 GESTIRE I GRUPPI:
 Non più di 3-4 alunni
 Cambiare la composizione
 Per il funzionamento del gruppo, le dinamiche interpersonali contano più delle
competenze disciplinari
 Il gruppo funziona se si crea un’interdipendenza oggettiva, cioè se il successo del
singolo non può avvenire senza il successo del gruppo e viceversa
 L’ideale è che il compito da svolgere possa prevedere ruoli diversi, materiali diversi
 La valutazione del gruppo deve dipendere da quelle individuali (media) e viceversa
(bonus per i componenti del gruppo con la valutazione di gruppo più alta)
 L’attività individuale deve essere SEMPRE riconoscibile (alla base del CL)

 GESTIRE I GRUPPI:
 Valutare interazione e soft skills (schede e griglie di osservazione)
 Le regole del lavoro in gruppo devono essere molto chiare PER TUTTI
 Dare istruzioni SCRITTE e CHIARE sul compito da svolgere PRIMA di formare i
gruppi
 Fermarsi di tanto in tanto con ciascun gruppo, per osservare SENZA GIUDICARE
il lavoro in corso: devono dire quello che pensano, non quello che pensano che il
docente voglia sentire
 Non si aiuta il gruppo RISOLVENDO il problema
 Se sono prossimi alla fine del lavoro, si può lasciare il gruppo con qualche ulteriore
stimolo (prompt), ad esempio di tipo What..if
 Il lavoro INDIVIDUALE è più consigliato quando si tratta di consolidare skills;
quando bisogna affrontare concetti, strategie, problemi, è più produttivo il lavoro in
piccoli gruppi.

 GESTIRE LA DISCUSSIONE PLENARIA:
 Occorre stabilire chiaramente e in anticipo lo SCOPO della discussione plenaria:
 Presentazione/reporting: I gruppi si alternano, presentando i risultati, le
osservazioni, i concetti, gli errori, il percorso seguito. Il docente può stare in fondo
all’aula e fare da «regista». L’attività va VALUTATA
 Riconoscimento/valorizzazione: Il docente mette in evidenza le idee, i concetti, i
metodi, le strategie più significative, dando valore al lavoro dei gruppi; può
proporre ulteriori domande, esempi, esercizi e problemi
 Generalizzazione/collegamenti: Le idee discusse vengono «immerse» in un
contesto più ampio, paragonate ad altre, il docente estende o complica il problema
appena affrontato

 USARE GLI ERRORI:
 Alcuni errori danno informazioni profonde, sono veri e propri spunti didattici
 Spesso gli errori derivano da interpretazioni di idee matematiche che sono false,
ma hanno una loro consistenza
 Spesso non sono pensieri «sbagliati», o tentativi di «indovinare», ma piuttosto
pensieri “intermedi” sulla strada di un apprendimento che non si è completato o
consolidato. Spesso provengono da errate generalizzazioni di esperienze
passate
 Spesso si punta sulla «prevenzione», ritenendo che per evitare questi errori si
deve “spiegare” l’idea corretta PRIMA che gli studenti lavorino o discutano. La
ricerca didattica mostra che è più efficace lasciare che gli errori si manifestino e
che nasca una discussione su di essi

 Alcuni esempi (intuizione vs rigore):
 “la divisione rende i numeri più piccoli”
 “più cifre ha un numero, più è grande”
 “se un poligono ha un’area maggiore di un altro, anche il perimetro è
maggiore”
 “eguale equivale a “fa””
 “elevare a potenza rende il numero più grande”
 “una funzione crescente tende a infinito”
 “una funzione decrescente tende a 0”
 “il limite è uguale al valore della funzione nel punto”
 “l’integrale definito corrisponde a un’area e quindi è positivo”

 Concentrarsi su una «misconception» facendo venir fuori le diverse
interpretazioni, far nascere un «conflitto cognitivo». Esempio sulla
comprensione dei numeri decimali:
 Quanta medicina c’è in ciascuna siringa?

 FARE VERIFICHE:
 Verificare SIA i singoli CHE i gruppi: VALUTARE la collaborazione e l’aiuto ai
compagni in difficoltà
 Usare mini-verifiche SCRITTE a consegna VOLONTARIA: stimolare
l’AUTOVALUTAZIONE
 Usare sia consegne chiuse (risolvi, esegui, calcola, dimostra) che aperte (mostra
cosa sai riguardo a)
 Abituare gli alunni a dare valore al feedback qualitativo (PERCHE’ una risposta è
sbagliata, COME si poteva risolvere, COSA studiare o rivedere) oltre che a quello
quantitativo (VOTO)
 Verifiche multidimensionali: utilizzare DIVERSI strumenti aiuterà a valutare le
conoscenze, i processi cognitivi, le strategie risolutive

 FARE VERIFICHE:
 Far preparare a uno o più gruppi dei quesiti/problemi/esercizi, quindi costruire il
compito e assegnarlo alla classe. Ogni gruppo correggerà il compito (anonimo)
per la parte che gli compete. MOLTO importante: imparano come le menti
funzionano diversamente, come è difficile valutare (richiede conoscenza e
competenza), come è importante esprimersi con chiarezza.
 Importanza dell’osservazione continua: attenzione alle discontinuità (improvvisa
scorciatoia, adozione di un diverso punto di vista, etc.)
 Evidenziare i diversi livelli di ragionamento matematico:
 Riproduttivo (richiamare regole, procedure, definizioni, proprietà)
 Connettivo (collegare tra domini e intra-dominio, di solito con problemi
puramente matematici, con strade diverse per la stessa soluzione)
 Analitico (interpretare, matematizzare, argomentare, anche con problemi reali,
con soluzioni diverse, che magari richiedono ipotesi semplificative)

 FARE VERIFICHE:
CONSEGNE:
1) Chi è a e chi è b? COME LO SAI?
2) Chi ha vinto la gara? Con quanto
vantaggio?
3) Chi è stato più VELOCE? COME LO
SAI?
 1a) e 2a) riguardano l’interpretazione
del grafico
 2b) si presta a percorsi di soluzione
diversi (metri, secondi)
 3a) collega con il concetto di media
 1b) e 3b) richiedono argomentazione
e riflessione sul proprio ragionamento

 USARE LA TECNOLOGIA:
 App, Smartphone, Tablet: gli studenti usano questi strumenti con
naturalezza, spesso inconsapevole
 Ci sono innumerevoli strumenti utili, gratuiti, ben fatti e stimolanti: fare rete
con i colleghi per condividere esperienze è fondamentale
 L’idea che l’uso di questi strumenti faccia “impigrire” gli studenti, che
“perdano la capacità di calcolo” è spesso legata all’idea che quello che si
insegna è per l’appunto il calcolo
 Combattere l’uso della tecnologia rafforza l’idea che quello che si fa a
scuola non ha niente a che vedere con la vita reale, e che questi strumenti
rendano inutile l’insegnamento…

 Puntare ai concetti attraverso i problemi, invece, mette l’uso di questi strumenti
nella giusta prospettiva: potenti supporti per l’indagine sul mondo e sui concetti
scientifici
 Sono ormai secoli che la tecnica aiuta chi fa scienza (e la scienza ricambia
consentendo lo sviluppo della tecnica…), non si capisce perché la scuola voglia
trasmettere l’idea che l’uso della tecnica è appannaggio dei furbi e dei pigri
 Il ruolo del docente è GUIDARE lo studente nella ricerca e nella scoperta,
INDIRIZZARLO e STIMOLARLO A CRITICARE quello che trova, a
DISTINGUERE, a ELABORARE PERSONALMENTE, a DIFENDERE LE
PROPRIE ARGOMENTAZIONI
 CAMBIARE l’ordine di lavoro: assegnare allo studente la ricerca su un argomento
PRIMA di farlo in classe, usando gli strumenti, i tempi che LUI preferisce. Qui la
tecnologia aiuta, perché consente allo studente di muoversi in un oceano di
informazioni usando strumenti che conosce. Nelle scienze, MISURE ed
esperienze con smartphone e tablet, ad esempio.

 EXCEL è uno strumento formidabile per imparare ad astrarre, a trovare e verificare
le relazioni tra le grandezze, a condurre indagini “what if?”. Infatti, molti studenti (e
anche molti docenti…) lo trovano difficile; altri pensano che Word sia il foglio a
righe e Excel quello a quadretti.
 Cercare collaborazione e sinergia con il docente di informatica. Una pratica
utilissima è la produzione di semplici algoritmi e programmi a contenuto
matematico/fisico:
 richiede una riflessione di SINTESI sui concetti, la capacità di DESCRIVERLI
usando un linguaggio specifico (scrivere un programma funzionante equivale
a «spiegare al computer»)
 previene il formarsi dell’idea che lo strumento tecnologico “abbia sempre
ragione”, “risolva i problemi”, e simili
 Enfatizza gli aspetti QUANTITATIVI

Esempio: un «segmento» di percorso…
Moto di una carica in un campo elettrico prodotto da un’altra carica
 Semplifichiamo: cariche = +1, massa = 1, distanza iniziale = 1, costante k = 1
 Legge di Coulomb: 𝐹 =
𝐾∙𝑄1∙𝑄2
𝑥2 =
1
𝑥2
 Seconda Legge di Newton: 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 =
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
MODELLO MATEMATICO:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
=
1
𝑥2
Non sappiamo «RISOLVERE»….

Ragionamento qualitativo:
La carica «di prova» si allontana, 𝑥 aumenta,
1
𝑥2 diminuisce, tende a 0
Quindi l’equazione differenziale ci dice che
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2tende a 0, cosa significa dal punto
di vista matematico?
MODELLO:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 =
1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
tende a diventare costante, la velocità della carica che si allontana tende a
diventare costante…

Riscontro con calcolo numerico:
MODELLO:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 =
1
𝑥2
𝐴𝑃𝑃𝑅𝑂𝑆𝑆𝐼𝑀𝐴𝑍𝐼𝑂𝑁𝐸!

Riscontro grafico:
MODELLO:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 =
1
𝑥2

Ragionamento quantitativo:
All’inizio l’energia potenziale è 1, l’energia cinetica è 0, l’energia totale è 1
La carica si allontana, l’energia potenziale diminuisce, l’energia cinetica aumenta, il
totale è sempre 1
Quando 𝑥 → ∞, 𝐸 =
1
2
𝑚 ∙ 𝑣2
= 1, quindi
1
2
𝑣2
= 1, 𝑣 = 2
MODELLO:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 =
1
𝑥2
Riscontro con calcolo numerico:
(errore = 1%)

 FARE LA PROGRAMMAZIONE:
 Siamo abituati a programmare per contenuti: “COPRIRE” un certo contenuto
entro una certa data, fare verifiche formative/sommative, scritte/orali.
 Il focus è più su quello che viene SPIEGATO che su quello che viene
APPRESO.
 Inoltre, la segmentazione che ne deriva rende difficili i COLLEGAMENTI tra i
concetti e parcellizza la disciplina agli occhi degli studenti.
 Se si imposta una didattica attiva si deve programmare per attività: costruiamo
una serie di attività (Fare rete! Condividere! Partecipare a
progetti/piattaforme! Non inventare l’acqua calda!), ognuna costituita da
uno o più problemi da cui partire, eventuali arricchimenti/approfondimenti dei
problemi, materiali come articoli, siti web, strumenti come schede, schemi, fogli
Excel, materiale preso in rete, e una “sceneggiatura”.

Progetto PP&S
 Piattaforma di condivisione PP&S aperta anche a singoli docenti di scuole NON
partecipanti al progetto PP&S

Progetto LS-OSA
 Piattaforma di condivisione LS-OSA aperta a tutti i licei scientifici

 Piattaforma di condivisione LS-OSA aperta a tutti i licei scientifici
Progetto LS-OSA

 FARE LA PROGRAMMAZIONE:
 Ovviamente ogni attività con l’uso viene arricchita e “tarata”. DURANTE
l’ATTIVITA’, NON DOPO AVER “SPIEGATO”, SI VALUTA, SI “METTONO I
VOTI”, ferma restando la possibilità di prevedere valutazioni “tradizionali” in
qualunque momento.
 Il docente sceglie poi la successiva attività, o l’argomento da trattare, in base a
quello che ha osservato: tipicamente, emergono o vengono usate (perché
necessarie, o opportune!) delle conoscenze/abilità inaspettate, e magari non
vengono raggiunti alcuni degli obiettivi previsti.
 Il docente sceglie come proseguire, con quale altra attività o “lezione”. Può anche
seguire un ordine diverso da quello che aveva programmato, se gli serve per
rinforzare un collegamento o sfruttare un lavoro che è appena stato fatto dagli
studenti.
 Per iniziare, INSERIRE ALCUNE ATTIVITÀ SIGNIFICATIVE ALL’INTERNO
DELLA PROGRAMMAZIONE TRADIZIONALE

CONCETTI CHIAVE – IDEE FONDAMENTALI
Concetto matematico da esplorare
Idee sbagliate da correggere
Strategia di problem solving da sperimentare
CONTENUTI DISCIPLINARI, ABILITA’
Through o about?
Domande/prompt da usare
PROBLEMA E APPROFONDIMENTI
Il contesto è significativo?
Possibili soluzioni
Possibili percorsi
Problemi collegati
MATERIALI
Schede, immagini, video, siti web, libri, strumenti di valutazione
SCALETTA
 INTRODUZIONE
……………………………………..
 LAVORO SUL PROBLEMA
……………………………………..
 RIFLESSIONE E CONNESSIONI
……………………………………..

Aiuto! Non ho abbastanza tempo!
Quando diciamo che “non ce la facciamo a finire il programma” ci riferiamo ai
concetti e ai metodi che abbiamo spiegato ai nostri studenti; le metodologie “attive”
si concentrano invece su quello che gli studenti apprendono.
Sicuramente l’incontro con i concetti è più lento nella didattica “attiva”, ma è anche
più profondo e produttivo: FARE matematica, anziché sentirne parlare.
Tutte le ricerche e le esperienze internazionali dicono che l’apprendimento
realizzato con modalità attive è più solido, trasferibile e duraturo.

La valutazione delle competenze…
 Una valutazione richiede il confronto con un profilo che
rappresenta la descrizione degli obiettivi della competenza da
conseguire
 Il profilo descrive, in particolare, l’applicazione di abilità e
atteggiamenti dimostrati in contesti reali
 La competenza è un risultato «emergente» di un’attività
complessa: sapere, saper fare, perché fare in un certo modo,
come fare meglio…osservata in contesti reali
 In una prova scritta, in un contesto scolastico, tutt’al più si
possono individuare degli «indicatori» che segnalano la
competenza
 Valorizzare e valutare gli atteggiamenti! Non sono «attitudini», si
modificano!

 la valutazione non guarderà solo all’acquisizione di fatti e metodi
matematici, ma si concentrerà sulle relazioni tra le idee, sull’uso
della conoscenza in situazioni nuove, sul livello di ragionamento
mostrato dallo studente, sulla maniera in cui la conoscenza dello
studente sta cambiando: chiedere SEMPRE di motivare le scelte
e le strategie
 Valutare DURANTE il lavoro sul problema e sui concetti, e non
solo DOPO
 Usare MOLTI strumenti di valutazione
 Valutare interazioni in classe
 Autovalutazione: ad es., compiti a consegna volontaria
 Abilità e competenze crescono in un continuum, la conoscenza
cresce a piccoli «salti»

Conoscenze – Abilità - Competenze
Credits: Prof. Mario Comoglio

 «La valutazione è espressione dell'autonomia professionale
propria della funzione docente, nella sua dimensione sia
individuale che collegiale, nonché dell'autonomia didattica delle
istituzioni scolastiche. Ogni alunno ha diritto ad una valutazione
trasparente e tempestiva…» - DPR 122/2009

Per finire…

Ma non dimentichiamo che…
“The hardest thing you can ever ask
teachers to do is to teach in a way
they were not taught themselves”
(Ken Jensen)

Seminario DT Esposito - IIS G. Peano 10/11/2016

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